课时规范练5 基本不等式的应用（Word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

**基本信息** 聚焦基本不等式的系统性应用，通过分层训练构建“基础方法-综合迁移-实际应用”的逻辑链条，突出数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题（如第1、5题）|配凑法、乘“1”法、恒成立转化、实际应用比较|从直接应用到简单综合，强调等号成立条件与变量范围| |综合提升练|5题（如第11、15题）|换元法、多元变量处理、跨知识结合（数列/椭圆）|复杂情境下的方法迁移，培养推理能力与数学眼光|

课时规范练5　基本不等式的应用 (分值:78分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2026·湖南长沙模拟)若x>1,则2x+的最小值是(　　) A.6 B.4 C.10 D.2 2.(2025·吉林长春模拟)已知0<x<,则y=x(1-3x)的最大值为(　　) A. B. C. D. 3.(2025·安徽宿州模拟)已知∀x∈(0,+∞),x2+ax+4≥0恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[-4,4] B.[-4,+∞) C.(-∞,4] D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 4.(2025·江苏南通一模)在公差不为0的等差数列{an}中,若as+at=2a3,则的最小值为(　　) A. B. C. D. 5.(2026·江苏南通模拟)旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一,出行中小胡有两种加油方案:第一种,每次均加a升的燃油;第二种,每次加b元的燃油.则下列说法正确的是(　　) A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 6.(多选题)(2025·江西上饶二模)若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项正确的有(　　) A.的最大值是 B.的最小值是9 C.(1+a)(1+b)的最大值是 D.a2+2b2的最小值是 7.(2025·河南八市联考)已知x>0,则4x+的最小值为　　　　　.  8.(2025·上海,8)已知a,b为正数,+b=1,则+a的最小值是　　　　.  9.(2025·云南昆明模拟)已知正数x,y满足x+y=4,则的最小值为　　　　.  10.(2026·江西赣州模拟)已知不等式4x+m+>0(x>-1)恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.  综合提升练 11.(2025·浙江嘉兴模拟)已知x+y=+8(x,y>0),则x+y的最小值为(　　) A.5 B.9 C.4+ D.10 12.(多选题)(2026·湖南长沙高三月考)已知a>0,b>0,若a+2b=1,则下列选项正确的有(　　) A.ab的最小值为 B.的最小值为8 C.a2+b2的最小值为1 D.2a+4b的最小值为2 13.(多选题)(2025·浙江北斗星盟模拟)已知a>0,b>0,则下列说法正确的有(　　) A.若ab=a+b+3,则ab≥9 B.a2+的最小值为1 C.若a+b=9,则的最小值为8 D.若a+2b=2,则a2+4b2的最小值为2 14.(2025·浙江余姚模拟)函数f(x)=(x≥0)的最大值为　　　　.  15.(2025·安徽合肥模拟)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则的最小值为　　　　　.  参考答案 课时规范练5　基本不等式的应用 1.C　解析 ∵x>1,∴x-1>0,对2x+进行变形可得2(x-1)++2,根据基本不等式,得2(x-1)++2≥2+2=8+2=10,当且仅当2(x-1)=,即x=3时,等号成立,∴当x=3时,2x+取得最小值,最小值为10. 2.A　解析 因为0<x<,所以1-3x>0,y=x(1-3x)=×3x(1-3x)≤×[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立,所以最大值为. 3.B　解析 当x∈(0,+∞)时,a≥-(x+)恒成立,因为x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以-(x+)≤-4,所以a≥-4. 4.D　解析 ∵as+at=2a3,∴s+t=6, ∴=1,显然s,t∈N*,∴=()()=+2,当且仅当,即t=2,s=4时,等号成立. 5.B　解析 任取其中两次加油,假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为,当且仅当m=n时,等号成立;第二种方案的均价为,因为m+n≥2>0,则,故,当且仅当m=n时,等号成立.综上,第一种方案的均价不低于第二种方案的均价(当且仅当m=n时,等号成立).结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化,此时第二种方案更划算.故选B. 6.ABC　解析 因为,当且仅当a=b=时,等号成立,故A正确;因为=(a+b)()=5+≥5+2=9,当且仅当b=2a=时,等号成立,故B正确;因为(1+a)(1+b)≤()2=,当且仅当a=b=时,等号成立,故C正确;因为a=1-b,0<b<1,则a2+2b2=(1-b)2+2b2=3b2-2b+1=3(b-)2+,当且仅当b=时,等号成立,故D错误.故选ABC. 7.3　解析 由x>0得,4x+=4x+-1≥2-1=4-1=3,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,故4x+的最小值为3. 8.4　解析 ∵+b=1,∴+a=(+a)(+b)=+1+1+ab≥2+2=4.∴当且仅当=ab,即a=2,b=时,等号成立,故+a的最小值为4. 9.0　解析 由于x,y满足x+y=4,可得y=4-x,所以-1≥2-1=0,当且仅当x=y=2时,等号成立,所以的最小值为0. 10.(0,+∞)　解析 不等式4x+m+>0(x>-1)恒成立,即m>-(4x+),因为x>-1,则x+1>0,则4x+=4(x+1)+-4≥2-4=0,当且仅当4(x+1)=,即x=-时,等号成立,则-(4x+)≤0,故m>0. 11.B　解析 由x+y=+8(x,y>0),得x+y-8=,则(x+y-8)(x+y)=()(x+y)=+5≥2+5=9,当且仅当,即y=2x时,等号成立,令x+y=t>0,则t(t-8)≥9,解得t≤-1(舍去)或t≥9,则x+y≥9,当且仅当x=3,y=6时,等号成立,即x+y的最小值为9. 12.BD　解析 由a>0,b>0,且a+2b=1,对于A,由ab=a·2b≤,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以ab的最大值为,故A错误;对于B,由=()(a+2b)=4+≥4+2=8,当且仅当,即a=,b=时,等号成立,所以的最小值为8,故B正确;对于C,由a+2b=1,可得a=1-2b,则a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1,因为a>0,b>0且a=1-2b,可得0<b<,所以当b=时,a2+b2取得最小值,a2+b2的最小值为,故C错误;对于D,由2a+4b=2a+22b≥2=2=2,当且仅当2a=22b,即a=,b=时,等号成立,所以2a+4b的最小值为2,故D正确.故选BD. 13.ACD　解析 对于A,ab=a+b+3≥2+3,即(-3)(+1)≥0,得到-3≥0,解得ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,故A正确;对于B,a2+=(a2+3)+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当a2+3=,即a2+3=2时,等号成立,显然a的值不存在,故B错误;对于C,因为a+b=9,所以=4+,由基本不等式得4+≥4+2=8,当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立,则的最小值为8,故C正确;对于D,因为a+2b=2,所以(a+2b)2=4,即a2+4b2=4-4ab.由2ab≤=1,得a2+4b2≥2,当且仅当a=2b=1时,等号成立. 14.　解析 令x+1=t,则x=t-1(t≥1),于是函数f(x)=可化为y=.因为t≥1>0,所以由基本不等式可得t+-4≥2-4=2,因此0<,当且仅当t=,即t=3时,等号成立,所以函数的最大值为. 15.　解析 F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,|MF1|+|MF2|=6,所以×()(|MF1|+|MF2|)=(2+)≥,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立,所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $