精品解析：山东淄博市桓台县实验学校2023-2024学年中考数学模拟试题

初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码． 2.第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5.不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列整数中，与最接近的数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】估算无理数 的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴ 接近3 故选：C 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解本题的关键． 2. 清代诗人袁枚的诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查小于 的正数的科学记数法表示，科学记数法的形式为，其中， 为整数， 的绝对值等于原数左起第一个非零数字前 的个数，据此确定 和 即可． 【详解】解：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2 B. （x﹣2）2＝x2﹣4 C. （﹣2a2）3＝﹣8a8 D. （a＋2b）2＝a2＋4ab＋2b2 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式，平方差公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、结果是1﹣x2，故本选项符合题意； B、结果是x2﹣4x＋4，故本选项不符合题意； C、结果是﹣8a6，故本选项不符合题意； D、结果是a2＋4ab＋4b2，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是熟练运用幂的运算法则和乘法公式进行准确计算． 4. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是（ ） A. 关于 轴对称 B. 关于轴对称 C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的定义得到即可． 【详解】因为点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4）， 所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B， 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 5. 利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于 ”，应先假设（　　） A. 直角三角形的每个锐角都小于 B. 直角三角形有一个锐角大于 C. 直角三角形的每个锐角都大于 D. 直角三角形有一个锐角小于 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于 ”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于 ． 故选：A． 6. 在如图所示的正方形网格中，点 ， ， ， ， 均在格点上，则点 是（ ） A. 的外心 B. 的内心 C. 的外心 D. 的内心 【答案】A 【解析】 【分析】根据网格利用勾股定理得出，进而判断即可． 【详解】解：由勾股定理可知： ， 所以点O是 的外心， 故选：A． 【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心问题，关键是根据勾股定理得出． 7. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=100°30'， OA=20，将扇形 OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在AB的点D处，折痕交OA于点C，则的长为（ ） A. 4．5π B. 5π C. π D. 7．2π 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△ODB是等边三角形，得到，根据弧长共识即可解决问题． 【详解】连接OD， ∵△BCD是由△BCO翻折得到， ∴，， ∵OD=OB， ∴ ， ∴, ∵， ∴， ∵OD=OB， ∴△ODB是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的长=． 故答案为A． 【点睛】本题主要通过垂径定理、圆周角定理的应用进行弧长的求解，结合折叠的知识点和度分秒换算的知识点进行考查． 8. 如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为2， ∴圆锥的底面周长为4π， ∵圆锥的高是8， ∴圆锥的母线长为， 设扇形的圆心角为n°， ∴， 解得n=120． 答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 9. 如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．曲线段 扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线段 扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移3个单位，则， 故选：D． 10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则 的值为（　　） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，利用三角形相似建立等式，再根据根的判别式等于0建立方程求解． 【详解】∵ 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵满足条件的点P有且只有一个， ∴方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定定理及性质，方程的思想，解题的关键是：掌握相似三角形的判定定理及建立方程进行求解． 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． 11. 一个不透明的袋子中,装有4个红球、2个白球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，当摸到红球的概率是摸到白球概率的2倍时，需再往袋子里放入________________个红球． 【答案】0 【解析】 【分析】如果想使摸到红球的概率是摸到白球概率的两倍，根据简单随机事件的概率公式知，必须使袋子中红球的个数是白球个数的两倍，由此可以得到问题的答案 【详解】解：依题意，要使摸到红球的概率是摸到白球概率的2倍，根据简单随机事件的概率公式知则必须使袋子中红球数是白球数的2倍，而袋子中红球有4个，恰好是袋子中2个白球数目的2倍，故不必再向袋子中加入红球了． 故答案为：0 【点睛】此题主要考查了简单随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=． 12. 若双曲线向右平移2个单位后经过点（4，1），则 的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据“双曲线向右平移2个单位后经过点（4，1）”得到双曲线没有移动前经过的点的坐标，从而确定k的取值． 【详解】解：∵双曲线向右平移2个单位后经过点（4，1）， ∴双曲线没有移动时经过（2，1）， ∴k-1=2×1， 解得：k=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应两点的关系是解决问题的关键． 13. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1＋x2＝−，x1•x2＝，代入计算即可． 【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根， ∴x1＋x2＝5，x1•x2＝6； ∴x1x2-x1-x2=6-（x1＋x2）=6-5=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝−，x1•x2＝． 14. 如图， ， 是圆 的两条相等的弦，弧 ，弧 的度数分别为30度，120度， 为劣弧 上一点，则______°． 【答案】127.5 【解析】 【分析】分别连接OA，OB，OC，OD，根据圆心角定理可求得∠AOD和∠BOC的度数；再根据弦AB=CD，可求得∠AOB和∠COD的度数；最后根据圆周角定理可求得∠APB的度数． 【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示． ∵和的度数分别是30°和120°， ∴∠AOD=30°，∠BOC=120°． ∵AB=CD， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的定理，圆周角定理等知识点，熟知上述定理是解题的关键． 15. 将两个等腰Rt△ADE，Rt△ABC（其中∠DAE=∠ABC=90°，AB=BC，AD=AE）如图放置在一起，点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE=15°，下列结论：①AC垂直平分DE；②△CDE为等边三角形；③tan∠BCD=；④，其中正确的结论是____________ (填写所有正确结论的序号) 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出∠DAC＝∠BAC即可判断出①正确；再用等腰直角三角形的内角的关系即可得出∠DCE＝60°，即可得出②正确，判断出∠BCD＝75°＝∠BEC即可判断出③正确，设出AH＝x，利用等腰直角三角形和等边三角形的性质即可得出CH，EH，AB，BE最后用三角形的面积公式即可得出④正确． 【详解】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°， ∵AD＝AE， ∴AC垂直平分DE，∴①正确， ∵AC垂直平分DE， ∴DC＝EC，∠DAC＝∠EAC， ∵∠BCE＝15°， ∴∠ACE＝30°， ∴∠DCE＝2∠ACE＝60°， ∴△CDE是等边三角形，∴②正确； ∵∠DCE＝60°，∠BCE＝15°， ∴∠BCD＝75°， ∵∠BEC＝90°−15°＝75°， ∴∠BCD＝∠BEC， 在Rt△BCE中，tan∠BEC＝， ∴tan∠BCD＝，∴③正确； 设AH＝x， 在Rt△AEH中，HE＝AH＝x，AE＝x， 在Rt△CEH中，∠ECH＝30°， ∴CH＝EH÷tan30°=EH＝x，CE＝2HE＝2x， ∴AC＝AH＋CH＝（＋1）x， 在Rt△ABC中，BC＝AB＝AC×sin45°=AC＝（＋1）x＝x， ∴BE＝AB−AE＝x， ∴S△BCE＝BE•BC＝×x•x＝x2 S△EHC＝EH•CH＝x•x＝x2， ∴，∴④正确， 即：正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是灵活运用特殊三角形的性质；是一道基础题目． 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 90 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组请按下列步骤完成解答： （1）解不等式 ，得______ ； （2）解不等式 ，得______ ； （3）把不等式 和 的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为______ ． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解不等式 ，； 【小问2详解】 解不等式 ，； 【小问3详解】 把不等式 和 的解集在数轴上表示出来； 【小问4详解】 原不等式组的解集为． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17. 如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，且BE＝DF．连接AE、CF． （1）求证△AOE≌△COF； （2）若AC⊥EF，连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，OB＝OD，OA＝OC，再由OB－BE＝OD－DF，得到OE＝OF，又∠AOE＝∠COF，可得△AOE≌△COF(SAS)； （2）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC ． 又∵BE＝DF， ∴OB－BE＝OD－DF， ∴OE＝OF． 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(SAS)． （2）解：四边形AECF是菱形． 理由如下： ∵OA＝OC，OE＝OF． ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定．解题的关键是掌握平行四边形的性质，证明三角形全等． 18. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示： （1）请你根据图中的数据填写下表： 姓名 平均数 众数 甲 7 乙 6 （2）请通过计算方差，说明谁的成绩更稳定． 【答案】（1）7；6；（2）甲比乙更稳定 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义和平均数公式计算即可得出答案； （2）根据方差的公式分别计算并结合方差的意义分析得出答案即可． 【详解】解：（1）甲的平均数= ，乙的射靶的成绩中，6环出现次数最多为2次，故其众数为6； 完成表格如下： 姓名 平均数 众数 甲 7 7 乙 6 6 （2）S甲2=[ 6 7）2 （7 7）2 （8 7）2（7 7）2 （77）2]=； S乙2=[ 3 6）2 （6 6）2 （6 6）2（7 6）2 （8 6）2 = 因为S甲2＜S乙2，所以甲比乙更稳定 【点睛】本题考查了平均数，众数和方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 19. 如图，一个梯子 斜靠在一面墙上，梯子底端为 ，梯子的顶端 距地面的垂直距离为 的长． （1）若梯子的长度是，梯子的顶端 距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端 向外滑动多少米? （2）设 ， ，，且，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1）梯子的底端向外滑动米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是米． 【解析】 【分析】（1）已知AB、BC，在直角 中即可计算AC的长度，设梯子的底端向外滑动 米，由题意得，，求解即可； （2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动 米，由题意得，，求解即可． 【详解】（1）在中， ， ， . 设梯子的底端向外滑动 米，由题意得， ， 解得，（舍去） 即梯子的底端向外滑动米. （2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动 米，由题意得， ， 解得，（舍去）， ，即梯子的底端向外滑动的距离是米． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际中生活中的应用，本题中根据梯子长度不会变的等量关系求解是解题关键． 20. 如图，线段 是的直径，延长 至点C，使 ，点E是线段 的中点， 交于点D，点P是圆O上的一动点（不与点A，B重合），连接 ． （1）求证： 是的切线； （2）求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接 ， ∵点E是线段 的中点， 交于点D， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接 ，根据垂直平分线的判定与性质 ，易得，再证明 ，最后根据相似三角形的性质以及切线的判定定理即可证明结论； （2）如图，连接 ，再证明 ，然后利用相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：见解析． 【小问2详解】 解：如图，连接 ， 由已知可得： ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴． 21. 如图，P为正方形 对角线 上的一点，连接并延长交 于点E，过P作分别交 ， 于M，N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F与点C关于直线 对称，连接 并延长交直线 于点G，连接 ． ①设 的度数为x，求的度数； ②猜想 与 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：作于点 ，交于点 ， 四边形 为正方形， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， ②，证明如下： 连接、 ， 由对称性可知，，， 为等腰直角三角形， ， ， 四边形 为正方形， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作于点 ，交于点 ，得到四边形为矩形，利用矩形性质，正方形性质，三角形内角和定理证明，即可得到； （2）①利用正方形性质得到，利用对称的性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理进而可得，再利用三角形外角性质即可得到的度数； ②连接、 ，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得到，利用正方形性质和勾股定理得到，证明，利用相似三角形性质得到，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① ， 四边形 为正方形， ， ， ， 点F与点C关于直线 对称， ，， ， ， ． ②略 【点睛】本题考查正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． 22. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC． （1）求证：AC平分∠DAE； （2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①⊙O的半径为4；②FN=． 【解析】 【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2； （2）①利用圆周角定理和垂径定理得到，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到，从而解方程求出r即可； ②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长． 【详解】（1）连接OC，如图， ∵直线DE与⊙O相切于点C， ∴OC⊥DE， 又∵AD⊥DE， ∴OC∥AD． ∴∠1=∠3 ∵OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2， ∴AC平方∠DAE； （2）①∵AB为直径， ∴∠AFB=90°， 而DE⊥AD， ∴BF∥DE， ∴OC⊥BF， ∴， ∴∠COE=∠FAB， 而∠FAB=∠M， ∴∠COE=∠M， 设⊙O的半径为r， 在Rt△OCE中，cos∠COE=，即，解得r=4， 即⊙O的半径为4； ②连接BF，如图， 在Rt△AFB中，cos∠FAB=， ∴AF=8×， 在Rt△OCE中，OE=5，OC=4， ∴CE=3， ∵AB⊥FM， ∴， ∴∠5=∠4， ∵FB∥DE， ∴∠5=∠E=∠4， ∵， ∴∠1=∠2， ∴△AFN∽△AEC， ∴，即， ∴FN=． 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键. 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明； （3）若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4） （2）∠ACB，证明见解析 （3）点P坐标为（，） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；依据配方法求出顶点坐标； （2）先证出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，求出tan∠DAC，得∠DAC=∠OCB，即可求解； （3）设点P的坐标为（m，-m2-2m+3），当点P到直线AC的距离最大时，△PAC的面积最大，过点P作PH⊥x轴于点H，交AC于点E，求出直线AC的函数关系式，表示出点E的坐标，得S△PAC关于m的二次函数，利用二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：把点B（1，0），点C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）； 【小问2详解】 解：图中与∠DAB相等的一个角是∠ACB， 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A点坐标为（﹣3，0）， ∴OA＝OC＝3， ∴∠CAO＝∠OCA＝45°， 在Rt△BOC中，tan∠OCB， ∵A点坐标为（﹣3，0），B点坐标（1，0），C点坐标为（0，3）， ∴AC＝3，DC，AD＝2， ∴AC2+DC2＝20，AD2＝20， ∴AC2+DC2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴tan∠DAC， ∴∠DAC＝∠OCB， ∴∠DAC+∠CAO＝∠BCO+∠OCA， 即∠DAB＝∠ACB； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3）， 当点P到直线AC的距离最大时，△PAC的面积最大， 过点P作PH⊥x轴于点H，交AC于点E， 设直线AC的函数关系式为：y＝kx+b， 把点A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的函数关系式为：y＝x+3， ∴点E的坐标为（m，m+3）， ∴S△PAC [﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×3 m2m （m）2， 又∵S△PAC ×P到直线AC的距离， 由二次函数性质，当m时，△PAC的面积最大，即点P到直线AC的距离最大， ∴点P坐标为（，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数关系式，勾股定理，直角三角形的性质判定，锐角三角函数知识，解答本题关键是综合运用的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码． 2.第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5.不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列整数中，与最接近的数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 清代诗人袁枚的诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2 B. （x﹣2）2＝x2﹣4 C. （﹣2a2）3＝﹣8a8 D. （a＋2b）2＝a2＋4ab＋2b2 4. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是（ ） A. 关于 轴对称 B. 关于轴对称 C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转 5. 利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于 ”，应先假设（　　） A. 直角三角形的每个锐角都小于 B. 直角三角形有一个锐角大于 C. 直角三角形的每个锐角都大于 D. 直角三角形有一个锐角小于 6. 在如图所示的正方形网格中，点 ， ， ， ，均在格点上，则点是（ ） A. 的外心 B. 的内心 C. 的外心 D. 的内心 7. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=100°30'， OA=20，将扇形 OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在AB的点D处，折痕交OA于点C，则的长为（ ） A. 4．5π B. 5π C. π D. 7．2π 8. 如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 135° 9. 如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则的值为（　　） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． 11. 一个不透明的袋子中,装有4个红球、2个白球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，当摸到红球的概率是摸到白球概率的2倍时，需再往袋子里放入________________个红球． 12. 若双曲线向右平移2个单位后经过点（4，1），则 的值是______． 13. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值为____． 14. 如图， ， 是圆的两条相等的弦，弧 ，弧 的度数分别为30度，120度， 为劣弧 上一点，则______°． 15. 将两个等腰Rt△ADE，Rt△ABC（其中∠DAE=∠ABC=90°，AB=BC，AD=AE）如图放置在一起，点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE=15°，下列结论：①AC垂直平分DE；②△CDE为等边三角形；③tan∠BCD=；④，其中正确的结论是____________ (填写所有正确结论的序号) 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 90 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组请按下列步骤完成解答： （1）解不等式 ，得______ ； （2）解不等式 ，得______ ； （3）把不等式 和 的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为______ ． 17. 如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，且BE＝DF．连接AE、CF． （1）求证△AOE≌△COF； （2）若AC⊥EF，连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并说明理由． 18. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示： （1）请你根据图中的数据填写下表： 姓名 平均数 众数 甲 7 乙 6 （2）请通过计算方差，说明谁的成绩更稳定． 19. 如图，一个梯子 斜靠在一面墙上，梯子底端为 ，梯子的顶端 距地面的垂直距离为 的长． （1）若梯子的长度是，梯子的顶端 距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端 向外滑动多少米? （2）设 ， ，，且，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由． 20. 如图，线段 是的直径，延长 至点C，使 ，点E是线段 的中点， 交于点D，点P是圆O上的一动点（不与点A，B重合），连接 ． （1）求证： 是的切线； （2）求的值． 21. 如图，P为正方形对角线 上的一点，连接并延长交 于点E，过P作分别交 ， 于M，N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F与点C关于直线 对称，连接 并延长交直线 于点G，连接 ． ①设 的度数为x，求的度数； ②猜想 与 之间的数量关系，并证明． 22. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC． （1）求证：AC平分∠DAE； （2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明； （3）若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $