精品解析：黑龙江哈尔滨新区第二学校2025-2026学年八年级(下)数学期中质量监测

八年级（下）数学质量监测 考生须知： 1．本试卷数学试卷．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请考生将正确答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 由下列线段a，b，c可以组成直角三角形的是( )． A. a=1，b=2，c=3 B. a=b=1，c= C. a=4，b=5，c=6 D. a=2，b=2，c=4 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 的三边中点为，且的周长为 ，则 的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件中，能判定四边形 是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 对角互补的平行四边形是矩形 B. 有两边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的菱形是正方形 9. 如图，在四边形 中，点R，P分别是上的点，点E，F分别是 ，的中点，当点P在 上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长与点P的位置有关 10. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A. 12秒 B. 16秒 C. 20秒 D. 30秒． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 12. 若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 13. 如图，一棵高为8米的大树离地面3米处折断，则树顶部落在距离树底部_______米处. 14. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 15. 对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 16. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是___________ °． 17. 如图，四边形 是菱形，，，于 ，则_____． 18. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 19. 在矩形 中，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且则AP的长是______． 20. 如图，在，对角线交于点平分交 于点E，交 于点M，连接．点P在 上，连接．下列四个结论： ；② 为等边三角形； ；④当 时，的最小值为6．其中一定正确的结论是_______． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 先化简再求值：，其中． 23. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，请在图中按下列要求画出格点图形（即图形的每个顶点在小正方形的顶点处）． （1）画出一个以 为一边的 ，点E在小正方形的顶点上，且． （2）画出以 为一边的菱形，且菱形的面积为6，连接 ，请直接写出线段 的长． 24. 定义：有一组对边平行，并且有两条邻边相等的四边形叫作平等四边形． （1）如图1，在四边形 中， ，对角线 平分 ，，求证：四边形 是平等四边形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个正方形的顶点叫格点，点E、F均在格点上，若点G、H都在格点上，且四边形 为平等四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 25. 哈市某小区为了改善小区环境，准备购买A、B两种花卉苗美化小区，经市场调查发现每株A种花卉苗比每株B种花卉苗多4元，若用1000元购买A种花卉苗的数量与用800元购买的B种花卉苗的数量相同． （1）求A、B两种花卉苗每株多少元？ （2）该小区准备购买A、B两种花卉苗共500株，总费用不超过8800元，则最多购进A种花卉苗多少株？ 26. 学习了正方形之后，丽丽同学进行了如下探究：已知 为正方形，在 边上取点E，在 边上取点F，连接交于点P． （1）初步探究：如图1，当时，她通过测量得出两个结论①；②．请证明：； （2）大胆尝试：如图2，在（1）的条件下，连接对角线 与 相交于点O， 交 于点G， 交 于点H，她猜想；请证明她的猜想； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，过点A作交 的延长线于点M，连接交 于点N，若，求 的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形是矩形， 边在 轴上， 边在轴上，，点 在轴的正半轴上， ． （1）求点 坐标； （2）动点 从点 出发，沿折线方向以个单位／秒的速度向终点匀速运动，设的面积为 ，点 运动时间为 秒，用含 的代数式表示 ； （3）在（2）的条件下，当点 在 边上时，是否存在一点 ，使为等腰三角形，若存在，请求出所有满足条件点 的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（下）数学质量监测 考生须知： 1．本试卷数学试卷．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请考生将正确答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件的即为最简二次根式． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B．的被开方数30不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件； C．，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； D．，被开方数含分母，化简后为，不是最简二次根式． 2. 由下列线段a，b，c可以组成直角三角形的是( )． A. a=1，b=2，c=3 B. a=b=1，c= C. a=4，b=5，c=6 D. a=2，b=2，c=4 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系,就是直角三角形,没有这种关系,就不是直角三角形． 【详解】A.因为1+2≠3,故不能围成直角三角形,此选项错误， B.因为1+1≠() ,故不能围成直角三角形止此选项错误， C.因为4+5≠6,故不能围成直角三角形,此选项错误， D.因为2+(2) =4,能围成直角三角形,此选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，掌握运算法则是解题关键 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，关键掌握邻角互补的关系．根据平行四边形的邻角互补求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，与是邻角， ∴ ， ∵， ∴， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的加法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据完全平方公式对C进行判断；根据平方差公式对D进行判断． 【详解】解：A：，选项运算错误； B：，选项运算正确； C：，选项运算错误； D：，选项运算错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式和平方差公式，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径是解题的关键． 5. 的三边中点为，且的周长为 ，则 的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位线定理得到，，即可解答． 【详解】解：∵ 的三边中点为， ∴，，， ∵的周长为 ， ∴的周长为， ∴， ∴ 的周长为， 故选． 【点睛】本题考查了中位线定理，三角形的周长，掌握中位线定理是解题的关键． 6. 《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并能求出箭在投壶内部的最大长度是解题的关键．先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度． 【详解】解：如图， ∵投壶内部底面直径，内壁高， ∴箭在投壶内部的最大长度 ∵箭总长为， ∴箭在投壶外面部分的最小长度为：， 箭在投壶外面部分的最大长度为：， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能为． 故选：． 7. 下列条件中，能判定四边形 是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A.满足 ，，有可能是等腰梯形，四边形 不一定是平行四边形，故选项A不符合题意； B.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，选项正确，符合题意； C.由，，不能判定四边形 是平行四边形，故选项C不符合题意； D.由 ，，不能四边形 是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 8. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 对角互补的平行四边形是矩形 B. 有两边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定定理判断． 【详解】解：A、对角互补的平行四边形是矩形，说法正确，不符合题意； B、邻边相等的平行四边形是菱形，本说法错误，符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题与定理，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的判定定理以及正方形的判定定理是解题的关键． 9. 如图，在四边形 中，点R，P分别是上的点，点E，F分别是 ，的中点，当点P在 上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段 的长逐渐增大 B. 线段 的长逐渐减小 C. 线段 的长不变 D. 线段 的长与点P的位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∵点R不动， ∴大小不变， ∴线段 的长不变， 故选：C． 10. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A. 12秒 B. 16秒 C. 20秒 D. 30秒． 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵∠QON=30°，OA=240米， ∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是：320÷20=16秒． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由二次根式的定义，在实数范围内，被开方数必须非负，即， 解得. 故答案为：． 12. 若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质与勾股定理求解斜边长． 【详解】解：设该等腰直角三角形的斜边长为 ， 根据勾股定理，可得， 整理得， 因为三角形的边长为正数， 因此． 即它的斜边长为． 13. 如图，一棵高为8米的大树离地面3米处折断，则树顶部落在距离树底部_______米处. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意得出AB及AC的长,再由勾股定理即可得出结论． 【详解】大树高8米,在离地面3米处折断， AB=3米，AC=8-3=5(米)， BC=， 故答案为4． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，难度不大． 14. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】n边形的内角和为 ，多边形的外角和为． 【详解】解：设这个多边形的边数为 ， 由题意得： ， 解得 即这个多边形是六边形． 15. 对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先依据新运算公式计算出括号内※的结果，再将该结果作为新的 值，与一同代入新运算公式，最后得到最终化简结果． 【详解】解：． 16. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是___________ °． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接 ，可得 是等边三角形，由菱形可得 平分，继而可得． 【详解】解：连接 ，由题意得， ∵菱形的边长， ∴， 平分， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：120． 17. 如图，四边形 是菱形，，，于 ，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形 是菱形，，，可求得此菱形的面积与 的长，求得答案． 【详解】解：设 与 交于， ∵四边形 是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 18. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△的面积即可得到结论． 【详解】解：，，， ． ； ； ； △的面积． ∴的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 19. 在矩形 中，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且则AP的长是______． 【答案】3或． 【解析】 【分析】根据题意画出图形，如图所示，利用线段垂直平分线定理得到可得出设则有在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到AM与DM的长，根据得到此时P与M重合，AP的长即为AM的长；当P与N重合时，在直角三角形中，由AB与BN的长，利用勾股定理求出AN的长即为AP的长． 【详解】解：连接矩形 对角线BD，做出BD的垂直平分线MN，交AD、BC分别于M，N点，连接BM，DN，AN， 在中，设 根据勾股定理得： 解得： 当P与M重合时，此时 连接AN，当P与N重合时，由对称性得到 在中， 根据勾股定理得： 此时． 故答案为：3或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，线段垂直平分线定理，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键． 20. 如图，在，对角线交于点平分交 于点E，交 于点M，连接 ．点P在 上，连接．下列四个结论： ；② 为等边三角形； ；④当 时，的最小值为6．其中一定正确的结论是_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由平行四边形性质可得， ，，，可得 是中位线，根据中位线性质可判断 ；根据等边三角形的判定可判断 ；根据 是等边三角形，然后得出，即，可判断；作点 关于 的对称轴 ，连接 交 于点 ，连接 ，连接 交 于点 ，当三点共线时最小，即的最小值为 的长，然后通过勾股定理，两点之间线段最短可判断． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ，，， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴ 是中位线， ∴，， ∴，故 正确， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形，故 正确； ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∴，， ∴，故正确； 如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ， ，则 交 于点 ， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时最小，即的最小值为 的长， 如图，连接 ，则有， ∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵为 中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为 ，故正确； 综上：正确的有①②③④． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 22. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根式的性质及化简，解题的关键是掌握相应的运算法则，先对括号里面的进行通分及化简，再将除法运算转化成乘法运算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 23. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，请在图中按下列要求画出格点图形（即图形的每个顶点在小正方形的顶点处）． （1）画出一个以 为一边的 ，点E在小正方形的顶点上，且． （2）画出以 为一边的菱形，且菱形的面积为6，连接 ，请直接写出线段 的长． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析， 【解析】 【分析】（1）如解析图，取格点E，连接，证明 是等腰直角三角形即可得到答案； （2）如图所示，取格点F、G，利用勾股定理得到，即可证明四边形是菱形，再由，可得菱形的面积为6，由此利用勾股定理求出 的长即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 即为所求； ∵，， ∴， ∴ 是直角三角形，即 ， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求； ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，菱形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 24. 定义：有一组对边平行，并且有两条邻边相等的四边形叫作平等四边形． （1）如图1，在四边形 中， ，对角线 平分 ，，求证：四边形 是平等四边形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个正方形的顶点叫格点，点E、F均在格点上，若点G、H都在格点上，且四边形 为平等四边形，请直接写出所有满足要求的线段 的长． 【答案】（1）见解析 （2）2或或或或4 【解析】 【分析】（1）设，，则，，根据三角形内角和定理求出，，根据角的和差关系求出，可得，证明，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，最后根据平等四边形的定义即可得证； （2）分，两种情况讨论，根据网格的特征，勾股定理等知识求解即可． 【小问1详解】 证明：设，，则， ∵ 平分 ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形 是平等四边形； 【小问2详解】 解：当时，如图， 此时， ∴四边形 为平等四边形， 此时； 或如图， 此时， ∴四边形 为平等四边形， 此时； 或如图， 此时， ∴四边形 为平等四边形， 此时； 或如图， 此时， ∴四边形 为平等四边形， 此时； 当时，如图， 此时， ∴四边形 为平等四边形； 综上，线段 的长为2或或或或4． 25. 哈市某小区为了改善小区环境，准备购买A、B两种花卉苗美化小区，经市场调查发现每株A种花卉苗比每株B种花卉苗多4元，若用1000元购买A种花卉苗的数量与用800元购买的B种花卉苗的数量相同． （1）求A、B两种花卉苗每株多少元？ （2）该小区准备购买A、B两种花卉苗共500株，总费用不超过8800元，则最多购进A种花卉苗多少株？ 【答案】（1）A种花卉每株20元，B种花卉每株16元 （2）最多购进A种花卉苗200株 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式； （1）设 种花卉苗每株 元，则 种花卉苗每株元，根据用1000元购买 种花卉苗的数量与用800元购买的 种花卉苗的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进 种花卉苗 株，则购进 种花卉苗株，根据总费用不超过8800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A种花卉每株x元，根据题意得 解得，经检验是原方程的解， 答：A种花卉每株20元，B种花卉每株16元． 【小问2详解】 解：设购进A种花卉m株， 根据题意得 解得， 的最大值为200． 答：最多购进A种花卉苗200株． 26. 学习了正方形之后，丽丽同学进行了如下探究：已知 为正方形，在 边上取点E，在 边上取点F，连接交于点P． （1）初步探究：如图1，当时，她通过测量得出两个结论①；②．请证明：； （2）大胆尝试：如图2，在（1）的条件下，连接对角线 与 相交于点O， 交 于点G， 交 于点H，她猜想；请证明她的猜想； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，过点A作交 的延长线于点M，连接交 于点N，若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1) 先证明，得出, 则可得出结论； (2) 先证明 (ASA), 得出，则可得出结论； (3) 过点 作交 于点 ,连接,证明 (ASA), 得出, 进而由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 解：为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：为正方形， ，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：过点E作交 于点Q，连接， ，， 为平行四边形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 为平行四边形， ， ， ， ， ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形 是矩形， 边在 轴上， 边在 轴上，，点 在 轴的正半轴上， ． （1）求点 坐标； （2）动点 从点 出发，沿折线方向以个单位／秒的速度向终点 匀速运动，设的面积为 ，点 运动时间为 秒，用含 的代数式表示 ； （3）在（2）的条件下，当点 在 边上时，是否存在一点 ，使为等腰三角形，若存在，请求出所有满足条件点 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点 的坐标为，或 【解析】 【分析】（1）设，则有，在中，根据勾股定理求出x，即可求解； （2）分两种情况考虑：M在 上运动时，过D作于点E，连接，利用勾股定理求出 ， 的长；M在 上运动时，过D作于点E，连接，分别表示出面积S与t的关系式即可； （3）分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求出点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形，， ∴，， 设，则有， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：分以下两种情况讨论： M在 上运动时，过D作于点E，连接，如图1所示， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴E为 的中点，即， ∴， ∵， ∴， 当时，； 过D作于点E，连接，如图2所示， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， 当时，； 综上，； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 分以下三种情况讨论： 当时，则； 当时，点E为 的中点， ∵， ∴， ∴； 当时，设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴点 的坐标为，或． 【点睛】此题为四边形综合题，涉及的知识有：一次函数与几何综合，矩形的性质与判定，勾股定理，二次根式的应用，等腰三角形的定义，利用数形结合及分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $