直线与圆知识点默写清单-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习知识清单系统梳理直线与圆核心内容，直线部分涵盖倾斜角与斜率、五种方程形式、位置关系、距离公式及对称问题，圆部分包含方程、位置关系、最值问题和轨迹问题，构建完整知识框架。 清单采用表格对比（如两直线位置关系的斜率与一般式条件）、高频考点标注（如垂径定理）和“坑点预警”（如切线斜率不存在情况）呈现知识，培养数学思维与表达能力，设参数法等实用技巧，助力学生自主复习，辅助教师精准教学。

直线与圆知识点默写清单 第一部分：直线 1. 倾斜角与斜率 倾斜角 (α)：直线 的方向与x轴 所成的最小正角。 范围： 。 斜率：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，k＝ 。 过两点P1(x1，y1),P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= ,当x1＝x2时,直线P1P2的斜率不存在． 2. 直线方程的五种形式 形式 方程 适用范围 注意点 点斜式 斜率存在 已知一点和斜率 斜截式 斜率存在 已知斜率k和y轴截距b 两点式 不与坐标轴垂直 已知两点 截距式 不过原点且不与坐标轴垂直 a, b分别为x轴、y轴上的截距 一般式 所有直线 法向量(A,B),方向向量(B,-A)或(-B,A) 3. 两直线的位置关系 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0) 斜率形式：l1: y＝k1x＋b1，l2: y =y＝k2x＋b2。 位置关系 斜率形式条件 一般式条件 交点个数 平行 0 重合 无穷多 垂直 1 斜交（一般相交） 1 补充说明:1.l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2. 2.经过l1与l2交点的直线系(不含l2)为：A1x + B1y + C1+ (A2x + B2y + C2)=0 3.若要包含l2，可改用，(A1x + B1y + C1)+ (A2x + B2y + C2)=0其中,不同时为0。 4. 距离公式 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离:|P1P2|＝ . 点到直线距离：点P(x0, y0)到直线l: Ax + By + C = 0 的距离: . 两条平行线距离：直线l1: Ax + By + C1 = 0 与l2: Ax + By + C2 = 0的距离: . 注意：必须先将x, y的系数化为相同。 5. 对称问题 (1)．点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P′(x2，y2)，则根据中点坐标公式，可得对称点P′(x2，y2)的坐标为 ． (2)．点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为P′(x2，y2)，连接PP′，交l于M点，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′的中点，又因为M在直线l上，故可得解出(x2，y2)即可． (3)．直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程． (4)．直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(两直线不平行)的对称直线l3. 第一步：联立l1，l2的方程，算出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，利用点关于直线l2对称算出对称点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程． (5)．常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为 ，关于y轴的对称点为 ． 点(x，y)关于直线y＝x的对称点为 ，关于直线y＝－x的对称点为 ． 点(x，y)关于直线x＝a的对称点为 ，关于直线y＝b的对称点为 ． 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为 ． 第二部分：圆 1. 圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于 的点的集合叫做圆 方程 标准式 圆心 半径为 一般式 圆心 . 半径r＝ 2. 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC| r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC| r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC| r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 3. 直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 3.1 判断方法对比 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何观点 d r d r d r 补充：直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝ . (2)代数法：设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)． 3.2 核心几何定理（高频隐形考点） 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的弧。 ➤ 代数翻译：圆心到弦的垂足是弦的中点。弦长 ∣AB∣= （d 为圆心到弦的距离）。 切线的判定与性质： 判定：过圆上一点，垂直于半径的直线是切线（d= ）。 性质：切点与圆心的连线 于切线。 3.3 切线方程的进阶求法（含斜率不存在） 过圆上一点 P(x0,y0)的切线： 标准圆：(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2。 一般圆：。 过圆外一点P(x0,y0) 引切线： 1.设切线斜率 k，写点斜式 y−y0=k(x−x0),化为一般式。 2.利用圆心到直线距离 d=r，解出 k。 3.坑点预警：若解出的 k 只有一个，说明另一条切线斜率不存在（即直线 x=x0），千万别漏掉！ 3.4 切线长公式 从圆外一点 P(x0,y0)引两条切线，切点分别为 A,B，则切线长： ∣PA∣=∣PB∣= = 。 四边形 PACB中，OA⊥PA，OB⊥PB，外接圆以 PC为直径。 4. 圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下 位置关系 图示 d与r1，r2的关系（几何法） 方程组解的个数（代数法） 公共点个数 外离 d r1＋r2 0 外切 d r1＋r2 1 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 2 内切 d |r1－r2| 1 内含 d |r1－r2| 0 重要结论：(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法:①代数法:将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解． 5. 与圆有关的最值问题 （难点，常考） 类型一：与距离有关的最值问题 (1)圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝ ，最大值＝ . (2)直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝ ，最大值＝ . (3)过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝ ，最大值＝ . (4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝ . 类型二：利用数学式的几何意义求解最值问题 所求式子 几何意义 求解策略（取最值的位置） u＝ 过点 和 的动直线斜率 过定点 Q 作圆的两条切线，切线斜率即为最大/最小值 l＝ax＋by 动直线y＝－x＋的 当该直线与圆 时，t 取最大/最小值（利用 d=r） (x-a)2 + (y-b)2 圆上的点到定点 距离的平方 连接定点与圆心，与圆的两个交点处取最大/最小（即 d±r再平方） x2 + y2 圆上的点到 距离的平方 属于距离型的特殊情况 参数法（万能） 设 x=a+rcosθ，y=b+rsinθ 将上述所有式子化为关于 sinθ,cosθ 的函数，利用辅助角公式求值域 6. 轨迹问题（用圆的性质求轨迹） 定义法：若动点满足到定点距离为定值，直接写圆方程。 相关点法（代入法）：若动点 P(x,y)随已知圆上的点 Q(x0,y0) 运动，找出 x0,y0 与 x,y的关系，代入已知圆方程消参。 直角模型：若 ∠APB=90∘，则动点 P的轨迹是以 为直径的圆（除去 A,B两点） 直线与圆知识点默写清单(答案) 第一部分：直线 1. 倾斜角与斜率 倾斜角 (α)：直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角。 范围：0°≤α<180°。 斜率：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，k＝tan α。 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 2. 直线方程的五种形式 形式 方程 适用范围 注意点 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 斜率存在 已知一点和斜率 斜截式 y＝kx＋b 斜率存在 已知斜率k和y轴截距b 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不与坐标轴垂直 已知两点 截距式 ＋＝1.(a≠0,b≠0) 不过原点且不与坐标轴垂直 a, b分别为x轴、y轴上的截距 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A1，B1不同时为0) 所有直线 法向量(A,B),方向向量(B,-A)或(-B,A) 3. 两直线的位置关系 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0) 斜率形式：l1: y＝k1x＋b1，l2: y =y＝k2x＋b2。 位置关系 斜率形式条件 一般式条件 交点个数 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0,且A1C2－A2C1≠0. 0 重合 k1＝k2且b1 =b2 A1B2－A2B1＝0,且A1C2－A2C1=0. 无穷多 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 1 斜交（一般相交） k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 1 补充说明1。.l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2. 2.经过l1与l2交点的直线系(不含l2)为：A1x + B1y + C1+(A2x + B2y + C2)=0 3.若要包含l2，可改用，(A1x + B1y + C1)+(A2x + B2y + C2)=0其中,不同时为0。 4. 距离公式 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离:|P1P2|＝. 点到直线距离：点P(x0, y0)到直线l: Ax + By + C = 0 的距离:d＝. 两条平行线距离：直线l1: Ax + By + C1 = 0 与l2: Ax + By + C2 = 0的距离:d＝. 注意：必须先将x, y的系数化为相同。 5. 对称问题 (1)．点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P′(x2，y2)，则根据中点坐标公式，可得对称点P′(x2，y2)的坐标为(2x0－x1,2y0－y1)． 2．点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为P′(x2，y2)，连接PP′，交l于M点，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′的中点，又因为M在直线l上，故可得解出(x2，y2)即可． 3．直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程． 4．直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(两直线不平行)的对称直线l3. 第一步：联立l1，l2的方程，算出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，利用点关于直线l2对称算出对称点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程． 5．常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． 点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． 点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． 第二部分：圆 1. 圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C( -D/2,-E/2). 半径r＝ 2. 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 3. 直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 补充：直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)． 3.2 核心几何定理（高频隐形考点） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 ➤ 代数翻译：圆心到弦的垂足是弦的中点。弦长 ∣AB∣=2（d 为圆心到弦的距离）。 切线的判定与性质： 判定：过圆上一点，垂直于半径的直线是切线（d=r）。 性质：切点与圆心的连线 垂直 于切线。 3.3 切线方程的进阶求法（含斜率不存在） 过圆上一点 P(x0,y0)的切线： 标准圆：(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2。 一般圆：。 过圆外一点P(x0,y0) 引切线： 1.设切线斜率 k，写点斜式 y−y0=k(x−x0),化为一般式。 2.利用圆心到直线距离 d=r，解出 k。 3.坑点预警：若解出的 k 只有一个，说明另一条切线斜率不存在（即直线 x=x0），千万别漏掉！ 3.4 切线长公式 从圆外一点 P(x0,y0)引两条切线，切点分别为 A,B，则切线长： ∣PA∣=∣PB∣== 四边形 PACB中，OA⊥PA，OB⊥PB，外接圆以 PC为直径。 4. 圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下 位置关系 图示 d与r1，r2的关系（几何法） 方程组解的个数（代数法） 公共点个数 外离 d>r1＋r2 0 0 外切 d＝r1＋r2 1 1 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 2 2 内切 d＝|r1－r2| 1 1 内含 d<|r1－r2| 0 0 重要结论：(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 5. 与圆有关的最值问题 （难点，常考） 类型一：与距离有关的最值问题 (1)圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. (2)直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. (3)过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r. (4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝. 类型二：利用数学式的几何意义求解最值问题 所求式子 几何意义 求解策略（取最值的位置） u＝ 过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率 过定点 Q 作圆的两条切线，切线斜率即为最大/最小值 l＝ax＋by 动直线y＝－x＋的截距 当该直线与圆相切时，t 取最大/最小值（利用 d=r） (x-a)2 + (y-b)2 圆上的点到定点 (a,b)距离的平方 连接定点与圆心，与圆的两个交点处取最大/最小（即 d±r再平方） x2 + y2 圆上的点到原点距离的平方 属于距离型的特殊情况 参数法（万能） 设 x=a+rcosθ，y=b+rsinθ 将上述所有式子化为关于 sinθ,cosθ 的函数，利用辅助角公式求值域 6. 轨迹问题（用圆的性质求轨迹） 定义法：若动点满足到定点距离为定值，直接写圆方程。 相关点法（代入法）：若动点 P(x,y)随已知圆上的点 Q(x0,y0) 运动，找出 x0,y0 与 x,y的关系，代入已知圆方程消参。 直角模型：若 ∠APB=90∘，则动点 P的轨迹是以 AB为直径的圆（除去 A,B两点） 学科网（北京）股份有限公司 $