专题03 均值不等式构造法归类（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦均值不等式构造法专题，系统梳理16类核心题型，涵盖公式基础、取等条件、凑配系数、分离常数等从基础到超难的构造技巧，形成完整的知识应用体系。 清单以题型脑图搭建知识框架，考法深研分阶进阶，通过分层题型设计（如基础公式应用、三角函数型构造）培养学生数学思维与表达能力。特设“取等条件”易错警示、“常数替换”应用提示等，助力学生精准突破，教师可据此优化复习策略，提升备考效率。

专题03 均值不等式构造法归类 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 公式基础 基本不等式：≤； (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3)基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤2，常用于求积的最大值； 1．（2026·云南昆明·模拟预测）设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若取，但，不满足，故A错误； 对于B，若取，，则，不满足，故B错误； 对于C，因，当且仅当时取等， 即当时，取得最小值，而,故C错误； 对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解， 所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解， 则，可得，因，则得，当时取等，故D正确. 2．（23-24高三·全国·课后作业）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质依次判断即可. 【详解】对于A，，， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，异号时，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，当，则由， 当且仅当，即或，不满足的条件，故B错误； 对于C，若，则， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，若，则， 当且仅当或时等号成立，故D正确． 3．（25-26高一上·天津·开学考试）设，则下列不等式中一定成立的有（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本不等式可判断各项的正误. 【详解】对于①，，，， 当且仅当且，即时取等号，故①成立； 对于②，，， 当且仅当时取等号，不一定成立，故②不一定成立； 对于③，，当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号，，，故③一定成立； 对于④，，当且仅当时取等号，故④一定成立. 故不等式一定成立的有3个， 故选：C 4．（24-25高三·辽宁鞍山·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断． 【详解】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 题型02 取等条件 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．（25-26高三·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】D 【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）下列函数中最小值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，所以最小值为3，故A错误； 对于B，因为函数定义域为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为4，故B正确； 对于C，因为，， 当且仅当，即时等号成立，所以等号取不到，故C错误； 对于D，的定义域为，所以， 当时，，故D错误. 3．(多选）（25-26高三·内蒙古赤峰·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用基本不等式成立的条件来作出判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号，故A正确； 当时，由于在的区间上单调递增，所以，故B错误； 当时，，当且仅当时取等号，故C正确； 当时，的值一定小于，故D错误； 故选：AC 4．(多选）（25-26高三·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于AC，利用基本不等式即可判断；对于BD，利用特值法即可判断． 【详解】∵（当且仅当时取等号）， 又为正数，，∴，故A正确； 当时，，，此时，故B错误； ∵为正数，则（当且仅当时取等号）， 又，∴，故C正确； 当时，，此时，故D错误， 故选：AC. 题型03 构造基础： 凑配系数 均值不等式基础型是对勾型： 1.对勾型结构：， 2.对勾添加常数型： 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 3.容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 1．（24-25高三·上海·阶段检测）若(x,)最大值记为,则的最小值为 A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】设,设,,则,由对勾函数可得在上单调递增,则,讨论与的大小关系,进而求解即可 【详解】设, 因为,所以, 设,, 由对勾函数的性质可知在上单调递增, 所以,即, 因为(x,)最大值记为, 所以当,即,； 当,即,, 所以的最小值为 故选:D 【点睛】本题考查函数的最值问题,考查换元法的应用,考查对勾函数的应用,考查分类讨论思想 2．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 3．（23-24高三 ·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则的最大值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令之后用基本不等式求函数的最值. 【详解】令 当且仅当即时取得. 故选：C 4．（2026高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 题型04 构造对勾：分离常数 分离常数型构造法： ，可以考虑直接分离常数构造对勾型，或者分母换元构造对勾。 1．（2023高三安徽·阶段练习）函数的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】设，函数变形后利用基本不等式求出，结合对勾函数性质得到答案. 【详解】设，则，， 因为， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以. 故选：D. 2．（23-24高三·海南海口·阶段检测）若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 3．（23-24高三上·江苏南京·阶段检测）已知，则最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】令并确定范围，结合平方关系有，再设，结合对勾函数性质求最小值即可. 【详解】令，则，故， 所以，则， 所以且， 而，仅当时等号成立，给定区间内等号不成立， 结合对勾函数性质知：在上递增， 所以在上递增，则最小值为. 故选：B 4．（2022·山东德州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，必有，若函数只有一个零点，则函数有（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为4 D．最大值为4 【答案】A 【分析】由函数只有一个零点，结合条件可得方程只有一个根，即可求出，然后可求出的最值情况. 【详解】由可得， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 因为对于任意，必有，所以，即， 因为函数只有一个零点， 所以方程只有一个根，所以，解得， 所以，令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数有最小值为，故选：A 题型05 构造常数替换基础型 常数替换法： .利用常数代换法，多称之为“1”的代换。 1．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，已知，，的面积为6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】在中，设，，， 因为，，所以， 即，所以， 因为，所以，所以，又，所以， 又因为，所以，又，所以， 在中，，，， 根据，所以，，， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 由于为线段上的一点，则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时，所以的最小值为. 2．（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 3．（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 4．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 【答案】A 【详解】由题意可知，即，则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，当时，取得最小值. 题型06 构造“分母和定”型：单变量构造 隐“和”构造型： 形如 1．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 2．（24-25高一上·江苏·期中）函数（）的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得， ， 仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：B 3．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 4．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，所以， 设，则， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 题型07 构造“分母和定”型：三角函数型构造 三角函数构造型： 分母一般复合正余弦平方和，或者两角和与差的正余弦公式特征，则可以考虑利用三角函数公式来构造定值，再利用“和定”求最值。 1．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 2．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系及基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 3．（25-26高三·江苏常州·阶段练习）已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，则， 令，，则，， 由于是锐角，即，又因为， 由，又由， 所以，，则由基本不等式有： ， 当且仅当时取等号，将其代入，解得， 即，， 此时， 因为，，即存在满足条件的锐角，使得等号成立， 所以的最小值为. 4．（2026·陕西·二模）已知锐角满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，即， 则 ， 当且仅当即时，等号成立， 因为为锐角，也就是，即时，等号成立， 故所求式的最小值为，故C正确. 题型08 构造“分母和定”型：双构造型 两个分数，分母，一般通过凑陪系数，可以得到分母“和定”得结构，再构造常数来替换。 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知，若正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到函数为奇函数，结合函数单调性得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】定义域为R， 又， 所以为奇函数， ， 又， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 时，，但此时， 由于等号成立时的值不同，故恒成立， 所以在R上单调递增， 所以，即，故， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D 2．（25-26高三·江苏无锡·阶段检测）已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式乘1法，即可求得其最小值. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当， 联立，解得，时取等号. 则的最小值为. 故选：A 3．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将用表示出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，而， 则 ， 当且仅当，时取等号， 由，解得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 4．（25-26高三上·重庆渝北·阶段检测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】利用待定系数法得到，再结合基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为，所以，， 构造，整理可得， 则，解得，故， 得到 ， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值是9，故C正确. 故选：C 题型09 构造“分母和定”型：降幂消去型 对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解 1．（25-26高一上·天津·期中）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件将所求式子变为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 3．（24-25高三上海阶段练习）若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1"的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题. 【详解】设，，则， 所以 ， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 故选:. 【点睛】本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化是中档题. 4．（25-26高一上·广西北海·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先将分式进行化简，然后利用基本不等式的1的妙用求最小值. 【详解】因为，， 又， 则， 由可得， 不妨设， 则问题转化为当时，求的最小值， ， 当，即时取得等号， 即，解得， 此时最小值是. 故选：D 题型10 构造“和定”型：齐次同除型 有和有积无常数 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 “积、和”与常数混合同除型原理： 1.关系：如与，可以通过同除（乘）ab互化。 2.化归：如化为，则复合“1”的代换模型结构。 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 2．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 【答案】A 【详解】由题意可知，即，则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，当时，取得最小值. 3．（25-26高三·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造乘“1”法，化简整理后利用基本不等式即可求出最小值，需注意等号成立条件. 【详解】由，可得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立． 故选：A 4．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为， 所以，即，， 则， 当且仅当，即时等号成立. 题型11 构造“和定”型：凑配解不等式型 有和有积有常数 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下： “积、和”混合解不等式型原理： 1.原理：如 有“和”有“积”，则结合所求的是和（或积），则对积（或和）用均值，达到“消去”积（或和）的目的，然后再解关于积（或和）的一元二次不等式。 2.易错： 对于求和型，需要满足条件等式中的和的系数比与所求的系数比相等。如：满足，求。若，求型，则失败。需要用反解代入等其它方法 1．（25-26高三·上海·阶段检测）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，依题意，即可得到关于的一元二次不等式，解之即可. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 2．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 【答案】D 【分析】正数a，b满足，可得，解出即可得ab的最小值. 【详解】因为a，b为正数，且 所以， 即，解得，所以； 当且仅当时取等号，ab的最小值为9. 故选：D. 3．（25-26高三·黑龙江·阶段检测）若正数满足，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】由基本不等式结合已知条件建立关于不等式，然后解得其范围，从而得到最值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）或， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值是6. 故选：C. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 题型12 超难构造技巧：裂项型构造 用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。 1．（23-24高三下·云南·阶段检测）已知实数，，不全为0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对式子变形后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意实数，，不全为0， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 2．（22-23高一上·安徽蚌埠·期末）若均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变形为 ，结合可求得答案. 【详解】因为均为正数，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C 3．（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为___________. 【答案】2 【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解. 【详解】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 4．（24-25高三·重庆北碚·阶段检测）设，则的最大值为________. 【答案】 【分析】依题意将原式变形为，再利用基本不等式，令，即可求出，从而得解； 【详解】解： 令或（舍去） 所以 故答案为： 题型13 超难构造技巧：换元型 1.复杂的分式型，可以把分母换元（双换元），达到化简的目的。 2.能因式分解的高次多元式子，可以借助因式分解后再换元化简 1．（21-22高二下·河南洛阳·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值． 故选：B 2．（25-26高三·浙江温州·阶段练习）在菱形中，，点为线段上一点，且，点为线段上的一个动点（包括端点），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求出关键点的坐标和关键向量，结合数量积和向量加法的坐标运算得到，最后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，记菱形的中点为， 以为原点，建立平面直角坐标系，而，设， 由题意得，，，， 可得，，而点为线段上一点， 则，则，设， 可得，得到，解得， 即，得到， 因为，所以，解得， 此时，，， 而点为线段上的一个动点（包括端点）， 设，则，由题意得， 则，即，设，，， 设， 对照系数可得，解得，得到， 即，可得， 又 ， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号， 则，故A正确. 3．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 4．（24-25高三·河南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值； 法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值. 【详解】法一：∵， ∴可设，， ∴，代入所求式子得， ， 当且仅当，时等号成立.所以的最小值为. 法二：设，， 代入已知等式得，， ∴ ， 其中，. ∴，所以的最小值为. 故选：D 题型14 超难构造技巧：三角代换型 一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值 1．（24-25高三·浙江·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果. 【详解】 令 ，等号在时取到． 故选：A 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题. 2．（24-25高三·浙江金华·阶段练习）已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为 A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】分析：将圆的一般方程化为标准方程，设出圆的参数方程，利用三角恒等变换得到计算出的最大值，则利用基本不等式进行求解． 详解：将化为， 令， 则 ， 又， 所以， 即． 点睛：（1）本题巧妙地利用三角代换设出圆的参数方程，使解题思路变得明了、清晰； （2）本题的关键是合理将绝对值符号去掉，为了避免讨论，合理利用基本不等式的变形进行放缩． 3．（22-23高三下·上海杨浦·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用三角换元转化目标式为，即可得结果. 【详解】因为，且， 所以设． 则， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 综上，的最小值为 故选：C 4．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】解法（1）采用三角换元，令，再结合余弦函数的值域求解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可； 【详解】解法（1）：由， 令，即，， ，即最大值为2； 解法（2）： 当且仅当，即时取等号， ，即最大值为2， 故选：A. 题型15 超难构造技巧： 多元型 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据条件得到，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 则， 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件变形为，再利用基本不等进行求解. 2．（广东省六校（深圳实验高中部等）2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷）设实数，，，满足及，则的最小值为____. 【答案】 【分析】先由得到，从而得到，令， 分析单调性得到，由均值不等式得， 讨论取等号的条件得到最终结果. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设，， 又因为，所以， 所以在内单调递减，所以， 由均值不等式得， 当且仅当，即时取等号， 也就是当、、时取等号， 将、代入，可得，时等号成立. 综上，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查均值不等式求最值，难点在于题中参数较多，需根据题中条件逐步消元得到只含和的均值不等式，从而求得最值. 3．（24-25高三·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为________ 【答案】 【分析】设，则利用基本不等式计算可得. 【详解】设，因为， 所以 ， 令，解得或（舍去）， 因此，即，当且时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 4．（2025·全国·模拟预测）已知，，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将变形为，然后利用对勾函数求得，再根据对勾函数求得，再次利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】 设 根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增， ， ， 设， ， 根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增， ，由题中可得， ， 设， ， 根据“对勾函数”，在上单调递减，在上单调递增， ，又， ， 的最小值为（当时取得)， 故答案为：. 【点睛】求解本题的关键是将原式化简，指定主元，多次利用对勾函数的性质进行求解. 题型16 超难构造技巧：因式分解与反解带入型 反解代入消元型 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法. 注意：能反解代入型的题，相当一部分也能因式分解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 1．（24-25高三·山西运城·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为____________． 【答案】4 【分析】变形，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因， 则 当且仅当时取等号， 故的最小值为4． 故答案为： 2．（24-25高一上·河南·期末）设，，且，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据，得到，从而，再分，， ，，，求解. 【详解】解：因为，所以， 所以． 当，时，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立； 当，时，此时．不成立； 当时，，此时； 当，时，，，不成立； 当，时，，，不成立； 综上，的最大值为， 故答案为： 3．（24-25高三·福建福州·阶段练习）已知，且，的最小值为_________. 【答案】35 【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 4．（24-25高三·吉林长春·阶段练习）已知，，，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】根据给定条件，变形等式得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，而，， 因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： jieshu 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $null