第10章 第2节 二项式定理（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“二项式定理”专题，依据课标要求覆盖通项公式应用、系数和计算、二项式系数最值、多项式积展开式及实际应用五大核心考点，通过近五年高考真题分析明确“通项求特定项系数”“赋值法求系数和”等高频考点权重，归纳选择、填空及解答题中的常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+规律提炼+素养提升”策略，如以2024北京卷(x - √x)⁴求x³系数为例，详解“通项公式列方程求参数”技巧，培养数学思维中的运算能力与逻辑推理。特设“易错警示”（区分二项式系数与项的系数）和“方法模板”（赋值法步骤），助力学生掌握得分关键，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第2节　二项式定理 课标解读　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第三册6.3.1节练习第4题)(x-1)10的展开式的第6项的系数是(　　) A. B.- C. D.- D 解析 (x-1)10的展开式的第6项是T6=·x5·(-1)5=-·x5,所以(x-1)10的展开式的第6项的系数是-. 2.(人教A版选择性必修第三册复习参考题6第3(5)题改编)在(1-2x)8的展开式中,各项系数的和是　　　　.  1 解析 令x=1,可得各项系数和为(-1)8=1. 3.(人教A版选择性必修第三册6.3.2节练习第1(1)题)+…+=　　　　　.  1 024 解析 因为+…+=211,且+…++…+,所以+…+×211=1 024. 知识梳理 1.二项式定理 　　　　　　　 字母a,b是一种“符号”,实际上可以是数和式 (1)二项式定理:(a+b)n=　　　　　 　　　　　　　　,n∈N*.  (2)通项:　　　　　　,它表示展开式的第k+1项.  (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.   只与各项的项数有关,而与a,b的值无关 an+an-1b+…+an-kbk+…+bn Tk+1=an-kbk 微点拨 1.项数为n+1. 2.各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. 3.字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n. 微思考 (a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系? 提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同. 2.二项式系数的性质 　 递增 递减 中间一项 中间两项 微点拨 利用赋值法求二项式系数的和 已知(1+x)n=x+x2+…+xn,令x=1,得2n=+…+. 研考点•精准突破 考点一　二项展开式的通项及其应用 考向1　求形如(a+b)n(n∈N*)的二项展开式中的特定项(或系数) 例1　(1)(2024·北京,4)(x-)4的二项展开式中x3的系数为(　　) A.15 B.6 C.-4 D.-13 B 解析 Tr+1=·x4-r·(-)r=(-1)r·,令4-=3,得r=2,则x2(-)2=6x3.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2025·湖北襄阳模拟)已知(x2-)n(其中a>0)的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理项的系数和为(　　) A.43 B.-43 C.27 D.-27 D 解析 由题可知,展开式的第7项为T6+1=(x2)n-6(-)6=(-a)6x2n-14. 令2n-14=0,(-a)6=7(a>0),解得n=7,a=1,故展开式的通项为 Tk+1=(-1)kx14-2k()k=(-1)k,k=0,1,2,…,7. 因为∈Z,则k=0,3,6,所以展开式中的有理项的系数和为 (-1)0+(-1)3+(-1)6=1-35+7=-27.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 规律方法　求二项展开式中特定项的步骤 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练1](1)(2025·湖南永州模拟)(1-2x)7的展开式的第4项系数是(　　) A.-280 B.280 C.-560 D.560 A 解析 由题得,(1-2x)7的展开式的第4项系数是(-2)3=35×(-8)=-280.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2025·江苏南通模拟)若(x+)n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n的最小值为(　　) A.1 B.3 C.5 D.6 B 解析 (x+)n展开式的通项为Tk+1=xn-k()k=xn-3k,k∈N,k≤n. 依题意知,n-3k=0有正整数解,则n是3的正整数倍,所以n的最小值为3.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 考向2　求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的两个多项式积的展开式问题 例2　(1)(2022·新高考Ⅰ,13)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　.(用数字作答)  -28 解析 ∵原式=(x+y)8-(x+y)8,∴展开式中含有x2y6的项为 x2y6-x3y5=()x2y6=-28x2y6.故x2y6的系数为-28. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 教考链接 (人教A版选择性必修第三册6.3节习题6.3第2题)(x+y)(x-y)5的展开式中x3y3的系数是　　　　　.  0 解析 (x+y)(x-y)5的展开式中含x3y3的项为x·x2(-y)3+y·x3(-y)2 =-x3y3+x3y3=0.故x3y3的系数是0. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2025·浙江北斗星盟模拟)已知(1+)(1+x)4的展开式中含x项的系数为16,则a=　　　　.  2 解析 由题意,(1+x)4展开式的通项为Tk+1=14-kxk=xk,k=0,1,2,3,4, 所以(1+)(1+x)4展开式中含x项的为x·1+x2×=(4+6a)x. 由题意知,4+6a=16,解得a=2. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 规律方法　求两个因式之积的特定项(或系数)的两种常用方法 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练2](1)(2025·湖南岳阳模拟)(1+x2)(2x-)6的展开式中x2的系数为　　　　.  80 解析 由题知(2x-)6展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k(-)k=(-1)k26-kx6-2k. 若第一个因式取1,则(2x-)6的展开式应取x2,则对应项的系数为 ×24×(-1)2=240;若第一个因式取x2,则(2x-)6的展开式应取常数项,则对应项的系数为×23×(-1)3=-160. 所以(1+x2)(2x-)6的展开式中x2的系数为240-160=80. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2a-b)2(a+b)8的展开式中,a3b7的系数是　　　　　　.  -24 解析 因为(2a-b)2(a+b)8=4a2(a+b)8-4ab(a+b)8+b2(a+b)8,其中(a+b)8展开式的通项为Tk+1=a8-kbk(0≤k≤8且k∈N),所以(2a-b)2(a+b)8的展开式中含a3b7的项为4a2ab7-4aba2b6+b2a3b5=-24a3b7,所以a3b7的系数为-24. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 考点二　二项式系数与各项的系数和问题 例3　(1)(多选题)(2025·浙江温州模拟)已知(1-x)2 025=a0+a1x+a2x2+… +a2 025x2 025,则(　　) A.a0=1 B.a1+a2+…+a2 025=0 C.a1+a2 024=0 D.a0+a2+a4+…+a2 024=22 024 ACD 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 解析 令x=0,则a0=1,故A正确; 令x=1,则a0+a1+a2+…+a2 025=0,① 所以a1+a2+…+a2 025=-1,故B错误; a1x=(-x)1=-2 025x,所以a1=-2 025, a2 024x2 024=(-x)2 024=2 025x2 024,所以a2 024=2 025,所以a1+a2 024=0, 故C正确; 令x=-1,则22 025=a0-a1+a2-a3+…+a2 024-a2 025,② ①+②可得,22 024=a0+a2+a4+…+a2 024,故D正确.故选ACD. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2024·广东江门一模)已知(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)11= a0+a1(2+x)+a2(2+x)2+…+a11(2+x)11,则a0+a2+a4+…+a10的值是(　　) A.680 B.-680 C.1 360 D.-1 360 B 解析 令x=-1,得a0+a1+a2+…+a11=0;令x=-3,则(-2)4+(-2)5+…+(-2)11 =a0-a1+a2-a3+…-a11,即a0-a1+a2-a3+…-a11==-1 360.两式相加可得a0+a2+a4+…+a10=-=-680.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 规律方法　1.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式,对于x,y的一切值都成立.因此,可将x,y设定为一些特殊的值.当使用赋值法时,令x,y等于多少,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则展开式中: (1)各项系数之和为f(1); (2)a0+a2+a4+…=; (3)a1+a3+a5+…=. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练3](1)在()n的展开式中,第三项为常数项,展开式中二项式系数和为a,所有项的系数和为b,则a-b=　　　　.  63 解析 ()n展开式的通项为Tk+1=)n-k(-2)k()k =(-2)k,k=0,1,2…,n. 令k=2,则n-3×2=0, 所以n=6,即()6展开式中二项式系数和为a=26=64. 令x=1,可得所有项的系数和b=(-1)6=1,则a-b=64-1=63. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2025·北京,12)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=　　　;a1+a2+a3+a4=　　　　　.  1 5 解析 令x=0,得a0=1.令x=-,得16=a0+a1+a2+a3+a4,把a0=1代入上式,得a1+a2+a3+a4=15. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 考点三　二项式系数与项的系数的最值问题 例4　(1)(2025·江苏南京模拟)在(x+)n的展开式中,仅第6项的二项式系数最大,则n的值为　　　　.  10 解析 易知第6项的二项式系数为,若仅有最大,则+1=6,得n=10. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2024·全国甲,理13)(+x)10的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　　.  5 解析 该展开式中各项系数的最大值一定在下列5个值中: )5,)4,)3,)2,)1,逐一计算,可知)2=5最大. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 规律方法　1.二项式系数最大项的确定方法 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 2.二项展开式系数最大项的方法:不等式法 如求(a+bx)n(a,b∈R,n∈N*)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用从而解出k. 3.求系数最小项注意结合系数的符号与绝对值进行分析. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练4](1)(2025·甘肃白银模拟)已知(x-2)m展开式的所有二项式系数之和为32,则(x-)2m展开式的各项中系数的最大值为(　　) A.252 B.210 C.120 D.10 B 解析 因为(x-2)m展开式的所有二项式系数之和为32,所以2m=32,得m=5,所以(x-)10展开式的通项为Tk+1=·x10-k·(-)k=(-1)k,当k=4或6时,(x-)2m展开式的系数最大,其系数最大值为=210.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(x+2)8的二项展开式中系数最大的项为　　　　　　　　.  1 792x2,1 792x3 解析 由题知,(x+2)8展开式通项为Tk+1=2kx8-k. 设(x+2)8展开式的第k+1项的系数最大,1≤k≤7, 则解得5≤k≤6. 当k=0时,T1=x8;当k=8时,T9=256. 所以系数最大的项为第6或第7项, 所以系数最大的项为T6=·25·x3=1 792x3,T7=·26·x2=1 792x2. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 考点四　二项式定理的应用 例5　(2025·江西新余模拟)100除92 025的余数为(　　) A.48 B.49 C.50 D.51 B 解析 92 025=(10-1)2 025 =·(-1)0102 025+…+(-1)2 023102+(-1)2 02410+(-1)2 025100 =102×[(-1)0102 023+…+·(-1)2 023]+20 249, 因为102×[(-1)0102 023+…+(-1)2 023]是100的倍数. 又20 249除以100的余数为49.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 规律方法　用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面一、二项(或者是某些项)即可. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练5](1)今天是星期三,再过22 025天是星期(　　) A.一 B.二 C.四 D.五 C 解析 因为22 025=8675=(7+1)675=7675+7674+…+7+1 =7(7674+7673+…+)+1,所以22 025除以7的余数为1,故今天是星期三,再过22 025天是星期四.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2025·江西吉安模拟)1.0110的小数点后第二位的数字是(　　) A.0 B.1 C.2 D.5 A 解析1.0110=(1+0.01)10=0.010+0.011+0.012+…+0.0110 =1+0.1+0.004 5+…≈1.105,故小数点后第二位的数字是0.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 思维进阶(十三)　三项展开式问题 求三项展开式中某些特定项(或系数)的三种方法 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 典例(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(　　) A.10 B.20 C.30 D.60 C 解析 (方法1)(x2+x+y)5的展开式的通项为Tr+1=(x2+x)5-ryr,令r=2,则T3=(x2+x)3y2.又(x2+x)3的展开式的通项为Tk+1=(x2)3-k·xk=x6-k, 令6-k=5,则k=1.所以在(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为=30. (方法2)(x2+x+y)5表示5个x2+x+y之积,所以x5y2可从其中5个因式中,2个取因式中x2,剩余的3个因式中1个取x,其余因式取y,因此x5y2的系数为=30. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练](1)(2025·江西九师联盟模拟)(x+y2-)9的展开式中x3y3的系数为　　　　　.  -1 680 解析 (x+y2-)9展开式的通项为x9-k·(y2-)k. 当k=6时,得x3(y2-)6=84x3(y2-)6. 因为(y2-)6的展开式的通项为(y2)6-m(-)m=(-1)my12-3m. 当m=3时,得-y3=-20y3. 故含x3y3的展开式为84x3·(-20y3)=-1 680x3y3. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2025·广东广州模拟)(1+x+)3展开式中的常数项为　　　　.  4 解析 (1+x+)3=(1+x+)(1+x+)(1+x+),3个因式中每个因式都包含1,x,三个项. 若要得到常数项,第一种方法是3个都取1,为13=1,第二种方法是取2个x,1个,为·x2·=3, 所以展开式的常数项为1+3=4. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 $