专题2 三角形中角度转换常用6种模型（典型例题+针对训练+提优练习） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形角度转换6种核心模型，以典例为载体系统提炼推理方法，构建从基础模型到综合应用的递进逻辑，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字型|1典例+1训练|平行线性质转化角|基础模型，结合平行线构建角的传递关系| |双垂直|1典例+1训练|互余角代换|直角三角形中角的等量转化，渗透转化思想| |8字型|1典例+2训练|“∠A+∠C=∠B+∠D”结论推导|利用三角形内角和建立角的和差关系| |飞镖型|1典例+1训练|凹四边形外角等于三内角和|通过辅助线（连BC或延长AD）构建推理链条| |风筝型|1典例+3训练|多角和差模型|综合8字型与三角形外角性质，提升复杂图形分析能力| |双角平分线|1典例+3训练|内角/内外角/双外角平分线公式|从单角平分线到双角平分线，归纳角的数量关系通式|

专题2 三角形中角度转换常用6种模型（典型例题+针对训练+提优练习） 类型一 A字型模型 第一部分 典例剖析+针对训练 【典型例题】 例1 如图，已知直线AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE＝75°，∠ACD＝35°，则∠AEB等于（　　） A．60° B．70° C．75° D．80° 【分析】利用平行线的性质，得到∠BAE与∠ACD的关系，再利用三角形的内角和，求出∠AEB． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝35°， ∴∠EAB＝∠ACD＝35°． ∵∠AEB+∠EAB+∠EBA＝180°，∠ABE＝75°， ∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝180°﹣35°﹣75°＝70°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，题目难度较小，利用平行线的性质把要求的角和已知角放在同一个三角形中，是解决本题的关键． 【针对训练】 1．（2025秋•沈阳月考）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P＝15°，∠CFP＝100°，则∠ABP的大小为（　　） A．100° B．95° C．90° D．85° 【分析】由AB∥CD，得∠AEP＝∠CFP＝100°，而∠P＝15°，则∠ABP＝∠AEP﹣∠P＝85°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠AEP＝∠CFP＝100°， ∵∠AEP＝∠ABP+∠P，且∠P＝15°， ∴∠ABP＝∠AEP﹣∠P＝85°， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 类型二 双垂直模型 【典型例题】 例2 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？ 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可； （2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可； （3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可． 【解答】解：（1）∠ACD＝∠B，理由如下： ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠ACD＝∠B； （2）△ADE是直角三角形． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∴△ADE是直角三角形； （3）∠A+∠D＝90°． ∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD， ∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°， ∴∠A+∠D＝90°． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余． 【针对训练】 1．（2026春•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，则∠DAE的度数为　　 ． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据AD平分∠BAC得出∠BDA的度数，再由AE⊥BC可知∠AEB＝90°，进而可得出∠CAE的度数，据此得出结论． 【解答】解：在△ABC中，∵∠ABC＝20°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD∠BAC100°＝50°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝50°﹣30°＝20°．故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查垂线和三角形的内角和定理，解答的关键是利用角的和差关系． 类型三 8字型（蝴蝶型） 【典型例题】 例3（2025秋•普陀区期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有　3　 个，以点O为交点的“8字型”有　4　 个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）①以线段AC为边的”8字型“有3个，以点O为交点的”8字型“有4个； ②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再由”8字型“得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P（∠C+∠B），最后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可； ③与②的证明方法一样得到3∠P＝∠B+2∠C． 【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）解：①3；4； 故答案为：3，4； ②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P（∠B+∠C）（100°+120°）＝110°； ③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是： ∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP， ∴∠BAP∠CAB，∠BDP∠CDB， 以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP（∠CDB﹣∠CAB）， ∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP（∠CDB﹣∠CAB）． ∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B． ∴3∠P＝∠B+2∠C． 【点睛】本题考查了三角形内角与外角的关系，以及多边形内角和．也考查了角平分线的定义，关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【针对训练】 1．（2026春•高州市期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力F的方向OF1∥AC，支持力N的方向OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．若∠A＝α，则∠F2OF3的度数为（　　） A．180°﹣α B． C．90°+α D．90°+2α 【分析】根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，求出∠F3OF1的度数，垂直得到∠F1OF2的度数，再根据周角的定义求出∠F2OF3的度数即可． 【解答】解：∵OF1∥AC，OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．∠A＝α，如图， ∴∠2＝∠1＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∠F3OF1＝180°﹣∠2＝90°+α， ∵OF2⊥OF1， ∴∠F1OF2＝90°， ∴∠F2OF3＝360°﹣90°﹣（90°+α）＝180°﹣α； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 2．（2025春•甘谷县期末）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝35°，∠ADC＝15°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝35°，∠ADC＝29°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：　∠Pαβ　 （用α、β表示∠P，不必说明理由） 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明． （2）（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠ABC+∠4，推出2∠P＝∠ABC+∠ADC，即可解决问题． （4）同法即可解决问题． 【解答】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 由（1）的结论得： ， ∴2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠ABC+∠ADC， ∴∠P（∠ABC+∠ADC）， ∵∠ABC＝35°，∠ADC＝15°， ∴∠P＝25°； （3）解：如图3， ∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3， ∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠ABC+∠4， ∴2∠P＝∠ABC+∠ADC， ∠ABC＝35°，∠ADC＝29°， ∴∠P（∠B+∠D）（35°+29°）＝32°； （4）解：同法可得，∠Pαβ； 故答案为：∠Pαβ． 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型． 类型四 飞镖型（规形图） 【典型例题】 例4 （2025春•长春期末）【问题呈现】如图①，四边形ABCD形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即∠BDC＝∠A+∠B+∠C． 【探究推理】方法一：如图②，连结BC． ∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠3+∠4＝180°． 又∵在△BDC中，∠2+∠4+∠BDC＝180°， ∴∠2+∠4＝180°﹣∠BDC， ∴∠A+∠1+∠3+180°﹣∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝∠A+∠1+∠3． 即∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD． 方法二：如图③，连结AD并延长至F． ∵∠3与∠4分别为△ABD和△ACD的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是　三角形的内角和等于180°　 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　180°　 ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠E应　减少　 （填“增加”或“减少”）的大小为 　10　 度． 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，再结合三角形的内角和定理，可以得到∠1+∠2+∠C＝180°，即可得到答案； （4）延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论． 【解答】解：（1）三角形的内角和等于 180°， 故答案为：三角形的内角和等于 180°； （2）∵∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠2+∠C， ∴∠3+∠4＝∠B+∠1+∠2+∠C， ∵∠3+∠4＝∠BDC，∠1+∠2＝∠BAC， ∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （3）如图，延长BE交AC于点F， ∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，∠1+∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠2+∠C+∠1＝180°， 故答案为：180°； （4）延长EF，交CD于点G，如图： ∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°． ∵∠EFD＝110°， ∴∠DFG＝70°， ∴∠EGF＝∠D+∠DFG＝90°， ∴∠E＝180°﹣90°﹣70°＝20°． 而图中∠E＝30°， ∴∠E应减少10°． 故答案为：减少，10． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． 【针对训练】 1．（2025秋•小店区月考）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现： （1）观察“规形图”，试探究∠D与∠BAC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　50　 °； （ii）如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠P＝130°，∠D的度数 　85°　 ． 【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据三角形外角性质即可得到∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系； （2）（i）由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A，再根据∠A＝40°，∠D＝90°，即可得出∠ABD+∠ACD的度数； （ii）根据（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，再根据BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，即可得出∠BDC的度数． 【详解】解：（1）如图①，连接AD并延长至点F， 根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD， 又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C； （2）（i）由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A； 又∵∠A＝40°，∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50； （ii）由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP， ∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD， ∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°， 又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP， ∴， ∴∠BDC＝45°+40°＝85°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 类型五 风筝型 【典型例题】 例5 在本节课中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知∠ACD是△ABC的一个外角（如图1），则∠ACD＝∠A+∠B． （1）如图2，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　∠A+∠C＝∠B+∠D ． （2）如图3，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝ 　180　 °． （3）如图4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ 　360　 °．（提示：四边形的内角和等于360°） （4）如图5，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若∠BOF＝120°，运用（1）中得出的数量关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【分析】（1）根据∠BOC是△AOC与△BOD 的外角得∠BOC＝∠A+∠C＝∠B+∠D，由此即可得出答案； （2）由三角形内角和定理得∠A+∠1+∠2＝180°，由∠ABG是△BCD和△ADF的外角得∠ABG＝∠B+∠C＝∠A+∠2，再由∠AFE是△EFD和△ADF的外角得∠AFE＝∠D+∠E＝∠A+∠1，由此可得∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A的度数； （3）根据四边形的内角和等于360°得∠MNP+∠NPQ+∠PQM+∠QMN＝360°，进而得∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，再由三角形外角性质得∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，∠3＝∠E+∠F，∠4＝∠G+∠H，由此可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H得度数； （4）连接EF，设AE，DF相交于点P，由（1）的结论得∠B+∠C＝∠OEF+∠OFE＝∠BOF＝120°，进而得∠OEF+∠OFE＝∠OEA+∠OFD+∠2+∠1＝120°，由△PAD和△PEF构成的“8字型”得∠A+∠D＝∠2+∠1，继而得∠A+∠D+∠OEA+∠OFD＝120°，由此可得∠A+∠D+∠B+∠C+∠OEA+∠OFD的度数． 【解答】解：（1）∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系是：∠A+∠C＝∠B+∠D，理由如下： ∵∠BOC是△AOC与△BOD 的外角， ∴∠BOC＝∠A+∠C，∠BOC＝∠B+∠D， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D， 故答案为：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）在△AGF中，∠A+∠1+∠2＝180°， ∵∠ABG是△BCD和△ADF的外角， ∴∠ABG＝∠B+∠C，∠ABG＝∠A+∠2， ∴∠B+∠C＝∠A+∠2， ∵∠AFE是△EFD和△ADF的外角， ∴∠AFE＝∠D+∠E，∠AFE＝∠A+∠1， ∴∠D+∠E＝∠A+∠1， ∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝∠A+∠2+∠A+∠1﹣∠A＝∠A+∠1+∠2＝180°， 故答案为：180； （3）如图4所示： 在四边形MNPQ中，∠MNP+∠NPQ+∠PQM+∠QMN＝360°， ∵∠MNP＝180°﹣∠1，∠NPQ＝180°﹣∠2，∠PQM＝180°﹣∠3，∠QMN＝180°﹣∠4， ∴180°﹣∠1+180°﹣∠2+180°﹣∠3+180°﹣∠4＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°， ∵∠1，∠2，∠3，∠4分别是△ABN，△CDP，△EFQ，△GHM的外角， ∴∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，∠3＝∠E+∠F，∠4＝∠G+∠H， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝360°， 故答案为：360； （4）连接EF，设AE，DF相交于点P，如图5所示： 由（1）的结论得：∠B+∠C＝∠OEF+∠OFE＝∠BOF＝120°， ∵∠OEF＝∠OEA+∠2，∠OFE＝∠OFD+∠1， ∴∠OEF+∠OFE＝∠OEA+∠OFD+∠2+∠1＝120°， 由△PAD和△PEF构成的“8字型”得：∠A+∠D＝∠2+∠1， ∴∠A+∠D+∠OEA+∠OFD＝120°， ∴∠A+∠D+∠B+∠C+∠OEA+∠OFD＝120°+120°＝240°． 【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，四边形的内角和等于360°是解决问题的关键． 【针对训练】 1．（2026春•达州期中）在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合，则∠ADB1+∠CEB1的度数为（　　） A．30° B．80° C．60° D．100° 【分析】由∠B＝40°，根据三角形内角和定理求得∠BDE+∠BED＝140°，由折叠得∠B1DE＝∠BDE，∠B1ED＝∠BED，则∠B1DE+∠B1ED＝∠BDE+∠BED＝140°，由140°+140°+∠ADB1+∠CEB1＝2×180°＝360°，求得∠ADB1+∠CEB1＝80°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠B＝40°， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝140°， ∵将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合， ∴∠B1DE＝∠BDE，∠B1ED＝∠BED， ∴∠B1DE+∠B1ED＝∠BDE+∠BED＝140°， ∵∠B1DE+∠B1ED+∠BDE+∠BED+∠ADB1+∠CEB1＝2×180°＝360°， ∴140°+140°+∠ADB1+∠CEB1＝360°， ∴∠ADB1+∠CEB1＝80°， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形内角和定理、翻折变换的性质等知识，推导出∠B1DE＝∠BDE，∠B1ED＝∠BED，进而证明∠B1DE+∠B1ED＝∠BDE+∠BED＝140°是解题的关键． 2．（2022秋•延平区期中）如图1是李明制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠D＝50°，求∠C的大小． 【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD， 在△BAC与△EAD中， ， ∴△BAC≌△EAD（SAS）， ∴∠C＝∠D＝50°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（2025春•衡山县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝　150°　 ； （2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 　90°+α　 ； （3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由； （4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由． 【分析】（1）由平角的定义得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四边形CDPE的内角和是360°即可求得∠1+∠2． （2）同（1）的方法． （3）利用三角形的外角的性质即可得出结论． （4）利用外角的性质和对顶角相等即可得出结论． 【解答】解：（1）由平角的定义知， ∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°， 在四边形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°， 即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°， 180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°， ∴∠1+∠2＝90°+α． 当α＝60°时，∠1+∠2＝150°． 故答案为：150°． （2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α． 故答案为：90°+α． （3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下： 由三角形的外角的性质知， ∠DMC＝∠2+∠α， ∠1＝∠C+∠DMC， ∴∠1＝∠C+（∠2+∠α）， 即∠1＝90°+∠2+∠α． （4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下： 由三角形的外角的性质知， ∠2＝∠CFE+∠C， ∠1＝∠PFD+∠α， ∵∠CFE＝∠PFD， ∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α， ∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α， 即∠2＝90°+∠1﹣∠α． 【点睛】本题的考点是三角形内角和定理，主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和、三角形的外角的性质、平角的定义，解本题的关键是把∠1，∠2，∠a 转化到一个三角形或四边形中． 类型六 双角平分线模型 【典型例题】 例6 （1）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　122°　 ； （2）如图②，△ABC的内角∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E．∠A与∠BEC的数量关系为　　 ； （3）如图③，△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线交于点Q，∠BQC与∠A的数量关系为　∠BQC　 ．若∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　119　 °，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　29　 °． 【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义； （2）由角平分线得出，．由三角形外角的性质知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根据∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB可得答案； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠QBC与∠QCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；结前述结论即可求得． 【解答】解：（1）∵PB、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴，（角平分线的定义）， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180° ＝180° ＝180° ＝180°﹣90° ＝90° ＝90° ＝122°， 故答案为：122°； （2）∵BE是∠ABD 的平分线，CE是∠ACB的平分线， ∴，， ∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角， ∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC， ∴（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB， 即， ∴； 故答案为：； （3）∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角， ∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC， ∵BQ，CQ分别是∠ABC 与∠ACB外角的平分线， ∴，， ∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°， ∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB ， ∴， 由（1）可知； 由（2）可知，； 故答案为：∠BQC，119，29． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【针对训练】 （一）双内角平分线 1．（2025秋•合川区期末）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F． （1）若∠A＝54°，∠ABC＝50°，求∠CFD的度数； （2）求证：2∠BFC＝∠A+180°． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理得到∠ACB＝76°，再结合角平分线的定义可求解∠BFC的度数，进而可求解∠CFD的度数； （2）利用角平分线的定义可求解∠BFC＝180°（∠ABC+∠ACB），再结合角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，进而可证明结论． 【详解】（1）解：∵∠A＝54°，∠ABC＝50°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣50°﹣54°＝76°， ∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点F， ∴∠CBF∠ABC＝25°，∠BCF∠ACB＝38°， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣25°﹣38°＝117°， ∴∠CFD＝180°﹣117°＝63°； （2）证明：∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点F， ∴∠CBF∠ABC，∠BCF∠ACB， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣（ABCACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BFC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A， 即2∠BFC＝180°+∠A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是180°．本题的关键是利用三角形内角和把∠BFC与∠A联系起来． （二）一内角一外角平分线模型 2．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACB的外角（∠ACD）的平分线交于点A1；∠A1BC的平分线与∠A1CB的外角的平分线交于点A2，…，以此类推，则∠A2022＝　　 ．（用含α的式子表示） 【分析】先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A1∠A，再以此类推得，∠A2∠A；…∠An∠A；找出规律，从而求∠A2022的值． 【详解】解：∵∠BA1C+∠A1BC＝∠A1CD，2∠A1CD＝∠ACD＝∠BAC+∠ABC， ∴2（∠BA1C+∠A1BC）＝∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC＝∠BAC+∠ABC， 而2∠A1BC＝∠ABC， ∴2∠BA1C＝∠BAC， ∴∠A1∠A， 以此类推得，∠A2∠A；…∠An∠A， ∴∠BA2022C， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并整体思想的利用是解题的关键． 三、双外角平分线 3．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，求∠G的度数． 【分析】由三角形外角的性质即三角形的内角和定理可求解∠DBC+∠ECB＝260°，再利用角平分线的定义可求解∠FBC+∠FCB＝130°，即可得∠GBC+∠GCB＝65°，再利用三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC， ∵∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°＝80°+180°＝260°， ∵BF平分外角∠DBC，CF平分外角∠ECB， ∴∠FBC∠DBC，∠FCB∠ECB， ∴∠FBC+∠FCB（∠DBC+∠ECB）＝130°， ∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF， ∴∠GBC∠FBC，∠GCB∠FCB， ∴∠GBC+∠GCB（∠FBC+∠FCB）＝65°， ∴∠G＝180°﹣（∠GBC﹣∠GCB）＝180°﹣65°＝115°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠FBC+∠FCB＝130°是解题的关键． 第二部分 专题提优练习 1．（2025春•汝阳县期末）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为（　　） A．100° B．105° C．200° D．210° 【分析】根据多边形内角和的计算方法分别求出五边形、六边形的内角和，进而求出∠1与∠2的和． 【解答】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°， ∵∠A＝30°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝540°﹣30°＝510°， ∵六边形BCDEMN的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， 即∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E＝720°， ∴∠1+∠2＝720°﹣510°＝210°， 故选：D． 【点睛】本题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的前提． 2．（2026春•秀英区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC 的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠OBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由角平分线的定义得到∠OBC+∠CBE（∠ABC+∠CBG）＝90°，得到∠OBE＝90°，同理∠OCE＝90°，由角平分线的定义和三角形内角和定理得到∠BOC＝90°∠A＝110°，由三角形的外角性质求出∠D＝∠OCE﹣∠DOC＝20°，由四边形内角和是360°，求出∠E＝70°． 【解答】解：∵OB平分∠ABC，BE平分∠CBG， ∴∠OBC∠ABC，∠CBE∠CBG， ∴∠OBC+∠CBE（∠ABC+∠CBG）180°＝90°， ∴∠OBE＝90°， 同理：∠OCE＝90°， 故①符合题意； ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A＝90°40°＝110°， 故②符合题意； ∵∠DOC＝180°﹣110°＝70°， ∴∠D＝∠OCE﹣∠DOC＝90°﹣70°＝20°， 故③符合题意； ∠E＝360°﹣∠BOC﹣∠OBE﹣∠OCE＝360°﹣110°﹣90°﹣90°＝70°， 故④符合题意， ∴其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和是180度，角平分线的定义． 3．（2025春•沛县期中）如图，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D． （1）若∠BAD的度数为m，则∠ABN的度数为 　90°+2m，　 （用含有m的代数式表示）； （2）随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由． 【分析】（1）根据角分线得出∠BAO＝2∠BAD＝2m，利用外角性质得出∠ABN， （2）根据∠D＝180°﹣∠DBO﹣∠AEO（∠ABO+∠OAB），用角平分线和三角形内角和进行等量代换即可． 【详解】解：（1）AD平分∠BAO，∠BAD＝m， ∴∠BAO＝2∠BAD＝2m， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABN＝90°+2m， 故答案为：90°+2m； （2）结论：∠D＝45°，值不变． 理由：设AD与BO相交于点E， ∠D＝180°﹣∠DBO﹣∠AEO ＝180°∠ABN﹣（90°﹣∠OAE） ＝90°∠ABN∠OAB ＝90°（180°﹣∠ABO）∠OAB ＝（∠ABO+∠OAB） 90°＝45°； ∴∠D的度数不发生改变． 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形外角，角平分线的定义．熟练掌握定义，用好等量代换是解决本题的关键． 4．（2025春•西峡县期末）已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数关系：　∠A+∠D＝∠B+∠C ； （2）如图2，请利用（1）中结论，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC，然后整理即可得解； （2）根据“8字形”的结构特点，连接AD，根据四边形的内角和等于360°可得∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，根据“8字形”的关系可得∠E+∠F＝∠EDA+∠FAD，然后即可得解． 【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D， 在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等）， ∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C； 故答案为：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）如图3， 连接AD，则∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°， 根据“8字形”数量关系，∠E+∠F＝∠EDA+∠FAD， 所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 5．（2024秋•回民区月考）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． （1）观察图①，说明∠BOC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系； （2）请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 　50°　 ． ②如图③，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数； ③如图④，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 【分析】（1）延长AO到点G，根据三角形外角性质得∠BOG＝∠BAO+∠B，∠COG＝∠CAO+∠C，进而得∠BOG+∠COG＝∠CAO+∠BAO+∠B+∠C，由此可得出∠BOC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系； （2）①由（1）的结论得∠BXC＝∠A+∠ABX+∠ACX，再根据∠A＝40°，∠BXC＝90°可得出∠ABX+∠ACX的度数； ②由（1）的结论得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠DAE+∠ADC+∠AEC，根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°得∠ADB+∠AEB＝90°，再根据角平分线定义得∠ADC+∠AEC＝45°，由此即可得出∠DCE的度数； ③连接AD，由（1）的结论得∠ABC＝∠ADC+∠DAB+∠C，∠DEF＝∠DAE+∠ADE+∠E，则∠ABC+∠DEF＝∠ADC+∠DAB+∠C+∠DAE+∠ADE+∠E，再根据∠ABC＝100°，∠DEF＝130°即可得出∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 【解答】（1）解：∠BOC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系：∠BOC＝∠BAC+∠B+∠C，理由如下： 延长AO到点G，如图①所示： ∵∠BOG是△AOB的外角，∠COG是△AOC的外角， ∴∠BOG＝∠BAO+∠B，∠COG＝∠CAO+∠C， ∴∠BOG+∠COG＝∠CAO+∠BAO+∠B+∠C， 即∠BOC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）①解：依题意得：∠BXC＝90°，∠A＝40°， 由（1）的结论得：∠BXC＝∠A+∠ABX+∠ACX， ∴∠ABX+∠ACX＝∠BXC﹣∠A＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50°； ②解：由（1）的结论得：∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠DAE+∠ADC+∠AEC， ∵∠DAE＝40°，∠DBE＝130°， ∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°， ∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB， ∴∠ADB＝2∠ADC，∠AEB＝2∠AEC， ∴2∠ADC+2∠AEC＝90°， ∴∠ADC+∠AEC＝45°， ∴∠DCE＝∠DAE+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°； ③解：连接AD，如图④所示： 由（1）的结论得：∠ABC＝∠ADC+∠DAB+∠C，∠DEF＝∠DAE+∠ADE+∠E， ∴∠ABC+∠DEF＝∠ADC+∠DAB+∠C+∠DAE+∠ADE+∠E， ∵∠BAF＝∠DAB+∠DAE，∠CDE＝∠ADC+∠ADE，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°， ∴∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝∠ABC+∠DEF＝100°+130°＝230°． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 6．动手操作：一张三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点A'处． （1）如图①，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝　80　 °；若∠A＝n°，则∠1+∠2＝　2n °； （2）如图②，把△ABC折叠后，BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，则∠BA'C的度数为　117°　 ． 【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB（∠ABC+∠ACB）＝90°∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案． 【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置， ∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠ADE（180°﹣∠1），∠AED（180°﹣∠2）， 在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°， ∴40°（180°﹣∠1）（180°﹣∠2）＝180°， 整理得∠1+∠2＝80°； 同理∠A＝n°，则∠1+∠2＝2n°； 故答案为：80；2n； （2）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°， ∴∠A＝54°， ∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB， ∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠A） ＝90°∠A． ∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）， ＝180°﹣（90°∠A） ＝90°∠A ＝90°54° ＝117°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键． 7．（2025春•李沧区月考）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：（1）问题再现： 如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝ 　115°　 ． （2）问题推广： ①如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝ 　115°　 ． ②如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1＝m°，∠2＝n°，则∠BPC＝ 　　 ． 【分析】（1）先根据角平分线的性质把∠PBC+∠PCB用∠A表示出来，再根据三角形内角和定理把∠P用∠A表示出来，然后把∠A＝50°代入进行计算即可； （2）（3）均先根据平角定义和已知条件求出∠3+∠4+∠5+∠6，再根据折叠求出∠3+∠4，然后根据三角形内角和定理求出∠A，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把∠PBC+∠PCB用∠A表示出来，最后根据三角形内角和定理求出∠BPC即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P， ∴， ∴∠PBC+∠PCB ， ∵∠PBC+∠P+∠PCB＝180°， ∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝90°+25° ＝115°， 故答案为：115°； （2）如图所示：∵∠1+∠5+∠3+∠2+∠6+∠4＝360°，∠1+∠2＝100°， ∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°﹣100°＝260°， 由折叠可知：∠3＝∠5，∠4＝∠6， ∴2∠3+2∠4＝260°， ∠3+∠4＝130°， ∵∠A+∠3+∠4＝180°， ∴∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P， ∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P， ∴， ∴∠PBC+∠PCB ， ∵∠PBC+∠BPC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝90°+25° ＝115°， 故答案为：115°； （3）∵∠1+∠5+∠3+∠2+∠6+∠4＝360°，∠1＝m°，∠2＝n°， ∴∠1+∠2＝m°+n°， ∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°﹣m°﹣n°， 由折叠可知：∠3＝∠5，∠4＝∠6， ∴2∠3+2∠4＝360°﹣m°﹣n°， ∠3+∠4， ∵∠A+∠3+∠4＝180°， ∴∠A＝180°﹣（）， ∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P， ∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P， ∴， ∴∠PBC+∠PCB ， ∵∠PBC+∠BPC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 三角形中角度转换常用6种模型（典型例题+针对训练+提优练习） 类型一 A字型模型 第一部分 典例剖析+针对训练 【典型例题】 例1 如图，已知直线AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE＝75°，∠ACD＝35°，则∠AEB等于（　　） A．60° B．70° C．75° D．80° 【针对训练】 1．（2025秋•沈阳月考）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P＝15°，∠CFP＝100°，则∠ABP的大小为（　　） A．100° B．95° C．90° D．85° 类型二 双垂直模型 【典型例题】 例2 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？ 【针对训练】 1．（2026春•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，则∠DAE的度数为　　 ． 类型三 8字型（蝴蝶型） 【典型例题】 例3（2025秋•普陀区期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有 　 个，以点O为交点的“8字型”有　 　 个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 【针对训练】 1．（2026春•高州市期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力F的方向OF1∥AC，支持力N的方向OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．若∠A＝α，则∠F2OF3的度数为（　　） A．180°﹣α B． C．90°+α D．90°+2α 2．（2025春•甘谷县期末）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝35°，∠ADC＝15°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝35°，∠ADC＝29°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：　 （用α、β表示∠P，不必说明理由） 类型四 飞镖型（规形图） 【典型例题】 例4 （2025春•长春期末）【问题呈现】如图①，四边形ABCD形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即∠BDC＝∠A+∠B+∠C． 【探究推理】方法一：如图②，连结BC． ∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠3+∠4＝180°． 又∵在△BDC中，∠2+∠4+∠BDC＝180°， ∴∠2+∠4＝180°﹣∠BDC， ∴∠A+∠1+∠3+180°﹣∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝∠A+∠1+∠3． 即∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD． 方法二：如图③，连结AD并延长至F． ∵∠3与∠4分别为△ABD和△ACD的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是　 　 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　 ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠E应　 　 （填“增加”或“减少”）的大小为 　 　 度． 【针对训练】 1．（2025秋•小店区月考）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现： （1）观察“规形图”，试探究∠D与∠BAC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　 °； （ii）如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠P＝130°，∠D的度数 　 　 ． 类型五 风筝型 【典型例题】 例5 在本节课中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知∠ACD是△ABC的一个外角（如图1），则∠ACD＝∠A+∠B． （1）如图2，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　 ． （2）如图3，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝ 　 　 °． （3）如图4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ 　 °．（提示：四边形的内角和等于360°） （4）如图5，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若∠BOF＝120°，运用（1）中得出的数量关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【针对训练】 1．（2026春•达州期中）在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合，则∠ADB1+∠CEB1的度数为（　　） A．30° B．80° C．60° D．100° 2．（2022秋•延平区期中）如图1是李明制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠D＝50°，求∠C的大小． 3．（2025春•衡山县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝　 　 ； （2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 　 　 ； （3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由； （4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由． 类型六 双角平分线模型 【典型例题】 例6 （1）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　 ； （2）如图②，△ABC的内角∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E．∠A与∠BEC的数量关系为　 ； （3）如图③，△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线交于点Q，∠BQC与∠A的数量关系为　 ．若∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ 　 °，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　 　 °． 【针对训练】 （一）双内角平分线 1．（2025秋•合川区期末）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F． （1）若∠A＝54°，∠ABC＝50°，求∠CFD的度数； （2）求证：2∠BFC＝∠A+180°． （二）一内角一外角平分线模型 2．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACB的外角（∠ACD）的平分线交于点A1；∠A1BC的平分线与∠A1CB的外角的平分线交于点A2，…，以此类推，则∠A2022＝　 　 ．（用含α的式子表示） （三）双外角平分线 3．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，求∠G的度数． 第二部分 专题提优练习 1．（2025春•汝阳县期末）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为（　　） A．100° B．105° C．200° D．210° 2．（2026春•秀英区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC 的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠OBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025春•沛县期中）如图，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D． （1）若∠BAD的度数为m，则∠ABN的度数为 　 　 （用含有m的代数式表示）； （2）随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由． 4．（2025春•西峡县期末）已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数关系：　 ； （2）如图2，请利用（1）中结论，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 5．（2024秋•回民区月考）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． （1）观察图①，说明∠BOC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系； （2）请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 　 　 ． ②如图③，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数； ③如图④，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 6．动手操作：一张三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点A'处． （1）如图①，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝　 °；若∠A＝n°，则∠1+∠2＝　 °； （2）如图②，把△ABC折叠后，BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，则∠BA'C的度数为　 　 ． 7．（2025春•李沧区月考）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：（1）问题再现： 如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝ 　 　 ． （2）问题推广： ①如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝ 　 　 ． ②如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1＝m°，∠2＝n°，则∠BPC＝ 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $