第7章 高考热点7 球的接、切问题（PPT课件）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习练案

该高中数学高考复习课件聚焦“球的接、切问题”核心考点，覆盖几何体的外接球、内切球、棱切球和叠切球四大类型，依据高考评价体系分析近五年真题，明确外接球问题占60%的高频考点分布，归纳正三棱柱、棱锥、台体等常考模型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养提升”策略，如以2022新高考Ⅱ正三棱台外接球题为例，通过“找球心、用勾股”两步法突破，培养学生的空间观念和推理能力。特设易错点警示（如球心位置判断）和答题模板，助力学生高效得分，教师可据此开展针对性复习，提升备考质量。

高考热点7　球的接、切问题 返回目录 目 录 CONTENTS 类型1 几何体的外接球 类型2 几何体的内切球、棱切球和叠切球 返回目录 类型1　几何体的外接球 1.★★(2026届河北地区期中,5)已知一正三棱柱的底面边长为3,其内部有一球与其各 面都相切,则该正三棱柱的外接球的表面积为 ( ) A.15π　　    B.45π　　    C.30π　　    D.60π     A     返回目录 解析　正三棱柱的内切球与外接球的球心重合,设为O,设半径分别为R,r,如图.边长为3 的正三角形的内切圆半径为 × ×3= ,即内切球半径为 , 所以正三棱柱的高O1O2=2R= ,即OO2=R. 外接球半径r=OA= = = , 所以外接球的表面积为4πr2=4π× =15π,故选A.   返回目录 2.★★★(2022新高考Ⅱ,7,5分)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3 和 4 ,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.100π　　    B.128π　　    C.144π　　    D.192π     A     解析　设正三棱台为A'B'C'-ABC,△A'B'C',△ABC的外心分别为D',D,则A'D'=3,AD=4,又 知D'D=1,所以正三棱台的外接球球心在线段D'D的延长线上,设球心为O,半径为R,如图 所示,在Rt△A'D'O中,R2=32+(DO+1)2①,在Rt△ADO中,R2=42+DO2②,由①②得R=5,所以 该球的表面积为4π×52 =100π,故选A.   返回目录 3.★★★(2025届河北承德一中月考,7)已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为 的 球面上,若PA,PB,PC两两垂直,则球心到平面ABC的距离为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　因为PA,PB,PC两两垂直,所以正三棱锥P-ABC的外接球就是其所在正方体的外 接球. 如图,外接球的球心即为正方体的中心,设为O,正方体的体对角线就是外接球的直径. 设正方体的棱长为a(a>0), 则 a=2 ,即a=2, 即PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=2 ,S△ABC= ×2 ×2 ×sin 60°=2 , S△ABP= ×2×2=2. 设点P到平面ABC的距离为h, 返回目录 由VP-ABC=VC-ABP, 得 ·S△ABC·h= ·S△ABP·PC, 所以h= = = , 所以球心O到平面ABC的距离为 - = .【提示:正方体体对角线OP垂直于平面 ABC】   返回目录 4.★★★(2026届黑龙江大庆教学质量监测,8)已知正三棱锥A-BCD的底面边长为6,二 面角A-BC-D的余弦值为 ,则正三棱锥A-BCD外接球的表面积为( ) A. π　　    B. π C. π　　     D. π     C     返回目录 解析　如图所示,作AE⊥平面BCD,垂足为E,连接BE,   因为三棱锥A-BCD为正三棱锥,所以E是等边△BCD的中心, 又因为△BCD的边长为6,所以BE= ×3 =2 , 取BC中点M,连接AM,EM,则AM⊥BC,EM⊥BC,所以∠AME为二面角A-BC-D的平面角, 即cos∠AME= , 又因为ME= ×3 = ,所以AM= =4,AE= = , 返回目录 设外接球球心为O,则O在AE上,连接OB. 设外接球半径为R,则OA=OB=R,OE=| -R|, 所以在△BOE中,有OE2+EB2=OB2,可得R2=(2 )2+( -R)2,解得R= , 所以外接球的表面积为S=4π· = π.故选C. 返回目录 5.★★(2026届浙江名校协作体联考,13)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边 长分别为2,4,侧棱长为 ,则该正四棱台外接球的表面积为___________.     35π     解析　取正四棱台的上、下底面中心为S,T, 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1的对角截面A1ACC1中连接ST,则外接球的球心O在线段ST的 延长线上,连接OC1,OC,则OC1=OC.   由已知可得SC1= ,TC=2 ,C1C= , 则ST= = , 返回目录 设OT=x(x>0),则有OT2+TC2=SO2+S ,即x2+(2 )2=( +x)2+( )2,解得x= , 则外接球半径R= = . 故外接球表面积为4πR2=4π· =35π. 返回目录 6.★★★(2026届广东清远一中期中,14)在三棱锥A-BCD中,若AD⊥平面BCD,AB⊥BC, AD=BD=2,CD=4,点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为___________.     20π     返回目录 解析　在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以BC⊥AD, 因为BC⊥AB,AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABD,所以BC⊥平面ABD, 因为BD⊂平面ABD,所以BC⊥BD, 所以可将三棱锥A-BCD放置于长方体内,如图所示, 该三棱锥的外接球即为长方体的外接球,球心为长方体体对角线的中点,即外接球的半 径为长方体体对角线长的一半,设外接球半径为R, 4R2=AC2=AD2+CD2=22+42=20, 所以该球的表面积S=4πR2=20π. 返回目录 7.★★★(2023全国乙文,16,5分)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3 的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=_________.     2     解析　由题意知△ABC的外接圆半径r满足2r= = =2 ,则r= , 如图,O为球心,O1为△ABC外接圆的圆心,连接OS,OA,OO1,AO1,易得OO1⊥平面ABC,作 OM⊥SA交SA于点M,由OA=OS得MA= SA,   又因为SA⊥平面ABC,所以OO1=MA= SA,所以 +r2=22, 所以SA=2. 返回目录 8.★★★(2026届湖南永州宁远三中开学考,13)已知△ABC是边长为8的正三角形,D是 AC的中点,沿BD将△BCD折起使得二面角A-BD-C为 ,则三棱锥C-ABD的外接球的表 面积为__________.      π     返回目录 解析　解法一　在三棱锥C-ABD中,BD⊥AD,BD⊥CD,所以∠ADC为二面角A-BD-C的 平面角,则∠ADC= . 又AD=CD=4,所以△ACD是边长为4的正三角形, 设△ACD的外接圆圆心为O',连接O'D,则O'D= ADsin = , 设三棱锥C-ABD的外接球的球心为O,半径为R,如图1,连接OD,OO', 则OO'⊥平面ACD,易证BD⊥平面ACD,则OO'∥BD,显然球心O在线段BD的中垂面上, 令线段BD的中垂面交BD于E,连接OE, 则OE⊥BD,显然O'D⊥BD,所以四边形OEDO'是矩形, 返回目录 而DE= BD=2 ,因此R2=OD2=OE2+DE2= +(2 )2= , 所以三棱锥C-ABD外接球的表面积为S=4πR2= π.  　      解法二　如图2,易证BD⊥平面ACD,又BD⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD,易知 返回目录 BD⊥CD,△ACD是边长为4的正三角形,设△ACD的外接圆圆心为O',连接O'D,则O'D=  ADsin = ,由△BCD是直角三角形,知其外接圆圆心为斜边中点,设为H,分别过O',H 作平面ACD,平面BCD的垂线,两垂线交于O点,则O为该三棱锥外接球的球心.取CD的 中点G,连接GH,则GH=OO'= BD=2 ,连接OD,设外接球的半径为R, 因此R2=OD2=OO'2+O'D2=(2 )2+ = , 所以三棱锥C-ABD外接球的表面积为S=4πR2= π. 返回目录 9.★★★(2026届河北石家庄一中摸底,13)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建 筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,羡除ABCDEF中,底面ABCD是正方 形,EF∥平面ABCD,△ADE和△BCF均为等边三角形,且EF=2AB=6,则这个几何体的外 接球的体积为___________.       36π     返回目录 解析　如图,连接BD,分别取EF,BD,AD的中点G,H,I,连接GH,HI,EI,   由底面ABCD是正方形,EF∥平面ABCD,△ADE和△BCF均为等边三角形,得EG∥IH, GH⊥底面ABCD.又EF=2AB=6,故EG=AD=AB=3,则EI= ·AD= ,故GH=  = .易知H为底面正方形的中心,HG⊥IH,故羡除ABCDEF外接球的 球心O在直线GH上,连接HA,OE,OA,则HA= BD= ,设外接球的半径为r,OH=a,则OA 返回目录 =OE=r,故r2=a2+ = +32,解得a= ,r2=a2+ = + =9,即r=3,则这个几何体 的外接球的体积为V= πr3=36π. 返回目录 类型2　几何体的内切球、棱切球和叠切球 1.★★★(2026届河南安阳调研,7)在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为1 cm的 球,4个球两两相切,且其中3个球均与同一块木板相切,则两木板之间的最小距离为  ( ) A.  cm　　     B.  cm C. cm　　    D. cm     C     解析    由题可知4个球的球心的连线构成一个棱长为2 cm的正四面体,计算可得该正四 面体的高为 =  cm,所以两木板之间的最小距离为 cm. 返回目录 2.★★★★(2026届江苏连云港期中,8)已知一个红球和三个半径为3的白球,这四个球 两两外切,且它们都内切于一个半径为7的黑球,则红球的表面积为 ( ) A. π　　    B. π　　    C.49π　　    D.98π     C     返回目录 解析　设三个半径为3的白球的球心分别为A,B,C,红球半径为r,球心为D,如图,则D在平 面ABC上的射影为底面正三角形ABC的外心G,易知BG= × =2 .三棱锥D-ABC 为正三棱锥,DB=r+3.设黑球的球心为O,由对称性可得O在线段DG上,因为黑球与四个 小球都内切,OD=7-r,OB=7-3=4,则OG= =2,又BG2+DG2=BD2,所以(2 )2+(2+7 -r)2=(r+3)2,解得r= ,则红球的表面积为S=4πr2=49π.故选C.   返回目录 3.★★★(2025全国二卷,14,5分)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容 器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为___________cm.     2.5     解析　分三种情况讨论. 设铁球的半径为r cm. 情况一:竖直排列(一个在上,一个在下),则4r≤9,∴r≤2.25; 情况二:水平排列(并排放置),则4r≤8, ∴r≤2; 情况三:斜向排列,截面图如图所示,   返回目录 由图可知(8-2r)2+(9-2r)2=4r2, 即4r2-68r+145=0,即(2r-5)(2r-29)=0,解得r=2.5或r=14.5(舍去). 综上所述,铁球半径的最大值为2.5 cm. 返回目录 4.★★★(2023全国甲文,16,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该 正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是_______________.     [2 ,2 ]     解析　由该正方体的棱与球O的球面有公共点,可知最小球为与棱相切的球,最大球为 正方体的外接球. 当球与棱相切时,设球的半径为R1,有2R1= ×4,∴R1=2 , 当球为正方体的外接球时,设球的半径为R2,有(2R2)2=42+42+42,∴R2=2 , 所以球O的半径的取值范围是[2 ,2 ]. 返回目录 5.★★★★(2026届浙江富阳中学等三校第七次联考,14)如图,装满水的圆台形容器内 放进半径分别为3和6的两个铁球,小球与容器底和容器壁均相切,大球与小球、容器 壁、水面均相切,此时容器中水的体积为____________.       243π     返回目录 解析　作几何体的轴截面如图,   M,N分别是大球和小球的球心,Q是圆台的轴截面等腰梯形ABCD两腰AD和BC的延长 线的交点, G,H分别是球M,球N与圆台侧面的切点,E是球M与圆台上底面的切点,F是球N与圆台下 底面的切点, 则QE⊥AB,QF⊥CD,GM⊥AQ,NH⊥AQ,且GM=EM=6,NH=NF=3,EF=18, 过N点作NK∥AQ交GM于K, 返回目录 显然NK⊥GM,则四边形NHGK为矩形, 且MN=9,MK=MG-KG=MG-NH=3, 在Rt△MNK中,sin∠MNK= = ,cos∠MNK= = ,tan∠MNK= , 根据NK∥AQ,可得∠MNK=∠EQA,那么sin∠EQA= ,tan∠EQA= . 在Rt△NHQ中,NQ= =9,则FQ=NQ-NF=6, 在Rt△DFQ中,DF=FQ·tan∠EQA= , 在Rt△EQA中,EQ=EF+FQ=24,AE=EQ·tan∠EQA=6 , 因此圆台的下底面半径为DF= ,上底面半径为AE=6 ,高EF=18, 返回目录 圆台的体积V= π·EF(AE2+AE·DF+DF2)=567π, 而球M的体积VM= π×63=288π,球N的体积VN= π×33=36π, 所以容器中水的体积V'=V-VM-VN=567π-288π-36π=243π. 返回目录 $