第10章 第3节 随机事件的概率与古典概型（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“随机事件的概率与古典概型”专题，依据课标解读样本点、样本空间、古典概型等核心考点，对接高考评价体系，分析古典概型、互斥对立事件概率等高频考点分布，归纳样本点列举、概率性质应用等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养培养”，如结合2024全国甲卷古典概型题，提炼“样本点列举法”和“对立事件间接法”，培养学生数学思维与数学语言表达能力。设“规律方法库”和“易错警示”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第3节　随机事件的概率与古典概型 课标解读　1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第二册10.1.2节练习第1题)某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　) A.至多一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶 D 解析 连续射击两次中靶的情况如下:①两次都中靶;②只有一次中靶;③两次都没有中靶.故选D. 2.(人教A版必修第二册习题10.1第3题改编)抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则下列结论中正确的是(　　) A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥 C.A与B相等 D.P(A)=P(B) D 解析 样本空间可表示为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.事件A包含的样本点:(正,正),(正,反),事件B包含的样本点:(正,反),(反,反).所以P(A)=,P(B)=,故P(A)=P(B).其他选项均不正确. 3.(人教A版必修第二册10.1.3节例8改编)抛掷两枚质地均匀的骰子,则两个点数相等的概率是　　　　　.  解析 抛掷两枚质地均匀的骰子,则试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6)},共有36个样本点.设事件A=“两个点数相等”,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共有6个样本点,所以“两个点数相等”的概率是P(A)=. 知识梳理 1.样本点和样本空间 (1)定义:我们把随机试验E的每个可能的　　　　　　称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的　　　　　　.  (2)表示:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. 基本结果 样本空间 2.事件的分类 确定 事件 必然 事件 Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件 基本事件 把只包含一个样本点的事件称为基本事件 3.事件的关系与运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 事件A发生,则事件B一定发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或 A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=⌀ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=⌀,A∪B=Ω 事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 微点拨 定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C, A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生. 4.频率与概率 (1)定义 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用　　　　　来估计概率　　　.  从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 微点拨 理解频数与频率的注意点 (1)前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现. (2)频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA. 频率:指的是事件A出现的比例fn(A)=. 频率fn(A) P(A) (2)概率的基本性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A)　　　;  性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　　　,P(⌀)=　　　;  性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　　　　　　　;  性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=　　　,P(A)=　 ;  性质5:如果A⊆B,那么　　　　　,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1;  性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=　 .  ≥0 1 0 P(A)+P(B) 1-P(A) 　1-P(B) P(A)≤P(B)　 P(A)+P(B)-P(A∩B) 微思考 概率与频率有什么区别? 提示 (1)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关,它度量该事件发生的可能性; (2)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同; (3)频率是概率的近似值,在实际问题中,仅当试验次数足够多时,频率可近似地看作概率. 5.古典概型 (1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. ①有限性:样本空间的样本点只有　　　　　;  ②等可能性:每个样本点发生的可能性　　　　　　.  判断一个试验是否是古典概型的关键点 (2)古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的 k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=　　　　=　　　　.其中,n(A)和n(Ω) 分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.  有限个 相等 研考点•精准突破 考点一　随机事件 考向1　随机事件间关系的判断 例1　一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2), 2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件; (2)写出事件R与G,M与N之间的关系; (3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系. 考点一 考点二 考点三 解 (1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件R={(1,2),(2,1)},事件G={(3,4),(4,3)},事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},事件N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}. (2)由(1)知,R∩G=⌀,而R∪G≠Ω,所以事件R,G是互斥事件,不是对立事件; M∩N=⌀,M∪N=Ω,所以事件M,N互为对立事件. (3)由(1)知,R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件. 考点一 考点二 考点三 规律方法　判断互斥事件、对立事件的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},下列关系正确的有(　　) A.A⊆D B.B∩D=⌀ C.A∪B=B∪D D.A∪C=D ABD 解析 用(x1,x2)表示试验的射击情况,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况,以1表示击中,0表示未击中,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由题意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)}, D={(0,1),(1,0),(1,1)},则A⊆D,A∪C=D,且B∩D=⌀,故A,B,D正确;又B∪D=Ω, A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,故A∪B≠B∪D.故C不正确. 考点一 考点二 考点三 (2)同时抛掷两枚骰子,观察向上的点数,记“点数之和为5”是事件A,“点数之和为4的倍数”是事件B,则(　　) A.A∪B为不可能事件 B.A与B为互斥事件 C.AB为必然事件 D.A与B为对立事件 B 解析 同时抛掷两枚骰子,则样本空间Ω共有36个样本点. A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},共有4个样本点; B={(1,3),(3,1),(2,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(6,6)},共有9个样本点.A∪B表示“点数之和为5或是4的倍数”,不是不可能事件,故A错误;A与B不可能同时发生,故B正确;AB表示“点数之和为5且是4的倍数”,是不可能事件,故C错误;A∪B≠Ω,故D错误.故选B. 考点一 考点二 考点三 考向2　计算简单随机事件的频率与概率 例2　如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 考点一 考点二 考点三 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,用频率估计相应的概率为P==0.44. (2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为 所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 考点一 考点二 考点三 (3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站. 结合(2)中表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5. ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1. 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9. ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　计算简单随机事件的频率或概率的解题步骤 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](多选题)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况,分别统计了购买大米套餐和面食的人数,剩下的为购买米线、汉堡等其他食品(每人只选一种),结果如表所示. 总人数 购买大米套餐人数 购买面食人数 1 000 550 260 假设随机抽取一位同学,记中午购买大米套餐为事件M,购买面食为事件N,购买米线、汉堡等其他食品为事件H,若用频率估计事件发生的概率, 则(　　) A.P(M)=0.55 B.P(N)=0.26 C.P(H)=0.19 D.P(N∪H)=0.65 ABC 考点一 考点二 考点三 解析 购买米线、汉堡等其他食品的人数为1 000-550-260=190. 用频率估计概率得P(M)==0.55,P(N)==0.26,P(H)==0.19, P(N∪H)==0.45,故A,B,C正确,D错误.故选ABC. 考点一 考点二 考点三 考点二　互斥事件与对立事件的概率 例3　某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 考点一 考点二 考点三 解 (1)易知P(A)=,P(B)=,P(C)=. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C. 因为A,B,C两两互斥, 所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=. 故1张奖券的中奖概率为. 考点一 考点二 考点三 (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件. 所以P(N)=1-P(A∪B)=1-()=.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求复杂互斥事件概率的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练3]经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求:(1)至多2人排队等候的概率; (2)至少3人排队等候的概率. 考点一 考点二 考点三 解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法1)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. (方法2)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44. 考点一 考点二 考点三 考点三　古典概型 例4　(1)(2023·全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. D 解析 由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率P=. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版必修第二册10.1.4节例12)为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少? 解 由古典概型,能中奖的概率为P=. 考点一 考点二 考点三 (2)(2024·全国甲,文4)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加,每人出场一次,出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率是(　　) A. B. C. D. C 解析 设A表示事件“丙不是第一个出场,且甲最后出场”,B表示事件“丙不是第一个出场,且乙最后出场”.四人由随机抽签的方式确定出场次序,共有=24种排法,事件A包含有4个样本点,故P(A)=,类似地有P(B)=.由于事件A与事件B互斥,故丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=. 考点一 考点二 考点三 (3)(2024·全国甲,理16)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于的概率为　　　　　.  解析 记先后取出的三个球上的数字分别为a,b,c,则共有=120种可能,令|m-n|=||=||≤,则|a+b-2c|≤3,根据对称性可知,当c=1或6时,均有2种可能;当c=2或5时,均有10种可能;当c=3或4时,均有16种可能.故满足条件的情形共有56种,故所求概率P=. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](1)(2022·新高考Ⅰ,5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　　) A. B. C. D. D 解析 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有=21种不同的取法,若两数不互质,则不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求概率P=.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·四川绵阳模拟)将3个1和2个2随机排成一行,则2个2不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. A 考点一 考点二 考点三 解析 (方法1)由题意,将5个数字进行排列有=10种排法,将2个2放入3个1排好后形成的4个空隙中,有=6种排法,故2个2不相邻的概率P=.故选A. (方法2)由题意,将3个1和2个2随机排成一行,可以是22111,21211,21121,21112,12211,12121,12112,11221,11212,11122,共10种排法. 其中2个2不相邻的排法为21211,21121,21112,12121,12112,11212,共6种, 故2个2不相邻的概率为.故选A. 考点一 考点二 考点三 $