第3章 高考热点2 导数中的构造问题（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习练案

**基本信息** 聚焦导数构造两大核心类型，通过精选典例系统构建“构造辅助函数-指对同构变形”方法体系，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |原函数与导函数的混合构造|4题（★★★-★★★★）|构造辅助函数（如f(x)cosx、e^x f(x)），利用导数判断单调性比较大小或解不等式|导数四则运算法则→辅助函数构造→函数单调性应用| |导数中的指对同构问题|7题（含1解答题，★★★★-★★★★★）|通过式子变形（如a e^a、x e^x）转化为同构函数，利用单调性求解参数或证明不等式|指数对数性质→式子同构变形→函数单调性与最值|

高考热点2　导数中的构造问题 类型1　导数中原函数与导函数的混合构造 1.★★★(2026届河南部分学校第三次质量检测,8)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈时, f'(x)cos x+f(x)sin x>0,若a=,b=2f,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c<a<b　　　B.a<c<b　　　C.b<a<c　　　D.a<b<c 答案　B　 2.★★★(2025届湖南三模,8)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上的连续可导函数,其导函数为y=f'(x),若xf'(x)<f(x),且f(3)=6,则不等式f(ln x)>2ln x的解集为 (　　) A.(1,3)　　　B.(3,e2) C.(1,e3)　　　D.(e,e3) 答案　D　 3.★★★(2025届宁夏石嘴山一中模拟,8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1, f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为 (　　) A.(2,+∞)　　　B.(1,+∞)　　　 C.(-∞,2)　　　D.(-∞,1) 答案　B　 4.★★★★(2025届浙江杭州学军中学模拟,8)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x),满足f'(x)+,且f(e)=,若a=f(3),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a>b>c　　　B.a>c>b　　　 C.b>c>a　　　D.c>b>a 答案　C　 类型2　导数中的指对同构问题 1.★★★★(2026届湖南九校联盟联考,8)已知正实数a,b满足aea-2=e2 025和b(ln b-2)=e2 029,则ab的值为 (　　) A.e2 029　　　B.e2 028　　　C.e2 027　　　D.e2 026 答案　A　 2.★★★★(2025届河南豫西北教研联盟三模,8)若∀x∈[1,+∞),都有aeax-ln x≥0(a∈R),则a的取值范围为 (　　) A.[e,+∞)　　　B.[2,+∞)　　　 C.[1,+∞)　　　D. 答案　D　 3.★★★★(2025届山西晋城二模,7)已知0<x<1,y>1,且,则 (　　) A.x<2ln y　　　B.x<ln y　　　C.2x<ln y　　　D.2ln y<x 答案　A　 4.★★★★(2025届安徽江淮十校联考,13)已知a∈R,关于x的不等式-3aln x≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,-1] 5.★★★★(2025届天津河东二模,15)设函数f(x)=x+ln x,g(x)=x+ex,若存在x1,x2,使得g(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最小值为　　　　.  答案　1 6.★★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,14)对于任意x∈(0,1),不等式≥恒成立,则正数a的取值范围是　　　　.  答案　 7.★★★★★(2025届河北秦皇岛山海关模拟,18)已知函数f(x)=ax-e-x,g(x)=x2+xln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:g(x)>-; (3)若g(x)≥f(x),求a的取值范围. 解析　(1)由f(x)=ax-e-x,可得f'(x)=a+e-x, 当a≥0时, f'(x)>0,即函数f(x)在R上单调递增; 当a<0时,由f'(x)=0,解得x=ln, 当x<ln时, f'(x)>0,当x>ln时, f'(x)<0, 故f(x)在上单调递增,在上单调递减. 综上,当a≥0时,函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减. (2)证明:函数g(x)=x2+xln x的定义域为(0,+∞),g'(x)=2x+ln x+1, 令h(x)=2x+ln x+1(x>0), 则h'(x)=2+>0, 所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→0+时,h(x)→-∞,且h-ln 4>0, 故存在x0∈,使得h(x0)=2x0+ln x0+1=0,则ln x0=-2x0-1. 当0<x<x0时,h(x)<0,即g'(x)<0,故函数g(x)在(0,x0)上单调递减; 当x>x0时,h(x)>0,即g'(x)>0,故函数g(x)在(x0,+∞)上单调递增. 故g(x)≥g(x0)=, 令m(x0)=-,因为x0∈,所以m<m(x0)<m(0), 即-<g(x0)<0,故g(x)>-. (3)由g(x)≥f(x)可得x2+xln x≥ax-e-x,即a≤x+ln x+=ln(xex)+, 设φ(x)=xex,x>0,则φ'(x)=(x+1)ex>0,故函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)>φ(0)=0. 设s(t)=ln t+(t>0), 则s'(t)=, 当0<t<1时,s'(t)<0,故函数s(t)在(0,1)上单调递减; 当t>1时,s'(t)>0,故函数s(t)在(1,+∞)上单调递增, 故s(t)≥s(1)=1,故a≤1,即a的取值范围是(-∞,1]. 第 2 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $