第23章 一次函数（大单元教学设计）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦一次函数核心知识，通过登山气温、行程计费等生活情境导入，衔接七年级方程与上章函数概念，为九年级函数学习奠基，搭建“概念—图象—性质—应用”知识支架。 此资料以新课标核心素养为导向，突出数学抽象（从情境抽象函数模型）、几何直观（自主画图探究k、b意义）与模型观念（解决计费方案问题），采用大单元整合与分层教学，助力学生提升数形结合能力，为教师提供系统教学流程与评价体系。

第二十三章 一次函数 大单元教学设计 大单元主题背景分析（教材分析） 教材地位与作用 《一次函数》是2024新版人教版八年级下册变量数学核心进阶单元，承接上一章《函数》启蒙内容，是初中阶段学习的首个具体函数类型，在初中代数体系具备承前启后、范式奠基的核心地位。承前：联动七年级一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组、平面直角坐标系知识，打通“静态等式不等式—动态变量函数”知识壁垒；承接第二十二章变量、函数、图象基础概念，完成函数从定义认知到具象类型的落地。启后：为九年级反比例函数、二次函数提供标准化学习范式（定义—图象—性质—解析式—应用），是初高中函数衔接最核心、体量最大、考占最高的基础函数模块。 本单元教材编排逻辑：正比例函数（特殊一次函数）→一次函数概念→图象与增减性→k、b几何意义→待定系数法求解析式→一次函数与方程、不等式、方程组内在关联→一次函数实际建模应用，构建“特殊到一般、数形互化、代数几何互通”完整知识链。区别于上一章泛化函数概念，本章聚焦固定解析式函数，量化图象特征、量化变化规律，是中考选择填空、几何数形题、方案决策压轴题必考模块，同时物理匀速运动、化学配比计算等理科学习均依托一次函数模型，跨学科应用价值极强。 新课标衔接与核心素养 1.数学抽象：从行程计费、水电收费、匀速运动等现实等量变化情境中，抽象出正比例、一次函数解析式模型，厘清正比例函数是特殊一次函数的从属关系，提炼整式型一次函数本质特征，完善变量抽象能力。 2.几何直观：熟练绘制一次函数图象，直观辨析k、b取值对直线升降、与坐标轴交点、象限分布的影响，依托图象直观读取自变量范围、函数值大小、交点坐标，落实数形结合核心思想，实现“以形释数、以数定形”。 3.逻辑推理：通过画图猜想、对比归纳，推理一次函数增减性、象限分布规律，逆向由图象特征推导k、b符号；结合图象推理函数与方程、不等式的等价关系，发展合情归纳推理与演绎推理双向能力。 4.模型观念：建立一次函数通用建模流程：提取变量→确定等量关系→列解析式→限定自变量取值→结合图象求解决策，解决计费、行程、调配、最值方案类实际问题，形成标准化数学建模思维。 5.运算能力：规范待定系数法列式求解、坐标轴交点计算、函数不等式解集计算，结合整式、二元方程组精准运算，兼顾运算规范性与简便性，提升代数运算熟练度。 学情分析 1.已有基础：知识层面，学生已掌握平面直角坐标系找点连线、二元一次方程组求解、一元一次不等式解法、第二十二章函数三要素、函数图象基础认知；能力层面，具备基础画图、列表、数形转化能力，能够识别简单变量变化规律，理解“唯一对应”函数核心定义；思维层面，已经初步完成从静态常量到动态变量的思维转型，适配具象函数学习节奏。 2.认知短板：①概念从属混淆，分不清正比例函数与一次函数包含关系，忽略一次函数k≠0核心限定条件；②数形转化割裂，能背诵增减性结论，但不会结合图象解读不等式解集、交点含义，不会由图象反推k、b取值；③关联理解薄弱，无法理解方程解、交点横坐标、不等式解集三者互通关系，依旧分开解题；④实际建模易错，无法自主设自变量、忽略实际情境自变量取整、非负数取值限制；⑤分类思维不足，含参数一次函数、图象象限分类讨论易漏情况。 3.心理特点：八年级下学期学生逻辑思维稳步提升，喜欢画图探究、小组归纳规律，但畏难综合性方案应用题；经过函数启蒙章节后，分层进一步拉大：优等生可自主归纳图象性质，学困生依旧无法联动坐标与直线关系，看不懂图象信息，同时学生习惯套用固定结论，不愿结合图象分析，数形解题主动性不足。 单元教学目标 知识与技能 1.理解正比例函数、一次函数定义，厘清二者从属关系，精准判定一次函数，牢记解析式y=kx+b(k≠0)、正比例函数“y=kx(k≠0)”核心形式与限定条件。 2.会用描点法绘制一次函数图象，掌握k、b几何意义，熟练判断函数增减性、图象经过象限、直线平移规律，掌握直线与坐标轴交点求解方法。 3.熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，掌握双点式、交点式两类求解析式方法，规范解题步骤。 4.依托图象理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，能用函数图象解方程、解不等式、比较函数值大小。 5.能建立一次函数数学模型，解决计费、行程、物资调配、最值选择、方案决策生活化实际问题，合规书写解题过程，兼顾自变量实际取值限制。 数学思考 1.经历“情境建模—画图观察—归纳性质—关联整合”探究流程，深度体会数形结合、特殊到一般、分类讨论、转化化归四大核心数学思想。 2.通过整合方程、不等式、函数知识，构建一体化代数思维，打通代数题型互通解法，学会一题多法、数形双解。 3.通过含参数一次函数、图象位置分类探究，养成全面、严谨、有序的分类思考习惯，提升代数逻辑思辨能力。 4.固化初中函数通用学习范式，掌握定义—图象—性质—应用的探究路径，为后续高阶函数学习搭建思维框架。 问题解决 1.能从生活计费、运动行程、商业方案等真实情境提取变量关系，自主建立一次函数模型，独立解决基础应用型问题。 2.能灵活选用代数计算法、图象分析法两种方法，解决函数比较大小、求解解集、交点计算类题型，提升解题灵活性。 3.能自主归纳本章易错题型、参数解题规律，自主订正数形类、取值类错题，具备变式迁移、举一反三解题能力。 4.通过小组合作完成方案设计、图象探究任务，提升合作探究、成果表达、优化解题方案的能力。 情感态度 1.通过画图探究、规律归纳、图象动态观察，感受代数与几何互通之美，缓解函数学习畏难心理，建立函数学习自信心。 2.在方案优选、生活计费探究中，体会数学服务生活、优化决策的实用价值，培养理性决策、节约规划的生活意识。 3.感受数学知识整体性、关联性，养成归纳整合、严谨审题、规范作答的数学学习品质，培养敢于质疑、主动探究的学习品格。 4.结合古代配比算法、现代函数科技应用，感受数学发展价值，提升数学学科认同感，落实立德树人育人目标。 学习活动设计 一次函数的概念、图象与性质活动一 一次函数与方程（组）、不等式活动二 实际问题与一次函数活动三 学习评价设计 过程性评价 1.课堂探究评价（20%）：考评维度：描点作图规范性、k、b性质归纳发言、小组建模合作度、数形思路表达、分类讨论完整性。重点考评学困生作图参与度、中等生性质归纳能力、优等生一题多解能力，重点观测学生数形结合意识是否主动养成。 2.分层作业纠错评价（25%）：分层设置基础、变式、拓展三级作业，基础层考评定义辨析、作图、待定系数基础运算；变式层考评图象平移、参数辨析、函数不等式互化；拓展层考评方案建模、分类求值。重点考评错题溯源、图象错题批注、易错点整理完整性，要求整理k、b符号、自变量取值、函数解集三类专属错题。 3.随堂实操评价（15%）：每小节设置5分钟随堂实操，包含画图实操、口算k、b符号、解集识图、列式建模四类小任务，当堂核验学情，当堂补齐作图、识图短板，记录班级共性薄弱点。 终结性评价 单元终结测试严格分层命题，贴合新课标学业质量标准，适配中考命题逻辑： 基础层70%：函数概念辨析、画图找点、k、b取值判断、待定系数基础计算、简单方程不等式互化，保障全员达标，夯实必备知识。 提升层20%：直线平移、参数分类、图象比较大小、双函数交点应用，考查知识灵活迁移能力。 素养层10%：双函数商业方案、分段函数生活化应用、数形综合简答，重点考评模型观念、几何直观核心素养。 反思性教学改进 （一）传统常态教学现存痛点问题 1.结论灌输为主，探究过程缺失，数形素养虚化：以往教学直接板书k、b增减性、象限结论，跳过学生自主描点、对比画图探究过程，学生死记结论，遇到图象变式、参数反向推导题型完全无法解题，只会代数算数，不会看图解题，数形结合素养流于形式。 2.知识碎片化教学，代数体系割裂：单课时割裂教学，单独讲函数图象、单独讲方程、单独讲不等式，未做一体化整合，学生始终认为三类知识相互独立，不会用图象快速解方程解集，解题只会纯代数计算，解题效率低、易错率高，不符合新课标整体性教学要求。 3.忽略情境限制，建模教学浅层化：讲解应用题只注重列解析式，弱化自变量取值约束，忽略人数、长度、次数必须为非负整数、正数等现实条件，学生建模答题不完整，中考高频失分；同时缺少分段函数生活化专项教学，学生适配复杂情境能力不足。 4.分层落实不足，两极分化加剧：统一作图、统一习题、统一授课，学困生作图速度慢、看不懂直线含义，跟不上课堂节奏；优等生反复练习基础作图，得不到参数、分类题型拓展，八下函数分层差距彻底固化。 5.答题规范管控不严，习惯性失分严重：待定系数法不设未知数、不列式方程组直接写k、b值；函数应用题不写自变量含义、不作答方案；识图题无图象依据直接写解集，步骤跳步、答题不规范，规范性失分常态化。 （二）适配2022新课标针对性教学改进策略 1.还原画图探究课堂，让性质自主生成：取消结论直接讲授，每一节图象课固定流程：自主取值描点—小组对比图象—归纳k、b规律—反向验证猜想，让学生自主得出增减性、象限、平移规律，依托画图深度建立数形关联，从背结论转变为看图懂性质，夯实几何直观素养。 2.大单元整合教学，构建一体化代数体系：增设一节整合专题课，用同一幅一次函数图象，同步讲解方程解、不等式解集、方程组交点三大考点，绘制“函数—方程—不等式”思维导图，打通知识壁垒，教会学生代数解法、图象解法双路径解题，落实新课标整体性学习要求。 3.锚定真实情境，闭环建模教学：所有应用题固定建模五步：设变量→找等量→列解析式→定取值范围→结合图象决策，把自变量情境取值作为必答题步骤，专项训练计费、打车、水电、采购四类高频情境，新增简单分段函数生活化探究，贴合中考命题趋势，做实模型观念素养。 4.全流程分层设计，缩小层级差距：实施分层提问、分层作图、分层习题、分层任务：学困生完成定点画图、基础求解析式；中等生完成图象平移、数形互化解题；优等生完成含参数分类讨论、方案最值探究；课堂小组异质分组，优生帮扶学困生作图识图，均衡课堂学习节奏。 5.标准化答题赋能，专项规范答题格式：印发本章标准化答题模板，统一待定系数法、应用题、识图解答书写格式，开设答题规范纠错微课，常态化批改批注步骤漏洞，把步骤分纳入作业评价，规避非知识性失分，培养严谨答题习惯。 （三）长效后续教学优化方向 1.联动前序《函数》单元、后续反比例函数，统一全学段函数探究范式，形成单元联动教学，降低高阶函数学习难度，平稳衔接九年级函数内容。 2.融入跨学科教学，联动物理匀速直线运动s-t图象，开展数理融合课堂，拓宽函数应用场景，贴合新课标跨学科学习要求。 3.常态化开展图象识图限时训练、分类讨论专项训练，聚焦中考数形压轴小题、方案大题，稳步提升学生综合解题能力，全面达成新课标三会核心育人目标。 单元教学结构图 教学设计 一次函数的概念、图象与性质活动一 · 情境引入 某登山大本营所在地的气温是5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃.用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温. 师生活动：在教师的引导下，学生理解情境问题，合作探究，积极参与到课堂中去． 设计意图：生活中的实际案例引入，提高学生学习的积极性.从生活中，让学生去发现存在的数学问题，体会数学来源于生活，应用于生活，同时引出本节课题. · 探究新知 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函 数解析式．这些函数解析式有哪些共同特征？ 1.(1)铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化． (2)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化． 2.果果爸爸驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地 80 千米的 A 处发生故障，修好后以60 千米/小时的速度继续行驶，以汽车从 A 处驶出的时刻开始记时，设行驶的时间为 t (时)，某人离开甲地的路程为S (千米)，则 S与 t 的函数解析式是________________ 3.把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化． 思考：在上面的回题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式如下.观察以下四个函数解析式，它们有什么共同特征？ m=7.9V h=0.5n S=60t+80 y=−5x+50（0≤x≤10） 提示：上面这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量. 一次函数的特点如下： （1）解析式中自变量x的次数是 次; （2）比例系数 ； （3）常数项：通常不为0，但也可以等于0. 特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx.形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫做比例系数． 正比例函数的特点如下： （1）解析式中自变量x的次数是 次; （2）比例系数 . 思考：以下函数中，y与是x是一次函数关系吗？ 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？ 思考：如何画出正比例函数y=2x的图象呢？ 深入思考：画正比例函数y=kx图象有没有简便的办法？ 提示：正比例函数y=kx （k 为常数，k≠0）的图象是一条直线. 两点确定一条直线. 因此画正比例函数的图象，只要描出图象上的两个点如 (0,0)（1 ，k）， 然后过这两点作一条直线即可. 我们常常把这条直线叫作“直线y=kx”. 探究：（1）画出正比例函数y=-2x的图象. （2）画出正比例函数y= 的图象. 发现：这两个函数图象都是经过原点和第 象限的直线. 思考：y=2x与y= - 2x这两个函数有什么相同点与不同点？ 两图象都是经过原点的 ，函数y=2x的图象从左向右 ,即函数值y随x的增大而 ,经过第 象限；函数y=-2x的图象从左向右 ,即函数值y随x的增大而 ,经过第 象限. 归纳总结： 深入思考：正比例函数y=2x和y=3x中，随着x的增加，y的值都增加了，其中哪个函数增加得更快？想一想与k有什么关系？正比例函数y=-2x和y= −1/3 x呢？ 归纳总结：|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴. 探究：在同一直角坐标系中画出y=2x和y=2x+1,y=2x-1的图象 观察得出： 1.一次函数y = kx + b的图象也是一条_____,我们称它是______________,所以今后只需选取_____个点即可画出图象. 2.这三条直线互相_______，直线y= 2x+1是由直线y= 2x向____平移____个单位长度得来的， 直线y= 2x-1是由直线y= 2x向____平移____个单位长度得来的. 3.直线y= 2x+1与y轴交于点______，直线y= 2x-1与y轴交于点______. 4.这三条直线都是从左到右逐渐_______,即y随x的增大而_______， 但直线y= 2x经过第________象限，直线y= 2x+1经过第____________象限, 直线y= 2x-1经过第____________象限. 归纳总结： 探究：画出下列一次函数的图象： 　 (1)y =x+1； 　 (3)y =4x−1； 　 (2)y =− x+1；　 (4)y =−4x−1． 思考：仿照正比例函数的做法，你能看出当 k 的符号变化时，函数的增减性怎样变化吗？ 归纳总结： 思考：如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5; 当x=5时，y=2.你能画出它的图象，并写出函数解析式吗？ 提示：求一次函数y=kx+b的解析式，关键就是要求出k和b的值.从已知条件可以列出关于k,b的二元一次方程组，进而求出k,b的值. 因为图象过(4,5)和(−3,11)两点，所以这两点的坐标必须满足解析式. 深入思考：如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5; 当x=5时，y=2.你能画出它的图象，并写出函数解析式吗？ 像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法. 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b. 2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组. 3.解这个二元一次方程组得k，b. 4.进而求出一次函数的表达式. 思考：在某地，人们发现某种蟋蟀1min所叫次数与当地气温之间近似为一次函数关系. 下面是蟋蟀所叫次数与气温变化情况对照表： (1)根据表中数据确定该一次函数的表达式； (2) 如果蟋蟀1min叫了63次，那么该地当时的气温大约为多少摄氏度？ (3) 能用所求出的函数模型来预测蟋蟀在0 ℃时所鸣叫的次数吗？ 师生活动：教师引导学生思考一次函数的图象和性质，通过列表、描点、连线的步骤，扎实学生的函数思维，让学生初步建立函数的观念和数形结合的思想． 设计意图：让学生自己动手画图，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 应用新知 例1.当m= 时，函数y=(m−3)x|m−2|+8是一次函数. 例2.已知y是关于x的函数表达式为y=2x+m−3. (1)若y是关于x的正比例函数，求m的值； (2)若m=4,通过计算判断点(2/3,8/3)是否在该函数图象上. 例3.已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,−4)． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点A(4,−2)，B(−1.5,3)是否在这个函数的图象上． 解：(1)∵正比例函数y=kx的图象经过点(2,−4)， ∴−4=2k, 解得k=−2, ∴这个函数的解析式为y=−2x， ∵k=−2<0, ∴y的值随x值的增大而减小. 解：(2)如图所示，即为该函数的图象； (3)当x=4时，y=−2×4=−8≠−2，∴点A(4,−2)不在这个函数的图象上; 当x=−1.5时，y=−2×(−1.5)=3，∴点B(−1.5,3)在这个函数的图象上． 归纳总结： 某个点在函数图象上或者函数图象经过某个点： 1.将点的坐标带入函数解析式； 2.解方程求出参数； 3.将参数回代函数解析式. 例4.已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,−6)． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)图象上两点A(x1,y1)，B(x2,y2),若x1>x2，比较y1与y2的大小.． 解：(1)∵正比例函数y=kx的图象经过点(2,−6)， ∴−6=2k, 解得k=−3, ∴这个函数的解析式为y=−3x， (2)∵k=−3<0, ∴y的值随x值的增大而减小， 又x1>x2，∴y1<y2. 归纳总结： 比较函数值的大小：(利用一次函数的增减性) 如果k>0,则自变量越大，函数值越大；即x1>x2时y1>y2；x1<x2时y1<y2. 如果k<0,则自变量越大，函数值反而越小；即x1>x2时y1<y2；x1<x2时y1>y2. 例5.一次函数y=−2x+b，已知当−1≤x≤2时，函数的最大值为0，求b的值. 解：∵函数y=−2x+b中，k=−2<0, ∴y随x的值增大而减小， ∵当−1≤x≤2时，函数的最大值为0， ∴当x=−1时，y=−2×(−1)+b=0, 解得b=−2. 例6.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A(2,3)与点B(0,5)． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点C为此一次函数图象与x轴的交点，求△BOC的面积． 例7.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－1，1)和点(1，－5)，求当x＝5时，函数y的值． 例8.已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的解析式． 技巧点拨： 若一次函数的图象经过y轴上的某点(0，m)(m为已知常数)，可设一次函数的解析式为y=kx+m(k为待求参数，且k≠0)，再将另外一个点代入解析式，求出待求参数k即可．(这样只用解一元一次方程即可) 例9.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元. (1)求出y关于x的函数解析式； （2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费； （3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量. 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握所学知识，同时培养学生变相思考问题的能力、运用知识解决实际问题的能力.培养学生自主学习的能力，同时通过初次尝试，发现学生在做题过程中出现的问题，引起学生对数学解题步骤的重视.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. 一次函数与方程（组）、不等式活动二 · 复习引入 问题①：解方程2x+20=0； 问题②：当 x为何值时，函数y=2x+20的值为0？ 问题③：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x 轴的交点坐标； 问题④：问题① ②有何关系？ ① ③呢？ 问题⑤ : 能从函数的角度来解一元一次方程 2x+20=0吗？ 师生活动：学生独立计算、画图，小组研讨五道递进问题；教师巡视指导，组织展示交流，师生对话归纳一元一次方程与一次函数图象交点的对应关系. 设计意图：分层设问搭建认知阶梯，借助演算、作图落实几何直观，引导学生自主发现数形关联，渗透转化思想，构建函数统摄方程的知识体系. · 探究新知 下面三个方程有什么共同特点？ 你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ （1）x+3=1；（2）x+3=0；（3）x+3=4． 用函数的观点看： 解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函数（y=ax +b）值为k 时对应的自变量的值． 合作探究： 1.直线y=2x+2与x轴交点坐标为（ ， ）， 这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____. 2.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与 x轴交点坐标为（____,_____）. 归纳总结： 探究：下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？ 能把你得到的结论推广到一般情形吗？ （1）x+3>1；（2）x+3<0；（3）x+3<4． 思维点拨： 不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围； 不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围． 探究：根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式y>0和y<0的解集. 归纳总结： 思考：一次函数与二元一次方程有什么关系？ 思考：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？ 由函数图象的定义可知： 直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解. 从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？ 二元一次方程组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标． 归纳总结： 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 师生活动：教师出示方程、不等式探究题，学生独立观察图象、小组合作研讨数与形的对应关系，完成填空练习。教师巡视点拨，邀请学生上台结合图象讲解结论，师生分层归纳一次函数与方程、不等式、方程组的内在联系，梳理数形转化通用规律． 设计意图：依托同一直线图象串联三类代数问题，由特殊到一般搭建数形认知桥梁。通过自主观察、合作探究落实几何直观素养，打通静态代数与动态函数知识壁垒，渗透转化思想，构建函数统摄方程、不等式的一体化知识框架。 · 应用新知 例1.画出函数y=-2x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-2x+6>0 和-2x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<4? 解：作出函数y=-2x+6的图象，如图所示， 图象与x轴交于点B(3，0). 由图象可知，不等式-2x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<3；不等式 -2x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>3； （2）由图象可知，当x>1时，y<4. 例2.1号探测无人机从海拔5 m 处出发，以1 m/s的速度上升．与此同时，2 号探测无人机从海拔15 m 处出发，以0.5 m/s 的速度上升．两个无人机都上升了1 min． (1) 请用解析式分别表示两个无人机所在位置的海拔 y(m)与无人机上升时间 x(s)的函数关系． (2)什么时刻，1 号无人机的高度赶上2 号无人机的高度？这时的高度是多少？ 请从数和形两方面分别加以研究. （1）无人机1 海拔高度：y =x+5； 无人机2 海拔高度：y =0.5x+15． （2） 观察函数图象，直接回答下列问题： （1）在什么时候，1 号无人机比2 号无人机高？ （2）在什么时候，2 号无人机比1 号无人机高？ （1）20min后，1 号无人机比2 号无人机高. （2）0~20min时，1 号无人机比2 号无人机高. 例3.如图，求直线l1与l2 的交点坐标. 例4.如图，函数y=−1/2x与y=kx+b的图象交于点P(m,1),求不等式kx+b>−1/2x的解集. 师生活动：教师出示图象、无人机实际例题，学生先独立解题，同桌互查订正。选取学生板书展示解题过程，师生结合图象评析解题思路，针对易错步骤纠错规范，依托实际情境交流数形两种解题方法，巩固函数建模应用能力。 设计意图：分层设置图象计算、生活建模习题，实现知识迁移应用。借助真实情境强化模型观念，训练学生从数、形双角度解决问题，规范答题步骤，检验数形结合知识掌握程度，提升运用函数解决综合实际问题的能力。 实际问题与一次函数活动三 · 探究新知 某玉米种子的价格为40元/kg.若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变； 若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折. (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；(2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？ 解析： (1)设购买量为x kg,付款金额为y元. 当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x; 当x>2时，购买种子中有2kg按40元/kg计价，其余(x−2)kg (即超过2kg部分)按24元/kg(即六折)计价， 函数解析式为y=40×2+24(x−2)=24x+32. 函数图象如图所示. (2)∵4>2,所以y=24×4+32=128, 因此一次购买4kg玉米种子，需付款128元. 下表给出某游泳馆A，B，C 三种年卡套餐的收费标准： 思考：选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 在A，B两种方式中，影响游泳费用的变量是 ，方式C中的游泳费用是 . A，B，C三种套餐的函数表达式分别是什么？ 1.方式C的游泳费用确定吗？需要多少钱？ 方式C的游泳费用是确定的，需要1800元 2.方式A、B的游泳费用确定吗？影响费用的因素是什么？ 方式A、B的游泳费用是不确定的，与游泳次数有关 3.方式A、B的游泳费用与游泳次数有什么关系？ 设年游泳次数为x，套餐A，套餐B，套餐C的收费金额分别为y1，y2，y3，则有： 思考：你能类比画出y2，y3的函数图象吗？ 思考：你能根据函数图象判断选取哪种年卡套餐能节省游泳费用吗？ 归纳总结： 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，他们的载客量和租金如右表所示. (1)共需租多少辆客车？ (1)可以从乘车人数的角度来考虑需要租多少辆客车，要注意以下要求： ①要保证240名师生都有座位； ②要使每辆客车上至少有1名教师. 根据①可知，客车总数不能少于 ; 根据②可知，客车总数不能大于 . 综合起来可知客车总数为 . (2)给出最节省费用的租车方案. 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用，应该选择其中哪种方案？试说明理由. 解：一共有两种组车方案： 方案一：租4辆甲种客车，租2辆乙种客车； 方案二：租5辆甲种客车，租1辆乙种客车； ∵y=120x+1680中120>0, ∴y随x的增大而增大， ∴当x=4时，y有最小值 故为节省费用，应该选择方案一. 归纳总结： 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 师生活动：教师出示阶梯计价、租车方案两类生活例题，学生独立审题列式，小组分段讨论自变量取值范围，自主绘制分段函数图象。教师巡视指导图象绘制，组织学生结合图象对比方案，师生共同归纳利用一次函数建模解决方案选择问题的通用步骤。 设计意图：以种子采购、游泳套餐等真实生活情境为载体，引导学生构建分段函数模型，借助图象直观对比费用方案。落实模型观念与几何直观素养，让学生掌握 “建模 — 画图 — 选最优” 解题思路，体会一次函数在生活决策中的实用价值。 · 应用新知 例1.某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量y(kw·h)是其行驶路程x(km)的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为100km时，剩余电量为60kw·h；行驶路程为200km时，剩余电量为40kw·h． (1)求y与x之间的函数表达式，并求出该汽车在充满电时的满电量； (2)当电池电量低于20%时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电，行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 例2.共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3~10km的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2． (1)请求出两个函数的关系式，并说明品牌B的收费方案； (2)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/小时，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ (3)如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？ 例3.为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球．已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元． (1)求排球、足球的单价各是多少元？ (2)根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的1/3．若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 师生活动：教师出示新能源汽车、共享电动车综合习题，学生独立完成列式计算，同桌互查取值范围、图象分析步骤。选取学生上台板书讲解，师生针对方案对比易错点纠错，交流数形两种解题思路，规范实际应用题完整答题流程。 设计意图：分层设置行程、消费、采购综合应用题，实现分段函数、最值方案知识迁移。训练学生从复杂情境提取变量建立函数模型，强化数形结合解题习惯，检验学生运用一次函数解决现实优化问题的综合应用能力。 · 课堂小结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1. 本节课你学到了什么？ 2. 什么样的函数是一次函数?什么样的函数是正比例函数? 3. 正比例函数的图象有什么特点?一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状?怎样画一次函数的图象? 4. 常数k对一次函数y=kx+b(k≠0)的图象有什么影响?由此能说明y与x之间的什么变化规律? 5. 由一条不平行于坐标轴的已知直线，能求出它对应的一次函数的解析式吗?如果能，应怎样求?由此体会由形到数的转化. 6. 一次函数与一元一次方程有什么关系?一次函数与一元一次不等式有什么关系?一次函数与二元一次方程(组)有什么关系?请举例说明. 7. 请举例说明利用一次函数解决实际问题的过程. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.由教师引导，学生进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化、条理化. · 当堂练习 1.当k= 时，函数y=k(x−1)+2是正比例函数. 解：∵函数y=k(x−1)+2=kx−k+2是正比例函数， ∴−k+2=0且k≠0, ∴k=2. 2.若点P(a,b)在函数y=2x−5的图象上，则代数式2a−b+2026= . 解：将点P(a,b)带入函数解析式y=2x−5， 得2a−5=b, ∴2a−b=0, ∴2a−b+2026=5+2026=2031. 3.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)均在正比例函数y=−1/2x的图象，且x1>x2，则y1，y2的大小关系为( ) A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．无法确定 解：∵正比例函数y=−1/2x，k=−1/2<0, ∴y的值随x值的增大而减小， 又x1>x2， ∴y1<y2. 4.已知关于x的正比例函数y=(2m+4)x． (1)若函数图象经过第一、三象限，求m的取值范围； (2)若y随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若点(1,3)在该函数的图象上，求m的值． (1)解：函数图象经过第一、三象限， ∴2m+4>0，解得：m>−2； (2)解：正比例函数y=(2m+4)x中y随x的增大而减小， ∴2m+4<0，解得：m<−2; (3)解：(1,3)点在该函数y=(2m+4)x的图象上， ∴3=(2m+4)×1， 解得：m=−1/2． 5.函数y=x−2的图象为( )． 解：∵函数y=x−2中，k=1>0,b=−2<0, ∴函数y=x−2经过一、三、四象限. 6.已知一次函数y=(2m+1)x+m−3，m为常数． (1)若y随x的增大而增大，且与y轴的交点在原点上方，求m的取值范围; (2)若该函数的图象与直线y=3x−3平行，求m的值； 7.若三点(−3,8),(2,m),(6,−1)在同一直线上，则m的值为( ). A.1 B. 2 C. 3 D.4 8.已知直线l与直线y=−2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式. 9.在一定范围内，固定质量的酒精的体积V（单位：L）可近似地看作温度t（单位：℃）的一次函数，其图象如图所示，则V与t之间的表达式为（    ） A. V=0.00575t−5.25 B. V=−0.00575t+ 5.25 C. V=0.00575t+5.25 D. V=−0.00575t −5.25 10.已知一次函数y1=kx+b与y2=mx+n的图象如图所示，当x=6时，y1与y2的大小关系是( ) A.y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y2 D.无法确定 解：根据函数图象可知，当x=6时，y1>y2. 11.某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库、甲平均每小时扫描200件快递入库．乙平均每小时送150件快递出库．某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作．又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作．当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的部分关系图象如图所示．(1)该天仓库里原有 件快递，点A的坐标为 ； (2)求y与x(x≥2)之间的函数解析式. 解：（1）200，（2,600） 12.我校校长暑期带领学校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可以享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长全部按全票价的6折优惠”．已知全票价为240元． （1）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费一样？ （2）若学生人数为9人时，哪家收费低？ （3）若学生人数为11人时，哪家收费低？ 13. 近年来，我国航天事业在多个领域取得了举世瞩目的成就．一家玩具店看准商机，特推出“神舟”和“天宫”模型积木．已知购进3盒“神舟”模型积木和1盒“天宫”模型积木共需210元；购进1盒“神舟”模型积木和2盒“天宫”模型积木共需170元． (1)求每盒“神舟”模型积木和每盒“天宫”模型积木的进价． (2)店家计划再次购进这两种模型积木共40盒，且购进“神舟”模型积木的盒数不少于购进“天宫”模型积木盒数的1/3．在进价和售价不变的情况下，每盒“神舟”模型积木可盈利15元，每盒“天宫”模型积木可盈利18元．店家应如何进货才能获利最大？最大利润是多少？ 师生活动：学生做练习，教师订正答案. 设计意图：通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.通过分层练习，进一步提高学生学习兴趣，使学生的认知结构更加完善.同时强化本课的教学重点，突破教学难点. 单元作业设计 一、单选题 1．若关于变量x，y的函数是正比例函数，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义得到常数项为0，列方程求解即可得到a的值 【详解】解：∵函数是正比例函数 ∴函数的常数项满足 解得 2．已知点在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点A，B的横坐标代入正比例函数解析式，得到，关于的表达式，再结合判断选项正误即可． 【详解】解：∵点、在正比例函数的图象上， ∴ 将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∴，因此选项A正确，选项B错误； 又∵， ∴，选项C错误； ，选项D错误． 3．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，运用数形结合的思想即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 4．点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数的增减性，再通过两点纵坐标的大小关系得到横坐标的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而增大， ∵点，都在该直线上，且，即， ∴． 5．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集，即求的解集， 将看作整体，可得， 解得． 6．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则m的值为（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象平移的规律得到平移后的解析式，再利用待定系数法代入已知点的坐标即可求解 【详解】解：将一次函数向下平移3个单位长度， 根据平移规律可得平移后的解析式为： ∵平移后的函数图象经过点 ∴将代入解析式得： 整理得： 解得： 7．我国某颗遥感卫星在太空中执行数据传输任务，其信号传输速率恒定，地面测控站记录了几组传输时间与传输数据量的数据如下表．已知传输时间（单位：）与传输数据量（单位：）满足某种函数关系，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 传输时间 传输数据量 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的实际问题．由传输速率恒定可知，传输数据量与传输时间成正比例关系，设出正比例函数解析式，代入表中数据计算比例系数即可得到函数关系式． 【详解】解：∵信号传输速率恒定， ∴与成正比例函数关系， 设， 将，代入解析式得，解得， 验证其余数据：当时， ，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ∴与的函数关系式为． 8．在正比例函数（为常数，且）中，随的增大而减小，则函数的大致图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正比例函数的增减性，可得m的取值范围，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， ∴函数的图象大致是 ， 故选项A符合题意． 9．下列关于直线的说法正确的是（    ） A．与y轴交于点 B．一定经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象过一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键，根据性质逐项判断即可． 【详解】解：对于直线， A选项，∵求与轴交点时，令，得， ∴与轴交于点，A错误； B选项，∵当时， ， ∴直线一定经过点，B正确； C选项，∵， ∴随的增大而增大，C错误； D选项，∵，， ∴直线图象经过一、三、四象限，D错误． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，以为边向上作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形性质，可得到、的坐标，同理可得、的坐标，进而得到、的横坐标，根据点的坐标变化可找到变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：对于， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， 的横坐标是， ， 的横坐标为， 的横坐标为． 二、填空题 11．一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，已知一次函数的一次项系数为，大于，直线必过第一、三象限，图象不经过第二象限，可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数为， ∴一次函数图象一定经过第一、三象限． ∵一次函数图象不经过第二象限， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】根据函数图象找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：直线与直线相交于点， ∴不等式的解集是. 13．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．表格是一组实验数据，根据表中数据，y与x的函数关系式为______． 水的质量x/g 9 18 36 45 氢气的质量y/g 1 2 4 5 【答案】 【分析】观察表格数据，每组的比值为定值，则与成正比例关系，从而求出y与x的函数关系式． 【详解】解：观察表格数据，计算每组的比值：、、、、， 则与成正比例关系，即， 整理得：函数关系式为：． 14．某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中，随的增大而增大， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中，随的增大而减小， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为， 综上所述，该一次函数的表达式是或． 15．将一块等腰直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点的坐标为，点落在轴上，所在直线与轴交于点，若，点在第一象限，点的坐标为_______．则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作，由题意易得，，即，然后可得，则有，进而可得点的坐标，求出直线的解析式为，最后问题可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点的坐标为，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， ∴． 三、解答题 16．清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】(1)1 (2) (3)3.2 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 17．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用、一次函数的性质，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个，根据题意列出不等式求出的取值范围，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元，则，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 18．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值； (2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______； (3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入，求出b的值，即可求出，把点代入即可求出m的值． （2）根据两直线的交点即可得出方程组的解． （3）分别求出点A，B的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， 得， ∴， 把点代入，得， ∴； （2）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴关于x、y的方程组的解是． （3）解：在直线：中，令，则，解得， ∴， 直线：中，令，则，解得， ∴， ∴， ∴． 19．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动． 甲书店：所有书籍按原价9折出售； 乙书店：一次购书中不超过100元的部分按原价计费，超过100元的部分打8折．（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额，购书原价为x元（）． (1)根据两家书店的优惠方式，分别求出，关于x的函数表达式； (2)“世界读书日”这一天，八年级学生小明计划去甲、乙两个书店购书，选择哪家书店购书更省钱？ 【答案】(1) ，； (2) 当时，选择甲书店购书更省钱；当时，两家书店购书费用相同；当时，选择乙书店购书更省钱． 【分析】（1）直接根据题意列出函数表达式即可； （2）根据（1）中的函数关系式，分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 甲书店：， 乙书店：； （2）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 答：当时，选择甲书店购书更省钱；当时，两家书店购书费用相同；当时，选择乙书店购书更省钱． 20．如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图⑨，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式；将代入，解方程即可； （2）在中，分别令，，解方程即可得点坐标； （3）以四个点为顶点构成一个平行四边形，分两种情况：①当以为边，由或，即可求得相应的点坐标，②当以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：． （2）解：根据（1）可得直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ． （3）解：存在． 如图，①当以为边时， ， ，， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴； 或， ∴； ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， ∴，即； 综上所述，符合条件的的坐标为：或或． 21．如图1，在平面直角坐标系中，，其中是二元一次方程组的解，射线与轴交于点 (1)直接写出点坐标______，点坐标______ (2)求出点的坐标 (3)动点从出发在轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动，动点从出发，在轴上以每秒2个单位长度的速度向右运动，为的中点，若，同时出发，运动时间为秒，当为何值时，三角形的面积等于三角形面积的2倍． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）设直线的解析式为，代入，待定系数法求解析式，进而令，即可求解； （3）分别表示出，根据三角形的面积分别求得三角形的面积，三角形的面积，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 解得： ∴， （2）解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ （3）解：依题意，， ∵为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵三角形的面积等于三角形面积的2倍． ∴ 解得：或． 22．某农户今年准备在自己的亩地中全部种植，两种农产品，经咨询农科所，情况如下表： 销售价格（元/） 亩产量（/亩） (1)农科所技术人员介绍，农产品的销售单价比农产品的销售单价高元，若该农户种植亩农产品和亩农产品的总收入将为万元，请求出两种农产品的单价； (2)该农户准备全部种植这两种农产品，已知，两种农产品的种植成本分别为元/亩和元/亩，且它们的销售成本均为元/，若要使总成本不超过元，如何安排两种农产品的种植面积，能使所获利润最大，并求出最大利润．（总成本种植成本销售成本） 【答案】(1)，两种农产品的销售单价分别为元/和元/ (2)种农产品种植亩，种农产品种植亩，能使种植农产品所获利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据相等关系列方程组求解即可； （2）设种农产品种植亩，种农产品种植亩，总利润为，根据总成本不超过元，可得，所以总利润为，根据一次函数的性质可知随的增大而减小，所以当时，总利润取得最大值，求出此时的最大利润即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ，两种农产品的销售单价分别为和5元； （2）解：设种农产品种植亩，种农产品种植亩，总利润为， 由题意得：， 化简得：， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 当时，总利润取得最大值， 此时总利润（元）， （亩）， 答：种农产品种植亩，种农产品种植亩，能使种植农产品所获利润最大，最大利润为元． 23．在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线交y轴于点B，点C为射线上一点． (1)如图1，，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，点D在x轴上，连接，，若且，求点C的坐标； (3)如图2，点E是第一象限内一动点，且．若平分，，点M的坐标为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可. （2）设，证明，由全等三角形的性质得出，由两点坐标公式得出关于a的方程，求解并结合点C为射线上一点．即可求出点C的坐标. （3）求的最小值，利用轴对称的性质，将AC进行转化，再根据两点之间线段最短来求解． 【详解】（1）解：已知点， ∵，且A在x轴正半轴，所以． 设直线的表达式为，把，代入可得， ， 解得． ∴直线的表达式为； （2）解：直线的表达式为， 设， ∵,, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得a（舍）或a， ∴; （3）解：点C在射线上，要求的最小值，可作点M关于直线的对称点，根据对称性质，， 因此， 当A、C、三点共线时，的值最小，即最小值为的长度， ∵直线的表达式为，且是等腰直角三角形， ∴， 即直线与x轴的夹角为， 作于N，则N是的中点，且． 设， 则． ∵与x轴的夹角为， ∴垂线与x轴夹角也为， 即M到N的水平距离等于垂直距离：水平距离：，垂直距离：， 因此． 联立方程可得： ， 解得， ∴,此时与点A重合， ∵是和的中点： ∴，， 解得，， 因此，． 与之间的距离： 水平距离：，垂直距离：， 由勾股定理可得， 故的最小值为． 24．在函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象，根据图象研究函数的性质，运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们探究函数（为常数）图象及部分性质． (1)【特例研究】当时，即函数的图像在图①的平面直角坐标系中已画出，图像为轴对称图形，对称轴是轴． 当时，即函数，通过列表、描点、连线，探究函数的图像和性质． … 0 1 2 3 … … 5 4 3 2 1 0 1 … ①通过上表中的数据请你在图②的平面直角坐标系中画出函数的图象； ②观察函数图象，函数的对称轴与轴的交点是________； ③观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到：函数图象可由函数的图象向________平移________个单位长度得到； (2)【深入探究】 ①根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是_________； ②探究函数的图象与性质，当时，函数的最小值为4，求的值________． 【答案】(1)①见解析； ②；③右；2 (2)①；②或8 【分析】（1）①先描点、再连线即可画出函数图象；②观察函数图象即可得出结果；③观察函数图象，并结合一次函数图象平移的法则即可得出结果； （2）①观察函数图象即可得出结果；②分三种情况：当时，函数在上，随着的增大而减小；当时，函数在上，随着的增大而增大；当时，函数的最小值为，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①画出函数的图象如图所示： ②观察函数图象，函数的对称轴与轴的交点是； ③观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到：函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位长度得到； （2）解：①根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是； ②当时，函数在上，随着的增大而减小，故当时，取得最小值，即， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，函数在上，随着的增大而增大，故当时，取得最小值，即， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，函数的最小值为，不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或8． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $