2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性（十年高考）（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习十年真题分类题组

**基本信息** 精选2012-2025年高考真题，聚焦函数奇偶性、周期性和对称性核心考点，基础题与综合题梯度分布，适配一轮复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|7题35分|奇偶性判断（2023新课标Ⅱ第4题）、周期性应用（2025全国一卷第5题）|结合定义与特值法，基础巩固| |多选|3题17分|奇偶性与单调性综合（2025全国二卷第10题）、对称性与导数（2022新高考Ⅰ第12题）|多考点融合，能力提升| |填空|6题30分|参数求解（2023全国甲理第13题）、周期求值（2016四川第14题）|真题情境，注重应用|

2.3函数的奇偶性、周期性和对称性 考点1 函数的奇偶性 1.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln为偶函数,则a= (　　) A.-1　　B.0　　C.　　D.1 答案　B　解法一:∵f(x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),又f(1)=(a+1)ln =-(a+1)ln 3, f(-1)=(a-1)ln 3,∴-(a+1)=a-1,∴a=0. 解法二:f(-x)=(-x+a)ln =(-x+a)ln =(x-a)ln ,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),∴x+a=x-a,即a=0. 2.(2023全国乙理,4,5分,中)已知f(x)=是偶函数,则a= (　　) A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2 答案　D　解法一(特值法):f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函数,可得f(x)=f(-x),令x=1,得f(1)=f(-1), 即,化简得e=ea-1, a-1=1,所以a=2. 解法二: f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x), 即,即, 化简得e2x=eax,所以a=2. 3.（多选）（2025全国二卷，10,6分）已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=(x2-3)ex+2,则(　　) A. f(0)=0 B.当x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2 C. f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 【答案】ABD 【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0,故A正确; 令x<0,则-x>0, f(-x)=(x2-3)e-x+2, 又f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-(x2-3)e-x-2, 则x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2,故B正确. f(-1)=2(e-1)>2,故C错误. 当x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2, 求导得f '(x)==, 当x∈(-∞,-1)时, f '(x)>0, f(x)单调递增, 当x∈(-1,0)时, f '(x)<0, f(x)单调递减, 所以x=-1是f(x)的极大值点,故D正确. 故选ABD. 4.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (　　) A.f(0)=0　　　　 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数　　　　 D.x=0为f(x)的极小值点 答案　ABC　令x=y=0,则f(0)=0·f(0)+0·f(0)=0,故A正确. 令x=y=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0,故B正确. 令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所以f(-1)=0, 令y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x)是偶函数,故C正确. 取特殊函数f(x)=0,满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此时x=0不是f(x)的极小值点,故D错误,故选ABC. 5.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是(　　) A.y=x2sin x　　　　　B.y=x2cos x C.y=|ln x|　　　　　D.y=2-x 答案　B　A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B. 6.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案　C　由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C. 评析　本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键. 7.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　　) A.f(x-1)-1　　　　B.f(x-1)+1　　　　C.f(x+1)-1　　　　D.f(x+1)+1 答案　B　解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数; 思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断. 解析　解法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B. 解法二:选项A, f(x-1)-1=-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=,此函数为非奇非偶函数,故选B. 8.(2023全国甲理,13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.  答案　2 解析　解法一:由题意知f(x)的定义域为R, ∵f(x)=(x-1)2+ax+sin=x2+(a-2)x+cos x+1, ∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2-(a-2)x+cos x+1. ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,即(a-2)x=-(a-2)x, ∴a-2=0,∴a=2. 解法二:由题意知f(x)的定义域为R.∵函数f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),∴4-a+cos 1=a+cos 1,∴a=2. 9.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  答案　1 解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值. 解析　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数, ∴f(1)=f(-1), ∴2a-, ∴a=1. 当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数. 一题多解　y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1. 10.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=ln+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.  答案　 -;ln 2 解析　∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称. 由已知得x≠1,∴x≠-1,即当x=-1时,=0,∴a+=0,∴a=-,此时f(x)=ln+b, ∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,∴f(0)=0,即ln+b=0,∴b=-ln=ln 2. 综上可知,a=-,b=ln 2. 11.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　.  答案　12 解析　本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值. 由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12. 12.(2015课标Ⅰ理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=　　　　.  答案　1 解析　由已知得f(-x)=f(x),即-xln(-x)=xln(x+),则ln(x+)+ln(-x)=0, ∴ln[()2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1. 13.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.  答案　2 解析　f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2. 考点2函数的周期性和对称性 1.（2025全国一卷，5,5分）已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时, f(x)=5-2x,则f=(　　) A.- B.- C. D. 【答案】A 【解析】由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数得, f=f=f=f, 又当2≤x≤3时, f(x)=5-2x, 则f=f=5-2×=-. 故选A. 2.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　　) A.- 答案　D　解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,对应的函数值转化为[1,2]内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及f的值. 解析　由题知 从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), 所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.① 又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.② 由①②得从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2]. 所以f.故选D. 一题多解　因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4, 从而f(0)=-f(2),① f(3)=f(1)=0,② f, 由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2, 所以f. 3.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则 (　　) A. f(0)=0　　　　B.g=0 C. f(-1)=f(4)　　　　D.g(-1)=g(2) 答案　BC　解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误. 设f(x)=sin(πx),则g(x)=f '(x)=πcos(πx), 由于f=sinπ=sin=-cos(2πx), g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx), 所以f,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意. 于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误. 由于f是偶函数,所以f '是奇函数, 即g是奇函数,则g=0,注意到g(2+x)是偶函数,于是g =-g =g=0, 故选项B正确. 由f,取x=,则f(-1)=f(4),故选项C正确. 故选BC. 解法二:由题意知f⇔f(-x)=f(3+x)①, 取x=1,知f(-1)=f(4),C正确. 对①两边求导知-f '(-x)=f '(3+x)⇔f '(-x)=-f '(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②, 取x=-,知g=0. g(2+x)=g(2-x)⇔g(-x)=g(x+4)③, 由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x). 从而g=0,B正确. 同解法一可判断A,D错误.故选BC. 4.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>时, f=f.则f(6)=(　　) A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.2 答案　D　当x>时,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D. 5.(2021全国甲文,12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f,则f= (　　) A.- 答案　C　解题指导:求出函数f(x)的周期再进行转化,即可求解. 解析　由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期为2,则f,故选C. 知识延伸:若函数f(x)为奇函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=,周期为2a;若函数f(x)为偶函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=,周期为a. 6.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)= (　　) A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1 答案　A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6. 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2, 同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1; 令x=2,y=1,得f(3)=-2; 令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1; 令x=5,y=1,得f(6)=2. 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A. 7.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)= (　　) A.-21　　　　B.-22　　　　C.-23　　　　D.-24 答案　D　由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,则f(x+2)+f(x)=-2④,所以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数. 对于④,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4. 对于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,则g(1)-f(1)=7⑦, 对于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑧, 由⑦⑧,得f(1)=-1.对于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5, 又g(2)=4,所以f(0)=1，对于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2，所以f(2)=-3. 则=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D. 8.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f + f(1)=　　　　.  答案　-2 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2, ∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f=f=-f=-=-2,∴f+f(1)=-2. 9.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)=　　　　.  答案　3 解析　∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立, 令x=1,得f(1)=f(3)=3, ∴f(-1)=f(1)=3. 学科网（北京）股份有限公司 $