2.1 等式与不等式的性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等式与不等式性质，以判断正误、比较大小、范围求解为递进题型，系统覆盖性质应用核心考法，培养推理意识与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断不等式正确性|4题（含多选）|结合性质直接判断命题真伪，考查性质辨析能力|从性质理解到直接应用，构建基础认知| |比较数（式）大小|5题（含证明）|通过作差、作商等方法比较大小，强化推理意识|深化性质应用，培养逻辑推理能力| |不等式求值/范围|3题（含填空）|利用性质求代数式取值范围，注重条件转化|综合应用性质，提升数学思维的严谨性|

§2.1 等式与不等式的性质·专项训练 目录 题型1：由已知条件判断不等式是否正确 2 题型2：比较数（式）大小 4 题型3：利用不等式求值或取值范围 7 题型1：由已知条件判断不等式是否正确 【例1.1.】 已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 【例1.2.】 （多选）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【详解】对于A，取，此时，但，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，因为，故，而，故，故C正确； 对于D，， 若，则， 故即，故D错误. 【例1.3.】 （多选）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质证明不等式 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 【例1.4.】 已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较余弦值的大小 【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，即，又因为，所以， 因此，即，故C正确； 对于D，余弦函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 题型2：比较数（式）大小 【例2.1.】 （1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用不等式的性质比较大小. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，，所以， 所以，又，所以. 【例2.2.】 （多选）已知实数，满足，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】若，则满足，但不满足，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 因为，，所以，则，故C正确； 因为，，所以，则，故D错误. 【例2.3.】 （多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【难度】0.68 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 【例2.4.】 （多选）已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】对于选项A，利用对数函数单调性判断的范围；对于选项B，利用幂函数单调性判断与的大小；对于选项C，作差比较与的大小；对于选项D，构造函数判断与的大小，即可得出结果. 【详解】对于选项A，已知，则，故，A正确. 对于选项B，因为，幂函数在上单调递增，又，所以，B错误. 对于选项C，， 因为，，所以，，， 故，即，C正确. 对于选项D，构造函数，，则在上单调递增. 因为，所以，即，整理得，D错误. 故选：AC 【例2.5.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD. 【详解】由可得 对于A，由于，函数为单调递增函数，故 ，故A错误， 对于B， ，由于，故， 故，则，故B错误， 对于C，由于故 ，故C错误， 对于D， ，由于得，故. 题型3：利用不等式求值或取值范围 【例3.1.】 已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 【例3.2.】 （多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：BD 【例3.3.】 （1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）先根据已知条件判断的符号，然后将等式变形为，代入不等式中求出结果即可. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以，所以的取值范围是. （2）因为，所以. 因为，所以，即，解得. 将代入中得，即， 得，所以，所以的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $§2.1等式与不等式的性质。专项训练 目录 题型1：由已知条件判断不等式是否正确… 题型2：比较数（式)大小 2 题型3：利用不等式求值或取值范围.3 题型1：由已知条件判断不等式是否正确 【例1.1.】已知a<b<c,则() A.ac <bc B.ac<b2 C.2a+b<2b+c D.b-a<c-b 【例1.2.】（多选）若a>b>c>d,则下列不等式正确的是() A.ac2>bc2 b B.a+cxb+d C.a-dxb-c D. a-b a-c 【例1.3.】（多选）下列命题正确的是() A.若a>b,c>d,则a+c>b+d B.若ab=3,则a2+b2≥6 C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a>b>0,c>d>0,则b+c>b+d a+c a+d 【例1.4.】已知a,b∈R,且0<aKb<1,则() A.a2>b2 8.1、1 C. 11 D.cosa<cosb a b a+1b+1 题型2：比较数（式）大小 【例2.1.】(1)设a,b为实数，比较a2+b2与4a-2b-5的值的大小. (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证：e e -c-b-d 【例2.2.】（多选）已知实数a,b满足ab>0,则下列说法正确的有() A.a+b<ab B.2a2+b2）≥a+b2 11 C.若a>b,则-< D.若0<a<b,m>0,则9>a+m bb+m 【例2.3.】（多选)下列说法正确的是() A.若C> ,则a<b B.若a√a>b√b,则a>b a b C.若a<b<0,则a-二>h-6 D.若-2<a<3,1<b<2,则-4<a-b<2 a 【例2.4.】（多选）已知实数0<a<b<1,若c=log6a,则下列结论正确的有() A.c>1 B.ab C.bbte D.a+1>b+ aa+c b a 【例2.5.】己知lna>lnb>0,c>0,则() b+c b A.2°<2 B. a+c a C.atbsab D.ab+lxa+b 2 题型3：利用不等式求值或取值范围 【例3.1.】已知0<a<2,1<b<3,则下列选项正确的是（) A.3<a+b<5 B.-3<a-b<-1 C.0<ab<6 D.0<0<2 b3 【例3.2.】（多选）已知3<a<10,5<b<30,则下列结论正确的有() A.2<b<10 B.11<2a+b<50 a C.2<b-a<20 D. 23a+2b <22 10b 【例3.3.】(1)已知2<a<3,-2<b<-1,则2a+b的取值范围是 (2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则2的取值范围是