第2章 第6节 指数与对数的运算（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与对数的运算”核心考点，依据课标要求和高考评价体系，系统梳理指数幂定义与性质、对数概念与运算、实际应用模型三大模块，通过近五年高考真题分析明确“指数幂化简”“对数换底公式应用”“综合运算”等高频考点分布，归纳出选择、填空、解答题常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题引领+方法归纳+素养落地”，如以2024全国甲卷对数方程题为例，详解换底公式转化技巧，培养学生数学思维中的推理能力，结合2023新高考Ⅰ卷声压级实际应用题，强化数学语言表达的模型观念。规律方法总结助学生掌握运算技巧，教师可依托课件精准突破考点，提升复习效率。

第6节　指数与对数的运算 课标解读　1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识,掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念和运算性质,利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.能够利用指数与对数运算解决一些简单的实际问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(多选题)(人教A版必修第一册习题4.1第2题改编)设a>0,m,n是正整数,且n>1,则下列各式正确的是(　　) A.=a B.()4=a C.a0=1 D. BCD 解析 利用指数幂的运算法则判断即可. 2.(人教A版必修第一册习题4.1第8题改编)已知=3,则a+a-1 =　　　　,a2+a-2=　　　　.  7 47 解析 由=3,得()2=9,所以a+a-1+2=9,因此a+a-1=7,所以(a+a-1)2=49,即a2+a-2+2=49,于是a2+a-2=47. 3.(人教B版必修第二册4.2.2节练习B第3题改编)计算(lg 5)2+lg 2×lg 50 =　　　　.  1 解析 (lg 5)2+lg 2×lg 50=(lg 5)2+(1-lg 5)×(1+lg 5)=(lg 5)2+1-(lg 5)2=1. 知识梳理 1.指数及指数运算 根式 定义 如果xn=a,那么x叫做a的n次方根(其中n>1,n∈N*),记为,n称为根指数,a称为根底数 性质 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数 指数幂 指数定义 指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角 有理指数幂的分类 正整数指数幂an=(n∈N*) 零指数幂a0=1(a≠0) 负整数指数幂a-n=(a≠0,n∈N*) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 有理指数幂的运算性质 aman=am+n(a>0,m,n∈Q) (am)n=amn(a>0,m,n∈Q) (ab)m=ambm(a>0,b>0,m∈Q) 根式与有理指数幂的关系 (a>0,m,n∈Q) 微思考 等式(=a一定成立吗? 提示 等式()n=a在有意义的前提下是一定成立的;但=a不一定成立,事实上有 2.对数及对数运算 概念 如果　　　　(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 x=　　　　　,其中a叫做对数的　　　　　,N叫做　　　　　  性质 底数的限制a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N⇔　 　　  负数和零没有对数 1的对数是　　　　,即loga1=　　　　  底数的对数是　　　　,即logaa=　　　　  常用对数:lg N=log10N 自然对数:ln N=logeN(e=2.718 28…) 对数恒等式:=　　　  ax=N logaN 底数 真数 x=logaN 0 0 1 1 N　 运算性质 loga(M·N)=　　　 　  a>0,且a≠1,M>0,N>0 loga=　　　　 　  logaMn=　　　　　(n∈R)  换底公式 logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) logaM+logaN logaM-logaN　 nlogaM 研考点•精准突破 考点一　指数幂与根式的运算 例1　计算: (1)+(+(-6)0+; (2)(a>0,b>0); (3)若10m=4,10n=5,求1的值; (4)已知=1,求的值. 考点一 考点二 考点三 解 (1)原式=+(+1+-2=+1+-2=2+. (2)原式==a+1. (3)由10m=4,10n=5得1. (4)对=1两边平方,可得()2=12,即a-2+a-1=1,所以a+a-1=3.对a+a-1=3两边平方,可得(a+a-1)2=32,即a2+2+a-2=9,所以a2+a-2=7. 将a+a-1=3,a2+a-2=7代入,可得. 考点一 考点二 考点三 规律方法　指数幂与根式运算的一般原则 (1)指数幂运算,先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,以便利用法则计算. (2)先乘除后加减,负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)当底数是负数时,先确定幂的符号;当底数是小数时,先化成分数;当底数是带分数时,先化为假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示并用幂的运算法则解答. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2025·北京海淀模拟)若3m=5,3n=6,则下列式子值为的 是(　　) A.()m-n+1 B.325m-6n C.33m-2n D. C 解析 因为3m=5,3n=6, 所以125=53=(3m)3=33m,36=62=(3n)2=32n,所以=33m-2n. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2026·江苏南京模拟)已知实数a满足a+a-1=3,则下列选项中正确的有(　　) A.a2+a-2=9 B. C.a-a-1= D.=2 BD 考点一 考点二 考点三 解析 由a+a-1=3,得=9,化简得a2+a-2=7,故A错误;对于B,因为a+a-1=3,所以a>0,所以()2=a+a-1+2=5,所以,故B正确;由A知a2+a-2=7,所以=a2+a-2-2=7-2=5,所以a-a-1=±,故C错误;由=()(a-1+a-1)=×2=2,由B知,所以=2,故D正确.故选BD. 考点一 考点二 考点三 考点二　对数式的运算 考向1　对数式的化简与计算 例2　(1)(2025·陕西榆林期中)已知a=log35,b=log23,则lg 3=(　　) A. B. C. D. A 解析 由b=log23,得=log32,则lg 3=.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2024·全国甲,理15)已知a>1且=-,则a=　　　　　.  64 解析 由log2a=-,得(log2a)2-5log2a-6=0,即(log2a+1)(log2a-6)=0,又a>1,则log2a+1>0,所以log2a=6,则a=64. 考点一 考点二 考点三 (3)计算log327-(lg 5+lg 20)-log316·log23+的值等于　　　　　.  0 解析 log327-(lg 5+lg 20)-log316·log23+=3-lg(5×20)-+3 =3-2-4+3=0. 考点一 考点二 考点三 (4)已知log3(x-1)=log9(x+5),则x=　　　　　.  4 解析 ∵log3(x-1)=log9(x+5), ∴log9(x-1)2=log9(x+5),x-1>0,x+5>0,∴(x-1)2=x+5,x-1>0,x+5>0,解得x=4,经过验证满足条件,∴原方程的解为x=4. 考点一 考点二 考点三 规律方法　对数式化简与计算的一般思路 (1)合:逆用对数的运算性质,将同底数的对数的和、差、倍数运算,转化为同底数的对数真数的积、商、幂的运算. (2)拆:运用对数的运算性质,将积、商、幂的对数转化为同底数的对数的和、差、倍数运算. (3)当对数的底数不相同时,可通过换底公式转化为底数相同的对数再进行化简计算. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2]求下列各式的值: (1)lg 52+lg 2×lg 50+(lg 2)2; (2)log2+log212-log242; (3). 考点一 考点二 考点三 解 (1)原式=2lg 5+lg 2×(lg 5+lg 10)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2×lg 5+lg 2+(lg 2)2 =2lg 5+lg 2×(lg 5+lg 2)+lg 2=2lg 5+lg 2+lg 2=2(lg 5+lg 2)=2. (2)原式=log2+log212-log2=log2(×12×)=log2=-. (3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3lg 5+3lg 2 =3(lg 5+lg 2)=3.分母=(lg 6+2)-lg=lg 6+2-lg=lg 6+2-lg 6+2 =4,故原式=. 考点一 考点二 考点三 考向2　对数与指数的综合运算 例3　(1)(多选题)(2025·山东临沂期末)已知正实数a,b满足ba=2,且a+2log2b=3,则a+b2的值可以为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 CD 解析 由ba=2得到a=logb2,则logb2+2log2b=3,即+2log2b=3,整理得2(log2b)2-3log2b+1=0,解得log2b=或log2b=1.当log2b=时,b=,a=2,则a+b2=4;当log2b=1时,b=2,a=1,则a+b2=5.故选CD. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2025·安徽亳州模拟)已知正实数x,y,z,满足3x=4y=6z,则下列说法正确的有(　　) A.x>y>z B.x+y=2z C.2yz+xz=2xy D. ACD 解析 设3x=4y=6z=a,则a>1,且x=log3a,y=log4a,z=log6a,对于A,x=,y=,z=,a>1,由于loga3<loga4<loga6,所以x>y>z,故A正确;对于B,因为=log36+log46>2,故B错误;对于C,由于=2log63+log64=log636=2,即2yz+xz=2xy,故C正确;对于D,因为=2,即,故D正确.故选ACD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　指数与对数综合运算的方法技巧 (1)根据需要,利用指数式与对数式的关系ab=N⇔logaN=b对二者进行互化; (2)当不同底数的幂值相等时,常设出幂的值,然后转化为对数式再进行化简求值; (3)当幂的指数中含有对数时,一是运用对数恒等式化简计算,二是通过等式两边取对数的方法转化为对数式进行化简求值. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](多选题)(2025·安徽阜阳模拟)已知a=lg 2,b=lg 3,则下列选项正确的有(　　) A.102a+b=7 B.=log1810 C.log5412= D.log365= BCD 考点一 考点二 考点三 解析 因为a=lg 2,b=lg 3,所以10a=2,10b=3.所以102a+b=102a×10b=(10a)2×10b=22×3=12≠7,故A错误.因为a+2b=lg 2+2lg 3 =lg 2+lg 32=lg 2+lg 9=lg(2×9)=lg 18.所以=log1810,故B正确.因为log5412=,故C正确.因为log365=,故D正确.故选BCD. 考点一 考点二 考点三 考点三　指数与对数运算的实际应用 例4　(1)(2025·辽宁朝阳模拟)某著名数学家、物理学家曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃,则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.若当空气温度为20 ℃时,某物体的温度从80 ℃下降到50 ℃用时18分钟,则再经过36分钟后,该物体的温度为(　) A.22.5 ℃ B.25 ℃ C.27.5 ℃ D.30 ℃ C 解析 由题意知θ0=20,θ1=80,θ=50,所以50=20+(80-20)e-18k,可得e-18k=,再经过36分钟后,该物体的温度为θ=20+(80-20)e-54k=20+(80-20)(e-18k)3=27.5,即该物体的温度为27.5 ℃. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2023·新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 ACD 考点一 考点二 考点三 解析 由题意可知,燃油汽车=20×lg∈[60,90], 所以∈[60,90],① 同理,∈[50,60],② =102=100.③ 对于A选项,由表知,所以A正确;对于B选项,由②÷③,得∈[,10],所以≤10,所以p2≤10p3,所以B错误;对于C选项,由③,得=100,故p3=100p0,所以C正确;对于D选项,由①÷②,得 ∈[1,102],所以∈[1,100].所以p1≤100p2.所以D正确.故选ACD. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版必修第一册习题4.4第10题)声强级L1(单位:dB)由公式L1=10lg()给出,其中I为声强(单位:W/m2). (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2,能听到的最低声强为10-12 W/m2.求人听觉的声强级范围. (2)平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级. 解 (1)∵L1=10lg(),∴令I=1得,L1=10lg(1012)=120,令I=10-12得, L1=10lg 1=0,∴人听觉的声强级范围为[0,120]. (2)∵L1=10lg(),令I=10-6得,L1=10lg(106)=60, ∴其声强级为60. 考点一 考点二 考点三 规律方法　指数与对数运算实际应用的解题策略 (1)理解题意、弄清题目条件与所求之间的关系; (2)理解问题中各个量的含义及其关系式中各字母的含义,明确已知和未知; (3)根据已知条件代入求解,如果所求变量在幂的指数位置上,则要借助对数运算进行求解. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2025·北京,9)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　) A.2 B.4 C.20 D.40 B 解析 由题意,得klog2(1.024×109)-klog2106=20,即klog2=20,∴klog21 024=20, ∴10k=20,解得k=2,即T=2log2N. ∴2log2(4.096×109)-2log2(1.024×109)=2log24=4. 故选B. 考点一 考点二 考点三 $