1.1 集合（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，涵盖集合的概念、关系、运算及应用，知识复习按元素特性、集合关系、运算逻辑分层梳理，结合常用结论构建知识网络，典型例题分九大考向系统训练，通过考点梳理、方法指导、真题演练帮助学生突破难点。 资料突出数学思维与语言培养，如元素互异性辨析强化逻辑推理，子集个数公式应用提升抽象概括能力，Venn图解决实际问题训练数学表达。设置单选、多选、填空、解答分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

1.1 集合（精讲） 第一部分：知识复习 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号∈和∉表示． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)五个特定的数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 【注意】(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 表示 集合 表示 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝ {x|x∈U，且x∉A} [常用结论] 1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 2．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B). 3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； (∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). 第二部分：典型例题 典例一：集合的基本概念 1．（26-27高三·全国·暑假作业）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．错误 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2．（26-27高三·全国·暑假作业）下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 3．（26-27高三·全国·暑假作业）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 典例二：元素的互异性 5．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 6．（2026高三·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 7．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 8．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）集合的元素个数为__________． 【答案】 【分析】利用对数换底公式将对数不等式转化为常用对数不等式，再根据对数函数的单调性解出的取值范围，最后统计区间内的整数个数. 【详解】由题意 ，利用换底公式可得 ， 解得 ，即 ， 因为，所以满足条件的元素的个数有90个. 故答案为： 9．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 10．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 典例三：子集的个数的问题 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合得， 由集合且，得集合中必有元素3，4中的一个或两个，共有3种选择方法， 集合中可以有5，6，7中的元素，共有8种选择方法， 所以共有个满足条件的集合. 12．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】利用补集的定义求出，进而求出真子集个数． 【详解】因为，所以的真子集的个数为． 13．（2026·湖南衡阳·模拟预测）设集合，则的子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】，，所以，所以的子集的个数为4. 14．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 15．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）已知集合，集合，求的子集个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，解得或， 因为，解得，所以， 所以，有2个子集. 16．（25-26高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为， 非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合， 因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集， 所以该集合的非空真子集个数为． 典例四：集合的基本关系判断 17．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 18．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 19．（2026·山东济南·模拟预测）（多选）已知为全集，集合，是的子集，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】已知为全集，，，由集合运算性质：， 因为，所以. A：可以是空集，此时，满足，错误. B：已推出，错误. C：，，，正确. D：，相等集合互相包含，成立，正确. 20．（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，集合，检验中元素是否属于： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故中仅有，. 选项A：，即中所有元素都属于，不成立. 选项B：，即中所有元素都不属于，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立. 21．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， ， 所以集合中的元素是的整数倍， 所以. 22．（2026高三上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 典例五：根据集合的关系求参数 23．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 24．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 25．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 26．（25-26高二·全国·暑假作业）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 27．（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 【答案】1 【分析】根据题意，利用集合相等和集合中元素的性质，求得，，进而得到答案. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 28．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得集合，根据列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）∵时，， ， 全集，∴或, ∴． （2）∵，∴， ∵，， ∵，∴， 解得或， 故实数的取值范围. 典例六：集合的运算 29．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用交集的概念，找出集合和集合的公共元素即可. 【详解】当时，， 而，所以. 30．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合 ，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解得 ，， 所以，又集合故 . 31．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 32．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】集合，， 方程组解得或， 所以，元素个数为2. 33．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 34．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，故. 典例七：根据集合的运算求参数 35．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 36．（25-26高三上·安徽黄山·期末）设全集为，已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将代入，化简集合，再由集合运算求出即可；（2）等价于，分与两类讨论求解即可； 【详解】（1）因为， 即， 所以，即， 所以. 当时，， 所以或. （2）因为，所以. 当时，满足，所以，即， 当时，，又因为， 所以需满足， 可解得. 综上所述，所以的取值范围为. 37．（25-26高三上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【答案】7 【分析】由得，即和为一元二次方程的根，利用根与系数关系即可求解. 【详解】由有：，所以和为一元二次方程的根， 所以，所以， 故答案为：. 38．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 【答案】/ 【分析】由交集结果得到，从而得到方程，求出，得到，，代入计算得到，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得， . 故答案为； 39．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，或.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 40．（25-26高三上·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 典例八：图的应用 41．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 42．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高三（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 43．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合与，再根据维恩图确定阴影部分表示的集合为，最后进行集合运算即可. 【详解】由题意，，， 图中阴影部分表示的集合为，因为，全集，所以或， 则或或，故B正确. 44．（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 45．（25-26高三上·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 46．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 【答案】A 【分析】利用条件概率关系设未知数，根据高茎中抗倒伏比例和抗倒伏中高茎比例分别表示出高茎和抗倒伏的占比，再利用既不高茎也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求解. 【详解】设高茎作物占比为，抗倒伏作物占比为， 既不高茎也不抗倒伏的占比为，两种性状兼备的占比为， 由题意得，则， ，则， ，则， 则，解得， 即两种性状兼备的占比为. 典例九：集合新定义问题 47．（26-27高三·全国·暑假作业）（多选）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. 48．（26-27高三·全国·暑假作业）（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 49．（河南省部分名校25-26-2026学年高三上学期6月期末数学试题）若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 【答案】 【分析】首先确定非空子集的个数；根据“完美集合”的定义，可列举出所有“完美集合”，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】集合共有9个元素， 则集合有个非空子集. 根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有. 若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合； 若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义； 同理，含有或的集合也不是完美集合， 因此，完美集合只能是集合的非空子集， 其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个， 所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个， 所以非空子集中不是完美集合的概率是. 50．（25-26高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】 根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】 解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 51．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可. 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 52．（25-26高二·全国·暑假作业）当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合（精讲） 第一部分：知识复习 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号∈和∉表示． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)五个特定的数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 【注意】(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 表示 集合 表示 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝ {x|x∈U，且x∉A} [常用结论] 1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 2．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B). 3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； (∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). 第二部分：典型例题 典例一：集合的基本概念 1．（26-27高三·全国·暑假作业）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．错误 2．（26-27高三·全国·暑假作业）下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（26-27高三·全国·暑假作业）（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 典例二：元素的互异性 5．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2026高三·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 7．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）集合的元素个数为__________． 9．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 典例三：子集的个数的问题 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 13．（2026·湖南衡阳·模拟预测）设集合，则的子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 15．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）已知集合，集合，求的子集个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（24-25高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 典例四：集合的基本关系判断 17．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 18．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 19．（2026·山东济南·模拟预测）（多选）已知为全集，集合，是的子集，若，则（     ） A． B． C． D． 20．（2026·北京西城·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 22．（2026高三上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 典例五：根据集合的关系求参数 23．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 24．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 25．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26高二·全国·暑假作业）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 27．（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 28．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 典例六：集合的运算 29．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知，则等于（     ） A． B． C． D． 30．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合 ，，则 （    ） A． B． C． D． 31．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 典例七：根据集合的运算求参数 35．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 36．（25-26高三上·安徽黄山·期末）设全集为，已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 37．（25-26高三上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 38．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 39．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，或.若，求实数的取值范围. 40．（25-26高三上·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 典例八：图的应用 41．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高三（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 43．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 44．（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高三上·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 46．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 典例九：集合新定义问题 47．（26-27高三·全国·暑假作业）（多选）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 48．（26-27高三·全国·暑假作业）（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 49．（河南省部分名校2025-2026学年高三上学期6月期末数学试题）若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 50．（24-25高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 51．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 52．（25-26高二·全国·暑假作业）当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $