第11讲 整式（10类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第11讲整式 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点· 破方法：典型题型深度拆解 题型1单项式的判断 题型2单项式的系数、次数 题型3写出满足某些特征的单项式 题型4单项式规律题 题型5多项式的判断 题型6多项式的项、项数或次数 题型7多项式系数、指数中字母求值 题型8将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型9整式的判断 题型10单项式、多项式、整式的分类 04过关检测一练考点： 强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解单项式、多项式、整式的概念，能准确区分整式与分式。 单项式、多项式、整式、2.掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数等核心心概念，并能 系数、次数、升幂排列、准确指出。 降幂排列。 3.能将一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，培养规范整理的数学习惯。 4.经历从具体数到字母表示数的抽象过程，体会用整式刻画数量关系的简洁 性与一般性。 学习重点：单项式与多项式的相关概念（系数、次数、项），以及整式的识别。 学习难点：准确确定单项式的系数与次数（特别是含字母系数、指数为1或0的情况），以及多项式 的次数（多项式中次数最高项的次数）和项的确定（注意符号）。 02 教材全解 ◇ 知1识1框|架 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 定义一数或字母的积 单项式 系数一数字因数 次数一所有字母指数和 定义一几个单项式的和 整式 项一每个单项式 多项式 常数项一不含字母的项 次数一最高次项次数 定义一单项式与多项式统称整式 整式 单项式 分类 多项式 知|识I精|讲 知识点01单项式的概念、系数与次数 1.单项式的概念 -2,?y,0,它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母型 是单项式 【注意】(1)单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数： ③单独的一个字母， (2)单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算.如：”可以写成二mm。但若分母中含有字母， 2 如二就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 (1)确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；， (2)圆周率π是常数.单项式中出现π时，应看作系数； (3)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； (4)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.单项式的次数是计算单项式 中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： (1)没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； (2)不能将数字的指数一同计算. 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 单项式易错警示：数字与字母乘积（单独数或字母也是）。系数指数字因数，带符号（如-3x系数3）。次 数是所有字母指数和（如xy次数3）。注意：π是数字非字母，指数不计数；常数次数为0。 即时即练1.在x+y,4,-a,2x2y, 一x+y中，单项式的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.单项武3玩少的系数是」 次数是」 知识点02多项式的概念、系数与次数 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式 2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 【注意】(1)多项式的每一项包括它前面的符号. (2)一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2x2-3x+1是一个三项式 3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数 【注意】(1)多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数 (2)一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出. 【易错提醒】 多项式易错警示：几个单项式的和。次数指最高次项的次数（如xy+3x次数3）。项要带符号（如第二项 是-2x)。常数项没有字母，次数为0。勿将单项式系数（数字因数）与多项式次数混淆。 即时即练1. 下列各式①，②3y,③d-b2,④3x-y,⑤2x>1,⑥-x,⑦0.5+x, ⑧2 4 5 中，是 x-1 单项式的有 是多项式的有 (填序号) 2.多项式-x2yz+2y2-xz-1是次四项式，它的最高次项的系数为， 常数项为」 3.若多项式ym-川+(n-2x2y3+1是关于x,y的四次多项式，则m= 知识点03整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式 【注意】(1)单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示.即单项式、多项式必是整式，但反过来 就不一定成立. (2)分母中含有字母的式子一定不是整式 3/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 整式易错警示：单项式与多项式统称整式。分母中含字母的式子（如不是整式，属于分式。注意：π是数 字，含的式子是整式。判断时要看字母是否在分母或根号内。 即时即练1.在式子2025,4x,+y-2,,号中，整式的个教是 个 2.对下列式子进行分类. b2 xy ,1ab+x31 3’2 +3, n’5’xy'a+b 0,m,a-3,4b,3.14>1,-2d=3. 单项式：( ); 多项式：( 整式：( ) 03 题型突破 题型1单项式的判断 【例1】下列代数式-a+b,m, 3， ,2x2y,35,（x-1)2中，单项式有() 元 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例2】下列式子：+2，上+4， 3ab2 ab a 7 ，-5x,0中，单项式的个数是() A.6 B.5 C.4 D.3 【技巧归纳】 单项式：数与字母的积（分母不含字母）。单独一个数如或字母也是单项式。判断要点：不含有加减运算，分母中 无字母。如3x、-5、a2是；x以、2x+1不是。注意π是数字，不是字母。 【变式1山】给出下列式子：0,3a,+3,之，1.3+1，，上+，其巾单项式的个数是（) 5 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【变式1-2】下列代数式单项式有()个 a2)片3)安4青 2 (5)y(6)2x A.1个 B.2个 C.5个 D.4个 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型2单项式的系数、次数 【例3】单项式-2w:的次数是 【例4】单项式3xy的系数为 次数为 【技巧归纳】 系数：单项式中的数字因数（带符号）。次数：所有字母指数之和。如-3x2y系数3，次数3。单独数字（如5） 次数0，常数项系数本身。视为数字，含的项系数含几。注意指数为1时省略。 【变式2-1】单项式-xy的系数是 次数是 7 【变式2-2】单项式3b的次数是一 系数是 题型3写出满捉某些特征的单项式 【例5】请写出一个只含字母x,y的五次单项式 【例6】请写出一个含有字母a和b,且次数为3的单项式 【技巧归纳】 根据系数和次数要求构造，系数是数字（可为分数），次数由各字母指数和决定。如系数为-2，次数为3，可写 -2x或2y2。注意可含多个字母，但不含加减符号。结合题意，确保分母无字母。 【变式3-1】请写出一个只含有x、y两个字母，系数是-2，次数是5的单项式 【变式3-2】系数为-5，只含字母m,n的所有三次单项式是 题型4单项式规律题 【例7】按一定规律排列的单项式：4m,9m3,16m,25m,36m°，…据此规律，第12个单项式为 【例8】按一定规律排列的代数式：2x,3x2,4x,5x,，第n个代数式是 【技巧归纳】 观察序号与系数、字母指数的变化规律。系数多为等差或等比，指数常与序号有关。写通项时用表示序号，注 意符号交替用(-1)”。如第n个单项式：(1)。n·x“。代入验证前几项是否正确。 【变式41】观察下列关于x的单项式，探究其规律：-x,3x2,-5x,7x,-9x3…按照上述规律，第10个单项 式是 【变式42】按一定规律排列的单项式：号片，号，。 -5’9 ,第n个单项式是 17 5/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型5多项式的判断 【例9】在代数式-12x+7,-x,xx+,m+”中，多项式的个数是（)个 2π 2 A.5 B.4 C.3 D.2 【例10)在下列代数式2欢， 、a+ 1 2,ab2+b+1,-9, ,x3+x2-3中，多项式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【技巧归纳】 多项式：由几个单项式相加回或相减组成。判断标准：含加减运算，分母中不含字母。如3x2-2x+1是；1/(+1)不 是。注意可以合并同类项后看顶数，如x2+3x-x2=3x是单项式。所有整式都是单项式或多顶式。 变赋5】下列试子3h,“,上+子，2x+3x-4中，多暖式有( 一+ 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式5-2】下列式子：①ab+ab-b；②0：③334-x+:⑤a+b 3 “:⑥2，多项武的个数是 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型6多项式的项、顶数或次数 【例11】多项式2x-5x3-3x2-1是次 项式，常数项是」 【例12】多项式-2x2+3x-5的二次项系数是 【技巧归纳】 项：多项式中的每个单项式（包括符号）。项数：项的个数。次数：所有项中次数最高项的次数。如3x2y-2x +1:项分别为3x2y、-2x、1,项数3，最高次项3x2y次数3。常数项次数0。找准符号。 【变式6】多项式+4w2-7的项数是 次数是 常数项是 [变式62】多项式--的最高次碳是 次数是 它是 次 项式 题型7多项式系数、指数中字母求值 【例13】若多项式5x5-3x+(m-4)x2是关于x的五次二项式，则m= 【例14】己知关于x的多项式(2m+3)x3+x-x-5是二次三项式，则m“=一 6/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【技支巧归纳】 根据多项式次数如或项数条件列方程。如多项式x+1.3x+2为二次三项式，则m+1=2得m=1。若某项不存在，则 其系数为0（如无xy项，则系数=0）。注意合并同类项后再判断，防止被表面顶数误导。 【变式7-1】若多项式(n-3)x2-(n-2x-m+3是关于x的三次多项式，则多项式m+n的值为 【变式7-2】若多项式ab+(x-)ab2-1是关于a,b的五次二项式，则y的值为」 题型8将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例15】将整式3xy3-x2y-6-x3按x降幂排列为 【例16】将多项式x3-1-2x+3x2按x的降幂排列的结果为 【技巧归纳】 选定字母，按该字母指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）排列。常数项视为指数0。每项保特符号，移顶 时注意正负号也跟它一起移动。合并同类项后可简化。如x2-2x+1按x降幂仍是原式。 【变式8-1】把多项式-2x-3+5x2+6x按x的降幂排列 【变式8-2】把xy-y3+3x2y+4xy2-2按y降幂排列」 题型9整式的销判断 【例17)已知：①r2-y':②5：®4-6：④2a+b):⑤4；⑧-6.其中整式有一个. 【例18】在式子0-，②-5，③- x,④上⑤-a,⑥3x1,⑦0中，整式有个. y 2 【技巧归纳】 整式：单项式与多项式的统称，分母中不含字母。判断标准：式子由数、字母通过乘除（除数可为字母？注意： 分母含字母侧不是整式)和加减运算组成，不含除法分母字母。 【变式9-1】下列各式：①a-1:②+1；③x-1=0:④2；⑤x2-1+x2;⑥-2ab+1,其中整式有 个 【变式9-2】下列式子：①：-x+1:②m2n+mm-1;③x+1+2:④5-x2;⑤-x,其中多项式有 次数最高的多项式为 (请填写序号)，整式有 个 题型10单项式、多项式、整式的分类 【例19】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中. 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①7，②-，®2a,b.④m+6,@+y,@@,®2-3x+4r,@a。 2 X 单项式：( ); 多项式：( ); 整式：( ). 【例20】请把下列各式的序号填入相应的集合中. 1①-3，②-5ab，③2，@1 x⑤5x+2y，©+，⑦ 7 m n π 整式集合：{ …}； 单项式集合：{ …} 多项式集合：{ 小 【技巧归纳】 整式包含单项式和多项式。单项式：无动加减号；多项式：有加减号。判断时先看分母有无字母，无测是整式。再 按有无加减号区分单项式/多项式。常数他是单项式。含根号字母的式子一般不是整式。 【变式10-1】把下列各式分别填在相应的大括号里： 4,、1 +2’2 +b,元R2-πr2, .2x-3, 1 5x2+z,a2+-+2 2 a 单项式：{ }； 多项式：{ 整式：{ } 【变式10-2】把下列代数式分别填在相应的大括号内： 2025-9y,3 2y2,-y 1 ,-3x2+2x-1. 单项式：{ 多项式：{ 二次二项式：{ 整式：{ …} 04 过关检测 一、单选题 1.在代数式7，a-1,y,5m中，单项式的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.一个单项式的系数是2，次数是3，则下列符合条件的单项式是() A.m 2 B.2m2 C.2m2 D. 3 3.下列结论正确的是() A.单项式g的系数是 B.单项式52ab的次数是6 C.单项式-abc没有系数 D.多项式x+2y-4是二次三项式 4.多项式)州-(m+2列x+7是关于x的二次三项式，则m的值是《) A.-1 B.-2 C.2 D.2或-2 5.观察下列单项式：-3a,6d,-9a3,12a,-15a5,…,则第n个单项式是（) A.（-1"na2 B.3na” C.nd D.（-1)”3na4 二、填空题 6.单项式6的系数是 7.把多项式2xy-4x2y3+3xy-6按字母x的降幂排列是 号：30+2：是，，空-3,0，-加+1疾申单项式有 8 个，多项式有 个 9.若多项式xym-+(n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式，则n"=一 10.我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元” 的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式14x2+5184x+28320,则图2 表示的多项式的一次项系数为 14 T上O 5184 元 28320 ‖≡而元 图1 图2 三、解答趣 11.请把下列整式分类填入下表，并完成表格， 0a1.5a42ab+,a2-2ab,a6-2r+3x-6, 4 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 -1m -1 a+1 2 1 5x2 2 a2+2ab+b2 3 0 3 ab2 3 3 a2-2ab 0 4 2 0 -2x2+3x-6 -6 12.将多项式5ab3-2ab4+3a3b2-a+b按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列. 13.已知关于x,y的多项式y-3x4+x2ym1-4mn是五次四项式(m、n为有理数)，且单项式5x4my”-4的 次数与该多项式相同。 (1)求m,n的值. (2)将这个多项式按x的降幂排列. 4.代数式：①=：②+-1：®，0：回®-2m:⑦D n 2 (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： 多项式 单项式 (2)其中次数最高的多项式是 次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是 ,系数是 15.把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？·分别将序号填入所属的横线上 ①7.②-，®20b,@m+6,©r+y,©}，@5mi,@2-3x+4,国d. 、1 2 单项式： 多项式： 10/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二次三项式： 整式： 16.观察下列各单项式：a2,4a,9a,16a,25a,…根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为-，第n个单项式为_ (2)请你求出当a=-1时，第9个单项式与第10个单项式和的值， 11/11 第11讲 整式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 单项式的判断 题型2 单项式的系数、次数 题型3 写出满足某些特征的单项式 题型4 单项式规律题 题型5 多项式的判断 题型6 多项式的项、项数或次数 题型7 多项式系数、指数中字母求值 题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 题型9 整式的判断 题型10 单项式、多项式、整式的分类 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 单项式、多项式、整式、系数、次数、升幂排列、降幂排列。 1. 理解单项式、多项式、整式的概念，能准确区分整式与分式。 2. 掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数等核心概念，并能准确指出。 3. 能将一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，培养规范整理的数学习惯。 4. 经历从具体数到字母表示数的抽象过程，体会用整式刻画数量关系的简洁性与一般性。 学习重点：单项式与多项式的相关概念（系数、次数、项），以及整式的识别。 学习难点：准确确定单项式的系数与次数（特别是含字母系数、指数为1或0的情况），以及多项式的次数（多项式中次数最高项的次数）和项的确定（注意符号）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 单项式的概念、系数与次数 1.单项式的概念 如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【易错提醒】 单项式易错警示：数字与字母乘积（单独数或字母也是）。系数指数字因数，带符号（如-3x系数-3）。次数是所有字母指数和（如x2y次数3）。注意：π是数字非字母，指数不计数；常数次数为0。 即时即练1．在，4，，，中，单项式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义：数字与字母的积叫做单项式，其中，单独的一个数或字母也是单项式，据此逐个判断即可． 【详解】解：在，4，，，中，单项式为4，，，有3个， 故选：C． 2．单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：；5． 知识点02 多项式的概念、系数与次数 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2） 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【易错提醒】 多项式易错警示：几个单项式的和。次数指最高次项的次数（如x2y+3x次数3）。项要带符号（如第二项是-2x）。常数项没有字母，次数为0。勿将单项式系数（数字因数）与多项式次数混淆。 即时即练1．下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥ ③④⑦ 【分析】本题考查单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念．单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子；整式；单项式和多项式统称为整式；据此逐个分析即可求解． 【详解】解：单项式有：，， 多项式有：，，， 是不等式，是分式，故不属于整式； 故答案为：①②⑥；③④⑦． 2．多项式是 次四项式，它的最高次项的系数为 ，常数项为 ． 【答案】 四 【分析】本题考查与多项式相关的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的项和次数的定义，确定最高次项和常数项，注意要带有符号． 【详解】解：多项式是四次四项式，最高次项的系数是，常数项是． 故答案为：四；；． 3．若多项式是关于，的四次多项式，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，代数式求值，多项式中次数最高的项叫做多项式的次数，据此可得，求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵多项式是关于，的四次多项式， ∴， ∴或，， ∴或， 故答案为：或． 知识点03 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 【易错提醒】 整式易错警示：单项式与多项式统称整式。分母中含字母的式子（如不是整式，属于分式。注意：π是数字，含π的式子是整式。判断时要看字母是否在分母或根号内。 即时即练1．在式子2025，，，，中，整式的个数是 个． 【答案】4 【分析】此题考查了整式的概念，掌握整式的概念是解题的关键，单项式和多项式统称为整式．根据整式的概念，对每个式子逐个进行判断，即可求解． 【详解】解：2025是单项式，为整式； 是单项式，为整式； 是多项式，为整式； 分母含有未知数，不是整式； 是多项式，为整式； 所以整式个数为4， 故答案为：4． 2．对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 【答案】，，，；，，；，，，，，， 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式． 【详解】单项式：（，，，） 多项式：（，，） 是整式：（，，，，，，） 题型1 单项式的判断 【例1】下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的判定，掌握单项式的概念是关键． 数字与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，由此即可求解． 【详解】解：不是单项式， 是单项式， 是单项式， 是单项式， 不是单项式， ∴单项式有3个， 故选：C ． 【例2】下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义分析即可． 【详解】解：，，0是单项式； 是多项式； ，既不是单项式，也不是多项式． 故选D． 【技巧归纳】 单项式：数与字母的积（分母不含字母）。单独一个数或字母也是单项式。判断要点：不含有加减运算，分母中无字母。如 3x、-5、a² 是；x/y、2x+1 不是。注意π是数字，不是字母。 【变式1-1】给出下列式子：0，，，，1，，，，其中单项式的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的判断， 根据定义解答，即数字与字母的乘积就是单项式，注意单独的数字和字母也是单项式 【详解】解：单项式有，一共4个，其中是多项式，而不是单项式，也不是多项式. 故选：B. 【变式1-2】下列代数式单项式有（    ）个 （1） （2）  （3）  （4）  （5）  （6） A．1个 B．2个 C．5个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】根据单项式的定义进行判断即可．本题主要考查了单项式的定义，解题的关键是熟练掌握单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单个的字或数字也是单项式． 【详解】解：单项式有（1） （2） （4） （5） （6），共5个． 故选：C． 题型2 单项式的系数、次数 【例3】单项式的次数是 ． 【答案】5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的次数，根据单项式的次数的定义：所有字母的指数和，即可得出答案． 【详解】解：单项式的次数为：， 故答案为：5． 【例4】单项式的系数为 ；次数为 ． 【答案】 3 2 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式，根据单项式中的数字因数为单项式的系数，所有字母的指数和为单项式的次数，作答即可． 【详解】解：单项式的系数为，次数为； 故答案为：3，2 【技巧归纳】 系数：单项式中的数字因数（带符号）。次数：所有字母指数之和。如-3x²y系数-3，次数3。单独数字（如5）次数0，常数项系数本身。π视为数字，含π的项系数含π。注意指数为1时省略。 【变式2-1】单项式的系数是 ， 次数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的概念，根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 【详解】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，4． 故答案为：，4． 【变式2-2】单项式的次数是 ，系数是 ． 【答案】 / 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查的是单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【详解】解：的次数是，系数是． 故答案为：，． 题型3 写出满足某些特征的单项式 【例5】请写出一个只含字母x，y的五次单项式 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的有关概念即可得出答案，确定单项式的系数和次数的关键． 【详解】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【例6】请写出一个含有字母和，且次数为3的单项式 ． 【答案】(答案不唯一) 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了单项式的定义．解答此题关键是构造单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键． 根据单项式系数、次数的定义来求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：先构造系数，例如为2，然后使a、b的指数和是3． 则如：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 【技巧归纳】 根据系数和次数要求构造，系数是数字（可为分数），次数由各字母指数和决定。如系数为-2，次数为3，可写-2x³或-2xy²。注意可含多个字母，但不含加减符号。结合题意，确保分母无字母。 【变式3-1】请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，熟记单项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：由单项式定义可得，该单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-2】系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式的系数、次数，可得答案． 【详解】解：系数为，只含字母的三次单项式有2个， 它们是，， 故答案为：，． 题型4 单项式规律题 【例7】按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【详解】解：根据题意可知，按一定规律排列的单项式：， 系数的排列规律为：，，，，，， 指数的排列规律为：，，，，，， ∴第个单项式为：， ∴第12个单项式为：． 故答案为：． 【例8】按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索．观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：， 故答案为：． 【技巧归纳】 观察序号与系数、字母指数的变化规律。系数多为等差或等比，指数常与序号有关。写通项时用n表示序号，注意符号交替用(-1)n。如第n个单项式：(-1)n·n·xn。代入验证前几项是否正确。 【变式4-1】观察下列关于x的单项式，探究其规律：…  按照上述规律，第10个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查数字规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据题意得到规律进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：第个单项式为， 故第10个单项式是， 故答案为：． 【变式4-2】按一定规律排列的单项式：，，，，…第n个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查单项式规律探索，根据分子，…，可得出第n个单项式的分子，由分母3，5，9，17，…，可得出第n个单项式的分母，由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得出符号规律，即可求出结果． 【详解】解：由分子，…，可得第n个单项式的分子为； 由分母3，5，9，17，…，可得第n个单项式的分母为； 由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得符号规律为， 所以第n个单项式是， 故答案为：． 题型5 多项式的判断 【例9】在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式“由几个单项式的和组成的代数式，称为多项式”，熟记多项式的定义是解题关键．根据多项式的定义求解即可得． 【详解】解：，，，都是多项式，共有4个， 故选：B． 【例10】在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查了多项式的定义“几个单项式的和为多项式”．根据多项式的定义即可判断． 【详解】解：代数式，，，，，中，多项式有，，，即多项式有3个， 故选：B． 【技巧归纳】 多项式：由几个单项式相加或相减组成。判断标准：含加减运算，分母中不含字母。如3x²-2x+1是；1/(x+1)不是。注意可以合并同类项后看项数，如x²+3x-x²=3x是单项式。所有整式都是单项式或多项式。 【变式5-1】下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，根据定义解答即可． 【详解】解：是单项式； ，是多项式； 的分母含字母，既不是单项式，也不是多项式． 故选B． 【变式5-2】下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①； ②0是单项式； ③是单项式； ④不是多项式； ⑤是多项式； ⑥不是多项式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 题型6 多项式的项、项数或次数 【例11】多项式   是 次 项式，常数项是 ． 【答案】 三 四 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式的项数，次数，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 【详解】解：多项式由四个单项式组成，最高次项是，次数是3，常数项是． 故答案为：三；四；． 【例12】多项式的二次项系数是 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查了多项式，多项式即为几个单项式的和，其中每一个单项式称为项，单项式的次数即为多项式的几次项，不含字母的项称为常数项．直接利用多项式的定义得出二次项，进而得出答案． 【详解】解：多项式的二次项系数是． 故答案为：． 【技巧归纳】 项：多项式中的每个单项式（包括符号）。项数：项的个数。次数：所有项中次数最高项的次数。如3x²y-2x+1：项分别为3x²y、-2x、1，项数3，最高次项3x²y次数3。常数项次数0。找准符号。 【变式6-1】多项式的项数是 ，次数是 ，常数项是 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题主要考查多项式次数、项数及常数项的定义，解题的关键是熟知多项式的特点． 根据多项式次数、项数及常数项的定义即可求解． 【详解】解：多项式的项数是3；次数是4；常数项是； 故答案为：3；4；． 【变式6-2】多项式的最高次项是 ，次数是 ，它是 次 项式． 【答案】 五 二 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的相关概念，理解并掌握多项式次数，项数的定义是解题的关键． 根据多项式次数的定义进行判定即可求解． 【详解】解：多项式的最高次项是，次数是，它是五次二项式， 故答案为：①；②；③五；④二 ． 题型7 多项式系数、指数中字母求值 【例13】若多项式是关于x的五次二项式，则 ． 【答案】4 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】此题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数．根据五次二项式的定义得到，计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：4． 【例14】已知关于x的多项式是二次三项式，则 . 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的次数问题，由多项式次数为，为此知没有次项，由此知，这时最高次项是，可知的值问题得以解决． 【详解】解：∵关于的多项式是二次多项式， ∴该多项式没有次项，由此知，， ， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 根据多项式次数或项数条件列方程。如多项式xm+1-3x+2为二次三项式，则m+1=2得m=1。若某项不存在，则其系数为0（如无xy项，则系数=0）。注意合并同类项后再判断，防止被表面项数误导。 【变式7-1】若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 【答案】3或5或1 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的定义．分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， 当时，，此时或6，则， ∴， ∴或1； 当，，此时，则， ∴， ∴； 故答案为：3或5或1． 【变式7-2】若多项式是关于a，b的五次二项式，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数，正确掌握多项式的定义是解题的关键．根据五次二项式的定义得到，且，计算求解，即可解题． 【详解】解：多项式是关于a，b的五次二项式， ，且， 解得， 当时，或， 此时或， 故答案为：或． 题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【例15】将整式按x降幂排列为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答． 【详解】解：按x降幂排列：． 故答案为：． 【例16】将多项式按x的降幂排列的结果为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，弄清多项式各项的次数是解题的关键．先确定各项中x的次数，再按从高到低的顺序排列即可． 【详解】解：将多项式按x的降幂排列的结果为． 故答案为：． 【技巧归纳】 选定字母，按该字母指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）排列。常数项视为指数0。每项保持符号，移项时注意正负号也跟它一起移动。合并同类项后可简化。如x²-2x+1按x降幂仍是原式。 【变式8-1】把多项式按x的降幂排列: ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式按某一字母的排列－降幂或升幂排列；把多项式中的项按x指数从高到低进行排列即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式8-2】把按降幂排列 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式按某字母升（或降）幂排列，熟练掌握升（或降）幂排列定义是解题的关键． 根据y的次数从大到小排列即可． 【详解】解：把多项式按y的降幂排列为： ． 故答案为：． 题型9 整式的判断 【例17】已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【答案】5 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：① ；②；④；⑤；⑥．是整式，共有5个， 故答案为：5． 【例18】在式子①，②，③，④⑤，⑥，⑦0中，整式有 个． 【答案】5 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查整式的概念：单项式和多项式统称为整式．根据整式的概念求解可得． 【详解】解：所列代数式中整式有①，②，③，⑥，⑦0，共5个， 故答案为：5． 【技巧归纳】 整式：单项式与多项式的统称，分母中不含字母。判断标准：式子由数、字母通过乘除（除数可为字母？注意：分母含字母则不是整式）和加减运算组成，不含除法分母字母。 【变式9-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有 个． 【答案】 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称为整式，据此即可判断求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中整式有①，④，⑤，共个， 故答案为：． 【变式9-2】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 【答案】 3 ② 4 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的判断 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 题型10 单项式、多项式、整式的分类 【例19】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【答案】①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、整式的判断 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式，据此求解即可． 【详解】解：单项式：（①②⑦⑨）； 多项式：（③④⑤⑧）； 整式：（①②③④⑤⑦⑧⑨）． 故答案为：①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨． 【例20】请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 【答案】①②③⑤⑦ ①②⑦ ③⑤ 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式和多项式的判定，单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，再逐一判断即可； 【详解】解：整式集合：{①，②，③，⑤，⑦ …}； 单项式集合：{①，②，⑦  …}； 多项式集合：{③，⑤   …} 【技巧归纳】 整式包含单项式和多项式。单项式：无加减号；多项式：有加减号。判断时先看分母有无字母，无则是整式。再按有无加减号区分单项式/多项式。常数也是单项式。含根号字母的式子一般不是整式。 【变式10-1】把下列各式分别填在相应的大括号里： 4，，，，，，， 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …} 【答案】见解析 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 【详解】解：单项式：4，； 多项式：，，，； 整式：4，，，，，． 【变式10-2】把下列代数式分别填在相应的大括号内： ，，，，，，． 单项式：{                   …}； 多项式：{                   …}； 二次二项式：{                   …}； 整式：{                   …}． 【答案】见解析 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了整式，根据单项式，多项式，整式的定义解答即可. 【详解】单项式：； 多项式：； 二次三项式：； 整式：. 一、单选题 1．在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 2．一个单项式的系数是2，次数是3，则下列符合条件的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义，需根据定义分析各选项，判断系数是否为2、次数是否为3即可． 【详解】解：∵单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母的指数和． ∴对各选项分析如下： A选项：系数为，次数为3，不符合系数为2的要求，不符合题意． B选项：系数为2，次数为2，不符合次数为3的要求，不符合题意． C选项：系数为2，次数为3，符合题意． D选项：系数为，次数为2，均不符合要求，不符合题意． 故选：C． 3．下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式系数为单项式的数字因数，单项式次数为所有字母的指数和，注意是常数不是字母，多项式的次数为最高次项的次数，项数为单项式的个数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，不是，结论错误； B、单项式中字母的指数是，的指数是，总次数为，不是，结论错误； C、单项式的系数是，不是没有系数，结论错误； D、多项式 有、、共三项，最高次项的次数是，是二次三项式，结论正确． 4．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3个非零项，据此列条件计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 5．观察下列单项式：，，，，，…，则第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从单项式的符号、系数绝对值、字母的次数三个部分寻找规律，整合得到第个单项式的表达式． 【详解】解：我们分三部分找规律： 符号部分：由奇数项为负、偶数项为正，可得符号规律为； 系数绝对值部分：取系数的绝对值，为，可得规律为； 字母次数部分：字母部分是，可得规律为； 综上所述，第个单项式为． 二、填空题 6．单项式的系数是_______． 【答案】6 【详解】解：单项式的数字因数为，即系数是． 7．把多项式按字母的降幂排列是__________． 【答案】 【分析】根据降幂排列的定义，只需找出多项式的各项，按字母的指数从大到小的顺序排列即可． 【详解】解：把多项式按字母的降幂排列是． 8．；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 【答案】 4 3 【分析】由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】解：其中单项式有，，，0，共4个； 多项式有，，，共3个． 9．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为，再求解最高次项的次数得到参数的值． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得， 由得， 将代入 得， 即或， 解得或， 当，时，， 当，时，． 10．我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为__________． 【答案】248 【分析】本题考查数学常识．据此解答即可． 【详解】解：根据“天元式”规定的意义，图2表示的多项式是：， ∴一次项系数为248， 故答案为：248． 三、解答题 11．请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 【答案】见详解 【分析】本题考查整式的分类，需要识别每个整式是单项式还是多项式，区分单项式和多项式．单项式是由数字与字母的积组成的代数式，单独一个数字或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和．对于单项式，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 对于多项式，次数是最高次项的次数，项数是组成多项式的单项式的个数，常数项是不含字母的项，对此一一区分并填写即可． 【详解】解：表格填写如下： 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 1 1 2 1 5 2 2 3 0 3 2 2 0 0 2 3 12．将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的升降幂排列： （1）按a的升幂排列，即按照的指数依次增大，进行排列即可； （2）按b的降幂排列，即按照的指数依次减少，进行排列即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 13．已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 14．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1)见解析 (2)二 (3)4， 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【详解】（1）解：根据多项式以及单项式定义可得： （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 15．把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：__________； 多项式：__________； 二次三项式：__________； 整式：__________； 【答案】单项式： 多项式： 二次三项式： 整式： 【分析】本题主要考查了单项式，多项式和整式的识别，解题的关键是掌握以上定义． 根据单项式，多项式和整式的定义进行判断即可． 【详解】解：∵①7为单项式，②为单项式，③为多项式，且为一次二项式，④为多项式，且为三次二项式，⑤为多项式，且为二次二项式，⑥不是整式，⑦为单项式，⑧为多项式，且为二次三项式，⑨为单项式； 单项式和多项式统称为整式； ∴单项式：， 多项式：， 二次三项式： 整式：． 16．观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $