精品解析：　广东省广州市黄埔区广州石化中学2025-2026学年 九年级数学二模试卷

2025-2026学年第二学期九年级综合练习 数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义．根据无理数的定义即可判断选项． 【详解】解：A、，不是无理数，故本选项不符合题意； B、3.14不是无理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 如图所示的立体图形的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从前向后看，即可解题． 【详解】解：此立体图形从正面看所得到的图形为矩形，里面有一条竖线且为实线，故选A． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂乘除法，积的乘方法则，平方差公式逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算错误； D、，故本选项运算正确． 4. 某校篮球队有9名队员，他们的身高（单位：cm）数据如下：172，170，172，176，174，176，176，180，190这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 174，175 B. 175，176 C. 176，176 D. 176，177 【答案】C 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后，数据个数为奇数时取最中间的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，根据定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：170，172， 172，174，176， 176，176，180，190 ∵这组数据共9个，为奇数个，中位数是排序后第 个数， ∴中位数为176； ∵176在这组数据中出现次数最多，共出现 次， ∴众数为176． 5. 如图，在中，若 ， ，，则 的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于点 ，容易计算得，由含角的直角三角形的性质可得，，利用勾股定理求得，容易判断是等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出 即可． 【详解】解：如图，作于点 ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，． 6. 中国古代有“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设原计划每日行 ，根据时间路程 速度，结合实际比原计划提前1日到达的等量关系，列出分式方程即可． 【详解】解：设运输这批公粮原计划每日行 ，则实际每日行 ， 可得原计划所需天数为，实际所需天数为， ∵实际比原计划提前1日到达，即原计划天数比实际天数多 ， ∴． 7. 下列函数中，自变量 的取值范围是的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量所在位置的限制规则求解：分母不为 ，二次根式的被开方数非负，整式的自变量可取全体实数，依次计算各选项的自变量取值范围即可得到结果． 【详解】解：选项：， ∵分母不能为 ， ∴，解得，故选项不符合题意； 选项：， ∵分母不为 且二次根式的被开方数非负， ∴，解得，故选项不符合题意； 选项：是整式， ∵整式的自变量可取全体实数， ∴ 的取值范围是全体实数，故选项不符合题意； 选项：， ∵二次根式的被开方数非负， ∴，解得，故选项符合题意． 8. 两条直线与，在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质，先确定一条直线所在图象中的位置，判断a、b的正负，进而判断另一条直线的位置，若一致，则正确；若不一致，则错误，逐个判断即可． 【详解】解：A、若直线过第一、三、四象限，则，，这时直线过第一、三、四象限，故选项A中图象不符合题意； B、若直线过第一、二、三象限，则，，这时直线过第二、三、四象限，故选项B中图象符合题意； C、若直线过第一、二、三象限，则，，这时直线过第二、三、四象限，故选项C中图象不符合题意； D、若直线过第一、二、四象限，则，，这时直线过第一、二、四象限，故选项D中图象不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握它的性质并灵活解题是解答的关键． 9. 已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥的母线长为R，由题意得65π=π×5×R， 解得R=13． ∴圆锥的高为12， ∴sinθ=． 故选B 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（﹣1，﹣1），C在x轴正半轴上，A在第二象限双曲线y＝﹣上，过D作DE∥x轴交双曲线于E，连接CE，则△CDE的面积为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线，构建全等三角形：过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，证明△AHD≌△DMC≌△BGA，设A(x，﹣)，结合点B 的坐标表示：BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x，由HQ＝CM，列方程，可得x的值，进而根据三角形面积公式可得结论． 【详解】过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M， 设A(x，﹣)， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴∠BAG=∠ADH=∠DCM， ∴△AHD≌△DMC≌△BGA（AAS）， ∴BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x， ∴AG＝CM＝DH＝1﹣， ∵AH+AQ＝CM， ∴1﹣＝﹣﹣1﹣x， 解得：x＝﹣2， ∴A(﹣2，2)，CM＝AG＝DH＝1﹣＝3， ∵BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x＝1， ∴点E的纵坐标为3， 把y＝3代入y＝﹣得：x＝﹣， ∴E(﹣，3)， ∴EH＝2﹣＝， ∴DE＝DH﹣HE＝3﹣＝， ∴S△CDE＝DE•CM＝××3＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象和性质与几何图形的综合，掌握“一线三垂直”模型是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，在中， ，平分交 于点E，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，由角平分线的定义可得的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵ ， ∴， 故答案为：． 13. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先求出对称轴，再根据抛物线的对称性得出点的对称点，然后根据抛物线的开口方向和性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是， ∴点的对称点的坐标是． ∵抛物线开口向上，当时， 随着 的增大而增大，且， ∴． 14. 如图，是 的两条弦，过点C的切线与 的延长线交于点D，则的度数是_________． 【答案】 ## 度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理，根据切线的性质得到 ，再由圆周角定理得到，由此可由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ 是切线， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 对于任意四个有理数可以组成两个有理数对与．我们规定： ．例如： ．当满足等式时， 的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题干中新定义的规则列式计算解答即可. 【详解】根据题意可知： 所以 所以 所以 所以 故答案为9. 【点睛】本题考查的是新定义运算，只要考查的是理解能力与一元一次方程解答能力，能够读懂题意是解题的关键. 16. 如图，在矩形 中，，， ，分别是 ， 上的动点，且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，用分别表示出、的长度，再根据勾股定理写出的表达式，将目标式转化为关于的函数。待求式为： ．对根号内展开化简： ​ 令（配方换元），代入整理后可得： ．​​ 设，两边平方整理为关于的一元二次方程，由判别式得的最小值为​​，即可得到结论． 【详解】解：设， ∵矩形中，， ∴． 由勾股定理得：  又​， ∴， ∴待求式为： ．  对根号内展开化简： ​ ． 令， 代入整理后可得： ​​ ． 设（）， 则， 两边平方整理为关于的一元二次方程， ， ， ， ∵， ∴的最小值为​​． ∴​， 且此时，在范围内，符合要求． 验证：代入， 得，， 和为， 结果正确． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：x2－2x－3＝0 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， 故方程的解为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键． 18. 如图，已知点A、D、C、E在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，， ， ， ． 【解析】 【分析】先证明，得到对应角相等，从而证明两直线平行即可． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，从－2，0，2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】 ，当 ，原式 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后结合分式有意义的条件确定 ，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义 ∴， ∴且且， ∴当 ，原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟知相关知识是解题的关键． 20. 某市教育综合实践基地开设有 ：巧手木艺； ：创意缝纫； ：快乐种植； ：美味烹饪； ：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 【答案】（1）15； （2）120名 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和统计表以及熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而可求出a、b的值，再用360度乘以“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （2）用480乘以样本中八年级最喜欢两门课程的学生人数占比即可得到答案； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中两门课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解；（名）， ∴本次一共调查了60名学生， ∴； ∴， ∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是； 故答案为：15；； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名； 【小问3详解】 解：根据题意列表如下； 由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种， ∴恰好选中两门课程的概率为． 21. 为应对“电商”大促、提升快递分拣效率，某快递公司引入智能分拣机器人，已知一台机器人比一名人工分拣员每小时多分拣件包裹，已知一台机器人分拣件包裹所用的时间，与 名人工分拣员共同分拣件包裹所用的时间相等． （1）求一台分拣机器人、一名人工分拣员每小时分别分拣多少件包裹？ （2）现“电商”期间，需要紧急分拣件包裹，已有 台分拣机器人投入工作，问至少还需要安排多少名人工分拣员，才能保证在 小时内完成所有包裹分拣任务？ 【答案】（1）一台分拣机器人每小时分拣件包裹，一名人工分拣员每小时分拣件包裹 （2）至少还需要安排 名人工分拣员 【解析】 【分析】（1）设一名人工分拣员每小时分拣 件包裹，则一台机器人每小时分拣件包裹，根据一台机器人分拣件包裹所用的时间与 名人工分拣员共同分拣件包裹所用的时间相等列分式方程并解方程即可得到答案． （2）设还需要安排 名人工分拣员，根据需要至少在 小时内完成件包裹分拣列一元一次不等式，解不等式后取 的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设一名人工分拣员每小时分拣 件包裹，则一台机器人每小时分拣件包裹， 根据题意可列方程：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一台分拣机器人每小时分拣件包裹，一名人工分拣员每小时分拣件包裹； 【小问2详解】 解：设还需要安排 名人工分拣员， 根据题意可列不等式：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为 ， 答：至少还需要安排 名人工分拣员． 22. 如图，已知四边形 是矩形．延长 至E使．连接分别交 ， 于点G，F，且． （1）过点C作，交 的延长线于点M．求证：四边形是平行四边形； （2）连结，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质： （1）由题意知，再由垂直证明即可求证； （2）过点A作交 于点N，先证明得出，，即可解答． 【小问1详解】 证明：如图， ∵四边形 是矩形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：过点A作交 于点N， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，中，，． （1）动手操作：利用尺规作以 为直径的 ，并标出 与 的交点D，与 的交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的图中， ①求证：；②求点D到 的距离． 【答案】（1）作图见解析； （2）①证明见解析；②． 【解析】 【分析】（1）先作出 的中垂线，其与 的交点即为圆心O，再以O为圆心，以 的长画圆分别交 于D，交 于E即可； （2）①连接是 的中垂线，得到，得出即可证明；②先解直角三角形求出，则，利用圆内接四边形的性质证明，进而证明，利用相似三角形的性质求出 ，再利用余弦求出，用勾股定理求出． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：①如图所示，连接， ∵ 为 的直径， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴； ②如图所示，连接，作于点M， ∵ 为 的直径， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点A、D、E、C共圆， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，三线合一定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线根据直径所对的圆周角是直角得到是解题的关键． 24. 综合探究与应用 问题提出： （1）如图1，菱形 内有一动点 ，且．若，，则线段 长度的最小值为 ． 问题探究： （2）如图2，五边形中，， ， ， ，，点 在边 上，且．问：在边上是否存在一点 ，使最小，且平分五边形周长？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 问题解决： （3）在某块平地上有一条长100米的笔直小道，王先生计划以该小道为对角线开垦一块多边形试验田．根据实际情况，他首先在纸上画出这块试验田的设计图．如图3，是王先生画出的设计图的一部分，其中线段 表示长为100米的小道．他的设计步骤如下： ①在平面上取一点P，使； ②过点P作线段 ， ， ， 三点在直线 的同侧，且，， ； ③在 下方作射线，使 平分，过 作于点，连接． 王先生设计的试验田即为五边形．他计划沿修一条灌溉水渠，使水渠两旁的试验田面积相等．请补画第③步，并探究根据王先生的设计，是否存在符合要求的水渠？若存在，请求出此时该试验田的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）在边上存在一点 ，使最小，且平分五边形的周长，； （3）补画第③步如下， 根据王先生的设计，存在符合要求的水渠，此时该试验田的面积为平方米． 【解析】 【分析】（1）连接 ，作于点 ，连接，由菱形的性质，可得为等边三角形，可得 ，由直角三角形的性质，可得，点 在以 为半径的 上，当点 为 与的交点时，线段 的长度最小，解直角三角形，可得，即可得线段 长度的最小值； （2）延长、 ，交于点 ，在延长线上截取，连接、、，连接，交于点 ，四边形是矩形，由矩形的性质，结合勾股定理，可得 ，可得，、为等腰直角三角形，可得，可得，平分五边形的周长，由线段垂直平分线的性质，可得，可得，当点 与点 重合时，最小，且平分五边形的周长，即可求解； （3）根据题意补画第③步，由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，分别作 、的垂直平分线，交于点 ，以点 为圆心， 为半径作 ，交射线 于点，连接连接 、 、，则，点 、 、 在以 为半径的 上，由圆内接四边形对角互补，结合圆周角定理，可得 ，点 与点重合，解直角三角形，可得米，作于点 ，作于点 ，四边形是矩形，，证明，，可得，可得，，四边形是正方形，解直角三角形，可得米，即可求解． 【小问1详解】 解：连接 ，作于点 ，连接，则， ∵四边形 是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 在以 为半径的 上， ∴当点 为 与的交点时，线段 的长度最小， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段 长度的最小值为． 【小问2详解】 解：延长、 ，交于点 ，在延长线上截取，连接、、，连接，交于点 ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵ ， ， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，, ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴平分五边形的周长， ∵，， ∴， ∴， ∴当点 与点 重合时，最小， ∴当点 与点 重合时，最小，且平分五边形的周长， ∴在边上存在一点 ，使最小，且平分五边形的周长，． 【小问3详解】 解：补画第③步略， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵于点， ∴， ∴， 分别作 、的垂直平分线，交于点 ，以点 为圆心， 为半径作 ，交射线 于点，连接连接 、 、，则， ∴点 、 、 在以 为半径的 上， ∵， ∴， ∴， ∴于点 ， ∵ ， ∴， ∴， ∴点 在射线上， 又∵于点，于点 ， ∴点 与点重合， ∴（米）， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 作于点 ，作于点 ，则， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据题意可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴（米）， ∴米， ∴ 平方米， ∴根据王先生的设计，存在符合要求的水渠，此时该试验田的面积为平方米． 25. 已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值； （2）求a的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数． 【答案】（1）c=1；（2）a≠1且a＞0；（3）见解析，1 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入二次函数解析式中即可求得c的值； （2）把点A的坐标代入函数解析式中得到用a的代数式表示b，再由已知得到一元二次方程的判别式为正，即可求得a的取值范围； （3）设A（m，0），B（n，0），由根与系数的关系可求得AB的长，易得CD的长；过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，由三角形相似的判定与性质可分别求得PM、PN的长，从而可分别求得S1－S2的值为定值． 【详解】（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c， 解得：c=1， 答：c的值是1． （2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1， ∴b=﹣1﹣a， ax2+bx+1=0， b2﹣4ac=（﹣1﹣a）2﹣4a=a2﹣2a+1＞0， ∴a≠1且a＞0， 答：a的取值范围是a≠1且a＞0； （3）证明：∵0＜a＜1， ∴B在A的右边， 设A（m，0），B（n，0）， ∵ax2+（﹣1﹣a）x+1=0， 由根与系数的关系得：m+n=，， ∴AB=n﹣m=， 把y=1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1=1， 解得：x1=0，x2=， ∴CD=， 过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，则MN⊥x轴， ∵CD∥AB， ∴△CPD∽△BPA， ∴， ∴， ∴PN=，PM=， ∴S1﹣S2=－， 即不论a为何值，S1﹣S2的值都是常数． 答：这个常数是1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级综合练习 数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 如图所示的立体图形的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校篮球队有9名队员，他们的身高（单位：cm）数据如下：172，170，172，176，174，176，176，180，190这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 174，175 B. 175，176 C. 176，176 D. 176，177 5. 如图，在中，若 ， ，，则 的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代有“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，自变量 的取值范围是的是（ ）． A. B. C. D. 8. 两条直线与，在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（﹣1，﹣1），C在x轴正半轴上，A在第二象限双曲线y＝﹣上，过D作DE∥x轴交双曲线于E，连接CE，则△CDE的面积为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 因式分解：_________． 12. 如图，在中， ，平分交 于点E，若，则的度数为_____． 13. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 14. 如图，是 的两条弦，过点C的切线与 的延长线交于点D，则的度数是_________． 15. 对于任意四个有理数可以组成两个有理数对与．我们规定： ．例如： ．当满足等式时， 的值为________． 16. 如图，在矩形 中，，，，分别是 ，上的动点，且，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：x2－2x－3＝0 18. 如图，已知点A、D、C、E在同一直线上，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，从－2，0，2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫； ：快乐种植； ：美味烹饪； ：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 21. 为应对“电商”大促、提升快递分拣效率，某快递公司引入智能分拣机器人，已知一台机器人比一名人工分拣员每小时多分拣件包裹，已知一台机器人分拣件包裹所用的时间，与 名人工分拣员共同分拣件包裹所用的时间相等． （1）求一台分拣机器人、一名人工分拣员每小时分别分拣多少件包裹？ （2）现“电商”期间，需要紧急分拣件包裹，已有台分拣机器人投入工作，问至少还需要安排多少名人工分拣员，才能保证在 小时内完成所有包裹分拣任务？ 22. 如图，已知四边形 是矩形．延长 至E使．连接分别交 ，于点G，F，且． （1）过点C作，交 的延长线于点M．求证：四边形是平行四边形； （2）连结，求证：． 23. 如图，中，，． （1）动手操作：利用尺规作以 为直径的 ，并标出 与 的交点D，与的交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的图中， ①求证：；②求点D到的距离． 24. 综合探究与应用 问题提出： （1）如图1，菱形 内有一动点，且．若，，则线段 长度的最小值为 ． 问题探究： （2）如图2，五边形中，， ， ， ，，点 在边上，且．问：在边上是否存在一点 ，使最小，且平分五边形周长？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 问题解决： （3）在某块平地上有一条长100米的笔直小道，王先生计划以该小道为对角线开垦一块多边形试验田．根据实际情况，他首先在纸上画出这块试验田的设计图．如图3，是王先生画出的设计图的一部分，其中线段 表示长为100米的小道．他的设计步骤如下： ①在平面上取一点P，使； ②过点P作线段 ， ，， 三点在直线 的同侧，且，， ； ③在 下方作射线，使 平分，过作于点，连接． 王先生设计的试验田即为五边形．他计划沿修一条灌溉水渠，使水渠两旁的试验田面积相等．请补画第③步，并探究根据王先生的设计，是否存在符合要求的水渠？若存在，请求出此时该试验田的面积；若不存在，请说明理由． 25. 已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值； （2）求a的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $