第10章 第6节 二项分布、超几何分布（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“二项分布、超几何分布”核心考点，依据课标要求梳理伯努利试验、二项分布及数字特征、超几何分布及均值等内容，通过高考模拟题分析概率计算、分布列及期望方差求解等高频题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳”，如例1结合全概率公式解决二项分布实际问题，例2通过分层抽样分析超几何分布，培养数学思维与数据观念。规律方法总结二项分布均值方差公式、超几何分布分布列步骤，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第6节　二项分布、超几何分布 课标解读　1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第三册7.4.1节练习第1题改编)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,X表示“正面朝上”出现的次数,则随机变量X的均值E(X)=(　　) A.2 B.1 C. D. A 解析 由题意可知,X~B(4,),E(X)=4×=2. 2.(人教A版选择性必修第三册7.4.1节例1改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,则恰好出现5次正面朝上的概率是　　　　　.  解析 用X表示硬币正面朝上的次数,则X~B(10,).恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是P(X=5)=×0.510=. 3.(人教A版选择性必修第三册习题7.4第6题改编)一袋中有除颜色不同,其他都相同的10个红球,20个白球,从中任意取出5个球,若X表示取到红球的个数,则E(X)=　　　　　.  解析 E(X)=5×. 知识梳理 1.n重伯努利试验与二项分布 (1)n重伯努利试验 把只包含两个可能结果的试验叫做　　　 　.  将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k, k=0,1,2,…,n,如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作　　　　　.  伯努利试验 X~B(n,p) (3)两点分布与二项分布的均值、方差 若随机变量X服从两点分布,则E(X)=　　　,D(X)=　　　　.若X~B(n,p),则E(X)=　　　,D(X)=　　　　.  微点拨 判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点: (1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变; (2)试验可以独立重复进行n次. p　 p(1-p)　 np　 np(1-p) 2.超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N, m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 微点拨 超几何分布与二项分布的关系 不同点 联系 假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)(其中p=);若采用不放回抽样的方法随机抽取,则随机变量X服从超几何分布 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似 研考点•精准突破 考点一　二项分布及其应用 例1　(2025·山东济南模拟)某公司升级了智能客服系统,在测试时,当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为,当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率; (2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立),设X表示智能客服的回答被采纳的次数,求X的分布列、期望及方差. 考点一 考点二 解 (1)设A=“智能客服的回答被采纳”,B=“输入的问题表达不清晰”,依题意,P(B)=,P()=,P(A|B)=,P(A|)=,因此P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=,所以智能客服的回答被采纳的概率为. 考点一 考点二 (2)依题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B(3,), P(X=0)=×()0×()3=,P(X=1)=×()1×()2=, P(X=2)=×()2×()1=,P(X=3)=×()3×()0=. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=3×,D(X)=3×. 考点一 考点二 规律方法　二项分布的解题策略 考点一 考点二 [对点训练1](2025·浙江台州模拟)某市为了推广垃圾分类,在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果,市环保部门随机抽取了1 000名成年市民进行调查.假设该市成年人口为100万,且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如表: 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数/名 580 320 100 (1)从该市成年人口中随机抽取1人,求其对垃圾分类知识“不了解”的概率; (2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后,“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”,有20%转变为“非常了解”,其余保持不变.经过重点宣传后,从该市成年人口中随机抽取3人,记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数,求X的分布列及数学期望. 考点一 考点二 解 (1)已知随机抽取了1 000名成年市民进行调查,其中“不了解”的人数为100,可得P==0.1, 所以从该市成年人口中随机抽取1人,对垃圾分类知识“不了解”的概率为0.1. (2)原来“不了解”的市民占比为0.1,“非常了解”的市民占比为=0.58,“一般了解”的市民占比为=0.32. 经过重点宣传后,“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”,有20%转变为“非常了解”,其余保持不变,所以重点宣传后“非常了解”的概率为0.58+0.1×20%=0.58+0.02=0.6. 考点一 考点二 从该市成年人口中随机抽取3人,记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数,因为每次抽取是相互独立的,且抽取到“非常了解”的概率都为0.6, 所以X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B(3,0.6), P(X=0)=×0.60×(1-0.6)3=1×1×0.43=0.064, P(X=1)=×0.61×(1-0.6)2=3×0.6×0.42=0.288, P(X=2)=×0.62×(1-0.6)=3×0.36×0.4=0.432, P(X=3)=×0.63=0.63=0.216. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3,0.6),则E(X)=3×0.6=1.8. 考点一 考点二 考点二　超几何分布及其应用 例2　为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况,从该地区随机抽取了1 000名高一学生进行在线调查,得到了这1 000名学生的日平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10], (10,12],(12,14], (14,16],(16,18]九组,绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)为进一步了解这1 000名学生数字媒体阅读 时间和纸质图书阅读时间的分配情况,从日平均阅读时间在(8,10],(10,12]两组上的学生中,采用分层随机抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记日平均阅读时间在(10,12]上的学生人数为X,求X的分布列和数学期望. 考点一 考点二 解 (1)由频率分布直方图得, 2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1, 解得a=0.10. (2)由频率分布直方图得,这1 000名学生中日平均阅读时间在(8,10],(10,12]两组内的学生人数之比为0.15∶0.1=3∶2,若采用分层随机抽样的方法抽取了10人,则从日平均阅读时间在(8,10]上的学生中抽取×10=6(人),在日平均阅读时间在(10,12]上的学生中抽取4人,现从这10人中随机抽取3人,则X服从超几何分布,其可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=, P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=, 考点一 考点二 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×. 考点一 考点二 规律方法　求超几何分布的分布列的步骤 考点一 考点二 [对点训练2](2025·河北张家口模拟)某医院从A,B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动,已知A,B两个科室中的志愿者分布如下: 类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中,恰好有2名医生,且这2名医生恰好来自同一科室的概率; (2)设X为选出的4人中医生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 考点一 考点二 解 (1)由已知,恰好有2名医生,且这2名医生恰好来自同一科室的情况包含这2名医生都来自A科室或都来自B科室,有种情况. 从11人中抽调4人,有种情况,所以所求的概率为. 考点一 考点二 (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=, P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=, 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×. 考点一 考点二 $