专题03 磁场（安培力与洛伦兹力）（期末复习讲义）高二物理下学期人教版

专题03 磁场（安培力与洛伦兹力）（期末复习讲义） 内 容 导 航 考情透视·目标导航 透析期末考向，锚定备考重心 知识梳理·方法技巧 梳理核心脉络，扫除知识盲区 知识点01 几种电流的磁场 知识点02 安培力作用下导体的平衡与加速问题 知识点03 带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定 知识点04 电偏转和磁偏转的理解对比分析 知识点05 带电粒子在几种匀强磁场中的运动 知识点06 磁聚焦模型和磁发散模型 知识点07 带电粒子在匀强磁场中运动的动态圆模型 知识点08 带电粒子在磁场中运动的多解问题 知识点09 配速法处理叠加场中的摆线类问题 知识点10 动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 知识点11 带电粒子在立体空间中的运动 典例引领·即时检测 精析典型例题，强化解题能力 考场练兵·分层实战 阶梯实战演练，验收复习成效 考情透视·目标导航 考点名称 重点考查考点 命题规律 磁场与磁感应强度 磁场的基本性质； 磁感应强度的定义与矢量特点； 磁感线的分布规律； 常见磁场（条形磁铁、通电直导线、螺线管）的磁感线辨析。 侧重基础概念辨析，区分电场与磁场的不同性质； 考查常见磁场的磁感线分布特点； 判断磁感应强度的大小与方向，多以基础选择题形式考查，注重识记与判断。 安培力及其应用 安培力的计算公式； 左手定则判断安培力方向； 通电导线在磁场中的受力分析； 平行通电导线的相互作用； 安培力的平衡与动态分析。 高频考查安培力的大小计算与方向判断； 结合受力平衡、动态模型分析通电导线的运动状态； 常结合生活电磁装置命题，侧重力学与电磁学的基础综合分析。 洛伦兹力及基本规律 洛伦兹力的产生条件与计算公式； 左手定则判断洛伦兹力方向； 洛伦兹力不做功的特点； 带电粒子在磁场中的受力辨析。 重点考查洛伦兹力的方向判断与大小计算； 辨析洛伦兹力不做功的核心特点，区分洛伦兹力与安培力的联系与区别； 多结合粒子运动场景考查基础规律应用。 带电粒子在匀强磁场中的运动 带电粒子垂直进入磁场做匀速圆周运动； 轨道半径、周期公式计算； 圆心、半径、轨迹的作图分析； 有界磁场中的临界、多解问题。 为本专题重难点与高频考点，侧重轨迹分析、半径和周期公式的综合计算； 高频考查有界磁场的临界问题、边界问题和多解问题； 注重几何知识与电磁学的结合，命题综合性强、灵活性高。 带电粒子在复合场中的运动 带电粒子在电、磁复合场中的受力分析； 匀速直线运动、匀速圆周运动模型； 速度选择器、回旋加速器等电磁器件原理。 侧重复合场中粒子运动模型的辨析； 结合电磁仪器实际场景考查工作原理； 综合受力分析、功能关系求解粒子运动问题，是高考高频综合题型，难度偏高。 知识梳理·方法技巧 知识点01 几种电流的磁场 项目 直线电流的磁场 通电螺线管的磁场 环形电流的磁场 安培定则 立体图 横截面图 从上往下看 从左往右看 从左往右看 纵截面图 知识点02安培力作用下导体的平衡与加速问题 1. 安培力作用下导体运动的判定方法 电流元法 分割为电流元安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向 特殊位置法 在特殊位置→安培力方向→运动方向 等效法 环形电流小磁针，条形磁体通电螺线管多个环形电流 结论法 同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势 转换研究 对象法 先分析电流所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力 2. 安培力作用下的平衡问题 （1）安培力作用下的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法是相同的，只不过多了安培力，关键仍是受力分析. （2）视图转换：对于安培力作用下的力学问题，导体的电流方向及其受力方向往往分布在三维空间的不同方向上，这时应利用俯视图、剖面图或侧视图等，变立体图为二维平面图.如图所示. 知识点03带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定 项目 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心。②弦的垂直平分线过圆心 P、M点速度方向垂线的交点 P点速度方向垂线与弦的垂直平分线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：图中，r＝或由r2＝L2＋（r－d）2求得r＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度l求时间 ①t＝T＝T＝T. ②t＝＝ 知识点04电偏转和磁偏转的理解对比分析 运动形式 比较项目 带电粒子在匀强电场中偏转(v0⊥E) 带电粒子在匀强磁场中偏转(v0⊥B) 受力特点 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力，电场力做功 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力，但洛伦兹力不做功 运动特征 类平抛运动 匀速圆周运动 研究方法 牛顿运动定律、匀变速运动公式、正交分解法 牛顿运动定律、向心力公式、圆的几何知识 规律 类平抛运动的规律：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 偏移量：:y= 半径：r＝ 周期：T＝ 偏转角θ满足:sinθ=(l是磁场宽度,R是粒子轨道半径) 运动情景 运动时间 飞出电场的时间t= 打在极板上的时间t= t＝T＝ 知识点05带电粒子在几种匀强磁场中的运动 直线边界模型 该模型粒子进出磁场具有对称性，模型图如下： 时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T=。 平行边界模型 该模型往往存在临界条件，模型图如下： 时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=，t2==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丁中粒子在磁场中运动的时间t=T=。 圆形边界模型 1. 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性，如下图所示，粒子做圆周运动的半径r＝，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，运动角度关系为：θ＋α＝90°。 2. 不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示。 3. 正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有，则磁偏转半径，根据半径公式联立求解时间。速度v0越大，则磁偏转半径r越大，圆心角α越小，时间t越短。若r=R，构成正方形。 4. 不正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，左边两个图有两个等腰三角形，一条共同的底边；最后一个图示当r=R时，构成菱形。 环形磁场 环形磁场模型的临界圆如下图所示，三个环形磁场的临界半径分别为：；；由勾股定理(R2-R1)2=R12+r2，解得：。 知识点06磁聚焦模型和磁发散模型 磁聚焦：带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，且该点切线与入射方向平行。 磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行。 知识点07 带电粒子在匀强磁场中运动的动态圆模型 1. “平移圆”模型处理方法 适用条件及特点 速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上 所有粒子做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上 应用方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 2. “旋转圆”模型处理方法 适用条件及特点 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同，运动半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图所示，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 应用方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件 3. “放缩圆”模型处理方法 适用条件及特点 速度方向一定，大小不同 粒子初速度方向一定，大小不同，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 带电粒子速度v越大，运动半径也越大.如图所示，运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上 应用方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件 知识点08带电粒子在磁场中运动的多解问题 项目 情景分析 运动图例 带电粒子电性不确定形成多解 带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如果带正电，其轨迹为a；如果带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定形成多解 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 已知粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态不唯一形成多解 带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 运动的往复性（周期性）形成多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 知识点09配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见模型 运动情景 处理方法 BG摆线： 初速度为0，有重力 重力场和磁场叠加 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线： 初速度为0，不计重力 电场和磁场叠加 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线： 初速度为0，有重力 重力场、电场和磁场叠加 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线： 初速度为v0，有重力 重力场和磁场叠加 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 知识点10动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为＋q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx＝qvyB Fy＝qvxB 两个方向分别列动量定理 －qvyBΔt＝mΔvx qvxBΔt＝mΔvy 即－qBΔy＝mΔvx qBΔx＝mΔvy 两边累加得－qBy＝mvx1－mvx0 qBx＝mvy1－mvy0。 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 知识点11带电粒子在立体空间中的运动 1. 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况： ①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． ②空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 典例引领·即时检测 典例01 如图所示，宽为的光滑导轨与水平面成角，质量为、长为的金属杆水平放置在导轨上。空间存在着匀强磁场，当回路总电流为时，金属杆恰好能静止。下列说法正确的是（     ） A．若磁感应强度的方向竖直向上，则 B．若磁感应强度的方向竖直向上，则 C．若磁感应强度的方向垂直导轨平面向上，则 D．若磁感应强度的方向垂直导轨平面向上，则 【答案】A 【详解】AB．若磁场方向竖直向上，根据左手定则可知，安培力方向水平向右，如图所示 在磁场中通电金属杆的有效长度为L，安培力的大小为 金属杆恰好静止，根据平衡条件可得 整理可得，故A正确，B错误； CD．当磁场方向垂直导轨平面向上，根据左手定则可知，安培力方向沿斜面向上，根据平衡条件可得 解得 故CD错误。 故选A。 即时检测 1.（多选）如图所示，在倾角为的光滑斜面上水平放置一条长为l的直导线PQ，两端以很软的导线通入大小为I的电流。当加一个竖直向上大小为B的匀强磁场时，PQ恰好平衡，已知重力加速度为g，则（     ） A．导线PQ受到的安培力方向沿斜面向上 B．导线PQ受到的安培力方向水平向右 C．导线PQ的质量为 D．导线PQ的质量为 【答案】BC 【详解】AB．磁场竖直向上，电流沿水平放置的导线，根据左手定则可判断导线受到的安培力方向水平向右，故A错误，B正确； CD．对直导线受力分析，如图所示 由三力平衡，可得 解得，故C正确，D错误。 故选BC。 2.为测量磁感应强度，某兴趣小组设计了如图所示的装置。轻绳跨过光滑定滑轮，左边挂一物体，右方轻绳下面有一轻质绝缘挂钩，挂钩处有水平方向向里的匀强磁场。将一个通电矩形线圈挂在右方下面的挂钩上，线圈中的电流方向如图所示，整体处于平衡状态（线圈下边呈水平状态）。下列说法正确的是（     ） A．线圈质量和物体的质量相等 B．线圈所受的安培力方向竖直向下 C．若磁场、电流方向突然同时反向，其它条件不变，整体仍处于平衡状态 D．若线圈中的电流突然反向，其它条件不变，线圈将向上运动 【答案】C 【详解】AB．根据左手定则可知，线圈所受安培力方向竖直向上，根据平衡条件可推知线圈质量大于物体质量，故AB错误； C．若磁场、电流方向突然同时反向，其它条件不变，线圈所受安培力方向不变，则整体仍处于平衡状态，故C正确； D．若线圈中的电流突然反向，其它条件不变，线圈所受安培力方向变为竖直向下，则线圈将向下运动，故D错误。 故选C。 典例02如图，宽为的平行直线边界1、2间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为、电荷量为（）的带电粒子从边界1上点以大小为、方向与边界1成60°的初速度射入磁场，一段时间后，粒子再次回到边界1，不计粒子的重力，则磁感应强度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 可得 因此，磁感应强度最小，对应的轨迹半径最大，粒子能回到边界1，说明粒子未从边界2射出，最大对应轨迹刚好与边界2相切的情况，如图所示 在直角三角形中，有 解得最大轨迹半径 将代入 解得 故选A。 即时检测 1.如图所示，正三角形ABC内有垂直纸面向外的匀强磁场，O点为AB中点，M点为OB中点，N点为BC中点，P点为NC中点。一束质子以不同的速率从O点垂直于磁场沿图中方向射入磁场后，分别从M、N、P点射出磁场，质子重力不计。则它们在磁场中的运动时间、、的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出从M、N、P点射出磁场对应的粒子运动轨迹图，如下图所示 设轨迹圆弧对应的圆心角分别为、、，由轨迹图可知 粒子在磁场中运动时洛伦兹力充当向心力，所以 做圆周运动的周期为 所以粒子运动的时间 所以 故选D。 2.（多选）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上建立直角坐标系xOy，在第Ⅰ、Ⅳ象限存在磁感应强度大小为B、方向垂直桌面向下的匀强磁场。一可视为质点、带电荷量为+q、质量为m的小球，从O点以初速度大小v0沿x轴正方向进入磁场，小球在运动过程中受到的空气阻力大小f=kv（其中k为已知常数），空气阻力方向与小球速度方向相反，最终小球停在H点，下列说法正确的是（　　） A．小球进入磁场瞬间加速度大小 B．H点的横坐标为 C．H点的纵坐标为 D．小球轨迹长度为 【答案】ABD 【详解】A．小球进入磁场时，受空气阻力，方向向左，受洛伦兹力，方向向上，则，故A正确； BC．对x方向应用动量定理 可得 对y方向应用动量定理， 解得H点的横纵坐标为，，故B正确，C错误； D．对小球轨迹切线方向应用牛顿第二定律， 可得， 小球轨迹长度为，故D正确。 故选ABD。 典例03（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 即时检测 1.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 弦切角越大，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间最长。如图，粒子从点射出时弦切角最大，由几何关系可知 已知该粒子的比荷为k，粒子在磁场中运动的最长时间为 故选C。 2.如图所示，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为+q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子入射速率； (2)粒子离开磁场的位置到O点的最大距离； (3)粒子在磁场中运动的最长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为 洛伦兹力提供向心力 所以粒子入射速率 （2）粒子离开磁场距离O点最远时，设位置为M，粒子在磁场中的轨迹为半圆，此时PM是圆的一条直径，如图所示 根据几何关系可知 解得 （3）当粒子速度方向沿y轴正方向运动时，在磁场中运动时间最长，此时由几何关系知，粒子圆弧轨迹对应的圆心角为 其中周期 所以最长时间为 典例04（多选）如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．运动轨迹恰好与BC边相切的粒子，它的轨道半径为L C．从BC边射出的粒子最小速度是 D．从BC边射出的粒子最小速度是 【答案】BC 【详解】A．粒子运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，即粒子轨迹如图所示 根据左手定则，粒子带负电，A错误； B．根据几何关系，轨迹圆半径R＝L，B正确； CD．粒子恰好不能从BC边飞出时，粒子运动轨迹与BC相切 结合几何知识可知，粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角 解得此时粒子的速度 若要粒子从BC边飞出，则速度v不小于，C正确，D错误。 故选BC。 即时检测 1.如图所示，矩形区域abcd内、外分别存在着垂直于纸面向里、向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B。比荷为k的带正电粒子（不计重力）从a点以与ab边夹角为30°的速度射入矩形区域内，粒子第一、二次穿过矩形区域边界时恰好分别经过b、c点。已知，矩形区域外的磁场范围足够大。求： (1)粒子的速度大小v； (2)b、c点间的距离s。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子第一次穿过矩形区域边界时恰好经过b点，作出运动轨迹，如图所示 分析粒子的运动轨迹可知，粒子第一次从a点运动至b点转过的圆心角 由此可知粒子在矩形区域内运动的轨迹半径 粒子做匀速圆周运动，有，其中 解得 （2）粒子第二次穿过矩形区域边界时恰好经过c点，作出运动轨迹，如图所示 粒子从b点射出矩形区域时与bc边的夹角 则有 解得。 2.在未来的深空探测任务中，科学家需要利用磁场对带电粒子的偏转作用设计粒子导航装置。某实验模型中，研究人员构建了一个矩形磁场区域来模拟粒子的偏转过程。如图所示，矩形区域内存在如图所示的磁场，区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子由边的中点处垂直于边射入磁场区域，粒子在区域内偏转后进入区域，粒子恰好未从边射出。已知边长为，边长为。不计粒子重力，则粒子在区域内运动的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何关系可知 解得 粒子运动的轨迹如图所示，粒子在abd区域内偏转了，可知其圆心为b点，其运动的轨迹半径为2L，设粒子在bcd区域内运动的半径为r。 由几何关系可知 解得 故选D。 典例05（多选）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里。P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程只能为或 C．粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角只能为45° D．粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比可能为1:3 【答案】BD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得 令粒子运动轨迹对应的圆心角之和为，则粒子运动时间 由于粒子以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，可知，当粒子在第二象限做匀速圆周运动直接到达O点后到达Q点轨迹对应圆心角最小，作出轨迹如图所示 根据几何关系可知，最小圆心角 解得粒子运动的最短时间为，故A错误； B．结合上述，根据粒子运动轨迹的对称性可知，若粒子始终从第二象限到达O点，根据几何关系有（n=1，2，3…） 此种情景中，粒子从P运动到Q的轨迹对应的圆心角（n=1，2，3…） 则粒子运动的总路程 解得 若粒子始终从第三象限到达O点，作出该种情景最简单的轨迹，如图所示 根据粒子运动轨迹的对称性可知，若粒子始终从第三象限到达O点，根据几何关系有（n=1，2，3…） 此种情景中，粒子从P运动到Q的轨迹对应的圆心角（n=1，2，3…） 则粒子运动的总路程 解得 综合上述可知，粒子运动的总路程只能为或，故B正确； C．结合上述可知，当粒子始终从第二象限到达O点时，粒子在Q点速度方向与y轴负向的夹角为45°，当粒子始终从第三象限到达O点时，粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角为45°，故C错误； D．结合上述可知，当粒子始终从第二象限到达O点时，粒子从P到O对应轨迹的圆心角等于从O到Q对应轨迹的圆心角，此种情景中，粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1:1，当粒子始终从第三象限到达O点时，粒子从P到O对应轨迹的圆心角等于从O到Q对应轨迹的圆心角的，此种情景中，粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1:3，故D正确。 故选BD。 即时检测 1.（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧） 由几何知识知 而 所以 所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故A错误，B正确； CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧） 由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。 由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故C错误，D正确。 故选BD。 2.如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域，入射方向与x轴正方向成α=53o角，为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若磁场分布为一个矩形区域，则这一矩形区域的最小面积为（不计粒子的重力）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律 有 得粒子在磁场中做圆周运动的半径，画出粒子运动的轨迹，如图所示，轨迹圆心为 若磁场分布为一个矩形区域，则这一矩形区域的最小面积如图所示，设矩形的边长为，高为，有， 解得矩形区域的最小面积，ACD错误，B正确。 故选B。 典例06如图甲所示的正方形平面内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为、所带电荷量为的粒子（不计重力）在时刻沿边从点射入磁场。已知正方形边长为，磁感应强度的大小为，带电粒子在磁场中运动的直径小于边长，规定磁场垂直于纸面向外的方向为正方向。若要使带电粒子不能从边界射出磁场，磁感应强度的变化周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 粒子在磁场中做圆周运动的周期 联立解得 若带电粒子不能从边界射出磁场，临界情况下粒子的运动轨迹如图 则有 解得 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转角，运动时间为 可知磁场使粒子每次变向的最长时间是，带电粒子不能从边界射出，则有 磁感应强度的变化周期的最大值 故选A。 即时检测 1.（多选）如图甲所示，y轴左侧有两块长为L、间距为的带电水平金属板，x轴在两平行金属板的中轴线上，金属板间的匀强电场的电场强度大小为E。y轴与竖直虚线间有交替变化的匀强磁场，磁场区域的宽度为。磁场的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示，以垂直于纸面向里的方向为正方向，B0、T均未知。带电粒子（不计重力）以沿x轴正方向、大小为v0的初速度从金属板左端中心进入金属板间，恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，粒子恰在T时刻从虚线与x轴的交点M处飞出磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子经过P点的速度大小为 C． D． 【答案】AC 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，方向匀速运动，有 得运动时间 方向做匀加速运动，总板间距，故方向位移 由牛顿第二定律，得加速度 由匀变速直线运动位移与时间的关系，得 联立可得 整理得比荷，故A正确； B．出电场时，由匀变速直线运动速度与时间的关系，得方向分速度 合速度大小，故B错误； C．合速度与轴夹角满足 解得 已知，，则由与轴夹角满足 解得 因此合速度方向与垂直，由几何关系，可得 粒子恰在T时刻从点M处飞出磁场。由磁场和匀速圆周运动的对称性可知，粒子做匀速圆周运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，有 得圆周运动半径 代入​​、，，得 整理得，故C正确； D．粒子做匀速圆周运动的周期为 粒子在磁场中恰好运动了一个周期，因此，故D错误。 故选AC。 2.图a所示，平面直角坐标系xOy中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形OBC区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标，BC边与x轴正方向的夹角大小为。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为v，方向与BC边平行的初速度进入电场，经偏转后从A点垂直OB边进入磁场。已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从BC边射出，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有， 根据牛顿第二定律则有 联立解得 对A点 解得 A点的坐标为 （2）粒子进入的磁场中，则有 由牛顿第二定律 由几何关系得， 联立解得 （3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律 设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向 平行y轴方向 联立解得，， 交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为 则 解得 典例07（多选）如图所示，在同一足够大的空间区域存在方向均竖直向下的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为，电场强度为。时，一个正离子以初速度水平向右开始运动，离子质量为，电荷量为，不计离子重力。此后一段时间内，下列说法正确的是（　　） A．离子的加速度不变 B．令，则经过时间，离子到出发点的距离为，且内、内、内、…内的位移之比为 C．若磁场方向改为水平向右，则离子做类平抛运动 D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且，则离子在竖直方向最大的位移为，此时速度为 【答案】BD 【详解】A．离子受到的电场力竖直向下，洛伦兹力在水平面，故离子在水平面做匀速圆周运动，洛伦兹力大小不变，在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，合成的运动为螺旋运动，加速度大小不变，且有 但加速度方向时刻改变，故A错误； B．结合上述可知离子在水平面以做匀速圆周运动，则有， 解得 可知，经过时间，离子在水平方向完成一次完整的圆周运动，到达出发点的正下方，此时离子出发点的距离为 根据运动的周期性可知，经历时间，离子均回到出发点的正下方，离子竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，根据位移公式有 可知内、内、内、…内的位移之比为 故B正确； C．若磁场方向改为水平向右，在电场力的作用下离子向下加速，随后离子所受洛伦兹力不为0，离子做摆线运动，加速度发生变化，离子的运动不是类平抛运动，故C错误； D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且有，可知 洛伦兹力小于电场力，则离子会向下偏转，当在竖直方向最大的位移为时，电场力做功最大，此时离子速度最大，令为，根据动能定理有 根据水平方向动量定理有 其中有 联立解得， 故D正确。 故选 BD。 即时检测 1.（多选）在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放，已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平，如图所示。小球从静止开始下落的过程中，以下说法正确的是（　　） A．小球运动到最低点时，洛伦兹力的瞬时功率为 B．小球从出发第一次到达最高点时的位移为 C．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，水平位移与竖直位移大小之比为 D．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，洛伦兹力的冲量大小为 【答案】BC 【详解】A．小球带正电，由静止释放，在竖直向下的重力与垂直纸面向里的匀强磁场中做摆线运动。其运动可分解为：水平、竖直方向均以做匀速圆周运动，圆周运动周期 第一次运动到最低点时，竖直分速度抵消为0，水平分速度合为；洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功。洛伦兹力始终与速度方向垂直，由功率公式 可知洛伦兹力瞬时功率恒为0，与速度大小无关，故A错误； B．小球第一次到达最高点的时间为一个周期 水平位移 竖直方向圆周运动一个周期回到初始高度，竖直位移为0，故合位移等于水平位移，故 B正确； C．小球第一次到达最低点的时间为半周期 水平位移 竖直位移为圆周运动半周期的直径 位移比值，故C正确； D．由动量定理矢量分解，最低点水平动量变化 竖直方向 重力冲量 洛伦兹力冲量，故D错误。 选BC。 2.如图所示的平面直角坐标系xOy，在第一、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，在第二象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，在第三象限存在与x轴正方向成37°夹角的匀强电场。一质量为m、带电量为q的粒子（不计重力）在第二象限的M点以沿着y轴负方向的速度运动，运动轨迹与x轴相切于N点，然后从y轴正半轴上的P点进入第一象限，接着从y轴负半轴上的J点逆着电场线方向运动到x轴负半轴上的K点，且到达K点时速度刚好为0，已知K、J两点间的电势差为U，距离为d，O、P与O、J两点间的距离相等，，，求： （1）粒子在J点的速度以及第一、四象限匀强磁场的磁感应强度大小； （2）第二象限匀强磁场的磁感应强度大小； （3）粒子从M到K的运动时间t以及在此过程中对时间而言，粒子受力平均值的大小。 【答案】（1），；（2）；（3）； 【详解】（1）由受力分析可知，粒子带正电，粒子从J到K由动能定理可得 解得 O、P与O、J两点间的距离相等，根据圆周运动的对称性，P到J的圆弧轨迹的圆心在x的正半轴上，由几何关系可得粒子在J点的速度与y轴的正方向成53°夹角；过J点做圆周运动的半径，设为，在直角三角形中，由几何关系可得 由洛伦兹力充当向心力可得 综合解得 （2）在直角三角形KOJ中，由几何关系可得 则 根据圆周运动的对称性，粒子在P点的速度与y轴的正方向也成53°夹角，设粒子在第二象限做圆周运动的圆心为，过N、P两点做圆弧轨迹的半径、，由几何关系可得 设、为，则有 由洛伦兹力充当向心力可得 综合解得 （3）粒子从M点到P点的运动时间为 粒子从P点到J点的运动时间为 粒子从J点到K点的运动时间为 综合可得粒子从M点到K点的运动时间为 粒子从M点再回到K点，由动量定理可得 联立解得的大小 考场练兵·分层实战 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列有关洛伦兹力或安培力的方向正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据左手定则可判断，A中运动电荷不受洛伦兹力，B中运动电荷受洛伦兹力向下，C中导线受安培力方向向下，D中导线受向下的安培力，故ABC错误，D正确。 故选D。 2．如图所示，A、B是两根平行且水平放置的长直导线，通以大小相等、方向如图所示的恒定电流，在A、B连线的垂直平分线上放置一段长为的直导线，A、B、C刚好在正三角形的三个顶点上，现给通以恒定电流，受到的安培力大小为，若给导线通以原来两倍的电流，则受到的安培力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】据电流方向相同相互吸引、电流方向相反相互排斥可得A和B对C安培力如图所示。 由于A、B是两根平行且水平放置的长直导线，通以大小、方向均相同的恒定电流，所以， 若给C导线通以原来两倍的电流，A、B导线分别对C导线的作用力方向不变，大小变为原来的两倍，则合力也为原来的两倍。 所以给C导线通以原来两倍的电流，则C受到的安培力大小为。 故选C。 3．下列关于安培力或洛伦兹力方向判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．根据左手定则，安培力方向应垂直导线向上，故A错误； B．带电粒子带正电，正电荷运动的方向与该粒子运动方向相同。根据左手定则，洛伦兹力方向向上。故B正确； C．根据左手定则，安培力方向应垂直导线向下，故C错误； D．根据左手定则，洛伦兹力方向应垂直纸面向内，故D错误。 故选B。 4．如图所示，固定斜面体的倾角为θ，斜面上有一长为L的水平通电直导线，电流方向垂直纸面向里，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。当通电直导线中的电流为I时，导线与斜面间刚好无摩擦力，导线的重力不可忽略，则此时斜面对导线的弹力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，导线所受安培力水平向右，大小为 对导线受力分析，导线受到的支持力在水平方向的分力等于安培力，即 所以 故选A。 5．（多选）如图1所示是一种测量质量的装置原理示意图，矩形线圈和托盘放在竖直平面内，它们的总质量为M，线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度保持不变。在线圈中通入电流I1，使得线圈和托盘处于静止状态；然后如图2所示，在托盘内放置待测物块，线圈中通大小为I2的电流，线圈和托盘再次处于静止状态，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．线框中通入的电流方向从A到B B．线框中通入的电流方向从B到A C．待测物块的质量为 D．待测物块的质量为 【答案】AD 【详解】AB．依题意，线圈和托盘受力平衡，则线框所受安培力方向竖直向上，根据左手定则，线框中通入的电流方向从到，A正确，B错误； CD．设磁感应强度大小为，线圈的一边长度为，待测物块的质量为，初态系统静止，有 末态系统再次静止，有 解得，C错误，D正确。 故选AD 。 重难突破练（测试时间：20分钟） 6．（多选）物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，霍尔发现了霍尔效应：如图乙是以电子为载流子的霍尔元件，在薄片的两个侧面、间通以电流时，、两侧会产生电势差，测量电势差可计算磁感应强度。下列说法正确的是（     ） A．甲图中，粒子每旋转一圈加速两次，且所有圆轨迹是同心圆 B．甲图中，其他条件不变，只增大加速电压，则粒子出射的最大动能不变 C．乙图中e侧电势低于侧 D．乙图选用单位体积内自由电荷数更少的薄片，能提高磁感应强度测量灵敏度 【答案】BD 【详解】A．甲图中，粒子每旋转一圈加速两次，但所有圆轨迹不是同心圆，故A错误； B．粒子做圆周运动的最大半径等于D形盒的半径 根据牛顿第二定律可得 粒子射出时的最大动能 可见，粒子射出时的最大动能与加速电压无关，故B正确； C．根据左手定则可知，负电荷偏向f侧，正电荷偏向e侧，因此图乙中，e侧电势高于侧，故C错误； D．设e、f两侧面的厚度为d，e、f两侧会产生最大电势差为U ，则有 结合电流的微观表达式 联立解得 选用单位体积内自由电荷数n更少的薄片, 磁感应强度测量灵敏度增大，故D正确。 故选BD。 7．如图所示，长为的金属棒MN两端由等长的轻质细线水平悬挂，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小。金属棒中通入由M向N的电流，平衡时两悬线均垂直于杆，并与竖直方向夹角均为，已知重力加速度为。 (1)求金属棒的质量m； (2)若导线中的电流不变，要使导线依然静止在此位置，求所加匀强磁场的最小值及其方向。 【答案】(1)0.01kg (2)，磁场方向与细线平行斜向左上方 【详解】（1）根据安培力公式 代入数据： 由左手定则判断，电流由M到N，磁场竖直向上，安培力方向为水平向右。 金属棒受三个力：重力（竖直向下）、安培力（水平向右）、两根细线的拉力（合力为）。如图所示 平衡时，水平与竖直方向合力均为零，且，因此 故 即 （2）金属棒静止，合力为零，安培力、重力、拉力的合力为零。当安培力的方向与细线拉力方向垂直时，安培力最小（矢量三角形中，垂线最短）。 此时，安培力的方向应与竖直方向成斜向上（与细线垂直），根据左手定则：电流方向为，安培力方向与细线垂直时，磁场方向应垂直于金属棒，且与竖直方向成斜向左上方。 由几何关系，最小安培力 即 又 故 磁场方向：垂直于金属棒，与竖直方向成角斜向左上方，即磁场方向与细线平行斜向左上方。 8．如图所示，一根通电导线abc弯折后固定在匀强磁场中，电流大小为I，磁感应强度为B，ab的长度为l，∠abc为θ，bc与磁感线垂直，ac连线与磁感线平行，下列说法正确的是（     ） A．导线bc所受安培力方向为垂直纸面向里 B．导线ab所受安培力大小为 C．导线abc所受安培力大小为 D．导线bc所受安培力大小为 【答案】D 【详解】A．由左手定则可知，导线bc所受安培力方向为垂直纸面向外，故A错误； BCD．由图可知导线垂直于磁感线方向的长度与导线的长度相等，由安培力计算公式结合左手定则可知，导线ab、所受安培力大小均为，方向相反，则导线abc所受安培力大小为0，故BC错误，D正确。 故选D。 9．如图所示，空间中存在垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场和竖直向下、电场强度为的匀强电场，质量为、带电荷量大小为的粒子从点水平向右射出，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．粒子可能做匀变速直线运动 B．若粒子做匀速圆周运动，粒子一定带正电荷 C．若粒子沿直线运动，粒子速度可能为 D．若粒子做匀速圆周运动，粒子 【答案】C 【详解】A．若粒子做直线运动，由于洛伦兹力方向始终垂直于速度方向，大小满足 若速度大小变化，洛伦兹力大小变化，粒子在垂直于速度方向上的合力将不为零或发生变化，导致粒子做曲线运动。因此，粒子若做直线运动，速度大小必须不变，即做匀速直线运动，不可能做匀变速直线运动，故A错误； BD．粒子做匀速圆周运动，则粒子受到的重力和电场力必须平衡，由于电场强度竖直向下，粒子必须带负电荷，电场力大小满足 洛伦兹力提供向心力，满足 无法得出这一结论，故B、D错误； C．若粒子沿直线运动，由A选项分析可知粒子必做匀速直线运动，受力平衡。 若粒子带正电，则电场力竖直向下，重力竖直向下，根据左手定则，洛伦兹力竖直向上。由平衡条件得 解得，故C正确。 故选C。 综合拓展练（测试时间：10分钟） 10．如图所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，现将一电荷量为，质量为的带电小球以初速度从地面竖直向上抛出，并且满足，不计空气阻力。在抛出后的运动过程中下列说法正确的是（     ） A．小球能够上升的最大高度为 B．小球运动的轨迹为圆弧（圆的一部分） C．小球上升到最大高度所需的时间为 D．小球运动过程中不会撞到地面 【答案】C 【详解】A．原运动可分解为两个运动的合成：水平向右的匀速直线运动，且 解得速度大小为，重力与该速度对应的洛伦兹力平衡；另一个分运动为的匀速圆周运动。 由矢量合成可得，方向朝左上方方向，如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 当水平向左时，小球运动到最高点，则最大高度 联立解得，故A错误； B．小球的实际运动是水平匀速直线与匀速圆周运动的合运动，轨迹为摆线（旋轮线），不是圆弧，故B错误； C．上升最大高度时，偏转，则时间为，故C正确； D．由图对称可知，偏转时，小球会撞到地面，故D错误。 故选C。 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 磁场（安培力与洛伦兹力）（期末复习讲义） 内 容 导 航 考情透视·目标导航 透析期末考向，锚定备考重心 知识梳理·方法技巧 梳理核心脉络，扫除知识盲区 知识点01 几种电流的磁场 知识点02 安培力作用下导体的平衡与加速问题 知识点03 带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定 知识点04 电偏转和磁偏转的理解对比分析 知识点05 带电粒子在几种匀强磁场中的运动 知识点06 磁聚焦模型和磁发散模型 知识点07 带电粒子在匀强磁场中运动的动态圆模型 知识点08 带电粒子在磁场中运动的多解问题 知识点09 配速法处理叠加场中的摆线类问题 知识点10 动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 知识点11 带电粒子在立体空间中的运动 典例引领·即时检测 精析典型例题，强化解题能力 考场练兵·分层实战 阶梯实战演练，验收复习成效 考情透视·目标导航 考点名称 重点考查考点 命题规律 磁场与磁感应强度 磁场的基本性质； 磁感应强度的定义与矢量特点； 磁感线的分布规律； 常见磁场（条形磁铁、通电直导线、螺线管）的磁感线辨析。 侧重基础概念辨析，区分电场与磁场的不同性质； 考查常见磁场的磁感线分布特点； 判断磁感应强度的大小与方向，多以基础选择题形式考查，注重识记与判断。 安培力及其应用 安培力的计算公式； 左手定则判断安培力方向； 通电导线在磁场中的受力分析； 平行通电导线的相互作用； 安培力的平衡与动态分析。 高频考查安培力的大小计算与方向判断； 结合受力平衡、动态模型分析通电导线的运动状态； 常结合生活电磁装置命题，侧重力学与电磁学的基础综合分析。 洛伦兹力及基本规律 洛伦兹力的产生条件与计算公式； 左手定则判断洛伦兹力方向； 洛伦兹力不做功的特点； 带电粒子在磁场中的受力辨析。 重点考查洛伦兹力的方向判断与大小计算； 辨析洛伦兹力不做功的核心特点，区分洛伦兹力与安培力的联系与区别； 多结合粒子运动场景考查基础规律应用。 带电粒子在匀强磁场中的运动 带电粒子垂直进入磁场做匀速圆周运动； 轨道半径、周期公式计算； 圆心、半径、轨迹的作图分析； 有界磁场中的临界、多解问题。 为本专题重难点与高频考点，侧重轨迹分析、半径和周期公式的综合计算； 高频考查有界磁场的临界问题、边界问题和多解问题； 注重几何知识与电磁学的结合，命题综合性强、灵活性高。 带电粒子在复合场中的运动 带电粒子在电、磁复合场中的受力分析； 匀速直线运动、匀速圆周运动模型； 速度选择器、回旋加速器等电磁器件原理。 侧重复合场中粒子运动模型的辨析； 结合电磁仪器实际场景考查工作原理； 综合受力分析、功能关系求解粒子运动问题，是高考高频综合题型，难度偏高。 知识梳理·方法技巧 知识点01 几种电流的磁场 项目 直线电流的磁场 通电螺线管的磁场 环形电流的磁场 安培定则 立体图 横截面图 从上往下看 从左往右看 从左往右看 纵截面图 知识点02安培力作用下导体的平衡与加速问题 1. 安培力作用下导体运动的判定方法 电流元法 分割为电流元安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向 特殊位置法 在特殊位置→安培力方向→运动方向 等效法 环形电流小磁针，条形磁体通电螺线管多个环形电流 结论法 同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势 转换研究 对象法 先分析电流所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力 2. 安培力作用下的平衡问题 （1）安培力作用下的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法是相同的，只不过多了安培力，关键仍是受力分析. （2）视图转换：对于安培力作用下的力学问题，导体的电流方向及其受力方向往往分布在三维空间的不同方向上，这时应利用俯视图、剖面图或侧视图等，变立体图为二维平面图.如图所示. 知识点03带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定 项目 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心。②弦的垂直平分线过圆心 P、M点速度方向垂线的交点 P点速度方向垂线与弦的垂直平分线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：图中，r＝或由r2＝L2＋（r－d）2求得r＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度l求时间 ①t＝T＝T＝T. ②t＝＝ 知识点04电偏转和磁偏转的理解对比分析 运动形式 比较项目 带电粒子在匀强电场中偏转(v0⊥E) 带电粒子在匀强磁场中偏转(v0⊥B) 受力特点 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力，电场力做功 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力，但洛伦兹力不做功 运动特征 类平抛运动 匀速圆周运动 研究方法 牛顿运动定律、匀变速运动公式、正交分解法 牛顿运动定律、向心力公式、圆的几何知识 规律 类平抛运动的规律：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 偏移量：:y= 半径：r＝ 周期：T＝ 偏转角θ满足:sinθ=(l是磁场宽度,R是粒子轨道半径) 运动情景 运动时间 飞出电场的时间t= 打在极板上的时间t= t＝T＝ 知识点05带电粒子在几种匀强磁场中的运动 直线边界模型 该模型粒子进出磁场具有对称性，模型图如下： 时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T=。 平行边界模型 该模型往往存在临界条件，模型图如下： 时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=，t2==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丁中粒子在磁场中运动的时间t=T=。 圆形边界模型 1. 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性，如下图所示，粒子做圆周运动的半径r＝，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，运动角度关系为：θ＋α＝90°。 2. 不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示。 3. 正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有，则磁偏转半径，根据半径公式联立求解时间。速度v0越大，则磁偏转半径r越大，圆心角α越小，时间t越短。若r=R，构成正方形。 4. 不正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，左边两个图有两个等腰三角形，一条共同的底边；最后一个图示当r=R时，构成菱形。 环形磁场 环形磁场模型的临界圆如下图所示，三个环形磁场的临界半径分别为：；；由勾股定理(R2-R1)2=R12+r2，解得：。 知识点06磁聚焦模型和磁发散模型 磁聚焦：带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，且该点切线与入射方向平行。 磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行。 知识点07 带电粒子在匀强磁场中运动的动态圆模型 1. “平移圆”模型处理方法 适用条件及特点 速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上 所有粒子做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上 应用方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 2. “旋转圆”模型处理方法 适用条件及特点 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同，运动半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图所示，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 应用方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件 3. “放缩圆”模型处理方法 适用条件及特点 速度方向一定，大小不同 粒子初速度方向一定，大小不同，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 带电粒子速度v越大，运动半径也越大.如图所示，运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上 应用方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件 知识点08带电粒子在磁场中运动的多解问题 项目 情景分析 运动图例 带电粒子电性不确定形成多解 带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如果带正电，其轨迹为a；如果带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定形成多解 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 已知粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态不唯一形成多解 带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 运动的往复性（周期性）形成多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 知识点09配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见模型 运动情景 处理方法 BG摆线： 初速度为0，有重力 重力场和磁场叠加 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线： 初速度为0，不计重力 电场和磁场叠加 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线： 初速度为0，有重力 重力场、电场和磁场叠加 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线： 初速度为v0，有重力 重力场和磁场叠加 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 知识点10动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为＋q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx＝qvyB Fy＝qvxB 两个方向分别列动量定理 －qvyBΔt＝mΔvx qvxBΔt＝mΔvy 即－qBΔy＝mΔvx qBΔx＝mΔvy 两边累加得－qBy＝mvx1－mvx0 qBx＝mvy1－mvy0。 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 知识点11带电粒子在立体空间中的运动 1. 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况： ①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． ②空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 典例引领·即时检测 典例01 如图所示，宽为的光滑导轨与水平面成角，质量为、长为的金属杆水平放置在导轨上。空间存在着匀强磁场，当回路总电流为时，金属杆恰好能静止。下列说法正确的是（     ） A．若磁感应强度的方向竖直向上，则 B．若磁感应强度的方向竖直向上，则 C．若磁感应强度的方向垂直导轨平面向上，则 D．若磁感应强度的方向垂直导轨平面向上，则 即时检测 1.（多选）如图所示，在倾角为的光滑斜面上水平放置一条长为l的直导线PQ，两端以很软的导线通入大小为I的电流。当加一个竖直向上大小为B的匀强磁场时，PQ恰好平衡，已知重力加速度为g，则（     ） A．导线PQ受到的安培力方向沿斜面向上 B．导线PQ受到的安培力方向水平向右 C．导线PQ的质量为 D．导线PQ的质量为 2.为测量磁感应强度，某兴趣小组设计了如图所示的装置。轻绳跨过光滑定滑轮，左边挂一物体，右方轻绳下面有一轻质绝缘挂钩，挂钩处有水平方向向里的匀强磁场。将一个通电矩形线圈挂在右方下面的挂钩上，线圈中的电流方向如图所示，整体处于平衡状态（线圈下边呈水平状态）。下列说法正确的是（     ） A．线圈质量和物体的质量相等 B．线圈所受的安培力方向竖直向下 C．若磁场、电流方向突然同时反向，其它条件不变，整体仍处于平衡状态 D．若线圈中的电流突然反向，其它条件不变，线圈将向上运动 典例02如图，宽为的平行直线边界1、2间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为、电荷量为（）的带电粒子从边界1上点以大小为、方向与边界1成60°的初速度射入磁场，一段时间后，粒子再次回到边界1，不计粒子的重力，则磁感应强度的最小值为（    ） A． B． C． D． 即时检测 1.如图所示，正三角形ABC内有垂直纸面向外的匀强磁场，O点为AB中点，M点为OB中点，N点为BC中点，P点为NC中点。一束质子以不同的速率从O点垂直于磁场沿图中方向射入磁场后，分别从M、N、P点射出磁场，质子重力不计。则它们在磁场中的运动时间、、的关系为（     ） A． B． C． D． 2.（多选）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上建立直角坐标系xOy，在第Ⅰ、Ⅳ象限存在磁感应强度大小为B、方向垂直桌面向下的匀强磁场。一可视为质点、带电荷量为+q、质量为m的小球，从O点以初速度大小v0沿x轴正方向进入磁场，小球在运动过程中受到的空气阻力大小f=kv（其中k为已知常数），空气阻力方向与小球速度方向相反，最终小球停在H点，下列说法正确的是（　　） A．小球进入磁场瞬间加速度大小 B．H点的横坐标为 C．H点的纵坐标为 D．小球轨迹长度为 典例03（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 即时检测 1.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 2.如图所示，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为+q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子入射速率； (2)粒子离开磁场的位置到O点的最大距离； (3)粒子在磁场中运动的最长时间。 典例04（多选）如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．运动轨迹恰好与BC边相切的粒子，它的轨道半径为L C．从BC边射出的粒子最小速度是 D．从BC边射出的粒子最小速度是 即时检测 1.如图所示，矩形区域abcd内、外分别存在着垂直于纸面向里、向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B。比荷为k的带正电粒子（不计重力）从a点以与ab边夹角为30°的速度射入矩形区域内，粒子第一、二次穿过矩形区域边界时恰好分别经过b、c点。已知，矩形区域外的磁场范围足够大。求： (1)粒子的速度大小v； (2)b、c点间的距离s。 2.在未来的深空探测任务中，科学家需要利用磁场对带电粒子的偏转作用设计粒子导航装置。某实验模型中，研究人员构建了一个矩形磁场区域来模拟粒子的偏转过程。如图所示，矩形区域内存在如图所示的磁场，区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子由边的中点处垂直于边射入磁场区域，粒子在区域内偏转后进入区域，粒子恰好未从边射出。已知边长为，边长为。不计粒子重力，则粒子在区域内运动的半径为（　　） A． B． C． D． 典例05（多选）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里。P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成45°角从P点射出，恰好经原点O到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程只能为或 C．粒子在Q点速度方向与y轴正向的夹角只能为45° D．粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比可能为1:3 即时检测 1.（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 2.如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域，入射方向与x轴正方向成α=53o角，为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若磁场分布为一个矩形区域，则这一矩形区域的最小面积为（不计粒子的重力）（　　） A． B． C． D． 典例06如图甲所示的正方形平面内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为、所带电荷量为的粒子（不计重力）在时刻沿边从点射入磁场。已知正方形边长为，磁感应强度的大小为，带电粒子在磁场中运动的直径小于边长，规定磁场垂直于纸面向外的方向为正方向。若要使带电粒子不能从边界射出磁场，磁感应强度的变化周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 即时检测 1.（多选）如图甲所示，y轴左侧有两块长为L、间距为的带电水平金属板，x轴在两平行金属板的中轴线上，金属板间的匀强电场的电场强度大小为E。y轴与竖直虚线间有交替变化的匀强磁场，磁场区域的宽度为。磁场的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示，以垂直于纸面向里的方向为正方向，B0、T均未知。带电粒子（不计重力）以沿x轴正方向、大小为v0的初速度从金属板左端中心进入金属板间，恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，粒子恰在T时刻从虚线与x轴的交点M处飞出磁场。下列说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子经过P点的速度大小为 C． D． 2.图a所示，平面直角坐标系xOy中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形OBC区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标，BC边与x轴正方向的夹角大小为。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为v，方向与BC边平行的初速度进入电场，经偏转后从A点垂直OB边进入磁场。已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从BC边射出，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 典例07（多选）如图所示，在同一足够大的空间区域存在方向均竖直向下的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为，电场强度为。时，一个正离子以初速度水平向右开始运动，离子质量为，电荷量为，不计离子重力。此后一段时间内，下列说法正确的是（　　） A．离子的加速度不变 B．令，则经过时间，离子到出发点的距离为，且内、内、内、…内的位移之比为 C．若磁场方向改为水平向右，则离子做类平抛运动 D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且，则离子在竖直方向最大的位移为，此时速度为 即时检测 1.（多选）在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放，已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平，如图所示。小球从静止开始下落的过程中，以下说法正确的是（　　） A．小球运动到最低点时，洛伦兹力的瞬时功率为 B．小球从出发第一次到达最高点时的位移为 C．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，水平位移与竖直位移大小之比为 D．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，洛伦兹力的冲量大小为 2.如图所示的平面直角坐标系xOy，在第一、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，在第二象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，在第三象限存在与x轴正方向成37°夹角的匀强电场。一质量为m、带电量为q的粒子（不计重力）在第二象限的M点以沿着y轴负方向的速度运动，运动轨迹与x轴相切于N点，然后从y轴正半轴上的P点进入第一象限，接着从y轴负半轴上的J点逆着电场线方向运动到x轴负半轴上的K点，且到达K点时速度刚好为0，已知K、J两点间的电势差为U，距离为d，O、P与O、J两点间的距离相等，，，求： （1）粒子在J点的速度以及第一、四象限匀强磁场的磁感应强度大小； （2）第二象限匀强磁场的磁感应强度大小； （3）粒子从M到K的运动时间t以及在此过程中对时间而言，粒子受力平均值的大小。 考场练兵·分层实战 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列有关洛伦兹力或安培力的方向正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，A、B是两根平行且水平放置的长直导线，通以大小相等、方向如图所示的恒定电流，在A、B连线的垂直平分线上放置一段长为的直导线，A、B、C刚好在正三角形的三个顶点上，现给通以恒定电流，受到的安培力大小为，若给导线通以原来两倍的电流，则受到的安培力大小为（　　） A． B． C． D． 3．下列关于安培力或洛伦兹力方向判断正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，固定斜面体的倾角为θ，斜面上有一长为L的水平通电直导线，电流方向垂直纸面向里，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。当通电直导线中的电流为I时，导线与斜面间刚好无摩擦力，导线的重力不可忽略，则此时斜面对导线的弹力大小为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）如图1所示是一种测量质量的装置原理示意图，矩形线圈和托盘放在竖直平面内，它们的总质量为M，线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度保持不变。在线圈中通入电流I1，使得线圈和托盘处于静止状态；然后如图2所示，在托盘内放置待测物块，线圈中通大小为I2的电流，线圈和托盘再次处于静止状态，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．线框中通入的电流方向从A到B B．线框中通入的电流方向从B到A C．待测物块的质量为 D．待测物块的质量为 重难突破练（测试时间：20分钟） 6．（多选）物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，霍尔发现了霍尔效应：如图乙是以电子为载流子的霍尔元件，在薄片的两个侧面、间通以电流时，、两侧会产生电势差，测量电势差可计算磁感应强度。下列说法正确的是（     ） A．甲图中，粒子每旋转一圈加速两次，且所有圆轨迹是同心圆 B．甲图中，其他条件不变，只增大加速电压，则粒子出射的最大动能不变 C．乙图中e侧电势低于侧 D．乙图选用单位体积内自由电荷数更少的薄片，能提高磁感应强度测量灵敏度 7．如图所示，长为的金属棒MN两端由等长的轻质细线水平悬挂，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小。金属棒中通入由M向N的电流，平衡时两悬线均垂直于杆，并与竖直方向夹角均为，已知重力加速度为。 (1)求金属棒的质量m； (2)若导线中的电流不变，要使导线依然静止在此位置，求所加匀强磁场的最小值及其方向。 8．如图所示，一根通电导线abc弯折后固定在匀强磁场中，电流大小为I，磁感应强度为B，ab的长度为l，∠abc为θ，bc与磁感线垂直，ac连线与磁感线平行，下列说法正确的是（     ） A．导线bc所受安培力方向为垂直纸面向里 B．导线ab所受安培力大小为 C．导线abc所受安培力大小为 D．导线bc所受安培力大小为 9．如图所示，空间中存在垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场和竖直向下、电场强度为的匀强电场，质量为、带电荷量大小为的粒子从点水平向右射出，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．粒子可能做匀变速直线运动 B．若粒子做匀速圆周运动，粒子一定带正电荷 C．若粒子沿直线运动，粒子速度可能为 D．若粒子做匀速圆周运动，粒子 综合拓展练（测试时间：10分钟） 10．如图所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，现将一电荷量为，质量为的带电小球以初速度从地面竖直向上抛出，并且满足，不计空气阻力。在抛出后的运动过程中下列说法正确的是（     ） A．小球能够上升的最大高度为 B．小球运动的轨迹为圆弧（圆的一部分） C．小球上升到最大高度所需的时间为 D．小球运动过程中不会撞到地面 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $