第9章 第4节 列联表与独立性检验（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“列联表与独立性检验”核心考点，依据课标“理解统计意义、了解应用”的要求，结合教材改编题与2024全国甲理17、2022全国甲文17等高考真题，梳理列联表补全、χ²计算及结论判断等高频题型，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“真题实战+步骤建模”，如以2024全国甲真题为例，详解“零假设提出—列联表整理—χ²计算—临界值比较”四步法，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（数据观念）。特设易错警示（如临界值对应错误），助力学生掌握得分技巧，教师可依此高效开展专题复习。

第4节　列联表与独立性检验 课标解读　理解2×2列联表的统计意义,了解独立性检验及其应用. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第三册8.3.2节练习第3题改编)为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物试验,根据120个有放回随机样本的数据,得到如下列联表: 药物A 疗效 合计 未患疾病B 患疾病B 未服用 10 50 60 服用 18 42 60 合计 28 92 120 经计算得到χ2≈2.981,根据小概率值α=0.05的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.05=3.841),结论为(　　) A.药物A对预防疾病B没有效果 B.药物A对预防疾病B没有效果,这种判断犯错误的概率不超过0.05 C.药物A对预防疾病B有效果 D.药物A对预防疾病B有效果,这种判断犯错误的概率不超过0.05 A 解析 设零假设H0:药物A对预防疾病B没有效果;因为χ2≈2.981<x0.05=3.841,故零假设不成立,药物A对预防疾病B没有效果.故选A. 2.(人教A版选择性必修第三册8.3.2节练习第4题)从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本,将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下: 单位:人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 212 61 273 优秀 54 73 127 合计 266 134 400 依据α=0.05的独立性检验,能否认为数学成绩与语文成绩有关联? 解 零假设为H0:数学成绩与语文成绩无关联. χ2=≈48>3.841=x0.05. 根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立, 所以可以认为数学成绩与语文成绩有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05. 知识梳理 1.2×2列联表 如下表,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 2.独立性检验 依据上述2×2列联表构造统计量χ2=. 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验. 常用的小概率值和相应的临界值表如下: 作为判断χ2大小的标准 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 误区警示 独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断,而不是对其是否有关系的判断. 研考点•精准突破 考点一　分类变量与列联表 例1　有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀,得到列联表如下: 数学成绩 班级 合计 甲班 乙班 优秀 10 c   非优秀 b 30   合计     105 已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的 是(　　) A.列联表中c的值为30,b的值为35 B.列联表中c的值为15,b的值为50 C.列联表中c的值为20,b的值为50 D.由列联表可看出成绩与班级有关系 D 考点一 考点二 解析 依题意,,解得c=20,由10+20+b+30=105,解得b=45. 补全2×2列联表如下: 数学成绩 班级 合计 甲班 乙班 优秀 10 20 30 非优秀 45 30 75 合计 55 50 105 甲班的优秀率为,乙班的优秀率为,所以成绩与班级有关.所以D选项正确,A,B,C选项错误.故选D. 考点一 考点二 规律方法　1.分类变量是取值为不同类别(非数值)的变量,比如“性别(男/女)”“是否吸烟(是/否)”等,用于区分事物的属性或类别. 2.列联表是展示两个分类变量之间关系的表格,行和列分别对应两个变量的不同类别,表格中的数据为相应类别的频数(即落在该交叉类别中的样本数量). 3.列联表是独立性检验的基础工具,通过它能直观呈现变量间的频数分布,进而计算统计量判断关联程度. 考点一 考点二 [对点训练1](1)观察下列各图,其中两个分类变量x,y之间关系最强的是(　) D 解析 观察等高堆积条形图发现D中两个深色条的高相差最明显,说明两个分类变量之量关系最强.故选D. 考点一 考点二 (2)在下面的2×2列联表中,a,b的值分别为(　　) Xi Yi 合计 Y1 Y2 X1 c a e X2 23 d 48 合计 b 78 121 A.54,43 B.53,43 C.53,42 D.54,42 B 解析 由b+78=121,得b=43. 又由解得a=53.故选B. 考点一 考点二 考点二　独立性检验的实际应用 例2　(2024·全国甲,理17)某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下: 车间 优级品 合格品 不合格品 合计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 合计 96 52 2 150 考点一 考点二 (1)填写如下列联表: 车间 优级品 非优级品 甲车间     乙车间     依据小概率α=0.05的独立性检验,能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?依据小概率α=0.01的独立性检验,能否认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 考点一 考点二 解 根据题意可得列联表: 车间 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 零假设为H0:甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异.可得χ2==4.687 5. 因为3.841<4.687 5<6.635,依据小概率值α=0.05的独立性检验,能认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,此推断犯错误的概率不大于0.05.依据小概率值α=0.01的独立性检验,不能认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. 考点一 考点二 (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果>p+1.65,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(≈12.247) 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 考点一 考点二 解 由题意可知,生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率为 =0.64.用频率估计概率可得=0.64, 又p+1.65=0.5+1.65×≈0.5+1.65×≈0.57,可知>p+1.65, 所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了. 考点一 考点二 教考链接 (人教A版选择性必修第三册8.3.2节例3)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良,采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查,得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名,其中未治愈15名,治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名,其中未治愈6名,治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 考点一 考点二 解 零假设为H0:疗法与疗效独立,即两种疗法效果没有差异. 将所给数据进行整理,得到两种疗法治疗数据的列联表,如下表所示(单位:人): 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 根据列联表中的数据,经计算得到χ2=≈4.881<7.879=x0.005. 根据小概率值α=0.005的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为两种疗法效果没有差异. 考点一 考点二 规律方法　独立性检验的一般步骤 考点一 考点二 [对点训练2](2022·全国甲,文17)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表: 公司 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率; (2)依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关? 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 考点一 考点二 解 (1)根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,则P(M)=. B共有班次240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则P(N)=. 故A家公司长途客车准点的概率为, B家公司长途客车准点的概率为. 考点一 考点二 (2)零假设为H0:甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关. 根据已知数据得到列联表 公司 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 χ2==≈3.205>2.706=x0.1, 根据小概率值α=0.1的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关,此推断犯错误的概率不大于0.1. 考点一 考点二 A B C D $