8.5.3 平面与平面平行 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“平面与平面平行”，核心内容包括判定定理和性质定理。课前通过三角板与平面位置关系、长方体中平面关系等问题引导学生直观感知，搭建从线面平行到面面平行的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以直观想象和逻辑推理为核心素养，通过正方体中平面平行证明等典例、判定定理步骤及线线平行方法等类题通法，结合定向训练深化理解。含思维导图（无文本）辅助梳理，帮助学生构建空间观念和推理能力，教师可利用探究活动和达标检测提升教学效果。

课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 8.5.3　平面与平面平行 素养目标 思维导图 1.从定义和基本事实出发,借助长体,通过 直观感知,了解空间中平面与平面平行的关 系,归纳出判定定理和性质定理,并加以证 明.(直观想象、逻辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位 置关系的简单命题.(逻辑推理) ‹#› 课前自主学习 问题1.三角板的一条边所在直线与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗? 提示:不一定平行. 问题2.三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗? 提示:平行. 问题3.如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行?这两个平面平行吗? 提示:无数条,不平行. ‹#› 问题4.观察长体ABCD-A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1. (1)平面A1B1C1D1中的直线与平面ABCD具有怎样的位置关系? 提示:由于平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,所以平面A1B1C1D1 内的直线都与平面ABCD无公共点,故平面A1B1C1D1中的直线 都与平面ABCD平行. (2)若直线m⊂平面ABCD,直线n⊂平面A1B1C1D1,则直线m,n平行吗? 提示:直线m,n平行或异面. (3)在问题(2)中的直线m,n在什么条件下才是平行的? 提示:当直线m,n共面时,两条直线才平行. ‹#› 【核心概念】 1.平面与平面平行的判定定理 文字 语言 如果一个平面内的两条_____直线与另一个平面_____,那么这两个 平面平行 图形 语言 符号语言 a⊂β,b⊂β,_______, a∥α,b∥α⇒α∥β 作用 证明两个平面_____ 相交 平行 a∩b=P 平行 ‹#› 2.平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线_____ 图形 语言 符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒_____ 作用 证明两条直线_____ 平行 a∥b 平行 ‹#› 课堂合作探究 探究点一　平面与平面平行的判定定理 【典例1】(1)已知两个不同的平面α,β,两条不同的直线a,b,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β” 是“α∥β”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【思维导引】利用面面平行的判定定理,结合充分必要条件的定义即可得解. 【解析】选B.因为a⊂α,b⊂α,当a∥β,b∥β时,若a∥b,则α,β有可能相交,故充分性不 成立;当α∥β时,由于a⊂α,b⊂α,所以a∥β,b∥β,故必要性成立;所以“a∥β,b∥β”是 “α∥β”的必要不充分条件. √ ‹#› (2)(规范解答) (15分)如图,已知正体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是A1D,BD的中点. ①求证:平面A1BD∥平面CB1D1; ②求证:EF∥平面DCC1D1. 【思维导引】①利用正体的性质及线面平行的判定定理可得 A1B∥平面B1D1C,BD∥平面B1D1C,再利用面面平行的判定定理即得; ②利用线面平行的判定定理即得. ‹#› 【证明】①由正体的性质可得A1D1∥B1C1∥BC,A1D1=B1C1=BC, 所以四边形A1D1CB为平行四边形, ……………………2分 所以A1B∥CD1,又A1B⊄平面B1D1C,CD1⊂平面B1D1C,所以A1B∥平面B1D1C, 同理可得BD∥平面B1D1C,又A1B∩BD=B,A1B,BD⊂平面A1BD, ………………6分 所以平面A1BD∥平面CB1D1; ……………………………………7分 ②因为E,F分别是A1D,BD的中点, 所以EF∥A1B,又A1B∥CD1,所以EF∥CD1, ………………………9分 又EF⊄平面DCC1D1,CD1⊂平面DCC1D1, …………………………13分 所以EF∥平面DCC1D1. ……………………………………………15分 ‹#› 【类题通法】 判定定理证明两个平面平行的步骤 ‹#› 【定向训练】 1.已知m,n表示两条直线,α,β,γ表示平面,下列命题中正确的有(　　) ①若α∩γ=m,β∩γ=n,且m∥n,则α∥β; ②若m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β; ③若m∥α,m∥β,则α∥β; ④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】选A.对于①,若α∩γ=m,β∩γ=n,且m∥n,则α∥β或相交,故①错误;对于③和④,α与β也可能相交,均错误;对于②,设m,n相交确定平面γ,根据线面平行的判定定理知α∥γ,β∥γ,根据平行平面的传递性得知α∥β. √ ‹#› 2.(2025·遵义高一检测)在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,H,E,F分别为PA,AH, HO的中点,点M在棱PD上,且PM=3MD. (1)证明:HO∥平面PCD. (2)证明:平面EFM∥平面ABCD. 【证明】(1)连接AC,在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心, 则O为AC的中点, 因为H为PA的中点,所以HO∥PC, 又因为HO⊄平面PCD,PC⊂平面PCD,所以HO∥平面PCD. ‹#› (2)因为E,F分别为AH,HO的中点,所以EF∥AO,又因为EF⊄平面ABCD, AO⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD. 因为H,E分别为PA,AH的中点,所以PE=3EA,又PM=3MD,所以EM∥AD, 因为EM⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以EM∥平面ABCD, EF,EM⊂平面EFM,EF∩EM=E,所以平面EFM∥平面ABCD. ‹#› 探究点二　平面与平面平行的性质定理 【典例2】如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于点B,A和D,C,点M,N分别是AB,CD的中点,求证:MN∥平面α. 【思维导引】作辅助线构造面面平行,由面面平行的性质证明线面平行. ‹#› 【证明】如图,过点A作AE∥CD交α于点E,取AE的中点P,连接MP,PN,BE,ED,BD,AC. 因为AE∥CD,所以AE,CD确定平面AEDC. 则平面AEDC∩α=DE,平面AEDC∩β=AC, 因为α∥β,所以AC∥DE. 又P,N分别为AE,CD的中点, 所以PN∥DE,PN⊄α,DE⊂α,所以PN∥α. 又M,P分别为AB,AE的中点,所以MP∥BE, 且MP⊄α,BE⊂α,所以MP∥α, 因为MP∩PN=P,所以平面MPN∥α. 又MN⊂平面MPN,所以MN∥平面α. ‹#› 【延伸探究】 1.在本例中将M,N分别是AB,CD的中点换为M,N分别在线段AB,CD上,且=,其他不变.证明:MN∥平面α. 【证明】作AE∥CD交α于点E,连接AC,BD,如图. 因为α∥β且平面AEDC与平面α,β的交线分别为ED,AC,所以AC∥ED, 所以四边形AEDC为平行四边形,作NP∥DE交AE于点P, 连接MP,BE,于是=. 又因为=,所以=,所以MP∥BE. 而BE⊂α,MP⊄α,所以MP∥α.同理PN∥α. 又因为MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面α. 又MN⊂平面MPN,所以MN∥平面α. ‹#› 2.两条异面直线与三个平行平面α,β,γ分别交于A,B,C和D,E,F,求证:=. 【证明】连接AF交平面β于点M. 连接MB,ME,BE,因为α∥β,所以ME∥AD. 所以=,同理,BM∥CF, 所以=,即=. ‹#› 【类题通法】 证明线线平行的法 (1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行. (2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行. (3)线面平行的性质定理: ,应用时题目条件中需有线面平行. (4)面面平行的性质定理: ,应用时题目条件中需有面面平行或证得 两平面平行. ‹#› 【定向训练】 1.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段 DB,DD1上,且==,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则=(　　) A. B. C. D. √ ‹#› 【解析】选B.延长AE交CD于点H,连接FH, 因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD, 则△DEH∽△BEA, 因为=,所以==, 因为平面AEF∥平面BD1G,平面AEF∩平面CDD1C1=FH,平面BD1G∩平面CDD1C1=D1G, 所以FH∥D1G,又四边形CDD1C1为平行四边形, 所以△DFH∽△C1GD1,所以=, 因为==,所以=,因为=,所以=, 所以FD1=C1G,DF=CG,所以=. ‹#› 2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D, 则D为(　　) A.棱AB的中点 B.棱A1B1的中点 C.棱BC的中点 D.棱AA1的中点 【解析】选B.如图, 当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E, 因为A1E∥BD,DC1∥EC,DC1∩BD=D, 所以平面A1CE∥平面BC1D, 又A1C⊂平面A1CE,则A1C∥平面BC1D. √ ‹#› 3.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB=BD=BP=,PA=PD=,∠APD=90°,E,F分别是棱 PA,AD的中点,且BE∥平面PCD. (1)证明:BF∥CD; (2)已知CD=1,求四棱锥P-ABCD的体积. ‹#› 【解析】(1)连接EF,如图, 因为E,F分别是PA,AD中点,所以EF为△APD中位线,EF∥PD. EF⊄平面PDC,PD⊂平面PDC. 所以EF∥平面PCD. 又因为BE∥平面PCD,BE∩EF=E,BE与EF都在平面EFB内. 所以平面EFB∥平面PCD. 又因为平面ABCD∩平面EFB=BF,平面ABCD∩平面PCD=CD.所以BF∥CD. ‹#› (2)连接PF,因为PA=PD,∠APD=90°,所以△APD为等腰直角三角形, 所以AD==2,PF=1,PF⊥AD, 又因为AB=BD,所以△ABD为等腰三角形,因为F为AD中点,所以BF⊥FD,FD=1, 由(1)知BF∥CD,∠BFD=∠FDC=90°,所以BF==2. 所以cos∠BDF==,所以sin∠BDC==. 所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=2×2×+×1·sin∠BDC=2+=. 因为PF2+BF2=PB2,所以PF⊥BF, 因为AD∩BF=F,所以PF⊥底面ABCD. 所以VP-ABCD=PF·S四边形ABCD=×1×=. ‹#› 探究点三　平面与平面平行的综合应用 【典例3】在长体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为所在棱的中点,H,Q分别为 AC,AD1的中点,连接EF,EG,FG,DQ,CQ,D1H. (1)求证:平面EFG∥平面ACQ; (2)在线段CD上是否存在一点P,使得DQ∥平面D1PH?若存在, 求出P点的位置;若不存在,请说明理由. 【思维导引】(1)连接A1C1,BC1可证EF∥平面ACQ,GF∥平面ACQ,从而可证. (2)当DP=DC时,连接PH并延长交AB于点M,连接D1M,取线段D1M的中点N,连接 QN,可证四边形QDPN为平行四边形,从而可证QD∥NP,从而得出答案. ‹#› 【解析】(1)连接A1C1,BC1,由E,F,G分别为所在棱的中点,所以A1C1∥GF,EF∥BC1, 由AD1∥BC1,所以AD1∥EF,又AD1⊂平面ACQ,EF⊄平面ACQ,所以EF∥平面ACQ, 又A1C1∥AC,所以GF∥AC,又AC⊂平面ACQ,GF⊄平面ACQ,所以GF∥平面ACQ, 又GF∩EF=F,所以平面EFG∥平面ACQ; (2)线段CD上存在一点P,当DP=DC时,满足DQ∥平面D1PH. ‹#› 证明如下:连接PH并延长交AB于点M,连接D1M,D1P,则平面D1PH与平面D1PM为同一平面. 由H为AC的中点,则△AMH与△CPH等. 则AM=AB=CD,取线段D1M的中点N,连接QN,PN. 由Q,N分别为AD1,D1M的中点, 所以QN=AM=AB=DC且QN∥AM, 又DP∥AM且DP=DC,即QN∥DP且QN=DP,所以四边形QDPN为平行四边形, 故QD∥NP,又QD⊄平面D1PH,NP⊂平面D1PH,所以DQ∥平面D1PH. ‹#› 【类题通法】 1.线线、线面、面面平行关系经常交替使用,相互转化,其关系可用下图示意. 2.注意两个问题: (1)一条直线平行于一个平面,推不出这条直线与平面内的所有直线平行,但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行. (2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必定平行于另一平面,但这两个平面内的直线不一定相互平行,也有可能异面. ‹#› 【定向训练】 1.在棱长为1的正体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BD1,B1C1的中点,点P在正体 的表面上运动,且满足MP∥平面CND1,则下列说法正确的是(　　) A.点P可以是棱BB1的中点 B.线段MP的最大值为 C.点P的轨迹是正形 D.点P轨迹的长度为2+ √ ‹#› 【解析】选B.如图,取棱BC的中点E,连接DE,B1E,ME.因为M,N分别为BD1,B1C1的中点,所以在 △BCD1中,ME∥CD1.由于ME⊄平面CND1,CD1⊂平面CND1,所以ME∥平面CND1.因为 B1N∥CE,B1N=CE,所以四边形CNB1E为平行四边形,所以CN∥B1E.因为CN⊂平面CND1, B1E⊄平面CND1,所以B1E∥平面CND1.因为B1E∩ME=E,B1E,ME⊂平面B1EM, 所以平面B1EM∥平面CND1.由于M为体对角线BD1的中点,所以连接B1M并延长,直线B1M必 过D点,故取A1D1中点F,连接B1F,FD,FE.由正体的性质易知FD1∥CE,FD1=CE,所以四边形 CD1FE是平行四边形,EF∥CD1,EF=CD1.因为ME∥CD1,ME=CD1,所以E,F,M共线, 即F∈平面B1EM,所以四边形B1EDF为点P的轨迹,故A选项错误;由正体的棱长为1,得四边 形B1EDF的边长均为,且对角线EF=,B1D=,所以四边形B1EDF为 菱形,周长为2,故C,D选项错误;由菱形的性质知,线段MP的最大值 为B1D=,故B选项正确. ‹#› 【题后反思】本题解题的关键在于取棱BC的中点E, 进而证明平面B1EM∥平面CND1,再根据面面平行的性质求点P轨迹即可求解. ‹#› 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,F为AB上的点,且AF=2FB,E为PD中点. (1)证明:PB∥平面AEC. (2)在PC上是否存在一点G,使得FG∥平面AEC?若存在,指出点G位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由. ‹#› 【证明】(1)连接BD交AC于O, 因为E为PD中点, 所以EO是△BPD中位线,所以EO∥PB. 又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC, 所以PB∥平面AEC. ‹#› (2)PC上存在点G,且CG=2GP,使得FG∥平面AEC. 理由如下:在PA上取点H,令AH=2HP,连接HF,HG,FG. 因为F为AB上的点,且AF=2FB, 所以在△PAB中,==,所以HF∥PB, 因为PB∥平面AEC,HF⊄平面AEC,所以HF∥平面AEC, 又在△PAC中,==,所以HG∥AC, 因为HG⊄平面AEC,AC⊂平面AEC,所以HG∥平面AEC, 因为HG∩HF=H,HG,HF⊂平面HFG,所以平面HFG∥平面AEC, 因为FG⊂平面HGF,所以FG∥平面AEC. ‹#› 课堂学业达标 1.a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,则“a∥b”是“α∥β”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选D.充分性:a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,则由a∥b 不能推出α∥β,α,β也可能相交,故充分性不成立; 必要性:a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,则由α∥β不能推出 a∥b,a,b也可能异面,故必要性不成立;故“a∥b”是“α∥β”的既不充分也不必要条件. √ ‹#› 2.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的所有直线中 (　　) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 【解析】选D.由于α∥β,a⊂α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行,故D项正确. √ ‹#› 3.在长体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边 形D1EBF的形状是 (　　) A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正形 【解析】选C.如图,在长体ABCD-A1B1C1D1中, 平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F 与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F. 由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边 形. √ ‹#› 4.在正体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=BD1.则以下四个说法: ①MN∥平面APC;②C1Q∥平面APC;③A,P,M三点共线;④平面MNQ∥平面APC. 其中说法正确的是　　　　.  ‹#› 【解析】①MN∥AC,连接AM,CN,得AM,CN交于点P,即MN⊂平面PAC, 所以MN∥平面APC是错误的; ②平面APC延展,可知M,N在平面APC上,AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC是正确的; ③由BP=BD1,以及②知△APB∽△D1PM,所以A,P,M三点共线是正确的; ④直线AP延长到M,则M既在平面MNQ内,又在平面APC内, 所以平面MNQ∥平面APC是错误的. 答案:②③ ‹#› 5.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,点D是BC的中点,欲过点A'作一截面与平面AC'D平行,问应当怎样画线,并说明理由. ‹#› 【解析】在三棱柱ABC-A'B'C'中,点D是BC的中点,取B'C'的中点E,连接A'E,A'B,BE,则平面A'EB∥平面AC'D,A'E,A'B,BE即为应画的线. ‹#› ‹#› 证明:因为D为BC的中点,E为B'C'的中点,所以BD=C'E,又因为BC∥B'C', 所以四边形BDC'E为平行四边形,所以DC'∥BE. 连接DE,则DEBB',所以DEAA', 所以四边形AA'ED是平行四边形, 所以AD∥A'E. 又因为A'E∩BE=E,A'E⊂平面A'BE,BE⊂平面A'BE,AD∩DC'=D,AD⊂平面AC'D, DC'⊂平面AC'D,所以平面A'EB∥平面AC'D. $