第9章 第3节 变量间的相关关系及回归模型（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“变量间的相关关系及回归模型”专题，依据课标要求覆盖样本相关系数统计含义、一元线性回归模型及预测、残差分析等核心考点，通过真题改编（如人教B版、A版习题）和2025福建、广东模拟题，明确线性相关判断、回归方程求解等高频题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“考点分层突破+素养导向训练”，如例3通过对数变换将非线性回归转化为线性模型，培养数学思维与模型意识，规律方法总结求回归方程四步流程，帮助学生掌握答题技巧，教师可依托此课件系统梳理考点，提升学生高考冲刺效率。

第3节　变量间的相关关系及回归模型 课标解读　1.了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.会通过相关系数比较成对数据的相关性.2.了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版选择性必修第二册4.3.1节例1改编)咽拭子检测是一种医学检测方法,用医用棉签从人体的咽部蘸取少量分泌物进行检测,可以了解患者病情、口腔黏膜和咽部感染情况.某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况,具体数据如表所示: t/天 1 2 3 4 5 y/袋 15 24 36 44 56 根据以上数据发现y与t呈线性相关,其经验回归方程为=10.2t+,则估计第8天使用的棉签袋数为　　　　.  86 解析 因为=3,=35, 所以=35-10.2×3=4.4,所以=10.2t+4.4. 当t=8时,=10.2×8+4.4=86. 2.(人教A版选择性必修第三册习题8.1第1题改编)医疗研究者会创建散点图来显示体重指数(BMI)和身体脂肪百分比之间的相关关系,如图,下列说法正确的是(　　) 脂肪百分比与BMI的散点图 A.BMI越大,脂肪百分比越大 B.BMI越大,脂肪百分比越小 C.BMI与脂肪百分比正相关 D.BMI与脂肪百分比负相关 C 解析 由散点图可得当BMI增大时,脂肪百分比或变大或变小,故A,B错误; 根据散点图的分布可得BMI与脂肪百分比正相关,故C正确,D错误.故选C. 3.(人教A版选择性必修第三册8.1.2节练习3改编)在一次实验中,测得一组样本数据(x,y)的四组值分别为(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),则y与x的样本相关系数为　　　　　.  1 解析 显然这4个样本点都在直线y=2x上,所以这组样本数据完全正相关,相关系数为1. 知识梳理 1.变量的相关关系 (1)两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. 是一种非确定的关系,不是函数关系 (2)正相关、负相关 从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现______　　　　的趋势,我们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现　　　　的趋势,则称这两个变量负相关.  增加 减小 (3)线性相关、非线性相关 一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条 　　　　附近,我们就称这两个变量线性相关.  一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 微点拨 由散点图判断两个变量正相关、负相关的方法:当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左下角到右上角的区域时,两个变量正相关;当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左上角到右下角的区域时,两个变量负相关. 直线 2.样本相关系数 用样本相关系数r=来衡量两个变量间的线性相关关系. (1)当r>0时,称成对样本数据　　　　　;  当r<0时,称成对样本数据　　　　　　.  (2)r的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度　　　　;r的绝对值越接近0,成对样本数据的线性相关程度越弱.  正相关 负相关 越强 3.一元线性回归模型 (1)数学表述式:如果两个变量之间的关系可以表示为 我们称该式为Y关于x的一元线性回归模型. 其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差. (2)经验回归方程 我们将x+称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线,其中 一定过点() (3)利用R2刻画回归效果 R2的计算公式为R2=1-,其意义是R2越大,残差平方和(yi-)2越小,即模型的拟合效果越好;R2越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差. 微点拨 经验回归方程不一定都有实际意义.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的经验回归方程才有实际意义. 研考点•精准突破 考点一　成对数据的相关性 例1　(1)(2025·天域全国名校协作体联考)研究数据表明,某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系.现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本,设数学、物理、化学成绩分别为变量x,y,z.若x,y的样本相关系数为,y,z的样本相关系数为,则x,z的样本相关系数的最大值为(　　) 附:样本相关系数r=. A. B. C. D.1 B 考点一 考点二 考点三 解析 设X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn),Z=(z1,z2,…,zn),X'=(x1-,x2-,…,xn-), Y'=(y1-,y2-,…,yn-),Z'=(z1-,z2-,…,zn-), 由样本相关系数公式r=可知,r=cos<X',Y'>, 设X'与Y'的夹角为α,Y'与Z'的夹角为β,则有cos α=,cos β=, 易知α,β均为锐角且β>α,X'与Z'夹角的余弦值的最大值为cos(β-α),此时x与z样本相关系数最大,cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=, 故x,z的样本相关系数的最大值为.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2022·全国乙,理19改编)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据: 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得=0.038,=1.615 8,xiyi=0.247 4. 考点一 考点二 考点三 ①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; ②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01),并判断是否可以认为根部横截面积与材积量的相关性很强. 附:相关系数r=≈1.377. 考点一 考点二 考点三 解 ①依题意,=0.06,=0.39,故估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06,平均一棵的材积量为0.39. ②依题意,所求样本相关系数 r==≈0.97. 因此可以认为根部横截面积与材积量的相关性很强. 考点一 考点二 考点三 规律方法　判断成对数据的相关关系的三种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn互不相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-2x+100上,则这组样本数据的样本相关系数为(　　) A.-1 B.0 C. D.1 A 解析 由题意,所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-2x+100上,所以这组样本数据的相关系数为-1.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)对两组数据进行统计后得到的散点图如图,关于其样本相关系数的结论正确的是(　　) A.r1<0 B.r2>1 C.r1+r2>0 D.|r1|>|r2| AC 考点一 考点二 考点三 解析 由散点图可知,样本相关系数r1的图象表示y与x成负相关,故-1<r1<0,故A正确;样本相关系数r2的图象表示y与x正相关,故1>r2>0,故B错误;∵样本相关系数r2的点较线性相关系数r1的点密集,故|r2|>|r1|,故r1+r2>0,故C正确,D错误.故选AC. 考点一 考点二 考点三 考点二　回归模型及其应用 考向1　一元线性回归模型 例2　(2025·福建龙岩模拟)某项科研活动共进行了5次试验,其数据如下表所示: 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 (1)根据表中的数据,计算相关系数r(精确到0.01); (2)求特征量y关于x的线性回归方程,并预测当特征量x为12时特征量y的值. 考点一 考点二 考点三 参考公式: 相关系数r=, ,. 参考数据:=5=4,≈1.414. 考点一 考点二 考点三 解 (1)由题意得xi==7,yi==9, (xi-)(yi-)=xiyi-5=2×12+5×10+8×8+9×8+11×7-5×7×9=-28, (xi-)2=50,(yi-)2=16, ∴相关系数r==≈-0.99. 考点一 考点二 考点三 (2)由(1)知,=-0.56, ∴=9-(-0.56)×7=12.92, ∴所求的线性回归方程是y=-0.56x+12.92. 当特征量x为12时,可预测特征量y=-0.56×12+12.92=6.2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求经验回归方程的步骤 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·广东广州模拟)经验表明,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难,因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据,并根据数据作出如下的散点图. 经计算得xi=348,yi=264,xiyi=7 793,=24,=6. 考点一 考点二 考点三 (1)推断两个变量是否线性相关,计算样本相关系数r(精确到0.01),并推断它们的相关程度; (2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程(系数精确到0.01),并预测胸径为45 cm的树高. 附:相关系数r=, 回归方程x+中,. 考点一 考点二 考点三 解 (1)根据树高与树的胸径的散点图,可判断两个变量是线性相关. 根据题中所给数据,得n=12,=29,=22, 所以r=≈0.95. 由于r的值接近于1,故相关性较强. 故两个变量线性相关,且相关程度较强. 考点一 考点二 考点三 (2)由(1)知n=12,=29,=22, 所以=≈0.24, =22-×29≈15.10, 所以经验回归方程为=0.24x+15.10. 当x=45时,=0.24×45+15.10=25.9,即树高的预测值大约为25.9 m. 故树高关于胸径的经验回归方程为=0.24x+15.10,预测胸径为45 cm的树高为25.9 m. 考点一 考点二 考点三 考向2　非线性回归模型 例3　(2025·福建泉州模拟)某团队从2024年10月份以来,通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术,不断优化产品与服务,显著提升了运营效率和市场竞争力,推动团队收入持续攀升.该团队近7个月的经济收入(单位:百万元)的数据如下表: 月份编号x 1 2 3 4 5 6 7 收入y/百万元 6 11 21 34 66 101 196 考点一 考点二 考点三 (1)根据以上数据绘制散点图,并根据散点图判断y=ax+b与y=c·dx(a,b,c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份x的回归方程模型(给出判断即可,不必说明理由),并根据你的判断结果及表中的数据,求出y关于x的回归方程; (2)请你根据所求的回归方程,预测该团队下一个月的经济收入; (3)试从统计学角度分析,如果用所求的回归方程预测该团队接下来一年的经济收入情况是否合理. 考点一 考点二 考点三 参考数据: yi vi xiyi xivi 100.45 100.54 435 10.78 2 535 50.12 2.82 3.47 其中设v=lg y,vi=lg yi. 参考公式:. 考点一 考点二 考点三 解 (1)散点图如图所示, 根据散点图判断,y=c·dx适宜作为团队经济收入y关于月份编号x的回归方程类型,∵y=c·dx,两边同时取常用对数得lg y=lg(c·dx)=lg c+lg d·x,设lg y=v, ∴v=lg c+lg d·x. 考点一 考点二 考点三 ∵×(1+2+3+4+5+6+7)=4,∴vi=lg yi=×10.78=1.54,=12+22+32+42+52+62+72=140, ∴lg =0.25,把点(4,1.54)代入 =lg +lg ·x,得1.54=lg +0.25×4,∴lg =0.54,∴=0.54+0.25x, ∴lg =0.54+0.25x,∴y关于x的回归方程为=100.54+0.25x=3.47×100.25x. 考点一 考点二 考点三 (2)当x=8时,=100.54+0.25x=3.47×100.25×8=347, ∴预测该公司2025年5月份的经济收入估计为347百万元. (3)不合理,经验回归方程一般具有时效性,解释变量越接近样本数据,预测值比较可信,否则会有显著误差. 考点一 考点二 考点三 规律方法　非线性回归问题的求解步骤 (1)作出散点图或利用已知散点图; (2)根据散点图选择恰当的拟合函数; (3)作恰当变换,将其化成线性函数,求经验回归方程; (4)在(3)的基础上通过变换,可得非线性经验回归方程. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3]一企业生产某种产品,通过加大技术创新投入降低了每件产品成本,为了调查年技术创新投入x(单位:千万元)对每件产品成本y(单位:元)的影响,对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i=1,2,3,…,10)的数据进行分析,得到如下散点图,并计算得=6.8,=70,=3,=1.6, =350. 考点一 考点二 考点三 (1)根据散点图可知,可用函数模型y=+a拟合y与x的关系,试建立y关于x的经验回归方程. (2)已知该产品的年销售额m(单位:千万元)与每件产品成本y的关系为 m=-+100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入,还要投入其他成本10千万元,根据(1)的结果回答:当年技术创新投入x为何值时,年利润的预报值最大? (注:年利润=年销售额-年投入成本) 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线v=α+βu的斜率 和截距的最小二乘估计分别为. 考点一 考点二 考点三 解 (1)令u=,则y关于u的经验回归方程为y=α+βu. 由题意可得=200,=70-200×0.3=10,则y=10+200u,所以y关于x的经验回归方程为y=10+. (2)由y=10+,可得x=, 年利润M=m-x-10=-+100--10=-(y-20)2+90.8,当y=20时,年利润M取得最大值,此时x==20,所以当年技术创新投入为20千万元时,年利润的预报值取最大值. 考点一 考点二 考点三 考点三　残差分析与决定系数 例4　现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据(单位:万元)如表所示: 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本x/万元 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润y/万元 114 116 106 122 132 114 m 132 残差=yi- 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 -1   根据最小二乘法公式求得经验回归方程为=3.2x-151.8. 考点一 考点二 考点三 (1)求m的值,并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值. (2)请先求出经验回归模型=3.2x-151.8的决定系数R2(精确到0.000 1);若根据非线性模型y=267.76ln x-1 069.2求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)决定系数=0.905 7,请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好? (3)通过残差分析,怀疑残差绝对值最大的那组数据有误,经再次核实后发现其真正利润应该为116万元.请根据最小二乘法,求出新的经验回归方程. 考点一 考点二 考点三 附1(修正前的参考数据):xiyi=78 880,=56 528,=84,(yi-)2=904. 附2:R2=1-. 附3:. 考点一 考点二 考点三 解 (1)因为=3.2x-151.8,=84,所以=3.2×84-151.8=117,所以114+116+106+122+132+114+m+132=117×8,解得m=100,8月份对应的残差值=132-3.2×86.5+151.8=7. (2)由已知公式得(yi-)2=0.22+0.62+1.82+(-3)2+(-1)2+(-4.6)2+(-1)2+72 =84.8,R2=1-=1-≈0.906 2>,故线性回归模型 =3.2x-151.8拟合效果更好. 考点一 考点二 考点三 (3)由题意,第八组数据的利润应为116万元,因为xiyi=78 880-86.5×16 =77 496,=56 528,=84,×[117×8-(132-116)]=115, 所以=2.7,所以=115-2.7×84=-111.8,故重新采集数据后的经验回归方程为=2.7x-111.8. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.通过残差分析,可以发现异常样本点,重新修正或剔除异常样本点,求得更加合理的回归方程. 2.决定系数R2越接近于1,表示回归的效果越好. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](多选题)(2025·广东佛山模拟)生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关,而且还是正相关.有人调查了10名男大学生的身高y(单位:cm)及其父亲身高x(单位:cm)的数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),已知其中一组数据为(182,185),且xi=1 750,求得经验回归方程为=0.65x+63,并绘制了如下残差图(残差=观测值-预测值),则(　　) 考点一 考点二 考点三 A.这10名男大学生的身高的平均值为176.75 B.由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型 C.数据(182,185)对应的残差为3.7 D.去掉数据(182,185)后,重新求得的回归直线的决定系数R2变小 答案 AC　 解析 ()满足经验回归方程,代入=175,计算可得=176.75,故A正确;从残差图中可以看到残差比较均匀地分布在以均值为0,横轴为对称轴的水平带状区域内,满足上述回归模型,故B错误;代入x=182,得=181.3,因此残差为185-181.3=3.7,故C正确;由残差图可知(182,185)是一个极端数据,去掉后重新求得的回归直线拟合程度会变好,决定系数R2变大,故D错误.故选AC. 考点一 考点二 考点三 $