（预习篇）第六讲 一元二次方程的解法（暑假预习培优讲义） -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第六讲 一元二次方程的解法「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第2章 一元二次方程）】 （思维导图+新知学习+九大考点讲练+难度分层练 共47题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点二 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点三 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点四 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点五 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 考点一 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】解下列方程： (1) (2) 【变式训练1】解方程： (1)； (2)． 【变式训练2】解下列方程： (1) (2) 考点二 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】解方程： (1)； (2)． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【变式训练2】解方程： (1)； (2)． 考点三 配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知一次函数与二次函数． 试说明：无论 x 取何值时，总有． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【变式训练2】（25-26九年级上·山西大同·期末）下面是小云用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（　　） 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加___________ A． B． C． D． 考点四 公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·福建厦门·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练2】解下列一元二次方程： (1) (2) 考点五 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）．(3)（配方法）． 【变式训练1】解方程：． 【变式训练2】（25-26九年级上·重庆·期中）一元二次方程的解是________． 考点六 换元法解一元二次方程 【典例精讲】若关于x的一元二次方程的根为．则一元二次方程的根为_________ 【变式训练1】（25-26九年级上·山东临沂·期末）若实数，满足，求的值． 【变式训练2】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若，则_____． 考点七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·福建漳州·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式训练1】下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 考点八 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【变式训练1】（2023·四川甘孜·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【变式训练2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B．3 C．5 D．8 考点九 解分式方程(化为一元二次) 【典例精讲】（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 【变式训练2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（   ） A． B． C．a＜0 D． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）已知，当时，x的值为___________________ ． 5．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）关于x，y的整系数二次多项式可以分解为两个一次多项式的积，则常数 _______ ． 6．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______． 8．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）解方程 (1)； (2) ． 9．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 10．（25-26九年级上·江西吉安·期末）按要求完成下列各题： (1)解方程：． (2)如图所示，四边形是菱形，，与相交于点O，求菱形的面积． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式，此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求．在演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回往返速度均为”则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南·模拟预测）我们定义：．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 3．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）已知实数a，将1与a（，1）之差的倒数记为第一次操作后的数，若以后第n（的正整数）次操作后的数都是1与第次操作后的数之差的倒数．对下面判断：①若，则；②若，则；③如果与互为倒数，那么；④如果，那么代数式取值一定为正．这些说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）若可以写成k个连续的正整数之和，则k的最大值为__________． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 6．（25-26九年级上·全国·寒假作业）在中，，点为边上一点，与的面积比为． (1)若，则 ____ ； (2)的最小值为 _____ ． 7．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字之积等于去掉千位数字与个位数字得到的两位数，则称这个数为“中积数”．如：8162中，∵，∴8162是 “中积数”；又如：5234， ∵， ∴5234不是 “中积数”，若一个“中积数”为，其中比大1，则这个“中积数”为_________，对一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数，若能被17整除，则满足条件的“中积数”的最小值是________． 8．（25-26九年级上·福建漳州·期中）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________． A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． ①判断四边形是否为“奇妙四边形”，并说明理由； ②若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）[观察发现]通过下面简单的运算，我们发现：，，，…，． [抽象概括]一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对. [模仿运用]判断数对与是否是完美方根数对？为什么？ [拓展解决]若是一组完美方根数对，求的值． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图1，一次函数与反比例函数交于点，与x轴交于点B，且，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为一次函数第一象限图象上A点右侧一点，过点C作，交反比例函数图象于C，D两点，若，求点E的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点E作轴于F，沿x轴向右平移得，，分别与反比例函数图象交于点M，N，连接，若，求平移的距离． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第六讲 一元二次方程的解法「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第2章 一元二次方程）】 （思维导图+新知学习+九大考点讲练+难度分层练 共47题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点二 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点三 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点四 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点五 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 考点一 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； 【详解】（1）解：， ， 解得：， （2）解：， ， ， ， ， 解得：， 【变式训练1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，． 【变式训练2】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程运用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ∴； （2）解：， ， ， ，， ∴． 考点二 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法，将方程左边配成完全平方式，再开方求解； （2）利用因式分解法，提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为的形式，分别求解两个一元一次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 或， ． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式训练2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程运用配方法求解即可； （2）方程运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ． 或． ，． 考点三 配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知一次函数与二次函数． 试说明：无论 x 取何值时，总有． 【答案】见解析 【分析】本题考查配方法的应用，根据题意计算即可证明． 【详解】证明：∵一次函数与二次函数， ∴， ∵， ∴， ∴无论 x 取何值时，总有． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·山西大同·期末）下面是小云用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（　　） 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加___________ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，观察题目所给方程，结合完全平方式的特征可知，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 配方法解一元二次方程时，需在方程两边加上一次项系数一半的平方，以形成完全平方式. 【详解】解：∵一次项系数为6，其一半为3，平方为， ∴两边加， 得， 即. 故横线上应填写， 故选：B. 考点四 公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·福建厦门·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： ，， 解得，． 【变式训练1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：（1），，；     ；     ；     ，． （2）解：原方程整理得；     ；     或；     ，． 【变式训练2】解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 令或 解得，； （2）解： ，． 考点五 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）．(3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 【变式训练1】解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 因式分解，得， 解得，． 【变式训练2】（25-26九年级上·重庆·期中）一元二次方程的解是________． 【答案】， 【详解】解：， ， 或， 解得，． 考点六 换元法解一元二次方程 【典例精讲】若关于x的一元二次方程的根为．则一元二次方程的根为_________ 【答案】 【分析】将方程化为，进而得到或，进行求解即可. 【详解】解：一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程的根为， ∴的两个根满足或， 解得． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东临沂·期末）若实数，满足，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换； 设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求即的值． 【详解】解：设，则由原方程，得，       整理，得，即， 分解得：， 解得：， 则的值是或1． 【变式训练2】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，通过换元法，设，将原方程转化为一元二次方程求解，再根据非负性确定值． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 因式分解得， 解得：或． 由于， 故， 故答案为：3． 考点七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·福建漳州·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】∵对于一元二次方程，可得，，， ∴判别式 ， 展开计算得， ∵对任意实数，都有， ∴，即， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式训练1】下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，对于一元二次方程，当时，方程无实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、方程中， ． 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、方程中， ． 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、方程中， ． 该方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、方程中， ． 该方程无实数根，符合题意． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 考点八 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根得出判别式，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 【变式训练1】（2023·四川甘孜·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 【变式训练2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此求出的取值范围，即可选出符合条件的答案，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题关键. 【详解】∵关于的方程有两个不相等的实数根，这里，，. ∴. 化简得. 解得. ∵四个选项中只有，其余选项的值均大于. ∴故选A. 考点九 解分式方程(化为一元二次) 【典例精讲】（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二元一次方程的解，解分式方程，分母有理化． 通过计算每个方程的实数解情况，选项A的一元二次方程判别式为负，无实数解；选项B有无数实数解；选项C经求解和检验有实数解；选项D有实数解． 【详解】解：选项A：，判别式，无实数解； 选项B：是二元一次方程，有无数组实数解，有实数解； 选项C：，去分母得，解得或，但使分母为零为增根，为实数解，即有实数解； 选项D：，解得为实数，有实数解； 故选：A． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 【答案】1班人数是20人，2班人数是26人 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据1班人数是2班人数的一半多7人，故设2班人数是人，则1班人数是人，又因为八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元，所以得，解得（舍去），然后验根作答即可． 【详解】解：设2班人数是人，则1班人数是人， ∵八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元， ∴， 整理得， 解得（舍去）， 经检验：是原分式方程的解， ∴2班人数是26人， ∴， 则1班人数是人． 【变式训练2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解题关键是掌握解分式方程解法． 通过换元法，设，将原分式方程转化为关于y的整式方程． 【详解】解：∵设， ∴， 原方程化为，即， 两边乘以y得， 移项得． ∴整式方程为， 故选：A． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有实数根，将各选项方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A 选项：方程，，方程无实数根； B 选项：方程，，方程无实数根； C 选项：方程，，方程无实数根； D 选项：整理方程得，，方程有实数根． 2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 【答案】C 【分析】先解一元二次方程得到边长的可能值，舍去负根得到的长，再利用矩形四个角为直角的性质，结合勾股定理求出邻边长，最后计算矩形周长即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ， 解得或， ∵边长为正数， ∴， ， 在中， ， ∴矩形的周长为； 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（   ） A． B． C．a＜0 D． 【答案】D 【分析】先通过因式分解求出方程的两个实数根，再根据“只有一个实数根小于2”的条件，结合两根的大小关系列出不等式组求解，进而确定的取值范围． 【详解】解：∵原方程可因式分解为：， ∴方程的两个实数根为，． ∵， ∴， ∵方程只有一个实数根小于2，即两个根中一个小于2，另一个不小于． ∴，即， 解得． 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）已知，当时，x的值为___________________ ． 【答案】或 【分析】根据列出一元二次方程，然后整理成一般式，最后利用一元二次方程的求根公式求解即可． 【详解】解：当时，可得，整理得：， ∴， ∴， 即，． 5．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）关于x，y的整系数二次多项式可以分解为两个一次多项式的积，则常数 _______ ． 【答案】或13 【分析】根据结合题意，设，进行求解即可. 【详解】解：∵，且关于x，y的整系数二次多项式可以分解为两个一次多项式的积， ∴设， ∴， ∴，， ∴， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或. 6．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________． 【答案】 【分析】把代入方程，求出，再解方程即可． 【详解】把代入方程，得， 解得， 一元二次方程为， 两边同除以2，得， ， ，， 该方程的另一根为． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不为，再由方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于． 【详解】解：因为是一元二次方程， 所以． 因为方程有两个不相等的实数根， 所以方程根的判别式，即 解得. 所以的取值范围为且． 8．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）解方程 (1)； (2) ． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得，； （2）解：， 移项，得， 两边开方，得， 解得，． 9．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可． 【详解】（1）解： 代入求根公式得 ∴， （2）解： 整理得 因式分解得 ∴或 解得， 10．（25-26九年级上·江西吉安·期末）按要求完成下列各题： (1)解方程：． (2)如图所示，四边形是菱形，，与相交于点O，求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据菱形性质得出，平分，求出，即可求出面积． 【详解】（1）解：， ∴， 则或， ∴； （2）解：四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ， ， ， 所以菱形的面积为． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式，此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求．在演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回往返速度均为”则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据全队前进的时间等于传令兵往返的总时间，利用追及、相遇问题的时间公式建立方程，求出传令兵速度与队伍速度的关系，再计算传令兵所走路程即可解答． 【详解】解：∵全队前进所用时间为，传令兵从排尾到排头的追及时间，从排头到排尾的相遇时间，且， ∴， 两边同除以得： 通分右边得： ∴，即， 整理为关于的一元二次方程：， 由一元二次方程求根公式得： ∵速度为正数， ∴ ∴传令兵所走路程． 2．（2026·湖南·模拟预测）我们定义：．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程解法，代数式求值，由题意得，，从而有，然后求出，的值，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，则， 由题意得，则， ∴ ， ∴，，， 代入得：，，， ∴或， 故选：． 3．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）已知实数a，将1与a（，1）之差的倒数记为第一次操作后的数，若以后第n（的正整数）次操作后的数都是1与第次操作后的数之差的倒数．对下面判断：①若，则；②若，则；③如果与互为倒数，那么；④如果，那么代数式取值一定为正．这些说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律型－数字变化类，分式的运算，解分式方程，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键． 通过计算找到规律，逐个进行判断即可． 【详解】解：∵，， 当时，则， 解得，故不正确； ∵， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∵与互为倒数， ∴， 解得，故正确； ∵，，， ∴，，， ∴ ， ∵，则 ∴， ∵， ∴，即，故正确； 故选：C． 4．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）若可以写成k个连续的正整数之和，则k的最大值为__________． 【答案】54 【分析】本题考查利用公式法求解一元二次方程，此题中涉及的公式有：．设这k个连续正整数第一个正整数是n，则第个正整数是，根据题意进行分析求解即可． 【详解】解：设这k个连续正整数第一个正整数是n，则第个正整数是， ∵ ∴， 整理得： ∵n是正整数，即, ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当时， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴故k的取值不超过66， ∵的正约数中，小于等于66的最大约数为， 验证：当时， ， 解得，14是正整数，符合条件， 故答案为：54． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 6．（25-26九年级上·全国·寒假作业）在中，，点为边上一点，与的面积比为． (1)若，则 ____ ； (2)的最小值为 _____ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的面积，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）由三角形面积公式得，，进而得，再根据△与的面积比为得，则，设，则，，由勾股定理分别求出， ，据此可得的值； （2）设，，则，，则，由（1）知，由勾股定理分别求出，，进而得，设，整理得，显然这个关于的一元二次方程有实数根，因此判别式，整理得，解此不等式得，由此得y的最小值为，据此即可得出的最小值． 【详解】解：（1）在中，，点为边上一点， ∴，， ∴， 又与的面积比为， ， ， 设， ， ， ， 在中，由勾股定理得：AB5a， 在中，由勾股定理得：AP， ∴， 故答案为：； （2）设，，其中，， ， 由（1）可知：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设， 整理得：， 显然关于的一元二次方程有实数根， ∴判别式， 整理得：， 解此不等式得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为：． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字之积等于去掉千位数字与个位数字得到的两位数，则称这个数为“中积数”．如：8162中，∵，∴8162是 “中积数”；又如：5234， ∵， ∴5234不是 “中积数”，若一个“中积数”为，其中比大1，则这个“中积数”为_________，对一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数，若能被17整除，则满足条件的“中积数”的最小值是________． 【答案】 7568 3248 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，对于第一空，根据中积数的定义和d比a大1的条件，列出方程求解a和d，即可得到对应的数字；对于第二部分，利用中积数的条件推导出的表达式，并利用整除性确定a和d的关系，然后寻找最小的满足条件的数． 【详解】解：∵四位自然数是“中积数”， ∴， ∵比大1，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴四位自然数即为7568； ∵一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数， ∴，且， ∴ ， ∵能被17整除，能被17整除， ∴能被17整除，即能被17整除， ∵， ∴， ∴或； 当时， 要使“中积数”最小，则首先要保证a最小，则d要最大， 当时，，不符合题意； 当时，； 此时， ∴此时“中积数为3248； 当时， 要使“中积数”最小，则首先要保证a最小，则d要最大， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，； 此时， ∴此时“中积数为9637； ∵， ∴满足题意的“中积数的最小值为3248； 故答案为：7568；3248． 8．（25-26九年级上·福建漳州·期中）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________． A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． ①判断四边形是否为“奇妙四边形”，并说明理由； ②若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)A (2)①是，理由见解析；②或 【分析】（1）根据“奇妙四边形”的定义进行判断即可； （2）①过作于点，于点，则，证明四边形是矩形，，证明，得到，再证明，即可证明四边形是“奇妙四边形”；    ②可证明因为，所以四边形有一组对角互补，根据“奇妙四边形”的定义还需要有一组邻边相等，所以应分、、、四情况求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形和菱形的一组对角相等，但是这组对角不一定是直角， ∴平行四边形和菱形的一组对角不一定互补，故平行四边形和菱形都不一定是“奇妙四边形” 正方形和矩形的四个角都是直角， 正方形和矩形都满足有一组对角互补， 正方形的一组邻边相等，矩形的一组邻边不一定相等， 正方形是“奇妙四边形”，矩形不一定是“奇妙四边形”； （2）解：①四边形是“奇妙四边形”，理由如下：     如图，过作于点，于点，则，     四边形为正方形， 平分，，     四边形是矩形，， ∴，      ， ， ，     ，     ，     ， 四边形是“奇妙四边形”；     ②∵四边形是正方形， ∴， ， ∴ ， 若四边形是“奇妙四边形”，则需要邻边相等； 若，连接，如图： ， ∴， ， 设，则， 由（2）①得， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，（负值舍去）， ； 若，同理可证明，则同理可得； 若，如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵点在上， 点E和点重合，此时四边形不存在； 若，连接，如图： ∵四边形是正方形， ， ∴ ， 又， ， ， 设，则，， ，， ， 在中，由勾股定理得， 解得，（不合题意，舍去） 综上所述，的面积为或． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）[观察发现]通过下面简单的运算，我们发现：，，，…，． [抽象概括]一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对. [模仿运用]判断数对与是否是完美方根数对？为什么？ [拓展解决]若是一组完美方根数对，求的值． 【答案】是完美方根数对，不是完美方根数对； 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、新定义的理解与应用以及一元二次方程的解法等知识点，熟练掌握根据新定义列出方程并求解是解题的关键． 模仿运用：根据完美方根数对的定义，分别将数对和代入等式，验证等式是否成立． 拓展解决：将代入定义式，通过解方程求出的值，并根据为正整数的条件进行取舍． 【详解】解：模仿运用：, 是完美方根数对． ， 不是完美方根数对． 拓展解决： 是一组完美方根数对， ， ， ， ， ,， 为正整数， ． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图1，一次函数与反比例函数交于点，与x轴交于点B，且，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为一次函数第一象限图象上A点右侧一点，过点C作，交反比例函数图象于C，D两点，若，求点E的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点E作轴于F，沿x轴向右平移得，，分别与反比例函数图象交于点M，N，连接，若，求平移的距离． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)点E坐标为 (3)平移的距离为 【分析】（1）根据题意求得、，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意可设，直线的表达式设为，联立方程组得，，再由等腰直角三角形和勾股定理得，，进而得，即可求解； （3）由题意得为等腰直角三角形，再根据平移的性质和题意得为等腰直角三角形，设，则，直线的表达式为，联立方程组得，则，作于点P，则，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 故， 故反比例函数表达式为， 将、代入一次函数中， 可得，， 故一次函数表达式为； （2）解：由题意可设， ∵， ∴直线的表达式可设为， 令，整理得， 故，， ∵，, ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，整理可得， 解得或（舍去）， 故点E坐标为； （3）解：由题可得为等腰直角三角形， 故平移后， 又∵， ∴为等腰直角三角形，如图3所示， 设，则， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 令，整理可得， 故，则， 作于点P，则， 即，整理可得， 解得（舍去负根）， 即， 故平移的距离为． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $