精品解析：吉林长春市二道区东北师范大学附属实验学校（经开）2025-2026学年下学期七年级期中数学试题

吉林长春市二道区东北师范大学附属实验学校（经开）2025-2026学年下学期七年级期中数学试题 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，下列各式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合条件的不等式组为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 是关于x的方程的解，则a的值是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 5. 不等式的负整数解的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若三角形三边长之比为，且，则这个三角形的周长等于（ ） A. 12 B. 24 C. 18 D. 36 7. 用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图 中 个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图 中 个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为 ，宽为 ，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 方程组的解 ， 的值互为相反数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知是关于 的一元一次方程，则 的值为__________． 10. 已知不等式，有，则 的取值范围是__________． 11. 已知，则 的取值范围是__________． 12. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9，则原来的两位数为__________． 13. 根据，可得，则__________． 14. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解下列方程： （1）； （2）． 16. 解下列方程组： （1）； （2）． 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1） （2） 18. 解下列不等式组： （1） （2） 19. 甲组有37人，乙组有23人，现在需要从甲、乙两组抽调相同数量的人去做其他工作，已知甲组剩下的人数是乙组剩下人数的2倍，求从甲组调出的人数． 20. 在证明“如果，那么 ”结论的正确性时，小明的证明方法如下： 证明：， ． ． ． ． 请将上面的证明过程补充完整． 21. 已知关于x，y的方程组的解x，y均为负数，求 的取值范围． 22. 某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快速分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元，则最多能买A型机器人多少台？ 23. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． （1）在方程①，② ，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） （2）若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于 的“相依方程”中 的值； （3）若方程和都是关于 的不等式组的“相依方程”，则的取值范围是 ． 24. 如图，将一条数轴在原点 和点 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点 表示-8，点 表示6，点 表示12，我们称点 和点 在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点 运动到点 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点 到达终点 时停止运动；点 出发的同时，动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点 运动到点 期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点 停止运动时，点 也随之停止．设点 的运动的时间为 秒 ． （1）动点 从点 运动至 点需要 秒： （2）当 时，点 在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： （3）当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求 的值； （4）当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林长春市二道区东北师范大学附属实验学校（经开）2025-2026学年下学期七年级期中数学试题 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式． B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义． C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． 故选B． 2. 已知 ，下列各式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的两条基本性质逐一分析选项，判断式子是否一定成立即可． 【详解】解：∵ ， ∴根据等式的基本性质1（等式两边同时加上同一个数，等式仍成立），可得，故A选项一定成立，不符合题意． ∵ ， ∴两边同时乘得，再根据等式基本性质1，两边同时加a得，故B选项一定成立，不符合题意． ∵ ， ∴根据等式的基本性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍成立），可得，故C选项一定成立，不符合题意． 对于D选项，当 时，分式和无意义，只有当时，根据等式基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 3. 已知一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合条件的不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据数轴可得不等式组为． 4. 已知 是关于x的方程的解，则a的值是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程解的定义，将已知解2代入原方程，解关于a的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵ 是方程的解 ∴把 代入原方程，得 解得 ． 5. 不等式的负整数解的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为 得， ∴不等式的负整数解为，共 个． 6. 若三角形三边长之比为，且，则这个三角形的周长等于（ ） A. 12 B. 24 C. 18 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据题意列出方程即可． 设，，，代入列方程即可． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∵， 将，，代入得：， 解得， ∴三角形的周长为． 故选：D． 7. 用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图 中 个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图 中 个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为 ，宽为 ，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为 ，宽为 ，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图 中 个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图 中 个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为 ， 设每张长方形纸片的长为 ，宽为 ， 根据题意得，， 故选：． 8. 方程组的解 ， 的值互为相反数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知方程组的解求参数．利用相反数的定义设，代入原方程组得到关于 和的方程，解方程组即可求出的值 【详解】解：与 互为相反数， 代入方程组： 由，得 ， ① 由，得 ， ② 由②得， 代入①： 解得： ， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知是关于 的一元一次方程，则 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为 且一次项系数不为 ，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或 ． 又． 因此． 10. 已知不等式，有，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断系数的符号． 再解关于 的不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：∵不等式，有， ∴， 解得：． 11. 已知，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性列出关于 的一元一次不等式，解不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 12. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9，则原来的两位数为__________． 【答案】54 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设十位数字为 ，则个位数字为，表示原数和新数，根据新数比原数小9列方程求解即可． 【详解】解：设十位数字为 ，则个位数字为；由题意得： ， 解得： ， ∴个位数字为，故原数为54； 故答案为54． 13. 根据，可得，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算列出二元一次方程组，求出 的值，再代入计算 即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： 整理得 得： 化简得 把 代入①得： ， 解得 ． 14. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 【详解】解：∵， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1得到结果； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1得到结果． 【小问1详解】 解：   去括号，得   移项、合并同类项，得   系数化为1，得 【小问2详解】 解：  去分母，得   去括号，得  移项、合并同类项，得   系数化为1，得 16. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过观察两个方程中 的系数相同，采用减法消元，先求出 ，再代回求 计算即可； （2）通过乘法统一 的系数后相加消元，先求出 ，再代回求 计算即可． 【小问1详解】 解：， 得， 解得 ， 将 代入 得， 解得 ， 原方程组的解为； 【小问2详解】 ， 得， 得， 得， 解得 ， 将 代入 得， 解得 ， 原方程组的解为． 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1） （2） 【答案】（1）；画图见解析 （2）；画图见解析 【解析】 【分析】（1）通过去括号，移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤求解，再将解集在数轴上表示出来即可； （2）通过去分母，移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤求解，再将解集在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以2，得， 将解集在数轴上表示出来如下： 【小问2详解】 解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得， 将解集在数轴上表示出来如下： 18. 解下列不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①得： ， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为 ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， 所以原不等式组的解集为． 19. 甲组有37人，乙组有23人，现在需要从甲、乙两组抽调相同数量的人去做其他工作，已知甲组剩下的人数是乙组剩下人数的2倍，求从甲组调出的人数． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设从两组调出的人数均为x，根据调出后甲组人数是乙组人数的2倍列出方程，求解即可． 【详解】解：设从甲组调出的人数为x，则甲组剩下人，乙组剩下人． ∵甲组剩下的人数是乙组剩下人数的2倍， ∴， ， 答：从甲组调出的人数为9． 20. 在证明“如果，那么 ”结论的正确性时，小明的证明方法如下： 证明：， ． ． ． ． 请将上面的证明过程补充完整． 【答案】 ；；； 【解析】 【分析】本题根据不等式的基本性质逐步推导补充证明，用到的性质为：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变；不等式两边加同一个整式，不等号方向不变． 【详解】证明： 21. 已知关于x，y的方程组的解x，y均为负数，求 的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先求解二元一次方程组得到x和y关于a的表达式，再根据x，y均为负数构造关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∵x，y均为负数， ∴， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴ 的取值范围是． 22. 某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快速分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元，则最多能买A型机器人多少台？ 【答案】（1）A型智能机器人单价为 万元，B型智能机器人单价为 万元 （2） 台 【解析】 【分析】（1）设A型智能机器人单价为 万元，B型智能机器人单价为 万元． 根据题干给出的两种购买方案的总费用列出二元一次方程组，求解即可得到单价． （2）设购买A型智能机器人 台，则购买B型智能机器人台．根据总费用不超过1000万元的限制列出一元一次不等式，求解后得到最大购买数量． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人单价为 万元，B型智能机器人单价为 万元． 由题意得  解得  答：A型智能机器人单价为 （万元），B型智能机器人单价为 （万元）． 【小问2详解】 解：设购买A型智能机器人 台，则购买B型智能机器人台． 由题意得 化简得   解得  答：最多能买A型智能机器人 台． 23. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． （1）在方程①，② ，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） （2）若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于 的“相依方程”中 的值； （3）若方程和都是关于 的不等式组的“相依方程”，则 的取值范围是 ． 【答案】（1）②③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可； （3）先求出两个“相依方程”的解，然后求出不等式组的解，然后根据“相依方程”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：， 解得：， ①， 解得： ，不是一元一次不等式组的解， ② ， 解得： ，是一元一次不等式组的解， ③， 解得： ，是一元一次不等式组的解， ∴不等式组的“相依方程”是②③； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为 或 ， 若 是的解，则 ，解得：； 若 是的解，则 ，解得：； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：解方程得： ， 解方程得：， 解关于 的不等式组得：， ∵方程和都是关于 的不等式组的“相依方程”， ∴ 和是的解， ∴， ∴ 的取值范围是． 24. 如图，将一条数轴在原点 和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点 表示12，我们称点和点 在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点 从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点 运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点 到达终点 时停止运动；点 出发的同时，动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点 期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点 停止运动时，点 也随之停止．设点 的运动的时间为 秒 ． （1）动点 从点运动至 点需要 秒： （2）当 时，点 在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： （3）当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求 的值； （4）当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2） ； （3） （4） 或 【解析】 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求 距离小于 距离的 范围时，分区间写出 、 的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【小问1详解】 段：长度 ，时间 秒； 段：长度 ，时间 秒； 段：长度 ，时间 秒； 总时间： 秒． 【小问2详解】 对 ： 用 秒到达 ，剩余 秒在 段运动，走了 个单位，对应数为 ； 对 ： 用 秒到达 ，剩余 秒在 段运动，走了 个单位，对应数为 ； 距离： ； 【小问3详解】 相遇时 、 路程和为 总长 ，分区间讨论： ①当点 在 上运动时，且点 在 上运动，即 时， 故无法相遇，舍去； ②当点 在 上运动时，且点 在 上运动时，即 时， 故无法相遇，舍去； ③当点 在 上运动时，且点 在 上运动时，即 时， ∴ ， 解得； 当 时，不再相遇； 故． 【小问4详解】 ①当点 在 上运动时，且点 在 上运动，即 时， ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ； ②当点 在 上运动时，且点 在 上运动，即 时， ， ， ， 解得 ， ∴ ； ③当点 在 上运动时，且点 在 上运动时，即 时， ，， ∴， 解得 ， ∴ ； ④当点 在 上运动时，且点 在 上运动时，即 时， ， ， ∴ ，恒成立， 故 ； ⑤当点 在 上运动时，且点 在 上运动时，即 时， ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ； 综上所述， 或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $