直线与圆知识点默写清单-2027届高三数学一轮复习

直线与圆知识点默写清单

第一部分：直线

1. 倾斜角与斜率

倾斜角 (α)：直线         的方向与x轴         所成的最小正角。 

范围：                 。

斜率：把一条直线的倾斜角α的         叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，k＝         。 

过两点P1(x1，y1),P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=          ,当x1＝x2时,直线P1P2的斜率不存在．

2. 直线方程的五种形式

形式	方程	适用范围	注意点
点斜式		斜率存在	已知一点和斜率
斜截式		斜率存在	已知斜率k和y轴截距b
两点式		不与坐标轴垂直	已知两点
截距式		不过原点且不与坐标轴垂直	a, b分别为x轴、y轴上的截距
一般式		所有直线	法向量(A,B),方向向量(B,-A)或(-B,A)

 3. 两直线的位置关系

设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0) 

斜率形式：l1: y＝k1x＋b1，l2: y =y＝k2x＋b2。

位置关系	斜率形式条件	一般式条件	交点个数
平行			0
重合			无穷多
垂直			1
斜交（一般相交）			1

补充说明:1.l1与l2中的一条斜率         ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2.

2.经过l1与l2交点的直线系(不含l2)为：A1x + B1y + C1+ (A2x + B2y + C2)=0

3.若要包含l2，可改用，(A1x + B1y + C1)+ (A2x + B2y + C2)=0其中,不同时为0。

4. 距离公式

两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离:|P1P2|＝                   .

点到直线距离：点P(x0, y0)到直线l: Ax + By + C = 0 的距离:                    . 

两条平行线距离：直线l1: Ax + By + C1 = 0 与l2: Ax + By + C2 = 0的距离:                   .

注意：必须先将x, y的系数化为相同。

5. 对称问题

(1)．点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P′(x2，y2)，则根据中点坐标公式，可得对称点P′(x2，y2)的坐标为                   ．

(2)．点关于直线对称

点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为P′(x2，y2)，连接PP′，交l于M点，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′的中点，又因为M在直线l上，故可得解

出(x2，y2)即可．

(3)．直线关于点对称

方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程；

方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程．

(4)．直线关于直线对称

求直线l1：ax＋by＋c＝0关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(两直线不平行)的对称直线l3.

第一步：联立l1，l2的方程，算出交点P(x0，y0)；

第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，利用点关于直线l2对称算出对称点Q′(x2，y2)；

第三步：利用两点式写出l3的方程．

(5)．常见的一些特殊的对称

点(x，y)关于x轴的对称点为           ，关于y轴的对称点为           ．

点(x，y)关于直线y＝x的对称点为           ，关于直线y＝－x的对称点为           ．

点(x，y)关于直线x＝a的对称点为           ，关于直线y＝b的对称点为           ．

点(x，y)关于点(a，b)的对称点为             ．

 第二部分：圆

 1. 圆的方程

2. 点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|     r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；

(2)|MC|     r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)|MC|     r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内.

3. 直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)

3.1 判断方法对比

 

补充：直线被圆截得的弦长

(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝         .

(2)代数法：设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．

3.2 核心几何定理（高频隐形考点）

垂径定理：垂直于弦的直径        这条弦，并且平分弦所对的弧。
➤ 代数翻译：圆心到弦的垂足是弦的中点。弦长 ∣AB∣=        （d 为圆心到弦的距离）。

切线的判定与性质：

判定：过圆上一点，垂直于半径的直线是切线（d=      ）。

性质：切点与圆心的连线        于切线。

3.3 切线方程的进阶求法（含斜率不存在）

过圆上一点 P(x0,y0)的切线：

标准圆：(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2。

一般圆：。

过圆外一点P(x0,y0) 引切线：

1.设切线斜率 k，写点斜式 y−y0=k(x−x0),化为一般式。

2.利用圆心到直线距离 d=r，解出 k。

3.坑点预警：若解出的 k 只有一个，说明另一条切线斜率不存在（即直线 x=x0），千万别漏掉！

3.4 切线长公式

从圆外一点 P(x0,y0)引两条切线，切点分别为 A,B，则切线长：

∣PA∣=∣PB∣=                        =                     。

四边形 PACB中，OA⊥PA，OB⊥PB，外接圆以 PC为直径。

 4. 圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下

位置关系	图示	d与r1，r2的关系（几何法）	方程组解的个数（代数法）	公共点个数
外离		d     r1＋r2		0
外切		d     r1＋r2		1
相交		|r1－r2|< d<r1＋r2		2
内切		d     |r1－r2|		1