第7章 7.1 空间几何体的结构特征、表面积与体积（PPT课件）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习练案

该高中数学高考复习课件聚焦“空间几何体的结构特征、表面积与体积”核心考点，依据高考评价体系明确直观图还原、折叠与展开、体积计算等考查要求，通过近五年新课标卷真题分析，梳理出圆锥/棱台相关计算占60%、几何体综合判断占30%的高频考点分布，归纳出8类常考题型及解题通法。 课件亮点在于“真题溯源+素养导向”的备考设计，如以2023新课标Ⅰ多选几何体放入正方体容器问题为例，通过空间想象与几何直观分析临界条件，培养学生数学思维与空间观念。特设“易错点警示”模块，针对斜二测画法还原、棱台高计算等难点提供转化技巧，教师可依托课件实施分层教学，助力学生高效突破考点，提升高考得分率。

7.1　空间几何体的结构特征、表面积 与体积 返回目录 目 录 CONTENTS 考点1 空间几何体的结构特征 考点2 空间几何体的表面积与体积 返回目录 高考真题 考点1　空间几何体的结构特征 1.★(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为 ,其侧面展开图为一个半圆,则该圆 锥的母线长为( ) A.2　　    B.2 　　    C.4　　    D.4      B     解析　设圆锥的母线长为l,由题意得πl=2π· ,∴l=2 .故选B. 返回目录 2.★★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,12,5分)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m) 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 ( ) A.直径为0.99 m的球体 B.所有棱长均为1.4 m的四面体 C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体 D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体     ABD     返回目录 解析　对于A,正方体内切球直径为1 m>0.99 m,故A符合题意. 对于B,如图1,正方体内最大的内接正四面体D-BA1C1的棱长为A1C1=  m>1.4 m,故B符 合题意. 如图2,假设放入最大的圆柱的上、下底面圆心为P,Q,设圆柱底面半径为r m,底面直径 为d m,连接CA1,如图3,在平面A1DCB1中,过Q作QE⊥A1C,交A1D于点E,则QE=r m,A1Q=  r m,PQ= -2 r=( - d)m. 对于C,PQ=1.8 m>  m,故C不符合题意. 对于D,PQ= - ×1.2≈1.732-1.414×1.2≈0.04 m>0.01 m,故D符合题意. 返回目录 故选ABD.     返回目录 高考模拟 1.★(2026届广东惠州调研,4)已知圆锥的侧面积为2π,它的侧面展开图是一个半圆,则此 圆锥的高为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.3     A     解析　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,由题意得 解得r=1,l=2,则圆锥 的高为h= = = .故选A. 返回目录 2.★★(2025届湖南长沙南雅中学三模,3)如图所示,梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜 二测画法得到的直观图,A'D'=2,B'C'=A'B'=1,则平面图形ABCD中对角线AC的长度为  ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.2     A     返回目录 解析　由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD, 如图,由斜二测画法可知AB=2A'B'=2,BC=B'C'=1,   所以AC= = = . 故选A. 返回目录 3.★★★(2026届广东深圳聚龙科学中学开学调研,8)圆台的上底面半径为2,下底面半 径为6,母线长为16.已知P为该圆台某条母线的中点,若一质点从点P出发,绕着该圆台的 侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径长为 ( )   A.16　　    B.16 　　     C.8π　　    D.16π     B     返回目录 解析　将圆台沿着点P所在母线剪开并展开后得到的平面图形如图,PP'即为该质点运 动的最短路径. 分别设小扇形和大扇形的半径为r,R,∠O=α,则由题意可知,弧AC长为2π×2=4π,弧BD长 为2π×6=12π,R-r=16, 则αr=4π,αR=12π,得R=3r,则R=24,r=8,α= , 因为P是AB中点,所以OP= +r=16, 所以△OPP'为等腰直角三角形,且腰长为16,则PP'=16 , 故该质点运动的最短路径长为16 .故选B. 返回目录 4.★★★(2026届湖南长沙长郡中学开学考,8)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M 为线段AD1上一动点,则MB+MD的最小值为 ( ) A.2 　　    B.2  C.2 　　    D.2      B     返回目录 解析　连接BD1,如图1,   由正方体的性质可得△ABD1为直角三角形,∠BAD1= ,△ADD1为等腰直角三角形, ∠DAD1= , 将图1中△ADD1绕AD1所在直线翻折至与△ABD1共面,如图2, 返回目录   当B,M,D三点共线时,MB+MD最小,此时∠BAD= + = ,AB=AD=2, 由余弦定理可得 BD=  = =2 , 所以MB+MD的最小值为2 .故选B. 返回目录 5.★★(多选)(2026届湖南常德开学考,9)下列说法中不正确的是 ( ) A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点     ABC     返回目录 解析　对于A,以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体 是圆台,否则不是,A说法错误; 对于B,下面的几何体有两个面平行,其余各面都是平行四边形, 但它不是棱柱,B说法错误; 对于C,底面是正多边形,且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥才是正棱锥,C说 法错误; 对于D,棱台可以看作用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得,因此它的各侧棱延长后 必交于一点,D说法正确. 故选ABC. 返回目录 6.★★★★(多选)(2026届四川绵阳南山中学一模,11)若四面体ABCD的三组对棱分别 相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则下列结论正确的是 ( ) A.四面体ABCD每组对棱相互垂直 B.四面体ABCD每个面的面积相等 C.连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分 D.从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180°     BC     返回目录 解析　易知,四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥,如图所示.   对于A,当四面体棱长都相等时,四面体的每组对棱互相垂直,故A错误; 对于B,由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等,它们的面积相等,故B正确; 对于C,由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心, 由对称性知,连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分,故C正确; 对于D,当四面体的所有棱长相等时,过任意一个顶点的两条棱的夹角均为60°, 则从每个顶点出发的三条棱两两夹角之和为180°,故D错误.故选BC. 返回目录 7.★★(2025届山东德州夏津第一中学三模,13)《九章算术》中,称底面为矩形且有一 侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,若阳马以该长方体的顶 点为顶点,则这样的阳马的个数是__________(用数字作答).     24     解析　长方体ABCD-A1B1C1D1有6个面.以其中一个面为底面,如底面ABCD. 此时,从顶点A1,B1,C1,D1中任选一个顶点作为垂直于底面ABCD的侧棱的顶点,都可以构 成1个阳马,这样就有4个阳马.因为长方体有6个面,所以阳马的总个数为6×4=24. 返回目录 8.★★★(2026届江苏镇江一中、镇江中学联考,13)如图,已知正四棱锥P-ABCD中,PA= 2,∠APB=18°,点S为侧棱PA的中点,则在此棱锥侧面上,从点S出发绕其一圈到点B的路 径中,最短路径的长度为_________.   返回目录 解析　如图,SB'即为最短路径.   由题意可知PA=PB'=2,PS= PA=1,∠SPB'=5×18°=90°, 故最短路径的长度为SB'= = . 返回目录 高考真题 考点2　空间几何体的表面积与体积 1.★★(2024新课标Ⅰ,5,5分)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高 均为 ,则圆锥的体积为 ( ) A.2 π　　    B.3 π　　    C.6 π　　    D.9 π     B     解析　设圆柱和圆锥的底面半径为r, 则圆柱的侧面积为2πrh=2 πr,圆锥的侧面积为πr ,所以2 πr=πr ,解得r=3 (舍负), 所以圆锥的体积为 πr2h=3 π.故选B. 返回目录 2.★★(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台 的体积为 ( ) A.56　　    B.28 　　    C. 　　    D.      D     解析　如图,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,O与O1分别为上、下底面的中心,则四边形OO1 B1B为直角梯形,且OB= ,O1B1=2 ,BB1=2,过点B作BM⊥O1B1,垂足为M,可得BM= ,即 正四棱台的高为 . 故正四棱台的体积V= × ×(4+8+16)= .故选D.   返回目录 3.★★(2022新高考Ⅰ,4,5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中 一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2; 水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看 作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为( ≈2.65) ( ) A.1.0×109 m3　　    B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3　　    D.1.6×109 m3     C     返回目录 解析　将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,增加的水量即为棱台的体积. 140 km2=140×106 m2,180 km2=180×106 m2, 由棱台的体积公式V= (S+ +S')h,可得V增加水量 = ×(157.5-148.5)= ×9≈(320+ 60×2.65)×106×3=1 437×106≈1.4×109 m3.故选C. 名师点睛　水库上升的水位即为棱台的高. 返回目录 4.★★★(2023全国甲文,10,5分)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA =PB=2,PC= ,则该棱锥的体积为 ( ) A.1　　    B. 　　    C.2　　    D.3     A     解析　取AB的中点D,连接CD,PD, ∵△ABC,△PAB为等边三角形, ∴CD⊥AB,PD⊥AB, ∵△ABC的边长为2,PA=PB=2, ∴PD=CD= , 又∵PC= ,∴PD2+CD2=PC2, ∴PD⊥CD, 返回目录 又∵CD∩AB=D,CD,AB⊂平面ABC, ∴PD⊥平面ABC,∴PD为三棱锥P-ABC的高, ∴VP-ABC= S△ABC·PD= × ×2× × =1,故选A. 返回目录 一题多解    (分割求和法)取AB的中点D,连接CD,PD, ∵△ABC,△PAB为等边三角形, ∴CD⊥AB,PD⊥AB. 又∵CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,∴AB⊥平面PCD, ∵△ABC的边长为2,PA=PB=2,∴PD=CD= , 又∵PC= ,∴PD2+CD2=PC2,∴PD⊥CD, ∴S△PCD= PD·CD= ×( )2= , ∴VP-ABC=VA-PCD+VB-PCD = S△PCD·(AD+BD)= × ×2=1,故选A. 返回目录 5.★★★(2023全国乙理,8,5分)已知圆锥PO的底面半径为 ,O为底面圆心,PA,PB为圆 锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于 ,则该圆锥的体积为 ( ) A.π　　    B. π　　    C.3π　　    D.3 π     B     解析　设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则r= .在△AOB中,由∠AOB=120°,OA=OB=  ,得AB=3. S△PAB= AB· = ×3× = ,所以l=3,则圆锥的高h= = = ,故 V圆锥= S底·h= π·( )2· = π,故选B. 返回目录 6.★★★(跨学科·物理)(2021新高考Ⅱ,4,5分)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫 星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面 的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r为6 400 km的球,其上点A的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星 的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr2(1-cos α)(单位：km2), 则S占地球表面积的百分比约为 ( )   A.26%　　    B.34%　　    C.42%　　    D.50%     C     返回目录 解析　如图,   由题意知OB=36 000+6 400=42 400(km),OA=6 400 km,当AB与过O点的竖截面相切时, 纬度最大,此时OA⊥AB,即∠AOB为α. 则cos α= = = . 又∵卫星信号覆盖的地球表面面积为S=2πr2·(1-cos α) km2,地球表面积为4πr2 km2, ∴S占地球表面积的百分比为 = ≈0.42=42%,故选C. 返回目录 7.★★★★(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为36π,且3≤l≤3 ,则该正四棱锥体积的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.[18,27]     C     返回目录 解析　因为球的体积为36π,所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,则l2= 2a2+h2,32=2a2+(h-3)2,所以正四棱锥的体积V= Sh= ×4a2×h= × × =  , 所以V'=  = l3 , 当3≤l<2 时,V' >0,当2 <l≤3 时,V'<0,所以当l=2 时,正四棱锥的体积V取最大值, 最大值为 ,当l=3时,V= ,当l=3 时,V= ,所以正四棱锥的体积V的最小值为 ,所 以该正四棱锥体积的取值范围是 .故选C. 返回目录 8.★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,9,5分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直 径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 ( ) A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4 π C.AC=2  D.△PAC的面积为      AC     返回目录 解析　对于A,连接PO,∵PA=PB=2,∠APB=120°,∴AB=2 ,PO=1,∴圆锥的体积V= π× ( )2×1=π,故A正确. 对于B,S侧=π× ×2=2 π,故B错误.   对于C,取AC的中点D,连接PD,OD. ∵OA=OC,PA=PC,D为AC的中点, ∴OD⊥AC,PD⊥AC. 返回目录 ∴∠PDO即为二面角P-AC-O的平面角,∴∠PDO=45°, 又PO⊥底面圆,OD⊂底面圆,∴PO⊥OD,∴PO=DO=1,∴PD= ,AC=2AD= 2 =2 =2 ,故C正确. 对于D,S△PAC= AC·PD= ×2 × =2,故D错误. 故选AC 返回目录 9.★★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD, FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则  ( )   A.V3=2V2　　     B.V3=V1 C.V3=V1+V2　　    D.2V3=3V1     CD 返回目录 解析　因为ED⊥平面ABCD,且FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD. 设AB=ED=2FB=2a,则FB=a,则V1= S△ACD·ED= × ·2a·2a·2a= ·a3,所以V2= V1= a3.如图, 连接BD,交AC于O,连接OE,OF.   易证AC⊥平面BDEF.S△EOF=S梯形BDEF-S△ODE-S△OBF= (a+2a)×2 a- ×2a× a- ×a× a=  a2,故V3= S△EOF·AO×2= × a2× a×2=2a3, 故V1+V2=V3,2V3=3V1成立, 故选CD. 返回目录 10.★★(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1, AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为_________.     1     解析　如图,易知MN= ,连接A1B交MN于点O,则A1O= ,∴ = = × × ×  ×2=1.   返回目录 11.★★(2023新课标Ⅰ,14,5分)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1= ,则 该棱台的体积为_________. 返回目录 解析　正四棱台ABCD-A1B1C1D1如图所示.设其上、下底面中心分别为O1,O,连接O1O,O 1A1,OA,由正四棱台的定义可知O1O⊥平面ABCD,O1O⊥平面A1B1C1D1,四边形ABCD,A1B1 C1D1均为正方形.   ∵AB=2,A1B1=1,∴AO= ,A1O1= , 易知AO∥A1O1, 又∵AA1= ,∴在直角梯形A1O1OA中,O1O= = , ∴ = ×(1+4+ )× = . 返回目录 12.★★★(2023新课标Ⅱ,14,5分)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截, 截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为__________.     28     解析　依题意可得所求四棱台是一个上底面边长为2,下底面边长为4,高为3的正四棱 台【提示:由上、下底面边长可知棱台的高与截去的棱锥的高相等】,则所求棱台的体 积V= ×(4+16+ )×3=28. 返回目录 13.★★★(2024全国甲理,14,5分)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为 r2,圆台甲、乙的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为_________. 解析　如图,在圆台甲、乙中,圆台甲的高h甲= = (r2-r1)(r2>r1), 圆台乙的高h乙= =2 (r2-r1), ∴圆台甲、乙的体积分别为V甲= ( + +r1r2) (r2-r1),V乙= ( + +r1r2)·2 (r2-r1),∴  = = .        返回目录 高考模拟 1.★★(2026届河北沧州四校期中联考,3)沙漏是一种古代计时仪器.如图,某沙漏由上、 下两个相同的圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆 锥高度的 ,则这些细沙的体积为 ( )   A. π cm3　　    B. π cm3　　    C.8π cm3　　    D. π cm3     B     返回目录 解析　由题意可知:细沙全部在上部时,细沙构成的圆锥的高为4 cm,底面半径为2 cm, 故这些细沙的体积为 ×π×22×4= π cm3.故选B. 返回目录 2.★★(2026届浙江杭州四中期中,4)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π∶1, 则圆锥母线与底面所成角的大小为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,高为h, 则由题意得 =2π,解得l=2h, 设圆锥母线与底面所成角为θ ,则sin θ= = ⇒θ= , 所以圆锥母线与底面所成角的大小为 . 故选A. 返回目录 3.★★(2026届广东清远一中期中,4)清代的苏州府被称为天下粮仓,大批量的粮食要从 苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量,苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以 计算粮食的多少,五斗为一斛,而一只官斛的容量恰好为一斛,其形状近似于正四棱台, 上口为正方形,内边长为25 cm,下底面也为正方形,内边长为50 cm,斛内高为36 cm,那么 一斗米的体积大约为 ( )   A.10 500 cm3　　    B.12 500 cm3 C.31 500 cm3　　    D.52 500 cm3     A     返回目录 解析　一斛米的体积为V= (S上+S下+ )h= ×(252+502+25×50)×36=52 500(cm3), 因为五斗为一斛,所以一斗米的体积为 =10 500(cm3),故选A. 返回目录 4.★★(2026届河北示范性高中月考,4)已知某圆台的高为6,上底面半径为2,下底面半径 为10,则此圆台的表面积为 ( ) A.100π　　    B.104π　　    C.120π　　    D.224π     D     解析　由题意可作该圆台的轴截面,过点B作BE⊥AD于点E,如图所示,   则圆台的高h=O1O2=BE=6,上底面半径为O2B=2,下底面半径为O1A=10,所以AE=8,则母 线长l=AB= =10,所以圆台的表面积S=π×(2+10)×10+4π+100π=224π.故选D. 返回目录 5.★★(2026届江苏南京六校联合体开学考,5)已知正四棱锥的底面边长为4,且其侧面 积是底面积的2倍,则此正四棱锥的体积为 ( ) A. 　　    B.36 　　    C.32 　　    D.      D     解析　如图所示,正四棱锥S-ABCD,BC=4,O为底面中心,E为BC的中点.由已知可得4×  ×4SE=2×4×4,所以SE=4,又OE=2,所以OS= = =2 ,所以正四棱锥的体 积V= ×4×4×2 = .故选D.   返回目录 6.★★(2025届重庆一中月考,5)已知正三棱锥的体积为 ,其底面三角形的斜二测直 观图面积为 ,则三棱锥的高为 ( ) A.2　　    B. 　　    C.1　　    D.      A     解析　设正三棱锥底面三角形的面积为S,高为h, 由斜二测直观图的性质得 = ,【直观图的面积是原图形面积的 】解得S=4 , 因为正三棱锥的体积为 ,所以 ×4 ×h= ,解得h=2.故选A. 返回目录 7.★★★(2026届河北秦皇岛一中月考,6)如图,在三棱锥P-ABC中,已知底面ABC是正三 角形,PA=BC,若D,E分别为BC和PC的中点,且DE=4,AE= ,AD=3 ,则三棱锥P-ABC 的体积为( )   A.8 　　    B.4 　　    C.2 　　    D.      A     返回目录 解析　由DE=4,AE= ,AD=3 ,得DE2+AE2=AD2,所以AE⊥DE. 因为PA=BC,△ABC是正三角形, 所以PA=AC, 又E为PC的中点,所以AE⊥PC. 因为PC∩DE=E,PC,DE⊂平面PBC, 所以AE⊥平面PBC. 因为D,E分别为BC和PC的中点, 所以DE∥PB,PB=2DE=8. 返回目录 因为△ABC是正三角形,D为BC的中点,AD=3 ,所以AB=BC=CA=6. 在Rt△PAE中,由PA=6,AE= ,得PE=5,故PC=10. 在△PBC中,可得PB2+BC2=82+62=102=PC2,故PB⊥BC, 所以S△PBC= PB·BC=24. 所以三棱锥P-ABC的体积V= S△PBC·AE=8 .故选A. 返回目录 8.★★★(2026届广东清远教学质量检测,7)《九章算术》中,将四个面都为直角三角形 的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=2,且三棱锥P-ABC的外 接球的表面积为20π,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为 ( ) A. 　　    B.2　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析　已知PA⊥平面ABC,不妨设AC为Rt△ABC的斜边,如图所示,将三棱锥P-ABC放 在一个长方体中,则PC是三棱锥P-ABC的外接球的直径,则三棱锥P-ABC的外接球的表 面积S=4π· =20π,故PC2=20,又PC2=PA2+AB2+BC2=20,PA=2,则AB2+BC2=16,则VP-ABC=  × ×AB·BC·PA= AB·BC≤ · = ,等号成立的条件为AB=BC=2 ,故三棱锥 P-ABC的体积的最大值为 .故选D.   返回目录 9.★★★(2025届江苏南通如皋三模,7)已知正三棱台ABC-A1B1C1, = ,点O为底面 △ABC的重心,过点O,A1,C1的截面将该三棱台分成两个几何体,则这两个几何体的体积 之比为 ( ) A.5∶4　　    B.12∶7　　    C.2∶1　　    D.15∶4     B     返回目录 解析　根据 = ,不妨设上底面边长为2,则下底面边长为3, 则上底面面积为S1= ×4= ,下底面面积为S2= ×9= , 过O作EF∥AC分别交AB,BC于点E,F,如图, ∵O为△ABC的重心,∴ = ⇒BE=2,∴A1B1∥BE且A1B1=BE,则四边形A1B1BE为平行四 边形, ∴A1E∥BB1且A1E=BB1, 同理可得C1F∥BB1且C1F=BB1, ∴几何体A1B1C1-EBF为三棱柱, 返回目录 设正三棱台的高为h,则正三棱台的体积为V=  h= h, 三棱柱A1B1C1-EBF的体积为V1= ×4·h= h,另一部分的体积为V2= h- h= h, ∴两部分的体积之比为12∶7.故选B.   返回目录 10.★★★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,8)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点E在 棱BB1上,动点F在线段A1C1上,O为底面ABCD的中心,若A1F=m,BE=n,则四面体O-AEF的 体积 ( ) A.与m,n都有关　　     B.与m,n都无关 C.与m有关,与n无关　　    D.与n有关,与m无关     B     返回目录 解析　如图,设正方体的棱长为a(a>0),   ∵BB1∥AA1,AA1⊂平面AA1C1C,BB1⊄平面AA1C1C,∴BB1∥平面AA1C1C,∴E到平面AA1C1C 的距离为定值 a, ∵AO∥A1C1,点F在线段A1C1上,∴F到直线AO的距离为定值a,又AO= a, ∴△AOF的面积S= a2,为定值, ∵VO-AEF=VE-AOF= × a· a2= a3,∴四面体O-AEF的体积是与m,n无关的定值.故选B. 返回目录 11.★★★★(2026届江苏镇江一中开学考,8)已知一个圆锥的体积为V,圆锥内有一圆柱, 圆柱的一个底面在圆锥的底面上,则该圆柱体积的最大值为( ) A. V　　    B. V　　    C. V　　    D. V     B     返回目录 解析　如图,作出圆锥的轴截面,设圆锥的底面圆半径AO=BO=R,高SO=h, 则V= πR2h,即h= (*),由题意,当圆柱的上底面与圆锥的侧面相接时,圆柱的体积最 大.   设圆柱的底面圆半径CO=DO=r,易得EF∥AB,则△SHE∽△SOB, 于是 = ,即SH= , 则OH=h- = , 返回目录 则圆柱的体积为V1=π·r2·OH= h,将(*)式代入,得V1= · = r2- r3, 【因为内接圆柱的底面半径r是变化的,所以可看作是r的函数】 则V1'= r- r2= ,则当0<r< 时,V1'>0,当 <r<R时,V1'<0, 即V1在 上单调递增,在 上单调递减. 故当r= 时,V1取得最大值,为  -  = V- V= V. 故选B. 返回目录 12.★★★(多选)(2026届福建百校联考,10)已知圆锥的顶点为S,O为底面圆心,母线SA与 SB互相垂直,△SAB的面积为2,SA与圆锥底面所成的角为30°,则下列说法不正确的是  ( ) A.圆锥的高为  B.圆锥的侧面积为3π C.二面角S-AB-O的大小为45°     ABD     D.圆锥侧面展开图的圆心角为120° 返回目录 解析　对于A,由母线SA与SB互相垂直,△SAB的面积为2,可知 SA2=2⇒SA=2,而SA与圆 锥底面所成的角为30°,即∠SAO=30°⇒SO= SA=1,A错误; 对于B,在Rt△SOA中,SA=2,SO=1,则AO= ,则圆锥的侧面积为S=πAO·SA=2 π,B错误; 对于C,取AB的中点D,连接OD,DS,则DS⊥AB,OD⊥AB, 则∠SDO为二面角S-AB-O的平面角, 由题意易知AB= =2 , 则OD= =1=SO,故∠SDO=45°,C正确; 返回目录 对于D,圆锥侧面展开图的圆心角为 = π≠120°,D错误.故选ABD.   返回目录 13.★★★(2025届江苏南京东山高级中学二模,13)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 各棱长均为6,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB= ,则四棱锥A1-BCC1B1的体积为___________.     36      解析　如图1所示,四棱锥A1-BCC1B1和平行六面体ABCD-A1B1C1D1同底同高,【相同底 面BCC1B1】故四棱锥A1-BCC1B1的体积为平行六面体体积的 .【第一次转化,将四棱锥 的体积转化为平行六面体体积的 】 平行六面体的底面为▱ABCD时,高即为正四面体A1-ABD的高h,如图1所示, 【第二次转化,将平行六面体的高转化为三棱锥的高】 返回目录 设点A1在平面ABD的射影为点M,则M为正三角形ABD的中心,如图2, 由正弦定理可得AM= =2 ,则h=A1M= = =2 , 又S▱ABCD=2S△ABD=2× ×62× =18 , 所以平行六面体的体积为V=S▱ABCD·h=18 ×2 =108 , 所以四棱锥A1-BCC1B1的体积为36 . 返回目录 $