第10章 精研真题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦概率统计专题，覆盖独立事件概率计算、组合数应用、递推关系构建及不等式证明等核心考点，依据高考评价体系分析各考点权重，归纳“分类列举求概率”“方程法解参数”“递推法证不等式”等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题精研+思维拆解+素养提升”，以2025年全国卷乒乓球得分概率真题为例，详细解析第(1)问“列举甲3:0、4:0等得分情况计算概率”、第(3)问“构建递推关系作差比较”等突破方法，培养学生数学思维与数学语言表达素养，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导复习，提升备考效率。

精研真题 [例题] (17分)(2025·全国2,19)甲、乙两人进行乒乓球练习,每个球胜者得1分,负者得0分.设每个球甲胜的概率为p(<p<1),乙胜的概率为q,p+q=1,且各球的胜负相互独立,对正整数k≥2,记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率.qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求p3,p4(用p表示); (2)若=4,求p; (3)证明:对任意正整数m,p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 命题分析本题以乒乓球比赛得分的概率问题为背景,综合考查独立事件的概率、组合数的应用、递推关系的构建及不等式的证明等问题. 第(1)问通过具体计算考查学生对独立事件概率的理解;第(2)问通过方程求解考查概率的对称性;第(3)问通过数学归纳或对称性分析考查学生的逻辑推理能力.试题体现了概率与代数知识的综合运用,注重考查学生的数学建模能力和抽象思维能力. 解题分析 题意理解 序号 信息读取 信息加工 1 甲胜概率p(<p<1),乙胜概率q=1-p 非对称概率模型,需通过列举事件或递推关系计算概率 2 pk:甲比乙至少多得2分的概率 需分析k球后甲比乙至少多得2分的所有可能情况(如甲赢m+1球,乙赢m-1球) 3 qk:乙比甲至少多得2分的概率 对称的分析乙比甲至少多得2分的情况 4 =4 建立关于p的方程,需先求出p3,p4,q3,q4的表达式 5 证明p2m+1-q2m+1<p2m-q2m <p2m+2-q2m+2 分析概率的关系,寻找递推公式 思路探求 关键步骤 思维要点 思维缘由 (1)求p3 列举甲比乙至少多得2分的所有情况:仅甲赢3球(3∶0) 直接锁定唯一满足条件的事件,简化计算 计算 p3=p3 独立事件连乘,体现乘法原理 (1)求p4 列举情况: ①甲4∶0(概率p4) ②甲3∶1(概率p3q) 需全面考虑所有满足甲比乙至少多得2分的组合 整合 p4=p4+4p3q 概率加法原理,组合数计算 关键步骤 思维要点 思维缘由 (2)建立方程 计算p4-p3=3p3q q4-q3=3q3p 通过差值消除相同结构,简化分式 化简 =4 利用q=1-p代换,转化为代数方程 解方程 p= 注意概率范围<p<1的约束 (3)递推分析 构建递推关系 递推关系是解决问题的关键 证明不等式 作差法比较大小 组合数公式 书写表达 (3)证明 用xk表示打完k局后甲的得分, 则p2m=P(x2m≥m+1), p2m+1=P(x2m+1≥m+2) =P(x2m≥m+2)+P(x2m=m+1)·p =P(x2m≥m+2)+P(x2m=m+1)·(1-q) =p2m-qP(x2m=m+1), 所以p2m-p2m+1=qP(x2m=m+1) 回顾反思本题围绕乒乓球比赛得分概率展开,通过分析不同比赛球数下甲、乙得分情况计算概率. 第(1)问根据比赛胜负组合计算p3,p4; 第(2)问利用对称性结合已知等式求解p; 第(3)问通过构造递推关系式,依据比赛得分规则及组合数性质证明不等式.整体考查独立事件概率计算、组合数运用及逻辑推理能力,需准确把握各种得分情形,合理运用相关公式和性质解题. (1)解 p3为打完3个球后甲比乙至少多得2分的概率, 故只能甲赢3球,注①思考:为什么甲赢3球? 1分 故p3=(1-p)0p3=p3. p4为打完4个球后甲比乙至少多得2分的概率, 故甲赢3球或4球,注②思考:为什么甲赢3球或4球? 2分 故所求为p4=(1-p)1p3+(1-p)0p4=4p3(1-p)+p4=p3(4-3p). 3分 (2)解 由(1)得p3=p3,p4=p3(4-3p), 同理q3=q3,q4=q3(4-3q),注③思考:为什么能利用类比的方法得到q3,q4? 4分 若=4,p+q=1, 则)2=4, 6分 因为, 所以p=2q=2(1-p),解得p=.注④思考:如何代入计算p? 7分 =q(pq)mp. 10分 同理q2m-q2m+1=(pq)mq. 11分 又p>q>0,所以p2m-p2m+1>q2m-q2m+1,所以p2m+1-q2m+1<p2m-q2m, 12分 所以p2m+2=P(x2m≥m+2)+P(x2m=m+1)·(2pq+p2)+P(x2m=m)·p2. 又p+q=1,所以2pq+p2=1-q2,所以p2m+2=p2m-q2P(x2m=m+1)+p2·P(x2m=m), 所以p2m+2-p2m=-q2··pm+1·qm-1+p2··pm·qm=(pq)m·p2-(pq)m+1. 13分 同理q2m+2-q2m=(pq)mq2-(pq)m+1. 14分 又p2>q2>0, 所以p2m+2-p2m>q2m+2-q2m, 所以p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 综上,对任意正整数m,有p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 17分 $