第四讲 功与动能定理 期末复习讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

期末复习讲义 2025-2026高一下学期期末复习讲义 第四讲 功与动能定理 一、功 1.功的定义：力与在力的方向上位移的乘积。 2.功的两个要素：①作用在物体上的力；②物体在力的方向上发生的位移。 3.恒力做功的公式：W＝Flcosα，α为恒力F的方向与位移l的方向之间的夹角，这是计算功的一般公式（只适用于恒力做功） 4.合力做功：当物体受到几个力的作用时，各力所做的功相加，就等于合力所做的功。 方法一：当合力F为恒力时，先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功，α是合力F与物体位移l的夹角。 方法二：先求各个力做的功，再应用W合＝W1＋W2＋…＝F1l1cos α1＋F2l2cos α2＋…求合外力做的功。 5.正功和负功 对公式W=Fscosα讨论得知： 0≤α＜90° 力对物体做正功 90°＜α≤180° 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功 α=90° 力对物体不做功 二、功率 1.定义：功与完成这些功所用时间的比值。 2.物理意义：标量，描述力对物体做功的快慢。只有正值，没有负值。 3.定义式：P＝，P为时间t内的平均功率。 4.单位：国际单位是瓦特，符号是W，常用的单位还有kW。 5.平均功率与瞬时功率 平均功率：或（表示力在一段时间内做功的平均快慢） 瞬时功率：P=Fvcosα（表示力在一段极短时间内做功的快慢） ． 6．机车启动的两种过程 机车以恒定的功率启动，由于牵引力，，v增大，F减小，阻力f不变，加速度a减小，∴机车做加速度减小的加速运动。当F=f时，a=0，开始做匀速直线运动，速度是。 【常考问题】这一过程牵引力做功：W=Pt（变力做功，t为运动时间） 示意图： 机车以恒定加速度a启动，由知，当加速度a不变时，发动机牵引力恒定；再由P=v知，一定时， P随v增大而增大，但当P增大到额定功率以后不再增大，设此时速度为v0，此后发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力F减小，直至F=f时，a=0，车速达到最大值，此后做匀速直线运动。 【常考问题】匀加速过程持续时间：，，。联立可求出时间t1。 示意图： 三、动能定理 （一）动能的表达式 1．表达式：Ek＝mv2. 2．动能变化量ΔEk ＝mv22－mv12，若ΔEk>0，则表示物体的动能增加，若ΔEk<0，则表示物体的动能减少. （二）动能定理 1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化. 2．表达式：W合＝ΔEk W＝Ek2－Ek1＝mv22－mv12. (1)Ek2＝mv22表示这个过程的末动能；Ek1＝mv12表示这个过程的初动能. (2)W表示这个过程中合力做的功，它等于各力做功的代数和. (3)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动． (4)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功． 3．应用动能定理解题的一般步骤： (1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程. (2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和. (3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2. (4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算. 考点一：功与功率 例1.工人用水平恒定拉力拉动质量为的小车，沿水平地面向左匀速运动。已知小车运动时受到的阻力恒为车重的0.4倍，重力加速度。则下列说法正确的是（    ） A．水平拉力大小为 B．拉力做功大小为 C．重力对小车做功为 D．地面对小车的支持力做功不为零 【答案】B 【详解】A．小车做匀速直线运动，处于平衡状态，水平方向上拉力与阻力平衡。有 故A错误； B．拉力做功 故B正确； C．重力方向竖直向下，与位移方向垂直，重力不做功，故C错误； D．地面对小车的支持力方向竖直向上，与位移方向垂直，支持力不做功，故D错误。 故选B。 例2.用两个互相垂直的力，拉着物体运动，在一段时间内对物体做的功为3J，对物体做的功为4J，则，的合力对物体做的功为（     ） A．1J B．5J C．7J D．25J 【答案】C 【详解】功是标量，多个力对物体做功时，合力的总功等于各分力做功的代数和，与分力的方向无关。由此可得合力做功 故选C。 例3.功率的定义式为由此可得（　　） A．功率是描述做功多少的物理量 B．由定义式可求出在t时间内平均功率 C．功率与功成正比与时间成反比 D．由定义式可知功率方向与功的方向相同 【答案】B 【详解】A．功率指的是物体在单位时间内做功的多少，它描述的是物体做功快慢的一个物理量，故A错误； B．由定义式可求出在t时间内平均功率，故B正确； C．功率的定义式用功与时间的比值来量度，但是功率与时间和功无关，故C错误； D．功率与功均是标量，没有方向，故D错误。 故选B。 例4．如图所示，质量为m=4kg的木块在倾角θ=37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，前3s内物体下滑的距离为9m。已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10 m/s2，求： (1)前3s内重力做的功； (2)前3s内重力的平均功率； (3)3s末重力的瞬时功率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）前3s内物体下滑的距离为9m，则前3s内重力做的功为 代入数据解得 （2）前3s内重力的平均功率为 代入数据解得 （3）设3s末的速度大小为，根据运动学公式可得 解得 则3s末重力的瞬时功率为 代入数据解得 考点二：机动车启动方式 例1.复兴号动车在世界上首次实现时速350公里自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为的动车，初速度为，以恒定功率在平直轨道上运动，经时间达到该功率下的最大速度，设动车行驶过程所受到的阻力保持不变。则动车在时间内（　　） A．加速度逐渐减小到0 B．做匀加速直线运动 C．牵引力做功为 D．牵引力的功率 【答案】A 【详解】A．动车以恒定功率P行驶，根据可知，随着速度的增大，牵引力逐渐减小。根据牛顿第二定律 可知加速度逐渐减小。当牵引力减小到等于阻力时，加速度减小到0，速度达到最大值，故A正确； B．由A项分析可知，动车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，不是匀加速直线运动，故B错误； C．动车以恒定功率运动，根据功的定义，在时间内牵引力做功为，故C错误； D．当动车速度达到最大值时，动车做匀速直线运动，牵引力等于阻力，可得牵引力的功率，故D错误。 故选A。 例2.我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一。如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数 的关系图像。若汽车质量为 它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（     ） A．汽车以恒定功率启动 B．汽车匀加速所需时间为5s C．汽车所受阻力为 D．汽车在车速为5m/s时，功率为 【答案】B 【详解】AB．由图可知，汽车由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小 末速度大小为 即汽车是以恒定的加速度启动的，则汽车匀加速所需的时间，故A错误，B正确； C．设汽车的额定功率为，所受的阻力大小为，则 匀加速过程，由牛顿第二定律 匀加速结束时，汽车的功率达到最大，则 联立解得，，，故C错误； D．汽车车速 此时汽车做匀加速直线运动，其功率，故D错误。 故选B。 考点三：动能定理的初步应用 例1.如图所示，质量为m=0.5kg的小球，用长为l=1m的轻绳悬挂于O点的正下方P点。小球在水平向右拉力的作用下，在竖直平面内从P点缓慢地移动到Q点，Q点轻绳与竖直方向夹角为，不计空气阻力，g取10m/s2。下列说法正确的是（     ） A．在此过程中水平拉力的最大值为10N B．在此过程中重力对小球做功为2.5J C．在此过程中水平拉力对小球做功为2.5J D．若小球运动到Q点时撤去水平拉力，小球开始下摆，小球回到P点时，重力的瞬时功率最大 【答案】C 【详解】A．小球缓慢移动过程始终处于平衡状态，对小球受力分析可得水平拉力为 时水平拉力最大，最大值为，故A错误； B．此过程中重力对小球做功为，故B错误； C．小球缓慢移动，动能变化为0，根据动能定理可得 解得，故C正确； D．小球回到P点时，重力和速度方向垂直，重力的瞬时功率为零，故D错误。 故选C。 例2. A、B两物体的质量之比，它们仅受摩擦力作用，且以相同的初速度在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其图像如图所示。则此过程中（     ） A．A、B两物体的初动能之比为 B．A、B两物体受到的摩擦力做功之比为 C．A、B两物体运动的位移之比为 D．A、B两物体受到的摩擦力之比为 【答案】C 【详解】A．根据，可知A、B两物体的初动能之比为，故A错误； B．此过程中A、B两物体受到的摩擦力做功之比为，故B错误； C．图像围成的面积表示位移，A、B两物体运动的位移之比为，故C正确； D．摩擦力所做功的大小，可得可得此过程中，A、B两物体受到的摩擦力之比为，故D错误。 故选C。 例3.图甲为游乐场中的水滑梯，其简化示意图如图乙所示，其可视为由光滑的四分之一圆轨道和水平阻力轨道平滑连接组成。圆弧轨道的半径，游客的质量，人在水平轨道上受到的阻力大小是重力的，取，求： (1)游客从起点A由静止开始滑下，求刚滑到水平轨道B处时游客对轨道的压力的大小？ (2)出于安全考虑，要求人不能滑出水平轨道的末端C点，则水平轨道至少要多长？ (3)假设游客质量为，在水平轨道上受到的阻力为，到达B点的速度为。请根据牛顿第二定律和运动学公式，推导出游客在水平轨道滑行至停止的过程中，阻力做功的表达式。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于是光滑的四分之一圆轨道，只有重力做功，根据动能定理 解得 游客在点做圆周运动，受到向上的支持力和向下的重力，合力提供向心力 解得 根据牛顿第三定律，游客对轨道的压力 （2）从起点由静止开始，到点刚好静止，根据动能定理， 解得 （3）在水平轨道滑行时，物体受到水平向后的阻力，根据牛顿第二定律 设滑行距离为，末速度为0，初速度为，位移与速度的关系式为 因为阻力方向与位移方向相反，阻力做负功 考点四：动能定理的综合应用 例1.在我国，汽车已进入寻常百姓家，一种新车从研发到正式上路，要经过各种各样的测试，其中一种是在专用道上进行起步过程测试，通过车上装载的传感器记录了起步过程速度随时间变化规律图像，如图所示，已知为直线、为曲线、为平行于横轴的直线。时汽车功率达到额定功率且保持不变，该车总质量为，所受到的阻力恒为，则下列说法正确的是（     ） A．该车的最大速度为 B．该车起步过程的牵引力为 C．该车的额定功率为 D．该车前内通过的位移大小为 【答案】D 【详解】B．由图可知，汽车匀加速时的加速度大小为 该车匀加速阶段，根据牛顿第二定律 解得，故B错误； C．该车的额定功率为，故C错误； A．当速度最大时，有 代入数据，解得，故A错误； D．对该车运动前30s过程，根据动能定理 解得，故D正确。 故选D。 例2.从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能随h的变化如图所示。重力加速度g取。下列说法正确的是（     ） A．物体的质量为1 kg B．物体上升过程受到的阻力为4 N C．物体下降过程所受合力为7 N D．物体能上升的最大高度为6 m 【答案】AD 【详解】根据动能定理可得 则图像的斜率绝对值表示合力的大小，则上升过程有 下落过程有 联立解得， 又由上升图像可知，它与横轴的交点在 故选AD。 例3.如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨最低点平滑相接，导轨半径为。一个质量为的物体（可视为质点）将弹簧向左压缩至点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过点时的速度大小为，之后沿半圆形导轨运动，恰好到达最高点。重力加速度为。求： (1)弹簧压缩至点时的弹性势能； (2)物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）物体从A点到B点，根据能量守恒有 （2）题意可知恰好到达最高点C，则有 物体从B到C过程，根据动能定理有 联立解得 一、单选题 1．贵州“村超”火爆出圈，全网浏览量突破300亿次。如图所示，比赛中某球员罚点球时，将质量约为的足球以的速度踢出，运动员对足球做的功约为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据动能定理，运动员对足球做的功等于足球动能的增加量，因此运动员对足球做的功 故选C。 2．如图，一质量为的人站在观光电梯内，电梯从静止开始以的加速度匀加速上升的高度，重力加速度大小取（　　） A．人的机械能增加了 B．人的动能增加了 C．人受到的支持力为 D．电梯对人做的功为 【答案】A 【详解】A C．机械能增量等于除重力外其他力做的功。人对电梯的压力与电梯对人支持力是作用力与反作用力，电梯对人做功即为支持力做功。 由牛顿第二定律解得 支持力做功 除重力外只有支持力做功，故机械能增加，故A正确，C错误； B．由，动能增量 联立解得，故B错误； D．电梯对人做功即支持力做功，为，故D错误； 故选A。 3．运动员从水平地面上把质量为400g的足球踢出后，某人观察它在空中的运动情况，估计足球上升的最大高度是3m，在最高点的速度大小为10m/s。不考虑空气阻力，以水平地面为参考平面，取重力加速度大小。下列选项正确的是（     ） A．足球在最高点时的动能为40J B．足球在最高点时的重力势能为30J C．运动员踢球时对足球做的功为12J D．运动员踢球时对足球做的功为32J 【答案】D 【详解】A．足球在最高点的速度大小为10m/s，则足球在最高点时的动能为，故A错误； B．足球上升的最大高度是3m，以水平地面为参考平面，则足球在最高点时的重力势能为，故B错误； CD．设足球被踢出时的初速度大小为，根据动能定理可得 不考虑空气阻力，足球从被踢出到最高点过程，根据动能定理可得 联立解得运动员踢球时对足球做的功为，故C错误，D正确。 故选D。 4．图为机车启动时发动机功率P随时间t变化的图像，图中为发动机的额定功率，已知机车在t1时刻之前已达到最大速度，可知（     ） A．0~时间牵引力变小 B．~t1时间内机车做匀变速运动 C．机车在时刻达到最大速度 D．0~时间内发动机做的功为 【答案】D 【详解】A．时间内，功率随时间线性增大，根据可知牵引力保持不变，A错误； B．时间内，功率达到额定功率保持不变，此时牵引力仍大于阻力，速度继续增大 由可知，不变时增大会导致减小，加速度减小，机车做加速度减小的加速运动，不是匀变速运动，B错误； C．当牵引力大小等于阻力时，机车速度达到最大值（​​） 时刻仅功率达到额定功率，此时牵引力仍大于阻力，速度仍在增大，因此时刻未达到最大速度，C错误； D．图像与时间轴围成的面积等于发动机做的功，​段图像为三角形，面积为，即做功为​​，D正确。 故选 D。 5．一辆质量为20kg的玩具赛车在水平直跑道上由静止开始匀加速启动，达到额定功率后保持功率不变，其加速度a随时间t变化的规律如图所示。已知赛车在跑道上运动时受到的阻力恒为40N，赛车从起点到终点所用的时间为35s，赛车到达终点前已达到最大速度，下列说法正确的是（     ） A．赛车匀加速行驶的距离是50m B．赛车5s末的速度是15m/s C．赛车5s末的功率是800W D．赛车匀速行驶的时间是30s 【答案】C 【详解】A．从题中图像可以看出，赛车匀加速行驶的加速度为、时间为5s，匀加速行驶的距离，故A错误； BC．设匀加速阶段的牵引力为，根据牛顿第二定律 可得 5s的时候达到了额定功率，则赛车5s末的速度是 根据，可得赛车5s末的功率是，故B错误，C正确； D.由题中图像可知，有一段时间赛车做加速度减小的加速运动，故匀速行驶的时间应小于30s，故D错误。 故选C。 6．如图，人站在台阶式自动扶梯上不动，随扶梯向上匀加速运动，下列说法中正确的是（     ） A．重力对人做正功 B．摩擦力对人做正功 C．支持力对人做负功 D．合力对人不做功 【答案】B 【详解】A．重力与人的运动方向成钝角，重力对人做负功，故A错误； B．人随扶梯向上匀加速运动，人受水平向右的摩擦力，则摩擦力与人的运动方向成锐角，摩擦力对人做正功，故B正确； C．支持力竖直向上，与人的运动方向成锐角，支持力对人做正功，故C错误； D．人随扶梯向上匀加速运动，人所受合力方向为斜向上，则合力与人的运动方向成锐角，合力对人做正功，故D错误。 故选B。 二、多选题 7．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在内其速度与时间图像和该拉力的功率与时间图像分别如图甲和乙所示，下列说法正确的是（     ） A．内物体位移大小为 B．内拉力做的功为 C．合力在内做的功与内做的功相等 D．滑动摩擦力大小为 【答案】BC 【详解】A．由图像与横轴围成的面积表示位移，可知内物体位移大小为，故A错误； B．由功率与时间图像围成的面积等于力做的功，可知内拉力做的功为，故B正确； C．在内与内动能变化量相同，则根据动能定理可知，合外力在内做的功与内做的功相等，故C正确； D．在内，物体做匀速直线运动，摩擦力等于拉力，则有 解得滑动摩擦力大小为，故D错误。 故选BC。 8．如图所示，一固定斜面倾角为，一质量为的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小。物块上升的最大高度为，则此过程中，物块的（     ） A．动能损失了 B．重力势能减少了 C．机械能损失了 D．机械能损失了 【答案】AC 【详解】A．沿斜面方向对物块列牛顿第二定律 已知加速度，解得摩擦力 物块上升高度为，沿斜面的位移大小 根据动能定理，动能损失量等于合外力做功的大小，合外力大小 因此动能损失，故A正确； B．物块上升高度，重力做负功，重力势能增加了，不是减少，故B错误； CD．机械能的变化等于除重力外其他力（此处为摩擦力）做的功，机械能损失量等于克服摩擦力做的功 即机械能损失，故C正确，D错误。 故选AC 。 9．额定功率为60kW的汽车，在平直公路上行驶的最大速度为30m/s，汽车的质量为2×103kg，汽车从静止开始先做加速度为3m/s2的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运动过程中阻力不变，则关于启动过程，下列说法正确的是（     ） A．汽车受到的阻力为2000N B．汽车匀加速运动时受到的牵引力为6000N C．汽车做匀加速直线运动的时间为2.5s D．从静止到速度达到最大，合外力对汽车做的功为9×105J 【答案】ACD 【详解】A．当牵引力等于阻力时，速度最大，根据 解得，故A正确； BC．根据牛顿第二定律得 解得 则匀加速直线运动的末速度为 匀加速直线运动的时间为，故B错误，C正确； D．根据动能定理知，合力做功等于动能的变化量，则合力做功为 可得，故D正确。 故选ACD。 三、解答题 10．如图所示，某滑雪赛道由平直轨道AB、倾斜直轨道BC和圆弧轨道CDE构成。圆弧轨道的半径R=20m，O为圆心，D为圆弧轨道的最低点，OD竖直，OC与竖直方向的夹角α=370。某次比赛中，一总质量为60kg的运动员，从平直轨道末端B点以水平飞出，刚好无碰撞地从C点进入圆弧轨道，在D点时对轨道的压力大小为1080N。不计空气阻力，g取10m/s2，。求： (1)运动员在C点时的速度大小vC； (2)运动员从B到C下降的高度h； (3)从C到D的过程中，运动员克服摩擦力所做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设运动员在点时的速度大小为，则 解得 （2）设运动员在点竖直方向的速度为，则 解得 运动员从运动到过程中，在竖直方向做自由落体运动，则 解得 （3）设运动员到点时的速度大小为，受到轨道的支持力大小为，则 设从到的过程中运动员克服摩擦力所做的功为，则 解得 11．如图甲，可视为质点的、两小物块靠在一起，静置于水平面上。现用一水平向右推力作用在上，使、向右运动。以表示离开初始位置的位移，随变化的图像如图乙所示。已知、质量均为，与地面间的动摩擦因数为，B与地面间的摩擦不计，重力加速度大小取。 (1)离开初始位置向右运动的过程中，推力做的功； (2)离开初始位置时，对的作用力大小； (3)、向右运动过程中的最大速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）离开初始位置向右运动的过程中做的功 （2）对整体，根据牛顿第二定律其中 对根据牛顿第二定律 联立解得 （3）当、之间的弹力为零时，、分离，此时的加速度均为零，则此时 此时 该过程中由动能定理 其中 解得 12．图甲所示，长为4m的水平轨道AB与半径为R=0.6m的竖直半圆轨道BC在B处平滑连接，C点在B点的正上方，有一质量为m=1kg的滑块（大小不计）受水平外力F的作用，从A处由静止开始向右运动，F与滑块位移x的关系图像如图乙所示，滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ=0.4，与轨道BC间的动摩擦因数未知，g取10m/s2。（规定水平向右为力F的正方向） (1)求滑块到达B处时的速度大小； (2)求滑块在水平轨道AB上运动前2m所用的时间； (3)若滑块到达B点时撤去外力F，滑块沿半圆轨道内侧上滑，到达圆心等高处时的速度为，则半圆轨道上的摩擦力对滑块所做的功是多少？ 【答案】(1) (2)0.5s (3)-6.5J 【详解】（1）对滑块，从A到B的过程，根据动能定理可得，， 解得 （2）在前2m，根据牛顿第二定律可得 解得 根据位移时间关系可得 解得 （3）对滑块，从B到圆心等高点的过程中，根据动能定理可得 解得 13．如图所示，水平光滑轨道与圆心为、半径为的粗糙半圆轨道相切于点，点为轨道最低点，质量为、可视为质点的小物块以水平速度从水平面冲上半圆轨道，并刚好通过轨道最高点水平飞出，重力加速度，，，求小物块在圆轨道上运动的过程中克服摩擦力做功。 【答案】 【详解】小物块恰好从点飞出，对小物块在点受力分析，可得   小物块从到的过程，应用动能定理，可得   解得 14．一质量m=2.6×103kg、最大功率Pm=1×105W的汽车在平直公路上以大小v1=10m/s的速度匀速行驶，此时汽车发动机的功率P=3×104W。已知汽车行驶过程所受的阻力大小恒定，重力加速度大小g取10m/s2。 (1)求该汽车所受的阻力大小f。 (2)若该汽车沿倾角θ=30°的坡路以最大功率匀速向上行驶，汽车在水平路面上和坡路上所受路面及空气阻力大小相等，求此时汽车的速度大小v2。 【答案】(1)3000N (2)6.25 m/s 【详解】（1）汽车匀速行驶时所受的牵引力大小F1=f 又P=F1v1　 解得汽车所受的阻力大小f=3000 N （2）汽车沿坡路匀速向上行驶时，根据物体的平衡条件可知，此时汽车所受的牵引力大小F2=f+mgsin θ 又Pm=F2v2 解得此时汽车的速度大小v2=6.25 m/s 14 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习讲义 2025-2026高一下学期期末复习讲义 第四讲 功与动能定理 一、功 1.功的定义：力与在力的方向上位移的乘积。 2.功的两个要素：①作用在物体上的力；②物体在力的方向上发生的位移。 3.恒力做功的公式：W＝Flcosα，α为恒力F的方向与位移l的方向之间的夹角，这是计算功的一般公式（只适用于恒力做功） 4.合力做功：当物体受到几个力的作用时，各力所做的功相加，就等于合力所做的功。 方法一：当合力F为恒力时，先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功，α是合力F与物体位移l的夹角。 方法二：先求各个力做的功，再应用W合＝W1＋W2＋…＝F1l1cos α1＋F2l2cos α2＋…求合外力做的功。 5.正功和负功 对公式W=Fscosα讨论得知： 0≤α＜90° 力对物体做正功 90°＜α≤180° 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功 α=90° 力对物体不做功 二、功率 1.定义：功与完成这些功所用时间的比值。 2.物理意义：标量，描述力对物体做功的快慢。只有正值，没有负值。 3.定义式：P＝，P为时间t内的平均功率。 4.单位：国际单位是瓦特，符号是W，常用的单位还有kW。 5.平均功率与瞬时功率 平均功率：或（表示力在一段时间内做功的平均快慢） 瞬时功率：P=Fvcosα（表示力在一段极短时间内做功的快慢） ． 6．机车启动的两种过程 机车以恒定的功率启动，由于牵引力，，v增大，F减小，阻力f不变，加速度a减小，∴机车做加速度减小的加速运动。当F=f时，a=0，开始做匀速直线运动，速度是。 【常考问题】这一过程牵引力做功：W=Pt（变力做功，t为运动时间） 示意图： 机车以恒定加速度a启动，由知，当加速度a不变时，发动机牵引力恒定；再由P=v知，一定时， P随v增大而增大，但当P增大到额定功率以后不再增大，设此时速度为v0，此后发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力F减小，直至F=f时，a=0，车速达到最大值，此后做匀速直线运动。 【常考问题】匀加速过程持续时间：，，。联立可求出时间t1。 示意图： 三、动能定理 （一）动能的表达式 1．表达式：Ek＝mv2. 2．动能变化量ΔEk ＝mv22－mv12，若ΔEk>0，则表示物体的动能增加，若ΔEk<0，则表示物体的动能减少. （二）动能定理 1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化. 2．表达式：W合＝ΔEk W＝Ek2－Ek1＝mv22－mv12. (1)Ek2＝mv22表示这个过程的末动能；Ek1＝mv12表示这个过程的初动能. (2)W表示这个过程中合力做的功，它等于各力做功的代数和. (3)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动． (4)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功． 3．应用动能定理解题的一般步骤： (1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程. (2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和. (3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2. (4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算. 考点一：功与功率 例1.工人用水平恒定拉力拉动质量为的小车，沿水平地面向左匀速运动。已知小车运动时受到的阻力恒为车重的0.4倍，重力加速度。则下列说法正确的是（    ） A．水平拉力大小为 B．拉力做功大小为 C．重力对小车做功为 D．地面对小车的支持力做功不为零 例2.用两个互相垂直的力，拉着物体运动，在一段时间内对物体做的功为3J，对物体做的功为4J，则，的合力对物体做的功为（     ） A．1J B．5J C．7J D．25J 例3.功率的定义式为由此可得（　　） A．功率是描述做功多少的物理量 B．由定义式可求出在t时间内平均功率 C．功率与功成正比与时间成反比 D．由定义式可知功率方向与功的方向相同 例4．如图所示，质量为m=4kg的木块在倾角θ=37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，前3s内物体下滑的距离为9m。已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10 m/s2，求： (1)前3s内重力做的功； (2)前3s内重力的平均功率； (3)3s末重力的瞬时功率。 考点二：机动车启动方式 例1.复兴号动车在世界上首次实现时速350公里自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为的动车，初速度为，以恒定功率在平直轨道上运动，经时间达到该功率下的最大速度，设动车行驶过程所受到的阻力保持不变。则动车在时间内（　　） A．加速度逐渐减小到0 B．做匀加速直线运动 C．牵引力做功为 D．牵引力的功率 例2.我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一。如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数 的关系图像。若汽车质量为 它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（     ） A．汽车以恒定功率启动 B．汽车匀加速所需时间为5s C．汽车所受阻力为 D．汽车在车速为5m/s时，功率为 考点三：动能定理的初步应用 例1.如图所示，质量为m=0.5kg的小球，用长为l=1m的轻绳悬挂于O点的正下方P点。小球在水平向右拉力的作用下，在竖直平面内从P点缓慢地移动到Q点，Q点轻绳与竖直方向夹角为，不计空气阻力，g取10m/s2。下列说法正确的是（     ） A．在此过程中水平拉力的最大值为10N B．在此过程中重力对小球做功为2.5J C．在此过程中水平拉力对小球做功为2.5J D．若小球运动到Q点时撤去水平拉力，小球开始下摆，小球回到P点时，重力的瞬时功率最大 例2. A、B两物体的质量之比，它们仅受摩擦力作用，且以相同的初速度在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其图像如图所示。则此过程中（     ） A．A、B两物体的初动能之比为 B．A、B两物体受到的摩擦力做功之比为 C．A、B两物体运动的位移之比为 D．A、B两物体受到的摩擦力之比为 例3.图甲为游乐场中的水滑梯，其简化示意图如图乙所示，其可视为由光滑的四分之一圆轨道和水平阻力轨道平滑连接组成。圆弧轨道的半径，游客的质量，人在水平轨道上受到的阻力大小是重力的，取，求： (1)游客从起点A由静止开始滑下，求刚滑到水平轨道B处时游客对轨道的压力的大小？ (2)出于安全考虑，要求人不能滑出水平轨道的末端C点，则水平轨道至少要多长？ (3)假设游客质量为，在水平轨道上受到的阻力为，到达B点的速度为。请根据牛顿第二定律和运动学公式，推导出游客在水平轨道滑行至停止的过程中，阻力做功的表达式。 考点四：动能定理的综合应用 例1.在我国，汽车已进入寻常百姓家，一种新车从研发到正式上路，要经过各种各样的测试，其中一种是在专用道上进行起步过程测试，通过车上装载的传感器记录了起步过程速度随时间变化规律图像，如图所示，已知为直线、为曲线、为平行于横轴的直线。时汽车功率达到额定功率且保持不变，该车总质量为，所受到的阻力恒为，则下列说法正确的是（     ） A．该车的最大速度为 B．该车起步过程的牵引力为 C．该车的额定功率为 D．该车前内通过的位移大小为 例2.从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能随h的变化如图所示。重力加速度g取。下列说法正确的是（     ） A．物体的质量为1 kg B．物体上升过程受到的阻力为4 N C．物体下降过程所受合力为7 N D．物体能上升的最大高度为6 m 例3.如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨最低点平滑相接，导轨半径为。一个质量为的物体（可视为质点）将弹簧向左压缩至点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过点时的速度大小为，之后沿半圆形导轨运动，恰好到达最高点。重力加速度为。求： (1)弹簧压缩至点时的弹性势能； (2)物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。 一、单选题 1．贵州“村超”火爆出圈，全网浏览量突破300亿次。如图所示，比赛中某球员罚点球时，将质量约为的足球以的速度踢出，运动员对足球做的功约为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一质量为的人站在观光电梯内，电梯从静止开始以的加速度匀加速上升的高度，重力加速度大小取（　　） A．人的机械能增加了 B．人的动能增加了 C．人受到的支持力为 D．电梯对人做的功为 3．运动员从水平地面上把质量为400g的足球踢出后，某人观察它在空中的运动情况，估计足球上升的最大高度是3m，在最高点的速度大小为10m/s。不考虑空气阻力，以水平地面为参考平面，取重力加速度大小。下列选项正确的是（     ） A．足球在最高点时的动能为40J B．足球在最高点时的重力势能为30J C．运动员踢球时对足球做的功为12J D．运动员踢球时对足球做的功为32J 4．图为机车启动时发动机功率P随时间t变化的图像，图中为发动机的额定功率，已知机车在t1时刻之前已达到最大速度，可知（     ） A．0~时间牵引力变小 B．~t1时间内机车做匀变速运动 C．机车在时刻达到最大速度 D．0~时间内发动机做的功为 5．一辆质量为20kg的玩具赛车在水平直跑道上由静止开始匀加速启动，达到额定功率后保持功率不变，其加速度a随时间t变化的规律如图所示。已知赛车在跑道上运动时受到的阻力恒为40N，赛车从起点到终点所用的时间为35s，赛车到达终点前已达到最大速度，下列说法正确的是（     ） A．赛车匀加速行驶的距离是50m B．赛车5s末的速度是15m/s C．赛车5s末的功率是800W D．赛车匀速行驶的时间是30s 6．如图，人站在台阶式自动扶梯上不动，随扶梯向上匀加速运动，下列说法中正确的是（     ） A．重力对人做正功 B．摩擦力对人做正功 C．支持力对人做负功 D．合力对人不做功 二、多选题 7．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在内其速度与时间图像和该拉力的功率与时间图像分别如图甲和乙所示，下列说法正确的是（     ） A．内物体位移大小为 B．内拉力做的功为 C．合力在内做的功与内做的功相等 D．滑动摩擦力大小为 8．如图所示，一固定斜面倾角为，一质量为的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小。物块上升的最大高度为，则此过程中，物块的（     ） A．动能损失了 B．重力势能减少了 C．机械能损失了 D．机械能损失了 9．额定功率为60kW的汽车，在平直公路上行驶的最大速度为30m/s，汽车的质量为2×103kg，汽车从静止开始先做加速度为3m/s2的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运动过程中阻力不变，则关于启动过程，下列说法正确的是（     ） A．汽车受到的阻力为2000N B．汽车匀加速运动时受到的牵引力为6000N C．汽车做匀加速直线运动的时间为2.5s D．从静止到速度达到最大，合外力对汽车做的功为9×105J 三、解答题 10．如图所示，某滑雪赛道由平直轨道AB、倾斜直轨道BC和圆弧轨道CDE构成。圆弧轨道的半径R=20m，O为圆心，D为圆弧轨道的最低点，OD竖直，OC与竖直方向的夹角α=370。某次比赛中，一总质量为60kg的运动员，从平直轨道末端B点以水平飞出，刚好无碰撞地从C点进入圆弧轨道，在D点时对轨道的压力大小为1080N。不计空气阻力，g取10m/s2，。求： (1)运动员在C点时的速度大小vC； (2)运动员从B到C下降的高度h； (3)从C到D的过程中，运动员克服摩擦力所做的功W。 11．如图甲，可视为质点的、两小物块靠在一起，静置于水平面上。现用一水平向右推力作用在上，使、向右运动。以表示离开初始位置的位移，随变化的图像如图乙所示。已知、质量均为，与地面间的动摩擦因数为，B与地面间的摩擦不计，重力加速度大小取。 (1)离开初始位置向右运动的过程中，推力做的功； (2)离开初始位置时，对的作用力大小； (3)、向右运动过程中的最大速度的大小。 12．图甲所示，长为4m的水平轨道AB与半径为R=0.6m的竖直半圆轨道BC在B处平滑连接，C点在B点的正上方，有一质量为m=1kg的滑块（大小不计）受水平外力F的作用，从A处由静止开始向右运动，F与滑块位移x的关系图像如图乙所示，滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ=0.4，与轨道BC间的动摩擦因数未知，g取10m/s2。（规定水平向右为力F的正方向） (1)求滑块到达B处时的速度大小； (2)求滑块在水平轨道AB上运动前2m所用的时间； (3)若滑块到达B点时撤去外力F，滑块沿半圆轨道内侧上滑，到达圆心等高处时的速度为，则半圆轨道上的摩擦力对滑块所做的功是多少？ 13．如图所示，水平光滑轨道与圆心为、半径为的粗糙半圆轨道相切于点，点为轨道最低点，质量为、可视为质点的小物块以水平速度从水平面冲上半圆轨道，并刚好通过轨道最高点水平飞出，重力加速度，，，求小物块在圆轨道上运动的过程中克服摩擦力做功。 14．一质量m=2.6×103kg、最大功率Pm=1×105W的汽车在平直公路上以大小v1=10m/s的速度匀速行驶，此时汽车发动机的功率P=3×104W。已知汽车行驶过程所受的阻力大小恒定，重力加速度大小g取10m/s2。 (1)求该汽车所受的阻力大小f。 (2)若该汽车沿倾角θ=30°的坡路以最大功率匀速向上行驶，汽车在水平路面上和坡路上所受路面及空气阻力大小相等，求此时汽车的速度大小v2。 14 学科网（北京）股份有限公司 $