河北唐山市第二中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

**基本信息** 2025-2026唐山二中高二下学期6月月考数学试卷，聚焦函数导数与概率统计核心知识，通过共享电动车投放回归分析、招聘考试概率计算等现实情境题，考查数学建模与数据分析能力，体现用数学语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|导数计算、函数奇偶性、全概率公式|基础概念与运算结合，如第3题甲箱取球概率考查分步思维| |多选|3|二项式定理、正态分布性质|选项分层设计，如第10题辨析统计概念，培养批判性思维| |填空|3|函数奇偶性、排列组合、新定义“准奇点”|第14题“准奇点”新定义问题，渗透创新意识| |解答|5|回归分析、独立性检验、函数极值、正态分布应用|第15题共享电动车投放建模，体现数据观念；第17题函数极值讨论，考查逻辑推理|

2025-2026唐山二中高二下学期6月月考 数学 一、单选题 1．下列函数求导正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．设随机变量,随机变量,若,则 A．2 B．3 C．6 D．7 5．已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 6．设是定义在上的奇函数，且.若在上单调递减，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 8．曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（   ） A． B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．常数项为 D．展开式中系数最大项为第3项和第4项 10．下列说法正确的是（    ） A．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平 B．运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心 C．相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱 D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系 11．对于函数，下列结论中正确的是（    ） A． B．当时，方程有唯一实数解 C．函数的值域为 D．， 三、填空题 12．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时，，则，则______． 13．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由 中的两个不同字母，和 中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的不同的方法种数为________. 14．对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15．某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16．小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． (1)设小张抽到球的个数为，求的分布列及． (2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 17．已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在上恰有两个极小值点，求的取值范围. 18．新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门. (1)若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 19．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山二中高二下学期6月月考 数学 一、单选题 1．下列函数求导正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得. 【详解】，A错误．，B错误．，C错误．，D正确． 故选：D. 2．已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小值. 【详解】由是奇函数，可得. 由，可得的图象关于对称， 即，则有， 所以，即的周期为. 因为在单调递增，且是奇函数图像关于原点对称， 则在单调递增，即在单调递增. 又因为的图象关于对称，则在单调递减. 所以在一个周期内， 即在上的最小值是. 故选：C 3．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用全概率的计算公式即可求. 【详解】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是白球， 依题意，，，， 所以. 故选：D 4．设随机变量,随机变量,若,则 A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【详解】∵随机变量，∴， 解得，∴，∴， 故选C. 5．已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用正态分布对称性和概率性质计算即可. 【详解】解：对于，，故A错误； 对于，因为， 所以 ，故B错误； 对于C，显然， 所以， 所以，故C正确； 对于，因为， 所以，故D错误． 故选：C． 6．设是定义在上的奇函数，且.若在上单调递减，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 不等式等价于不等式组或， 解得解集为， 故选：C. 7．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 8．曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果. 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故选：A. 二、多选题 9．在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（   ） A． B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．常数项为 D．展开式中系数最大项为第3项和第4项 【答案】ABD 【分析】求出展开式的通项，根据题意可得，即可判断A；根据二项式定理的性质即可判断B；令的指数等于零，即可判断C；理由不等式法即可判断D. 【详解】展开式的通项为， 则前3项的系数分别为， 对于A，由题意可得， 即，解得或（舍去）， 所以，故A正确； 对于B，展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中常数项为，故C错误； 对于D，设展开式中第项的系数最大项， 则有，解得或， 所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确. 故选：ABD. 10．下列说法正确的是（    ） A．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平 B．运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心 C．相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱 D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系 【答案】BD 【分析】根据正态曲线的几何特征，判断选项A；由回归直线方程的性质，判断选项B和C； 【详解】解：对于A，根据正态曲线的几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误； 对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，故B正确； 对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，故C错误； 对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故D正确。 故选：BD. 11．对于函数，下列结论中正确的是（    ） A． B．当时，方程有唯一实数解 C．函数的值域为 D．， 【答案】ABD 【分析】分析函数的奇偶性，进而只研究函数在内的性质，通过去绝对值、分离常数等方法研究即可. 【详解】因为，故为奇函数， 令，即，选项A正确； 当时，，所以在上单调递增， 又，，且是奇函数，所以的值域为， 所以的单调递增区间为，故选项B正确，选项C错误， 故对，，选项D正确． 故选：C. 三、填空题 12．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时，，则，则______． 【答案】 【详解】由题意可得：，，那么，则 13．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由 中的两个不同字母，和 中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的不同的方法种数为________. 【答案】3600 【分析】选定三个数字，看作一个整体，和选出的两个字母进行全排列，根据分步乘法计数原理可得答案. 【详解】在中选三个数字，共有种情况，在中选两个不同的字母，共有种不同的选法， 将三个数字全排列，共种排法，再把这三个数字作为一个整体和两个字母全排列，则共有中排法， 综上所述，此人选择号牌的不同的方法种数为种， 故答案为：. 14．对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意可得：，所以是函数的一个“准奇点”，其余还有两对，函数 关于原点对称的图象恰好与有两个交点，即 有两个正根，即有两个正根，构造函数求导判断单调性即可求解. 【详解】因为，所以是函数的一个“准奇点”． 若函数存在5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对， 即函数关于原点对称的图象恰好与有两个交点， 而函数关于原点对称的函数为， 即有两个正根，即有两个正根， 令，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当无穷大时，无穷大， 所以，所以 实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题 15．某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)适宜， (2) \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 能认为是否报废与保养有关． 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得．设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得，所以，所以， 则，故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 16．小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． (1)设小张抽到球的个数为，求的分布列及． (2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 【答案】(1) 1 2 3 (2) 【分析】（1）利用超几何分布可求分布列，利用公式可求期望. （2）利用全概率可求小张回答论述题的概率. 【详解】（1）的所有可能取值为1，2，3，则，，， 所以的分布列为 1 2 3 故． （2）记事件为“小张回答类题”，为“小张回答类题”，为“小张回答论述题”． 由（1）知，， 由题意知，， 所以． 17．已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在上恰有两个极小值点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，分析可知函数在上只有一个极小值点，分析的符号变化，结合零点存在定理以及已知条件可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，则， 所以，，， 所以，函数在处的切线方程为，即. （2）解：，是上的偶函数. “函数在上恰有两个极小值点”等价于“函数在上恰有一个极小值点”. 不妨设，因，令，则. ①当时，，则在上单调递减，. 则，此时在上单调递减，无极小值； ②当时，，则在上单调递增，. 则，此时在上单调递增，无极小值； ③当时，存在，使. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ，， 由零点存在定理知存在，使得. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 函数在上恰有一个极小值点. 函数在上恰有两个极小值点. ④当时，存在，使. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ，又，所以，对任意的，， 此时，函数在上单调递减，无极小值； ⑤当时，在上单调递减，无极小值. 综上所述：的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的极小值点的个数求参数，解题时要注意对极值点附近的函数单调性进行分析，确定极值点的属性，进而求解. 18．新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门. (1)若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 【答案】(1) (2)①人；②不可信. 【分析】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语，若另一门相同的选择物理、历史中的一门或若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，根据排列组合分别计算即可； （2）①由正态分布的对称性计算180分到360分的概率，即可求出4000名学生中成绩介于180分到360分之间的人数； ②利用正态分布可得，即可根据统计学中的原则进行判断. 【详解】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语， 若另一门相同的选择物理、历史中的一门，有种，在生物学、化学、思想政治、地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种； 若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种， 所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法. （2）①设此次网络测试的成绩记为X，则， 由题知，，，， 则， 所以， 所以估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有人； ②不可信. ， 则， 4000名学生中成绩大于420分的约有人， 这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本， 所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”， 说法错误，此宣传语不可信. 19．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【详解】（1）的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2）由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得，    令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 试卷第4页，共17页 试卷第3页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $