专题01 一元一次不等式（6大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制七年级下册

**基本信息** 以题型建模为主线，通过基础性质-解集求解-错解分析-整数解-绝对值不等式-实际应用的递进逻辑，系统构建一元一次不等式解题方法体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的基本性质|4题|性质辨析与推理|从概念出发，强化不等式变形的逻辑依据| |求一元一次不等式的解集|4题|步骤规范与数轴表示|原理推导，掌握解集求解的程序化操作| |错解复原问题|4题|错误溯源与步骤修正|通过纠错深化对解题规范的理解| |求整数解|4题|解集界定与整数筛选|在解集基础上进行应用拓展| |解|x|≥a型不等式|4题|数轴直观与分类转化|结合几何直观实现抽象到具体的转化| |实际问题|4题|等量关系建模与不等关系应用|运用模型意识解决现实问题|

专题01 一元一次不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的基本性质 1 题型二、求一元一次不等式的解集 2 题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题 6 题型四、求一元一次不等式的整数解 9 题型五、解|x|≥a型的不等式 10 题型六、用一元一次不等式解决实际问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的基本性质 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 2．（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列说法，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】等式性质1：等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立；等式性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；不等式性质1：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； 【详解】解：A、若，两边同时减1，得，正确； B、若，两边同时乘6，得，正确； C、若，两边同时乘，不等号方向应改变，得，而非，错误； D、若，两边同时加1，得，正确. 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，则， ∴，，，故A，B，C，选项一定成立， 若，则， ，即， 故D选项不成立，符合题意， 故选：D． 4．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，利用等式的性质和不等式的性质判断推理的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、若，则，符合等式对称性，正确，不符合题意； 、若，则，但当时，恒成立，与不一定相等，推理错误，符合题意； 、若，则，因为正数加任何数大于原数，正确，不符合题意； 、若，则，因为等式两边平方相等，正确，不符合题意； 故选：． 题型二、求一元一次不等式的解集 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ， 则， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2) 按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）解：， 去分母，得： 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得， 数轴表示如下： 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． （1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： 8．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)见解析 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1即可． 【详解】（1）解：以上解题过程从第三步开始出现错误，移项时没有变号． 故答案为：三． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【答案】(1)⑤ (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变， 故答案为：⑤； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 11．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 【答案】(1)不等式的基本性质； (2)四；不等号的方向没有改变； (3)． 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质， 故答案为：不等式的基本性质； （2）解：在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：四，不等号的方向没有改变； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成，得， 故答案为：． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变②二 (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项；（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握不等式的基本性质以及去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤规范是解题的关键． （1）一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则” ； （2）本题依据一元一次不等式的完整解法流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为），每一步严格遵循不等式基本性质和运算规则； （3）根据解一元一次不等式的常见易错点，如：去分母漏乘、去括号符号错误、系数化为时不等号方向忘记改变等，给出适当的建议． 【详解】（1）解：由解题过程可以看出，第一步是去分母，去分母的依据是不等式基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 故答案为：一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二． （2）解：， 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 系数化为：． （3）解：解一元一次不等式时，要注意每一步的运算细节，尤其是去分母时各项都要乘最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，去括号时的符号变化，以及系数化为时不等号方向是否改变，以上均是解一元一次不等式易出错的地方，可以选择任意一条作为给同学的建议． 题型四、求一元一次不等式的整数解 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【详解】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 15．（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 【答案】1和2/2和1 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先根据去分母、移项、合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而确定正整数解即可． 【详解】解： ， 所以该不等式的正整数解为：1和2． 故答案为：1和2． 16．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式，得到，再由不等式只有3个正整数解，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为：． 题型五、解|x|≥a型的不等式 17．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 18．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 19．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 20．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 题型六、用一元一次不等式解决实际问题 21．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 22．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本万元，如果每套软件定价万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 【答案】至少需要售出229套软件才能不亏本 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设至少售出套软件，根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】解：设至少售出套软件， 则， 解得：， ， 由于套数必须为整数， 故至少需要售出229套软件． 23．（25-26七年级上·河南开封·月考）为了响应“绿色出行”的号召，尉氏县推出了共享单车服务，某公司准备在尉氏县投放共享单车，前期投入了固定成本20000元，每投放一辆共享单车，还需要额外投入100元．预计每辆共享单车每月可产生收益300元（不考虑共享单车的损耗）． (1)设投放x辆共享单车，前期总投入为元，每月总收益为元，分别写出，与x的函数关系式； (2)若该公司希望第一个月就能收回前期总投入，求至少需要投放多少辆共享单车？ (3)实际投放时，由于市场需求，该公司投放了200辆共享单车，求投放后第几个月开始盈利？ 【答案】(1)， (2)100辆 (3)第1个月开始盈利 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用与一元一次不等式的求解，熟练掌握根据实际问题中的等量或不等关系建立数学模型并准确计算是解题的关键． （1）根据总投入=固定成本+每辆车额外投入×数量，总收益=每辆车月收益×数量，列函数关系式； （2）根据“收回前期总投入”即第一个月总收益≥前期总投入，列不等式求解； （3）设第个月开始盈利，根据个月总收益>前期总投入，列不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得：， ， ， ， ∴至少需要投放100辆共享单车； （3）解：前期总投入：， 设第个月开始盈利，得：， ， ， ∵为正整数， ∴， ∴投放后第1个月开始盈利． 24．（25-26八年级上·山西晋中·期末）学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 【答案】(1)“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套 (2)31套 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的实际应用，审清题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据等量关系“两种模型共200套，总费用恰好为9300元”，列出方程组求解即可； （2）根据不等量关系“总预算资金只有8000元”，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买“智能小车”模型x套，“简易飞机”模型y套， 由题意可得，，解得， 答：购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套； （2）解：设在预算范围内，可以购买“智能小车”模型m套，则购买“简易飞机”模型套， 由题意可得，，解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31， 答：在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型31套． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质．结合已知，利用不等式性质逐一判断选项． 【详解】解：∵， 当时，，故选项A不一定成立，该选项不符合题意； 在两边同时乘2，得，故选项B符合题意； 在两边同时乘，得，故选项C不符合题意； 在两边乘得，两边加1得，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查解不等式，根据不等式的解集求解字母的值．先解不等式，结合数轴可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 结合数轴得：， 解得：， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 4．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围，即可得解． 【详解】解：设至多打折， 则， 解得， 因为要求折扣力度最大， 所以售价应最低，应取最小值，故至多可打七折， 故选：B． 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要考查取整函数，利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于100的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）已知，则____ ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质．利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】解：已知， 两边同乘，得， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·上海金山·期末）根据题意列不等式：与的3倍的和不大于10：________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据与的3倍的和不大于10得出，即可作答． 【详解】解：∵与的3倍的和不大于10 ∴． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法与一元一次不等式的求解，关键是运用整体思想简化计算，无需分别求解和的具体表达式．将方程组的两个方程左右两边相加，提取公因式后得到关于的代数式，再根据已知条件建立一元一次不等式，最后解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， ①+②得：， 整理化简，得； ， ，解得； 故答案为：． 9．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式、程序图，根据程序图得到一元一次不等式是解题的关键． 根据运算程序首先得到第1次程序操作未能输出结果时的一元一次不等式，再对一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：由运算程序可得：要是经过第1次程序操作未能输出结果，应该满足， ∴解得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意实数和，规定．如：．若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，不等式的解法，根据新定义运算可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 解得：； 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 12．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 解得． 解集在数轴上表示如下： 13．（25-26七年级下·上海金山·期末）小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元．销售时先每件加价20元销售，在销售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元．问：他加价销售的衬衫至少有多少件？ 【答案】至少有61件 【分析】先计算单件进价，设加价销售的衬衫有件，则剩余降价销售的衬衫为件，根据“盈利大于1000元”，总销售额减去总成本大于1000，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 100件衬衫总进价8000元， ∴每件衬衫进价为元， 设加价销售的衬衫有件，则剩余降价销售的衬衫为件， 加价销售单件售价为元，亏损销售单件售价为元， 根据题意得， 解得， 因为是衬衫件数，为正整数， 因此的最小值为61 即他加价销售的衬衫至少有61件． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生爱护环境的责任感，学校举行环保知识竞赛（共有25道题），规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 【答案】小明至少答对了22道题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出不等式是解题的关键． 设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有道题，再根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有道题． 根据题意得：．           解得． 答：小明至少答对了22道题． 15．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）在实数范围内，定义一种新运算：，如：．已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解不等式，理解新定义列出不等式，是解题的关键．根据得出，根据得出，解不等式即可． 【详解】.解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 16．（25-26八年级上·浙江金华·期末）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 【答案】(1)不等式性质2；三 (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质及一元一次不等式的求解 （1）根据不等式的性质作答即可；第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可； （2）按照正确的解一元一次不等式步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是不等式性质2. 第三步开始出现错误； 故答案为：不等式性质2；三． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 17．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 18．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 【答案】(1) (2)整数a的值为：3，4 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，理解题意，是解题的关键． （1）根据是该不等式的解集，得出，解关于a的不等式，即可得出答案； （2）根据不是该不等式的解，得出，求出，再根据，得出a的整数值即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴a的取值范围是． （2）解：当时，， 即， 解得：， ∵由（1）得， ∴， ∴在（1）的条件下，满足不是该不等式的解的整数a的值为：3，4． 19．（25-26八年级上·河南周口·期末）为了提高学生的阅读能力，学校开展了“书香校园”活动，计划购买一批图书．已知购买本科技类图书和本文学类图书共需元；购买本科技类图书和本文学类图书共需元． (1)求每本科技类图书和每本文学类图书的价格； (2)学校决定购买科技类图书和文学类图书共本，且购买总费用不超过元，求最多可以购买科技类图书多少本． 【答案】(1)每本科技类图书元，每本文学类图书元 (2)本 【分析】（）设每本科技类图书元，每本文学类图书元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据题意列出不等式解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每本科技类图书元，每本文学类图书元， 由题意得，， 解得， 答：每本科技类图书元，每本文学类图书元； （2）解：设购买科技类图书本，则购买文学类图书本， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：最多可以购买科技类图书本． 20．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） (3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】(1)玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元 (2)， (3)在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买玩偶m个，则购买徽章个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【详解】（1）解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元； （2）解：根据题意得：购买玩偶m个，则购买徽章个， 方式一购买，共需（元）， 方式二购买，共需（元）； （3）解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的基本性质 1 题型二、求一元一次不等式的解集 2 题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题 6 题型四、求一元一次不等式的整数解 9 题型五、解|x|≥a型的不等式 10 题型六、用一元一次不等式解决实际问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的基本性质 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列说法，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二、求一元一次不等式的解集 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 题型三、一元一次不等式求解中错解复原问题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 10．（25-26八年级上·浙江·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 11．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 系数化成，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是______； (2)在解答过程中，从第______步开始出错，错误原因是______； (3)原不等式的正确解集为______． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 题型四、求一元一次不等式的整数解 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是 ． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是 ． 15．（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 16．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 题型五、解|x|≥a型的不等式 17．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 18．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 19．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 20．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 题型六、用一元一次不等式解决实际问题 21．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本万元，如果每套软件定价万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 23．（25-26七年级上·河南开封·月考）为了响应“绿色出行”的号召，尉氏县推出了共享单车服务，某公司准备在尉氏县投放共享单车，前期投入了固定成本20000元，每投放一辆共享单车，还需要额外投入100元．预计每辆共享单车每月可产生收益300元（不考虑共享单车的损耗）． (1)设投放x辆共享单车，前期总投入为元，每月总收益为元，分别写出，与x的函数关系式； (2)若该公司希望第一个月就能收回前期总投入，求至少需要投放多少辆共享单车？ (3)实际投放时，由于市场需求，该公司投放了200辆共享单车，求投放后第几个月开始盈利？ 24．（25-26八年级上·山西晋中·期末）学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． (1)若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ (2)若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 二、填空题 6．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）已知，则____ ．（填“＞”“＜”或“＝”） 7．（25-26七年级下·上海金山·期末）根据题意列不等式：与的3倍的和不大于10：________． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 9．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为_____． 10．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意实数和，规定．如：．若，则的取值范围是______． 三、解答题 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式． 12．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 13．（25-26七年级下·上海金山·期末）小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元．销售时先每件加价20元销售，在销售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元．问：他加价销售的衬衫至少有多少件？ 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生爱护环境的责任感，学校举行环保知识竞赛（共有25道题），规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 15．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）在实数范围内，定义一种新运算：，如：．已知，求的取值范围． 16．（25-26八年级上·浙江金华·期末）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 17．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 18．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 19．（25-26八年级上·河南周口·期末）为了提高学生的阅读能力，学校开展了“书香校园”活动，计划购买一批图书．已知购买本科技类图书和本文学类图书共需元；购买本科技类图书和本文学类图书共需元． (1)求每本科技类图书和每本文学类图书的价格； (2)学校决定购买科技类图书和文学类图书共本，且购买总费用不超过元，求最多可以购买科技类图书多少本． 20．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） (3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $