第10章 第5节 离散型随机变量及其分布列、数字特征（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“离散型随机变量及其分布列、数字特征”专题，依据课标要求梳理了随机变量概念、分布列性质、均值与方差等核心考点，通过真题改编题和考点分类（如分布列性质应用、数字特征计算、决策问题），构建了从基础到综合的复习体系，精准对接高考考查要求。 课件亮点在于“真题情境化+解题程序化”的设计，如例2以体育比赛为背景，引导学生用数学思维分析随机变量取值及概率，通过“确定取值—计算概率—列分布列—求特征值”四步流程培养模型观念。规律方法板块总结了分布列性质应用、均值方差计算等技巧，助力学生高效突破高频考点，教师可依托此课件实现精准复习指导。

第5节　离散型随机变量及其分布列、数字特征 课标解读　1.了解离散型随机变量的概念.2.理解离散型随机变量分布及其数字特征(均值、方差). 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第三册习题7.2第2题改编)下表是离散型随机变量X的分布列,则常数a的值是(　　) X 3 4 5 9 P +a A. B. C. D. C 解析 由题意可得,+a+=1,解得a=. 2.(人教A版选择性必修第三册7.3.2节练习第1题改编)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 则D(X)=　　　　　.  0.84 解析 由题意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4, 所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84. 知识梳理 1.随机变量的有关概念 (1)随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示,例 分两类:离散型随机变量和连续型随机变量 如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z. (2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以　　　　　　的随机变量.  微点拨 离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的. 一一列举 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的　　　　 　　　　　　为X的概率分布列,简称分布列. 有表格、图形和解析式三种形式  (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi　　　0,i=1,2,…,n;  ②　　　　　　　　　=1.  微点拨 判断所求离散型随机变量的分布列是否正确,可用pi≥0,i=1,2,…,n及p1+p2+…+pn=1检验. 概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n　 ≥ p1+p2+…+pn 3.离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 称E(X)=　　　　　　　　=　　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望. 反映了离散型随机变量取值的平均水平 (2)方差 称D(X)=　　　 　　　为随机变量X的方差,并称为随机变量X的标准差,记为σ(X).  用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度 x1p1+x2p2+…+xnpn xipi　 (xi-E(X))2pi 微点拨 1.均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均. 2.E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X的取值是可变的,可取不同值,而E(X)是不变的. 微思考 随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系? 提示 随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差. 4.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=　 .(a,b为常数)  (2)D(aX+b)=　 .(a,b为常数)  aE(X)+b a2D(X) 研考点•精准突破 考点一　离散型随机变量分布列的性质 例1　设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求a的值; (2)求P(X≥); (3)求P(<X≤). 解 (1)由分布列的性质,得P(X=)+P(X=)+P(X=)+P(X=)+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所以a=. (2)P(X≥)=P(X=)+P(X=)+P(X=1)=3×+4×+5×. (3)P(<X≤)=P(X=)+P(X=)+P(X=)=. 考点一 考点二 考点三 规律方法　离散型随机变量的分布列性质的应用 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(多选题)设离散型随机变量X的分布列为 X -1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是(　　) A.P(X=1.5)=0 B.P(X>-1)= C.P(0≤X<2)= D.P(X<0)=0 AB 解析 ∵事件“X=1.5”不存在,∴P(X=1.5)=0,故A正确; ∵P(X>-1)=1-P(X=-1)=,故B正确;∵P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=, P(X<0)=P(X=-1)=,故C,D均不正确.故选AB. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则(　　) A.E(X)=1 B.E(2X-1)=1 C.D(X)=0.8 D.D(2X-1)=0.6 ABC 解析 对于A,B,由题意知,a=1-0.4-0.2=0.4,所以E(X)=0×0.4+1×0.2+2×0.4=1,所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×1-1=1,故A,B正确;对于C,D,D(X)=0.4×(0-1)2+0.2×(1-1)2+0.4×(2-1)2=0.8, D(2X-1)=22D(X)=4×0.8=3.2≠0.6,故C正确,D错误.故选ABC. 考点一 考点二 考点三 考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征 例2　甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望; (3)设用Y表示甲学校的总得分,比较D(X)和D(Y)的大小. 考点一 考点二 考点三 解 (1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,则乙学校每场比赛获胜的概率分别为0.5,0.6,0.2. 甲学校要获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场,若甲学校3场全胜,则概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16;若甲学校获胜2场,失败1场,则概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6. 考点一 考点二 考点三 (2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为 P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34, P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06, 则X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13. 考点一 考点二 考点三 (3)(方法1)甲学校的总得分Y的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为 P(Y=0)=0.5×0.6×0.2=0.06, P(Y=10)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34, P(Y=20)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, P(Y=30)=0.5×0.4×0.8=0.16. 则Y的分布列为 Y 0 10 20 30 P 0.06 0.34 0.44 0.16 考点一 考点二 考点三 所以E(Y)=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17. 故D(Y)=(0-17)2×0.06+(10-17)2×0.34+(20-17)2×0.44+(30-17)2×0.16=65, 由(2)可得,D(X)=(0-13)2×0.16+(10-13)2×0.44+(20-13)2×0.34+(30-13)2 ×0.06=65,故D(X)=D(Y). (方法2)由题意Y=30-X,所以D(Y)=(-1)2D(X)=D(X). 考点一 考点二 考点三 规律方法　求离散型随机变量分布列及数字特征的步骤 考点一 考点二 考点三 [对点训练2]元旦班级联欢晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外完全相同,同学不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演2个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球不用表演节目. (1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率; (2)记X为a同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 考点一 考点二 考点三 解 (1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E,则P(E)=,故a同学摸球三次后停止摸球的概率为. (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4. P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=. 考点一 考点二 考点三 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2, D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×. 考点一 考点二 考点三 考点三　均值与方差中的决策问题 例3　在课外活动中,甲、乙两名同学进行投篮比赛,每人投3次,每投进一次得2分,否则得0分.已知甲每次投进的概率为,且每次投篮相互独立;乙第一次投篮,投进的概率为,从第二次投篮开始,若前一次投进,则该次投进的概率为,若前一次没投进,则该次投进的概率为. (1)求甲投篮3次得2分的概率; (2)若乙投篮3次得分为X,求X的分布列和期望; (3)比较甲、乙的比赛结果. 考点一 考点二 考点三 解 (1)甲投篮3次得2分,即只投中1次,概率为P=×(1-)2=. (2)由题意知,X的所有可能取值为0,2,4,6,则P(X=0)=, P(X=2)=,P(X=4)=,P(X=6)=,所以X的分布列为 X 0 2 4 6 P E(X)=0×+2×+4×+6×=3. 考点一 考点二 考点三 (3)设甲三次投篮的得分为Y,则Y的所有可能取值为0,2,4,6,则 P(Y=0)=,P(Y=2)=, P(Y=4)=,P(Y=6)=. 所以Y的分布列为 Y 0 2 4 6 P 考点一 考点二 考点三 所以E(Y)=0×+2×+4×+6×=3, D(Y)=02×+22×+42×+62×-32=3. 又D(X)=02×+22×+42×+62×-32=. 因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y), 所以甲最终的得分期望等于乙最终的得分期望,但乙得分不如甲稳定. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用均值、方差进行决策的2个策略 (1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断. (2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3]对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据: 887　939　643　996　715　838　1 082　923　901　1 182　1 035　863　772　943　1 035　1 022　855　1 118　768　809 将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级. (1)用频率估计概率,分别计算该地区过去20年的年降水量偏少、适中、偏多的概率; (2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/公顷)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由. 作物种类 年降水量 偏少 适中 偏多 甲 8 12 8 乙 12 10 7 丙 7 10 12 考点一 考点二 考点三 解 (1)将20年的年降水量按照降水量等级分类,可知 降水量偏少的年份有4年,概率可估计为=0.2; 降水量适中的年份有10年,概率可估计为=0.5; 降水量偏多的年份有6年,概率可估计为=0.3. 于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2,0.5,0.3. 考点一 考点二 考点三 (2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每公顷地获得利润分别是随机变量X,Y,Z. X的分布列为 X 8 12 P 0.5 0.5 种植甲种农作物,则每公顷地获利的期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10. Y的分布列为 Y 12 10 7 P 0.2 0.5 0.3 考点一 考点二 考点三 种植乙种农作物,则每公顷地获利的期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5. Z 7 10 12 P 0.2 0.5 0.3 种植丙种农作物,则每公顷地获利的期望E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10. 所以E(Y)<E(X)=E(Z),即种植甲、丙两种农作物获利的期望值比乙更高,不考虑推广乙. 又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4,D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2 +0.3×(12-10)2=3,D(X)>D(Z),故种植丙种农作物时获利的稳定性更好,因此,农作物丙最适合在该地区推广种植. 考点一 考点二 考点三 $