1.4两条直线的交点、1.5平面上的距离讲义-2025年暑期新高二数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第一章，直线与方程 1.4两条直线的交点 1.5平面上的距离 知识点一、两条直线的交点 设两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0。如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点。 方程组解的组数与两条直线的位置关系： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 例1、 判断下列各直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标。 （1） 直线l1：5x+4y-2=0，直线l2：2x+y+2=0； （2） 直线l1：2x-6y+3=0，直线l2：y=x+； （3） 直线l1：2x-6y=0，直线l2：y=x+。 知识点二、平面上两点间的距离公式 公式：设平面上两点P1（x1,y1），P2（x2,y2），则它们之间的距离公式为P1P2= 例2-1、（1）已知△ABC的顶点A（2，3），B（-1，0），C（2，0），则△ABC的周长是_______________。 （2）已知A（a,-5）与B（0，10）两点间的距离是17，则a的值为（ ） A、8 B、2 C、±2 D、±8 例2-2、在直线l：3x-y+1=0上求一点P，使点P到点A（1，-1），B（2，0）的距离相等。 变：两条直线3ax-y-2=0和（2a-1）x+5ay-1=0分别过定点A、B，则AB的值为（ ） A、 B、 C、 D、 知识点三、中点坐标公式及三角形的重心坐标公式 1、 中点坐标公式：设平面上两点P1（x1,y1），P2（x2,y2），线段P1P2的中点为M（x0,y0），则 例3-1、在△ABC中，已知点A（5，-2），B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为（ ） A、5x-2y-5=0 B、2x-5y-5=0 C、5x-2y+5=0 D、2x-5y+5=0 例3-2、已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上，且线段AB的中点为P（0，），则直线AB的方程为（ ） A、y=- x+5 B、y=x-5 C、y=x+5 D、y=- x-5 2、 三角形的重心坐标公式 设△ABC的三个顶点坐标分别为A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），则重心G的坐标为（，） 例3-3、已知A（1，2），B（3，4），C（5，0）三点，且M为AB的中点。求： （1）点M的坐标； （2）△ABC的重心G的坐标。 变：已知直线l过点P（1，1），并与直线l1:x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A，B，若线段AB被点P平分，求直线l的方程。 知识点四、点到直线的距离公式 点P到直线l的距离，是指点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q为垂足。实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一定点的连线的组段距离。 公式：已知一个定点P（x0,y0），一条直线为l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），则定点P到这条直线l的距离为 例4、 求点P（3，-2）到下列直线的距离： （1）y=x+；（2）y=6；（3）x=4。 知识点五、两条平行直线间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0（C1≠C2）间的距离 例5、 （1）平行直线l1:3x-4y+10=0与l2:6x-8y-5=0之间的距离为______________。 （2） 已知直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行，则它们之间的距离为______________。 （3） 已知直线l与直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等，则直线l的方程为______________。 变：已知三条直线l1:2x-y-a=0（a<0），l2:-4x+2y+1=0，l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是。 （1） 求a的值； （2） 能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件？若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由。①P是第一象限的点；②点P到l1的距离等于点P到l2的距离；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是1: 知识点6、对称问题 1、 点关于点的对称 求点P1（x1,y1）关于点P2（x2,y2）的对称点P（x,y）。由中点坐标公式得 2、 点关于直线的对称 已知点P（x,y），直线l：Ax+By+C=0，求点P关于直线l的对称点P’（x’,y’）的步骤如下： 第一步：直线PP’和l垂直，故kPP’·k1=-1；① 第二步，线段PP’的中点在直线l上，即点（,）满足直线方程Ax+By+C=0，得到A·+B·+C=0；② 第三步，联立①②两式可以解出x’,y’。 3、 直线关于点的对称 直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称。 4、 直线关于直线的对称 例6-1、将一张坐标纸折叠一次，使点（2，0）与点（-6，8）重合，则折痕所在直线方程是________________。 例6-2、求与直线l1:2x-3y+1=0关于点A（1，2）对称的直线l2的方程。 例6-3、直线2x+y-5=0关于直线y=x+3的对称直线方程为________________。 例6-4、如图，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（ ）。 A、2 B、6 C、3 D、2 达标检测： 1、 已知直线mx+5y-3=0与x-3y+n=0互相垂直，且交点为（p,1），则m+n+p=（ ） A、24 B、20 C、18 D、10 2、 已知点A（x,5）关于点（1,y）的对称点为（-2，-3），则点P（x,y）到原点的距离是（ ） A、2 B、4 C、5 D、 3、 已知直线l1:y=kx-4与直线l2:x+2y+2=0的交点在第三象限，则实数k的取值范围为（ ） A、 （-∞，-2） B、（-2，+∞） C、（-∞，- ） D、（-2，- ） 4、 l1,l2是分别经过A（1，1），B（0，-1）两点的两条平行直线，当l1,l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________。 5、 已知两点M（-3，2），N（5，4），两直线l1：2x-y+7=0，l2：x+y-1=0。 （1） 求过点M且与直线l1平行的直线方程； （2） 求过线段MN的中点以及直线l1和l2的交点的直线方程。 6、 直线x-2y+2=0关于直线x=1对称的方程是（ ） A、2x+y-4=0 B、x+2y-1=0 C、2x+y-3=0 D、x+2y-4=0 7、 若点A（-1，5）和点B（3，1）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则a=（ ） A、 -1 B、1 C、-1或-4 D、1或-4 8、 设点A（1，2），B（-2，3），若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则实数a的取值范围是（ ） A、 [-3,2] B、[-2,3] C、（-∞，-2]∪[3,+∞) D、（-∞，-3]∪[2,+∞) 9、 （多选）下列说法正确的是（ ） A、 直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B、 若直线l过点（2，1），且l的横截距是纵截距的2倍，则直线l的方程为x+2y-4=0 C、 直线x-y-2=0关于x轴对称的直线的方程为x+y-2=0 D、 经过点M（-2，1），且与A（-1，2），B（3，0）两点距离相等的直线l的方程为x+2y=0 10、 （多选）已知平面上存在点P使｜PM｜=4，则称该直线为“切割型直线”。下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A、 y=x+1 B、y=2 C、y=x D、y=2x+1 11、 函数y=-的值域是________________。 12、 已知△ABC中，顶点A（3，7），边AB上的中线CD所在直线的方程是4x-3y-7=0，边AC上的高BE所在直线的方程是5x+12y-13=0。 （1） 求点A关于直线CD的对称点的坐标； （2） 求顶点B，C的坐标； （3） 过点A作直线l使B，C两点到l的距离相等，求直线l的方程。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$