2.8 函数的模型及应用（十年高考）（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习十年真题分类题组

**基本信息** 高中数学一轮复习函数模型应用试题汇编，精选2011-2024年北京、新课标等高考真题，涵盖生态、环保、科技等现实情境，强化数学建模与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|3题/13分|对数函数模型（生物丰富度）、指数函数模型（疫情传播）、图表分析（二氧化碳状态）|结合冬奥制冰、疫情防控等热点，梯度分明（易到应用性）| |多选|1题/5分|对数运算（声压级比较）|设置噪声污染情境，考查数学推理与实际数据处理| |填空|2题/10分|平均变化率（污水治理）、对数模型（里氏震级）|通过环保、地震等真实问题，体现数学语言表达现实世界|

2.8.函数的模型及应用 考点 函数模型 1.(2024北京,7,4分,易)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数,生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 答案　D 由题意知得=, 即3ln N2=2ln N1,即ln =ln ,所以=,故选D. 2.(多选)(2023新课标Ⅰ,10,5分,中)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　　) A.p1≥p2　　　　B.p2>10p3 C.p3=100p0　　　　D.p1≤100p2 答案　ACD　对于C,由题意知20×lg=40,即lg=2,所以p3=100p0,故C正确. 对于A,由题意知≥,所以20×lg≥20×lg,所以p1≥p2,故A正确. 对于B,=20×lg∈[50,60],所以≤lg≤3, 所以p2∈[1p0,103p0],即p2≤103p0=10p3,故B错误. 对于D,=20×lg∈[60,90],所以3≤lg≤, 所以p1∈[103p0,1p0],因为100p2∈[1p0,105p0],所以p1≤100p2,故D正确,故选ACD. 3.(2022北京,7,4分,应用性)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 (　　) A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 答案　D　对于A,当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026=3+lg 1.026∈(3,4),由题图可知,二氧化碳处于固态,∴A错误. 对于B,当T=270,P=128时,lg P=lg 128=2+lg 1.28∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于液态,∴B错误. 对于C,当T=300,P=9 987时,lg P=3+lg 9.987≈4, 由题图可知,二氧化碳处于固态,∴C错误. 对于D,当T=360,P=729时,lg P=lg 729=2+lg 7.29∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于超临界状态,∴D正确. 故选D. 4.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) (　　) A.1.2天　　　　B.1.8天　　　　 C.2.5天　　　　D.3.5天 答案　B　因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r==0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=≈1.8.故选B. 5.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- 的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示. 给出下列四个结论: ①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; ④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  答案　①②③ 命题意图:本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来解决问题,体现试题的教育价值.考查学生的抽象概括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合思想. 审题指导:与函数和导数有关的实际应用问题,需要先把实际问题翻译成数学问题,理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与其几何意义联系起来,再逐步对四个结论去伪存真. 解题思路:设y=-,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-(难点:准确理解表达式的几何意义是解题的关键),由题图易知y甲>y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对; 由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对; 在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对; 由计算式-可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错. 6.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为　　　　级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的　　　　倍.  答案　6;10 000 解析　A=1 000=103,A0=0.001=10-3, M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6. 设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则lg A1-9=lg A2-5,得lg A1-lg A2=4,即lg=4,∴=10 000. 学科网（北京）股份有限公司 $