第3章 第2节 利用导数研究函数的单调性（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数的单调性”核心考点，依据课标要求和高考评价体系，梳理了导数与单调性关系、单调区间求解、参数问题等高频考点，明确求单调区间（占比45%）、含参单调性讨论（占比30%）等常考题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题变式+规律建模+素养提升”，如以2025年河北沧州模拟题为例，详解含参函数分类讨论策略，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。通过“步骤化解题模板”和“易错警示”，帮助学生掌握导数应用技巧，教师可依托此课件精准突破考点，提升复习效率。

第2节　利用导数研究函数的单调性 课标解读　1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.3.能够利用导数解决与函数单调性有关的问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版选择性必修第三册6.2.1节练习A第2题改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=2x-1,则f(x)的单调递增区间是　　　　　.  [,+∞) 解析 由f'(x)=2x-1≥0,得x≥,所以f(x)的单调递增区间是[,+∞). 2.(人教A版选择性必修第二册5.3.1节例1(2)改编)函数f(x)=sin x-ax在区间[0,π]内单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　.  [1,+∞) 解析 由于f(x)=sin x-ax在区间[0,π]内单调递减,所以f'(x)=cos x-a≤0在x∈[0,π]内恒成立,所以x∈[0,π],cos x≤a恒成立,所以1≤a. 3.(人教A版选择性必修第二册5.3.1例4改编)设x>0,f(x)=ln x,g(x)=1-,试判断两个函数变化的快慢. 解 因为f(x)=ln x,g(x)=1-, 所以f'(x)=,g'(x)=. 当x=1时,f'(x)=g'(x)=1;当0<x<1时,g'(x)>f'(x)>1;当x>1时,0<g'(x)<f'(x)<1.所以,f(x),g(x)在区间(0,+∞)上都单调递增.在区间(0,1)上,g(x)比f(x)变化的快;在区间(1,+∞)上,g(x)比f(x)变化的慢. 4.(人教A版选择性必修第二册习题5.3第12题改编)利用函数的单调性,证明下列不等式: (1)ex>1+x,x≠0; (2)ln x<x<ex,x>0. 证明 (1)设f(x)=ex-1-x,x∈R,则f'(x)=ex-1. 令f'(x)=0,解得x=0.当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)=ex-1-x在区间(0,+∞)上单调递增;当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)=ex-1-x在区间(-∞,0)上单调递减.所以,当且仅当x=0时,f(x)取得最小值.所以,当x≠0时,f(x)>f(0)=0,即ex>1+x,x≠0. (2)设f(x)=ln x-x,x>0,则f'(x)=-1.令f'(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时,f'(x)=-1>0,f(x)在区间(0,1)上单调递增;当x>1时,f'(x)=-1<0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.所以,当且仅当x=1时,f(x)取得最大值.所以,当x>0时,f(x)=ln x-x≤f(1)=-1<0.因此,当x>0时,ln x<x.由(1)可知,当x>0时,ex>x+1>x. 综上,ln x<x<ex,x>0. 知识梳理 函数的单调性与其导数的关系 条件 导数的符号 函数的单调性 函数f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0  不等式中不带“=” f(x)在(a,b)内　　　　   f'(x)<0 不等式中不带“=” f(x)在(a,b)内　　　　  单调递增 单调递减 微思考 “函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件? 提示 充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0. 研考点•精准突破 考点一　求不含参数函数的单调区间 例1　(1)(2025·福建宁德模拟)函数f(x)=x(x-1)2的单调递增区间是(　　) A.(-∞,-1)∪(-,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,)∪(1,+∞) D.(-∞,)和(1,+∞) D 解析 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=(x-1)2+2x(x-1)=3x2-4x+1,令f'(x)>0,即 3x2-4x+1>0,解得x>1或x<,因此单调递增区间是(-∞,)和(1,+∞).故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(原创)函数f(x)=x3-3ln x的单调递减区间是　　　　　.  (0,1) 解析 由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=3x2-.令f'(x)<0,即3x2-<0, 因为x>0,所以x3-1<0,所以x3<1,解得x<1. 结合定义域x>0,所以f(x)的单调递减区间为(0,1). 考点一 考点二 考点三 (3)(2025·北京西城模拟)函数f(x)=sin 2x+2cos x在区间(0,π)上的单调递减区间为　　　　.  () 解析 由题意知,f'(x)=2cos 2x-2sin x=2(1-2sin2x)-2sin x<0,即2sin2x+sin x-1 >0,(2sin x-1)(sin x+1)>0,因为x∈(0,π),所以sin x>0,所以sin x>,因此<x<,所以函数在区间(0,π)上的单调递减区间为(). 考点一 考点二 考点三 规律方法　求不含参数函数f(x)的单调区间的步骤与注意点 (1)步骤:①求函数f(x)的定义域;②求f(x)的导数f'(x);③在定义域内解不等式,f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间. (2)注意:①不能忽视函数定义域;②当函数有多个单调递增区间(或递减区间)时,不能用“∪”连接;③当不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)不可解时,可通过二次求导,分析f'(x)的零点情况,借助图象等得到其解集,进而得到单调区间. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2025·广东模拟改编)讨论函数h(x)=xln x-ex+1在区间(0,+∞)上的单调性. 考点一 考点二 考点三 解 由于函数h(x)=xln x-ex+1,令g(x)=h'(x)=ln x+1-ex(x>0),则g'(x)=-ex, 显然g'(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且g'()=2->0,g'(1)=1-e<0,故∃x0∈(,1),使g'(x0)==0,即ln x0=-x0,当x∈(0,x0)时,g'(x0)>0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)<0,故h'(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,+∞)上单调递减.故h'(x)≤h'(x0)=ln x0+1-=-(x0+)+1≤-2+1=-1<0,当且仅当x0=,即x0=1时,等号成立,显然,等号不成立,故h'(x)<0,故h(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 考点一 考点二 考点三 考点二　讨论含参数函数的单调性 例2(2025·河北沧州模拟)已知a∈R,试讨论函数f(x)=xex-(x+1)2的单调性. 解 函数定义域为R,且f'(x)=ex(x+1)-a(x+1)=(x+1)(ex-a). 当a≤0时,ex-a>0,当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0, 所以f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增. 当0<a<时,ln a<-1,当ln a<x<-1时,f'(x)<0,当x<ln a或x>-1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(ln a,-1)内单调递减,在区间(-∞,ln a),(-1,+∞)上单调递增.当a=时,ln a=-1,因为ex-a与x+1同号,故f'(x)≥0恒成立,即f(x)在R上单调递增. 考点一 考点二 考点三 当a>时,ln a>-1,当-1<x<ln a时,f'(x)<0,当x<-1或x>ln a时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-1,ln a)内单调递减,在区间(-∞,-1),(ln a,+∞)上单调递增. 综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增;当0<a<时,f(x)在区间(ln a,-1)内单调递减,在区间(-∞,ln a),(-1,+∞)上单调递增;当a=时,f(x)在R上单调递增;当a>时,f(x)在区间(-1,ln a)内单调递减,在区间(-∞,-1),(ln a,+∞)上单调递增. 考点一 考点二 考点三 规律方法　分类讨论思想解决含参数函数f(x)单调性问题 利用导数求含参数函数f(x)的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点: (1)注意确定函数f(x)的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间; (2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点; (3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等; (4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·河南洛阳模拟改编)已知函数f(x)=ax+ln(x+1)(a∈R).讨论f(x)的单调性. 解 由题意知f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=a+. 当a≥0时,f'(x)>0在区间(-1,+∞)上恒成立,所以f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增; 当a<0时,令f'(x)>0,得-1<x<-1-,令f'(x)<0,得x>-1-,所以f(x)在区间(-1,-1-)上单调递增,在区间(-1-,+∞)上单调递减. 综上,当a≥0时,f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在区间(-1,-1-)上单调递增,在区间(-1-,+∞)上单调递减. 考点一 考点二 考点三 考点三　与导数有关的函数单调性的应用 考向1　辨析函数图象 例3　(多选题)(2025·河南洛阳模拟)已知定义域为[-1,3]的可导函数f(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的有(　　) A.函数f(x)在区间(-1,)上单调递增 B.不等式f'(x)<0的解集是(1,3) C.不等式xf'(x)>0的解集是(-1,0)∪(0,) D.函数在区间(2,3)上单调递增 AD 考点一 考点二 考点三 解析 由f(x)的图象可知,f(x)在区间(-1,)上单调递增,故A正确;不等式f'(x)<0的解集即为函数f(x)单调递减区间,应为(,2),故B错误;不等式xf'(x)>0等价于由于f(x)在区间(-1,)和(2,3)上单调递增,因此由可得x∈(0,)∪(2,3),由得x∈⌀,因此不等式xf'(x)>0的解集是(0,)∪(2,3),故C错误;由于[]'=,当x∈(2,3)时,f(x)单调递增,所以f'(x)>0,此时f(x)<0,所以>0,因此函数在区间(2,3)上单调递增,故D正确.故选AD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用单调性辨析函数图象的策略 辨析函数与其导函数的图象关系时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点看其图象在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应看其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并观察这些区间与原函数的单调区间是否一致. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](多选题)已知a>0,且a≠e,则函数f(x)=ex-aln x的图象可能是 ( 　) BCD 考点一 考点二 考点三 解析 由f(x)=ex-aln x,求导可得f'(x)=,易知函数f'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,令g(x)=xex,求导可得g'(x)=ex(1+x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,则g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0<a.易知∃x0∈(0,+∞),使得g(x0)=a,则x0=a,即f'(x0)=0,当0<x<x0时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(0,x0)上单调递减;当x>x0时,f'(x)>0,则函数f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(x0)=-aln x0,由x0=a,则f(x0)=(1-x0ln x0),当0<a<e,即0<x0<1时,f(x)≥f(x0)=(1-x0ln x0)>0,故A错误,B可能正确;当a>e,即x0>1时,令h(x)=1-xln x(x≥1),求导可得h'(x)=-ln x-1<0,则函数h(x)在区间[1,+∞)上单调递减. 由h(1)=1-0>0,h(2)=1-2ln 2<0,则存在x1∈(1,2),使得h(x1)=0,所以当x0>1时,此时f(x0)符号不定,故C,D可能正确.故选BCD. 考点一 考点二 考点三 考向2　比较大小或解不等式 例4　(1)[一题多变]已知a=,b=cos,c=4sin,则下列选项正确的是(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b A 解析 (方法1　构造函数)因为当x∈(0,)时,x<tan x, 故=4tan>1,故>1,所以c>b. 设f(x)=cos x+x2-1,x∈(0,+∞),f'(x)=-sin x+x>0, 所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故f()>cos 0+×02-1=0, 所以cos>0,所以b>a,所以c>b>a.故选A. 考点一 考点二 考点三 (方法2　不等式放缩)因为当x∈(0,)时,sin x<x,取x=, 得cos=1-2sin2>1-2×()2=,故b>a, 4sin+cossin(+φ),其中φ∈(0,),且sin φ=,cos φ=,当4sin+cos时,+φ=,则φ=,此时sin=cos φ=,cos=sin φ=, 故cos=sin<4sin, 故b<c,所以c>b>a.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·辽宁名校联盟一模)已知函数f(x)=x+asin x+a+1,曲线y=f(x)在点(π,b)处的切线斜率为2. ①求a,b的值; ②求不等式f(x2-1)+f(7-5x)<0的解集. 考点一 考点二 考点三 解 ①已知f(x)=x+asin x+a+1,得f'(x)=1+acos x,曲线y=f(x)在(π,b)处的切线斜率为2,即f'(π)=1+acos π=1-a=2,解得a=-1, 所以f(x)=x-sin x, 此时b=f(π)=π-sin π=π. ②由①得f(x)=x-sin x,f'(x)=1-cos x,且f'(x)=1-cos x≥0恒成立,即f(x)在R上单调递增. 又f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数, 由f(x2-1)+f(7-5x)<0,可知f(x2-1)<-f(7-5x)=f(-7+5x), 即x2-1<-7+5x,解得2<x<3, 即不等式的解集为{x|2<x<3}. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](构造指数幂)已知a=,b=,c=,则有(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>a>c D 考点一 考点二 考点三 解析 令f(x)=,有f'(x)=,所以当0<x<1时,f'(x)<0,即f(x)在区间(0,1)上单调递减,所以f()<f(),即,所以,即b>a. 令g(x)=ex-(x+1) (x≥0),则g'(x)=ex-1,所以当x>0时,g'(x)>0,即g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,即ex>x+1(x>0),所以+1=,所以,所以a>c.综上,b>a>c.故选D. 考点一 考点二 考点三 [变式2](构造对数与幂函数)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a C 解析 令f(x)=,所以f'(x)=,所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.因为a==f(4),b== f(e),c==f(9),所以f(e)>f(4)>f(9),即b>a>c. 故选C. 考点一 考点二 考点三 [变式3](对数线性函数构造型)已知a=ln,b=,c=,则a,b,c的大小关系 为(　　) A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.c>b>a A 解析 由,得b>c.设f(x)=ln x-x+1,x∈(0,+∞),则f'(x)=-1,即当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f()=ln+1<f(1)=0,即>ln,即b>a.令g(x)=ln(x+1)-,x∈(0,1),则g'(x)=>0,则g(x)在区间(0,1)上单调递增,则g()>ln(0+1)-=0,即ln>0,即a>c.综上,b>a>c.故选A. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用导数比较大小或解不等式方法点拨 (1)当比较大小时,若要比较的是解析式已知的函数值,可通过函数导数的正负确定函数的单调性,然后根据自变量的大小得到函数值的大小关系,如果自变量的值不在同一个单调区间,要先利用函数的奇偶性、对称性等化到同一个区间上再比较. (2)当比较大小时,若只给出了要比较的函数值,则需要根据所给函数值的特征构造函数,将所给函数值视为相应的函数值,再借助导数确定所构造函数的单调性,从而比较大小. (3)当解不等式时,一方面要借助导数确定单调性,另一方面还要巧妙地将常数转化为函数值,同时注意函数定义域对变量的限制. 考点一 考点二 考点三 考向3　根据函数单调性研究参数问题 例5　[一题多变]若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.[3,e2+1] D.[3,e2-1] B 考点一 考点二 考点三 解析 因为f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,所以f'(x)=2x-a+≥0在区间(1,e)内恒成立,即a≤2x+在区间(1,e)内恒成立,令g(x)=2x+(1<x<e),则g'(x)=2->0,所以g(x)在(1,e)内单调递增. 又因为2×1+=3,所以a≤3, 即a的取值范围是(-∞,3].故选B. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式](改函数形式,二次项系数含参数)若函数f(x)=ax2-x+ln x在区间(1,3)上单调递增,求实数a的取值范围. 解 f'(x)=2ax-1+≥0,x∈(1,3),2ax+-1≥0,2ax≥1-,a≥,x∈(1,3), 所以a≥()max,x∈(1,3). 令h(x)=,1<x<3,则h'(x)=,令h'(x)>0,得1<x<2,令h'(x)<0,得2<x<3,所以h(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,3)上单调递减,所以h(x)max=h(2)=,所以a≥.故实数a的取值范围为[,+∞). 考点一 考点二 考点三 规律方法　根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法 1 已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),f(x)中含参数 转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到 2 已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),I中含参数 先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式组求解 3 已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或单调递减)区间 转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解 4 已知函数f(x)在区间I上不单调 方法1:转化为f'(x)=0在I上有解求解,注意验证; 方法2:运用补集思想,先求f(x)在区间I上单调时参数的取值范围,再取其补集 考点一 考点二 考点三 A B C D $