第三讲 万有引力定律 期末复习讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

期末复习讲义 2025-2026高一下学期期末复习讲义 第三讲 万有引力定律 一、开普勒行星运动定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  =k,k是一个与行星无关的常量 二、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F＝G。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 (1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。 (2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离。 F＝G的适用条件 (1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 3．万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 4．重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′： mg′＝，得g′＝。 三、万有引力定律应用 1.天体质量和密度的计算 1．重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 2.卫星运行参量 1．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11．2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11．2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．物理量随轨道半径变化的规律 3.同步卫星的6个“一定” 3.卫星变轨问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．常见变轨过程“四分析” (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。 考点一：开普勒定律 例1.下列说法中正确的是（     ） A．卡文迪许测出了引力常量，进而发现了万有引力定律 B．哥白尼观测了行星的轨道数据，并总结出了行星运动三大定律 C．开普勒第一定律认为：所有行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳位于椭圆轨道中心 D．中r代表轨道半长轴，T代表公转周期，比值k只与中心天体有关 例2.我国“天宫”空间站的轨道离地高度约为400km，空间站内的宇航员每24h能看到16次日出。“吉林一号”遥感卫星组网中的某颗卫星轨道离地高度约为535km。已知地球半径约为6400km，空间站与该卫星绕地球的运动均视为匀速圆周运动，则该卫星的周期约为（   ） A．1.0h B．1.5h C．2.0h D．2.4h 例3.“天问二号”火星探测器计划于2025年5月前后发射。未来，“天问二号”发射后按计划进入火星引力范围，经过一系列变轨进入如图所示的椭圆停泊轨道，为着陆火星做准备。“天问二号”质量为m，如图所示，ac为椭圆的长轴，bd为短轴，a点为椭圆的近火点、到火星中心的距离为，经过a点时的速度大小为，所受引力大小为；c点为远火点、到火星中心的距离为，“天问二号”经过c点时的速度大小为，所受引力大小为。下列关于天问二号说法正确的是（     ） A． B． C．在b点和d点的加速度相同 D．沿bcd运动的时间和沿dab运动的时间不同 考点二：万有引力定律 例1.有两颗运行中的人造地球卫星a、b。它们的质量相同，其中a到地心的距离为r，b到地心的距离为2r。设a所受地球引力大小为F，则b所受地球引力大小为（　　） A． B． C． D． 例2.已知某行星自转周期为T，某物体在赤道处的重力是两极处的80%，万有引力常量G。 (1)若已知该行星的质量为，求该行星的同步卫星的轨道半径r； (2)求该行星的密度； (3)设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘浮”起来，求此时该行星的自转周期（结果可带根号）。 例3.2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求： (1)火星表面的重力加速度的大小g； (2)火星上的第一宇宙速度是多少？ 例4.郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 考点三：万有引力定律的应用--宇宙速度 例1.某行星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则该行星与地球的第一宇宙速度之比约为（     ） A．1 B． C． D． 例2. 中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。图是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，以下说法正确的是（     ） A．发射速度必须达到第二宇宙速度 B．轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ时，需点火加速 C．轨道Ⅲ上点的加速度大于轨道Ⅱ上点的加速度 D．轨道与轨道半长轴的立方与公转周期的平方之比相等 考点四：万有引力定律的应用--人造卫星 例1.中国载人航天工程计划在2030年前实现中国人首次登陆月球。若近月卫星的周期为T，月球的半径为R，忽略月球自转，则月球表面的重力加速度为（     ） A． B． C． D． 例2.如图所示，人造地球卫星1在圆形轨道Ⅰ上运行，人造地球卫星2在椭圆轨道Ⅱ上运行，其中椭圆轨道上的A点为远地点，B点为近地点，两轨道相切于A点，下列说法正确的是（    ） A．卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于卫星2在轨道Ⅱ上B点的速度 B．卫星1在A点的加速度大于卫星2在A点的加速度 C．卫星1和卫星2在相同时间内与地球连线扫过的面积相等 D．卫星1在轨道Ⅰ上的机械能大于卫星2在轨道Ⅱ上的机械能 例3.2018年12月我国成功发射“嫦娥四号”探测器，实现了人类首次月球背面着陆。假设“嫦娥四号”探测器的发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度 B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度 C．“嫦娥四号”在M点需要加速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道 D．“嫦娥四号”探测器的发射速度大于地球的第二宇宙速度 考点五：同步卫星 例1.如图所示，A表示地球静止卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，关于它们的线速度、角速度、运行周期和加速度的比较，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 例2.地球赤道上一物体随地球自转的周期为TA，近地卫星的周期为TB，同步卫星的周期为TC，下列说法正确的是（　　） A．TA>TC>TB B．TC>TB>TA C．TA=TC>TB D．TA=TC<TB 一、单选题 1．我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回，其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量取，根据以上数据可推算出火星的（     ） A．体积 B．第一宇宙速度 C．质量 D．自转周期 2．2023年10月5日，中国成功发射遥感三十九号卫星。在卫星升空的过程中，其与地球间的万有引力（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 3．我国自主建设运行的北斗全球卫星导航系统空间段由多颗卫星组成。若轨道半径不同的两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，角速度大小分别为，线速度大小分别为，则（     ） A． B． C． D． 4．“天问一号”火星探测器成功实施制动被火星捕获后，进入环绕火星的轨道，成为中国第一颗人造火星卫星。如图所示，轨道Ⅰ为圆轨道，轨道Ⅱ、Ⅲ均为椭圆轨道，探测器从轨道Ⅲ依次变轨到轨道Ⅰ的过程中，探测器（     ） A．在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的机械能相等 B．沿轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ经过P点的速度相等 C．沿轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ经过P点的加速度相等 D．从轨道Ⅱ变轨到轨道I，需要在P点点火加速 5．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度高可靠定位、导航、授时服务。如图所示，a为北斗组网卫星中的极地卫星、b为组网中的地球静止卫星，c为赤道上随地球一起转动的物体。已知地球自转周期为T，地球半径为R，赤道上重力加速度为g，引力常量为G，则（     ） A．地球的质量为 B．b卫星距地面高度为 C．a、b、c的线速度大小关系为 D．a、b、c的周期大小关系为 6．关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是（     ） A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大 B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动，在从近日点向远日点运动的过程中所受引力变小 C．由可知，由此可见G与F和的乘积成正比，与M和m的乘积成反比 D．行星对太阳的引力要小于太阳对行星的引力 7．如图所示，哈雷彗星的近日点P到太阳中心的距离为，速度为，加速度为；远日点Q到太阳中心的距离为，速度为，加速度为。则（     ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 8．中国空间站作为太空家园，承载着人类探索宇宙的伟大梦想。将空间站视为在距离地球表面高度为的圆轨道上做匀速圆周运动。已知地球质量为、半径为，万有引力常量为，空间站质量为。下列关于空间站在轨道上运行时各物理量的表达式，正确的是（     ） A．线速度 B．周期 C．所受地球的万有引力 D．向心加速度 9．如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球静止卫星，已知地球自转周期为TA，B的运行周期为TB地球静止卫星C的周期为TC，以下判断正确的是（　　） A．A、B的向心加速度大小关系为 B．A、B、C的线速度大小关系为 C．A、B、C的周期大小关系为 D．卫星C的运行速度大小大于地球的第一宇宙速度 10．如图所示为发射卫星的轨道简化示意图，先将卫星发射到半径为 的圆轨道 I上做匀速圆周运动，在A 点时使卫星变轨进入椭圆轨道Ⅱ上，卫星运动到椭圆轨道的远地点B 点时，再次变轨，进入半径为 的圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道Ⅱ上 A 点时的速率为v，卫星的质量为m，地球的质量为M，引力常量为G，下列说法正确的是（     ） A．卫星在轨道Ⅲ上B 点的加速度大于在轨道Ⅱ（稳定运行）上B点的加速度 B．在轨道Ⅰ上卫星与地球球心的连线单位时间内扫过的面积要比在轨道Ⅲ上的小 C．卫星在椭圆轨道上运行的周期与在半径为r₂的圆轨道上运行周期的比值 D．发动机在 B 点对卫星做的功为 三、解答题 11．2022年9月第73届国际宇航大会（IAC）在法国巴黎召开，中国首次火星探测“天问一号”任务团队获得“世界航天奖”。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，火星绕太阳公转的轨道半径约为地球公转轨道半径的倍。忽略星球自转的影响，请估算： (1)火星表面与地球表面的重力加速度大小之比； (2)火星与地球公转周期之比。 12．据国家航天局消息，科研团队根据“祝融号”火星车发回遥测信号确认，5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。天问一号靠近火星时，被火星引力捕获后绕火星做近似圆周运动，周期为T，轨道半径近似等于火星半径R，已知万有引力常量为G。求： (1)火星的平均密度； (2)离火星表面距离为R处的重力加速度g0。 13．在月球表面，宇航员用弹簧测力计测出一个质量为m的砝码重力为F。月球可视为质量分布均匀的球体，半径为R，忽略其自转，引力常量为G，求： (1)月球的质量； (2)月球的第一宇宙速度。 14．假如未来航天员登陆火星，在火星上通过抛体运动或圆周运动测得火星表面两极处的重力加速度为，赤道处的重力加速度为。已知引力常量为，火星的半径为（不计自转引起的火星体积变化，即视火星为质量分布均匀的球）。求： (1)火星的质量； (2)火星的自转角速度； (3)若火卫一离火星表面的高度为，火卫一绕火星做圆周运动的周期。 14 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习讲义 2025-2026高一下学期期末复习讲义 第三讲 万有引力定律 一、开普勒行星运动定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  =k,k是一个与行星无关的常量 二、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F＝G。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 (1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。 (2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离。 F＝G的适用条件 (1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 3．万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 4．重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′： mg′＝，得g′＝。 三、万有引力定律应用 1.天体质量和密度的计算 1．重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 2.卫星运行参量 1．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11．2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11．2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．物理量随轨道半径变化的规律 3.同步卫星的6个“一定” 3.卫星变轨问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．常见变轨过程“四分析” (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。 考点一：开普勒定律 例1.下列说法中正确的是（     ） A．卡文迪许测出了引力常量，进而发现了万有引力定律 B．哥白尼观测了行星的轨道数据，并总结出了行星运动三大定律 C．开普勒第一定律认为：所有行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳位于椭圆轨道中心 D．中r代表轨道半长轴，T代表公转周期，比值k只与中心天体有关 【答案】D 【详解】A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量，故A错误； B．第谷观测积累了大量行星轨道数据，开普勒基于这些数据总结出了行星运动三大定律，哥白尼提出了日心说，故B错误； C．开普勒第一定律指出：所有行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，而非椭圆轨道中心，故C错误； D．开普勒第三定律中，是行星轨道的半长轴，是行星的公转周期，比值仅由中心天体的质量决定，与环绕天体无关，故D正确。 故选D。 例2.我国“天宫”空间站的轨道离地高度约为400km，空间站内的宇航员每24h能看到16次日出。“吉林一号”遥感卫星组网中的某颗卫星轨道离地高度约为535km。已知地球半径约为6400km，空间站与该卫星绕地球的运动均视为匀速圆周运动，则该卫星的周期约为（   ） A．1.0h B．1.5h C．2.0h D．2.4h 【答案】B 【详解】由题知“天宫”空间站周期，运行半径r1 = 6800km “吉林一号”遥感卫星运行半径r2 = 6935km，根据开普勒第三定律有 解得T2 ≈ T1 = 1.5h 故选B。 例3.“天问二号”火星探测器计划于2025年5月前后发射。未来，“天问二号”发射后按计划进入火星引力范围，经过一系列变轨进入如图所示的椭圆停泊轨道，为着陆火星做准备。“天问二号”质量为m，如图所示，ac为椭圆的长轴，bd为短轴，a点为椭圆的近火点、到火星中心的距离为，经过a点时的速度大小为，所受引力大小为；c点为远火点、到火星中心的距离为，“天问二号”经过c点时的速度大小为，所受引力大小为。下列关于天问二号说法正确的是（     ） A． B． C．在b点和d点的加速度相同 D．沿bcd运动的时间和沿dab运动的时间不同 【答案】D 【详解】AB．是近火点，过后探测器远离火星做离心运动，说明万有引力（提供的合力）小于所需向心力，即 是远火点，过后探测器靠近火星做近心运动，说明万有引力大于所需向心力，即 ，故AB错误； C．加速度是矢量，由万有引力产生： 、到火星中心的距离相等，因此加速度大小相等，但万有引力方向始终指向火星中心：点加速度方向指向左下方，点加速度方向指向左上方，方向不同，因此加速度不同。故C错误； D．根据开普勒第二定律：探测器与火星中心的连线单位时间扫过面积相等。 沿运动时，探测器整体离火星更远，平均速度更小，对应扫过的面积更大，因此运动时间更长；沿运动时，探测器整体离火星更近，平均速度更大，对应扫过的面积更小，运动时间更短。因此两者运动时间不同，故D正确。 故选D。 考点二：万有引力定律 例1.有两颗运行中的人造地球卫星a、b。它们的质量相同，其中a到地心的距离为r，b到地心的距离为2r。设a所受地球引力大小为F，则b所受地球引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球的质量为，卫星a、b的质量为，对卫星a根据万有引力表达式可得 对卫星b根据万有引力表达式可得 可得 故选A。 例2.已知某行星自转周期为T，某物体在赤道处的重力是两极处的80%，万有引力常量G。 (1)若已知该行星的质量为，求该行星的同步卫星的轨道半径r； (2)求该行星的密度； (3)设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘浮”起来，求此时该行星的自转周期（结果可带根号）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得该同步卫星公转周期为行星自转周期T，由万有引力提供向心力可列     解得 （2）在赤道上有     在两极上有         根据题意有     联立可得，     该行星的密度         解得 （3）在“赤道”上的物体会“飘浮”起来，则物体与地面无接触，可知         结合第二问解析式可得 例3.2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求： (1)火星表面的重力加速度的大小g； (2)火星上的第一宇宙速度是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律 对火星表面的物体 解得 （2）对绕火星表面运动的卫星，则 解得 例4.郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设恒星半径为R，由题意得行星轨道半径r = nR 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得恒星质量 恒星为均匀球体，体积，平均密度，将r = nR代入得 故选C。 考点三：万有引力定律的应用--宇宙速度 例1.某行星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则该行星与地球的第一宇宙速度之比约为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，此时万有引力提供向心力，由 化简得第一宇宙速度表达式 其中为星球质量，为星球半径。两星球第一宇宙速度比值为 代入， 得 故选B。 例2. 中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。图是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，以下说法正确的是（     ） A．发射速度必须达到第二宇宙速度 B．轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ时，需点火加速 C．轨道Ⅲ上点的加速度大于轨道Ⅱ上点的加速度 D．轨道与轨道半长轴的立方与公转周期的平方之比相等 【答案】BD 【详解】A．“嫦娥一号”绕月球运行时，仍未脱离地球引力的约束，所以其发射速度应大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故A错误； B．卫星从低轨道变轨到高轨道，需要在变轨处点火加速，所以“嫦娥一号”从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ时，需点火加速，故B正确； C．在轨道Ⅲ上点与轨道Ⅱ上点所受月球的引力相同，则加速度相同，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，可知轨道与轨道都绕地球运动，可知半长轴的立方与公转周期的平方之比相等，故D正确。 故选BD。 考点四：万有引力定律的应用--人造卫星 例1.中国载人航天工程计划在2030年前实现中国人首次登陆月球。若近月卫星的周期为T，月球的半径为R，忽略月球自转，则月球表面的重力加速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】近月卫星的线速度 又由重力提供向心力 联立两式可得 故选D。 例2.如图所示，人造地球卫星1在圆形轨道Ⅰ上运行，人造地球卫星2在椭圆轨道Ⅱ上运行，其中椭圆轨道上的A点为远地点，B点为近地点，两轨道相切于A点，下列说法正确的是（    ） A．卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于卫星2在轨道Ⅱ上B点的速度 B．卫星1在A点的加速度大于卫星2在A点的加速度 C．卫星1和卫星2在相同时间内与地球连线扫过的面积相等 D．卫星1在轨道Ⅰ上的机械能大于卫星2在轨道Ⅱ上的机械能 【答案】A 【详解】A．根据，则，可知卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于卫星2在经过B点的圆轨道上的速度，而在轨道Ⅱ上B点的速度大于经过B点的圆轨道的速度，可知卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于卫星2在轨道Ⅱ上B点的速度，A正确； B．根据，则 则卫星1在A点的加速度等于卫星2在A点的加速度，B错误； C．卫星1和卫星2不在相同的轨道上，则在相同时间内与地球连线扫过的面积不一定相等，C错误； D．两卫星的质量关系不确定，则不能比较两卫星的机械能大小关系，D错误。 故选A。 例3.2018年12月我国成功发射“嫦娥四号”探测器，实现了人类首次月球背面着陆。假设“嫦娥四号”探测器的发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是（　　） A．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度 B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度 C．“嫦娥四号”在M点需要加速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道 D．“嫦娥四号”探测器的发射速度大于地球的第二宇宙速度 【答案】AB 【详解】A．卫星绕月球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，则有 解得 可知“嫦娥四号”在过Q点圆轨道的运行速度大于在轨道Ⅰ上经过M点的速度，而“嫦娥四号”在过Q点圆轨道需要点火加速变轨到椭圆轨道Ⅱ，所以“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过M点的速度小于在轨道Ⅱ上经过Q点的速度，故A正确； B．根据牛顿第二定律有 解得 因同一点到月球球心的距离相等，故“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上经过P点的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P点的加速度，故B正确； C．卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以“嫦娥四号”在M点需要减速才能实现从地月转移轨道转移到Ⅰ轨道，故C错误； D．“嫦娥四号”探测器绕月球运行时，并没有脱离地球引力的约束，所以发射速度大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故D错误。 故选AB。 考点五：同步卫星 例1.如图所示，A表示地球静止卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，关于它们的线速度、角速度、运行周期和加速度的比较，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对AC，角速度和周期相同，都等于地球自转的角速度和周期，则，，根据可得，； 对AB卫星，根据 可得 则，，， 可知，，， 故选BC。 例2.地球赤道上一物体随地球自转的周期为TA，近地卫星的周期为TB，同步卫星的周期为TC，下列说法正确的是（　　） A．TA>TC>TB B．TC>TB>TA C．TA=TC>TB D．TA=TC<TB 【答案】C 【详解】赤道上的物体随地球自转的周期等于同步卫星的周期，即TA=TC；根据开普勒第三定律可知，因同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，可知同步卫星的周期大于近地卫星的周期，即TC>TB。综上可知TA=TC>TB。 故选Ｃ。 一、单选题 1．我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回，其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量取，根据以上数据可推算出火星的（     ） A．体积 B．第一宇宙速度 C．质量 D．自转周期 【答案】C 【详解】A．火星体积公式为（为火星自身半径） 由于题目未给出火星自身半径，无法推算火星的体积，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 可得第一宇宙速度相当于绕星球表面运行时的卫星速度，则 计算中需要火星自身半径，题目未提供该数据，无法推算，故B错误； C．轨道器绕火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，满足 变形可得 题干中已知轨道半径、周期和引力常量，可推算出火星质量，故C正确； D．火星自转周期是火星绕自身轴转动的周期，与轨道器的公转周期无关联，无法由给定数据推算，故D错误。 故选C。 2．2023年10月5日，中国成功发射遥感三十九号卫星。在卫星升空的过程中，其与地球间的万有引力（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】B 【详解】根据万有引力定律，卫星与地球间的万有引力满足公式（其中为引力常量，为地球质量，为卫星质量，为卫星到地心的距离） 卫星升空过程中逐渐增大，可知逐渐减小。 故选B。 3．我国自主建设运行的北斗全球卫星导航系统空间段由多颗卫星组成。若轨道半径不同的两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，角速度大小分别为，线速度大小分别为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 其中为引力常量，为地球质量，为轨道半径，为角速度，为线速度。 推导得 A．由，由于轨道半径不同，则，故A错误； B．由以上分析可知，，与有关，，故B错误； C．由以上分析可知，，与有关，，故C错误； D．由以上分析可知，，与无关，故D正确。 故选D。 4．“天问一号”火星探测器成功实施制动被火星捕获后，进入环绕火星的轨道，成为中国第一颗人造火星卫星。如图所示，轨道Ⅰ为圆轨道，轨道Ⅱ、Ⅲ均为椭圆轨道，探测器从轨道Ⅲ依次变轨到轨道Ⅰ的过程中，探测器（     ） A．在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的机械能相等 B．沿轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ经过P点的速度相等 C．沿轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ经过P点的加速度相等 D．从轨道Ⅱ变轨到轨道I，需要在P点点火加速 【答案】C 【详解】A．轨道Ⅲ高度最大，轨道Ⅰ高度最小，根据“高轨高能”得机械能（同一探测器），A错误； B．在P点势能相等，机械能大的动能大，速度大，则，B错误； C．经过同一点，万有引力相等，加速度相等，即，C正确； D．探测器从轨道Ⅱ变轨到轨道I，探测器需要在P点点火减速做向心运动，D错误。 故选C。 5．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度高可靠定位、导航、授时服务。如图所示，a为北斗组网卫星中的极地卫星、b为组网中的地球静止卫星，c为赤道上随地球一起转动的物体。已知地球自转周期为T，地球半径为R，赤道上重力加速度为g，引力常量为G，则（     ） A．地球的质量为 B．b卫星距地面高度为 C．a、b、c的线速度大小关系为 D．a、b、c的周期大小关系为 【答案】A 【详解】A．在地球表面附近，忽略地球自转影响，物体受到的万有引力近似等于重力，有，解得地球质量，故A正确； B．为地球静止卫星，其周期等于地球自转周期，设其轨道半径为，距地面高度为，则 根据万有引力提供向心力有 结合，解得 则高度，故B错误； C．、均为卫星，根据 由图可知，则；、角速度相同，根据 由于，则，综上可知，故C错误； D．为地球静止卫星，为赤道上随地球一起转动的物体，两者周期相同，即；、均为卫星，根据开普勒第三定律 由于，则，综上可知，故D错误。 故选A。 6．关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是（     ） A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大 B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动，在从近日点向远日点运动的过程中所受引力变小 C．由可知，由此可见G与F和的乘积成正比，与M和m的乘积成反比 D．行星对太阳的引力要小于太阳对行星的引力 【答案】B 【详解】A．根据万有引力定律，太阳对行星的引力与行星到太阳的距离、行星质量均有关，木星质量远大于地球质量，即使地球离太阳更近，太阳对地球的引力也不一定比对木星的大，故A错误； B．行星从近日点向远日点运动时，行星到太阳的距离增大，由可知，太阳对行星的引力变小，故B正确； C．是引力常量，属于自然界的固有常量，其大小与、、、均无关，仅为的计算式而非决定式，故C错误； D．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是一对相互作用力，根据牛顿第三定律，二者大小相等，故D错误。 故选B。 7．如图所示，哈雷彗星的近日点P到太阳中心的距离为，速度为，加速度为；远日点Q到太阳中心的距离为，速度为，加速度为。则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由开普勒第二定律（行星与中心天体连线相等时间扫过面积相等），彗星近日点P速度更大，故，由万有引力提供加速度，得，，故ACD错误，B正确。 故选B。 二、多选题 8．中国空间站作为太空家园，承载着人类探索宇宙的伟大梦想。将空间站视为在距离地球表面高度为的圆轨道上做匀速圆周运动。已知地球质量为、半径为，万有引力常量为，空间站质量为。下列关于空间站在轨道上运行时各物理量的表达式，正确的是（     ） A．线速度 B．周期 C．所受地球的万有引力 D．向心加速度 【答案】AB 【详解】空间站轨道半径 A．由可得线速度，故A正确； B．由可得周期，故B正确； C．由万有引力公式可得卫星所受地球的万有引力，故C错误； D．由可得向心加速度，故D错误。 故选AB。 9．如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球静止卫星，已知地球自转周期为TA，B的运行周期为TB地球静止卫星C的周期为TC，以下判断正确的是（　　） A．A、B的向心加速度大小关系为 B．A、B、C的线速度大小关系为 C．A、B、C的周期大小关系为 D．卫星C的运行速度大小大于地球的第一宇宙速度 【答案】AB 【详解】ABC．A是赤道上随地球自转的物体，C是地球同步静止卫星，因此二者角速度、周期相等， B、C都是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，设地球半径为，B离地高度等于地球半径，因此B的轨道半径 同步卫星C的轨道半径，最终轨道半径关系为 根据万有引力提供向心力 对卫星B、C：向心加速度，越小越大，因此 线速度，越小越大，因此 周期，越小越小，因此 对同角速度的A、C，由、，结合 得， 因此，，，故AB正确，C错误； D．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，是地球卫星的最大环绕速度，C的轨道半径远大于地球半径，因此运行速度小于第一宇宙速度，故D错误。 故选AB。 10．如图所示为发射卫星的轨道简化示意图，先将卫星发射到半径为 的圆轨道 I上做匀速圆周运动，在A 点时使卫星变轨进入椭圆轨道Ⅱ上，卫星运动到椭圆轨道的远地点B 点时，再次变轨，进入半径为 的圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道Ⅱ上 A 点时的速率为v，卫星的质量为m，地球的质量为M，引力常量为G，下列说法正确的是（     ） A．卫星在轨道Ⅲ上B 点的加速度大于在轨道Ⅱ（稳定运行）上B点的加速度 B．在轨道Ⅰ上卫星与地球球心的连线单位时间内扫过的面积要比在轨道Ⅲ上的小 C．卫星在椭圆轨道上运行的周期与在半径为r₂的圆轨道上运行周期的比值 D．发动机在 B 点对卫星做的功为 【答案】BD 【详解】A．卫星在点受到地球的万有引力作用，根据牛顿第二定律有 解得 不论是在轨道还是轨道上，卫星在点距地心的距离均相等，因此卫星在轨道上点的加速度等于在轨道上点的加速度，故A错误； B．设卫星在任意圆轨道上运行的速率为，轨道半径为，根据万有引力提供向心力有 解得 卫星与地球球心的连线在单位时间内扫过的面积为 联立解得 由表达式可知，圆轨道半径越大，单位时间内扫过的面积越大，由于轨道的半径小于轨道的半径，可知在轨道上扫过的面积比在轨道上的小，故B正确； C．根据几何关系可知椭圆轨道的半长轴为 代入与，解得 设卫星在椭圆轨道上运行的周期为，在半径为的圆轨道上运行的周期为，根据开普勒第三定律有 解得 故C错误； D．卫星在圆轨道上运行，设速率为，根据万有引力提供向心力有 代入解得在此轨道上的动能为 卫星在椭圆轨道上运动，经过近地点与远地点时，根据开普勒第二定律有 代入和解得 由此可得卫星在椭圆轨道上点的动能为 卫星在点由轨道变轨进入轨道，发动机瞬间做功仅改变卫星的动能，根据动能定理有 解得 故D正确。 故选BD。 三、解答题 11．2022年9月第73届国际宇航大会（IAC）在法国巴黎召开，中国首次火星探测“天问一号”任务团队获得“世界航天奖”。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，火星绕太阳公转的轨道半径约为地球公转轨道半径的倍。忽略星球自转的影响，请估算： (1)火星表面与地球表面的重力加速度大小之比； (2)火星与地球公转周期之比。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）假设一物体质量为m在地球表面，有 在火星表面，有 解得 （2）行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳引力提供向心力，则， 可得火星与地球公转周期之比为 12．据国家航天局消息，科研团队根据“祝融号”火星车发回遥测信号确认，5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。天问一号靠近火星时，被火星引力捕获后绕火星做近似圆周运动，周期为T，轨道半径近似等于火星半径R，已知万有引力常量为G。求： (1)火星的平均密度； (2)离火星表面距离为R处的重力加速度g0。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设卫星质量为m，火星质量为M，对卫星 解得 则火星密度 得火星密度 （2）设离火星表面距离为R处的物体质量为m'，由 解得 13．在月球表面，宇航员用弹簧测力计测出一个质量为m的砝码重力为F。月球可视为质量分布均匀的球体，半径为R，忽略其自转，引力常量为G，求： (1)月球的质量； (2)月球的第一宇宙速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设月球表面重力加速度为，则有 解得 在月球表面有 解得月球的质量为 （2）月球的第一宇宙速度等于卫星在月球表面绕月球做匀速圆周运动的线速度，由万有引力提供向心力得 可得月球的第一宇宙速度为 14．假如未来航天员登陆火星，在火星上通过抛体运动或圆周运动测得火星表面两极处的重力加速度为，赤道处的重力加速度为。已知引力常量为，火星的半径为（不计自转引起的火星体积变化，即视火星为质量分布均匀的球）。求： (1)火星的质量； (2)火星的自转角速度； (3)若火卫一离火星表面的高度为，火卫一绕火星做圆周运动的周期。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在火星两极处表面有，解得 （2）在火星表面赤道处有，解得 （3）设火卫一的质量为 由万有引力提供向心力有，其中 解得 14 学科网（北京）股份有限公司 $