1.2.3相反数-导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

姓名: 学科: 日期: 1.2.3相反数 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年6月17日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解相反数的概念；（数学抽象·重点） 2. 理解与掌握相反数的性质，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、直观想象、数学运算·难点） 【学习过程】 1、 问题探究 （一）问题 在数轴上，与原点的距离是3的点有几个？这些点分别表示什么数？这些数之间有什么关系？与原点的距离是的点呢？ （2） 探究 由题意可作下图 有图可知， 数轴上与原点的距离是3的点有两个(点与点)，它们表示的数是和，这两个数只有符号不同； 与原点的距离是的点也有两个（点与点），它们表示的数是和，这两个数也只有符号不同. （3） 归纳 一般地，设是一个正数，数轴上与原点的距离是的点有两个，它们分别在正、负半轴上，表示和，这两个数只有符号不同. 2、 相反数的概念、表示与性质 （一）定义 像和，和这样，只有符号不同的两个数，互为相反数（opposite number)． 这就是说，的相反数是，的相反数是，与互为相反数；同样地，和互为相反数. 特别地，0的相反数是0. （2） 表示 一般地，和互为相反数.这里，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0. 例如，当时，，即1的相反数是；同时，的相反数是1. 容易看出，在正数前面添上“”号，就得到这个正数的相反数，在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数.记作 例如， 【思维扩展】这里的既可以表示一个数，也可以表示一个式子，且当表示一个式子时，也说是一个整体.当整体（式子）取相反数时，组成这个整体的每一项都要取相反数. 例如，整体的相反数为 （3） 性质 1.性质1：几何性质 互为相反的两个数和，在数轴上对应的点与点分别位于原点的两侧，且它们到原点的距离相等（若，则它们到原点的距离都等于个单位长度）.如下图所示 2.性质2：代数性质 ∵和互为相反数， 而在收入与支出问题中，表示“收入3元”，表示“支出3元”，最后结余0元.这个问题可以用加法表示为 ∴一般地，互为相反的两个数和和为0，记作 3、 实例运用 例1（1）分别写出和的相反数； （2） 的相反数是，写出的值. 解: （1） 的相反数是，记作：; 的相反数是，记作：; （2） ∵与互为相反数， ∴的值是. 例2．如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 【答案】(1)点，表示的数分别为和 (2)点表示的数为 (3)点表示的数为或 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了相反数的定义、利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离； （1）根据数轴，直接写出点，表示的数． （2）根据点，所表示的数互为相反数得出点表示的数为，结合数轴即可求解． （3）分两种情况，原点在点的左侧或右侧分别讨论，即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是， ∴点，表示的数分别为和； （2）解：∵之间的距离为个单位长度，点，所表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为． （3）解：当原点在点的左侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 当原点在点的右侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 4、 变式训练 变式1．化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】化简多重符号 【分析】利用相反数的性质即可得出结果． 【详解】解：． 变式2．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数轴上找原点、相反数的应用 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 5、 达标检测 1．2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】相反数的定义 【详解】解：的相反数是． 2．的相反数（     ） A． B．5 C．3 D．0 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】相反数的定义 【详解】解：的相反数是5． 3．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】化简多重符号 【详解】解：． 4．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.73 【知识点】相反数的应用、用数轴上的点表示有理数 【分析】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 5．若数轴上，点表示，点与的距离是3，点与点表示的数互为相反数，则点表示(    ) A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、数轴上两点之间的距离、分类讨论思想 【分析】本题考查了数轴上两点距离，相反数的定义．先根据点的位置和与点的距离求出点的可能值，再根据相反数的定义求出点的可能值． 【详解】解：点表示，点与点的距离为， 点表示的数为或， 点与点表示的数互为相反数， 当点为时，点为；当点为时，点为， 点表示的数为或， 故选：D． 6．化简______． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】相反数的定义 【详解】解：． 7．数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、数轴上两点之间的距离 【分析】根据已知条件：点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数，就可求出点 A 的坐标，再根据点A、C的距离为10，分两种情况讨论：点C在点A的左边时；点C在点A的右边时，分别求出点C表示的数． 【详解】解：∵点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数， ∴点A表示的数为：， 当点C在点A 的左边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； 当点C在点A的右边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； ∴点C表示的数为：或． 8．如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字、相反数的定义 【分析】本题考查代数式求值及几何图形空间想象，可先做模型再在实践基础上逐步提高空间想象能力． 通过观察展开图发现相对的面，根据相对面的数互为相反数确定的值即可． 【详解】因为相邻的面不能相对，由展开图发现：与2相对，与4相对，根据相对面数之和为0可得：，， 把，代入得： 故答案为：． 9．请化简下列各数： ，，，． 【答案】；，， 【难度】0.94 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查了化简多重符号．根据同号为正，异号为负进行化简即可． 【详解】解：；，，． 10．请分别写出下列各数的相反数： ，13，0，，． 【答案】5；；0；； 【难度】0.85 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】的相反数是； 13的相反数是； 0的相反数是0； 的相反数是； ， 的相反数是． 11．若两个有理数，，满足，则称，互为“友好数”，例如：6和4就是一对“友好数”． (1)求的“友好数”． (2)若的相反数与8互为“友好数”，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、相反数的应用、有理数加法运算、相反数的定义 【分析】解题思路是根据 “友好数” 的定义，列出对应的等式，再通过解方程求出未知的 “友好数” 或字母的值．本题考查有理数的加法与相反数的概念，涉及的知识点是新定义运算、一元一次方程的求解．解题中用到的方法是定义转化法，将 “友好数” 的定义转化为等式，再解方程．解题关键是准确理解 “友好数” 的定义，正确列出等式．易错点是处理相反数时符号错误，或解方程时移项符号出错． 【详解】（1）解：∵ ∴的“友好数”为16． （2）∵ ∴的相反数是2 ∴． 12．（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把0到1之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点A表示的数是；然后把2到3之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点B表示的数是； （2）先根据相反数的定义得到点表示的数是，然后根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点C、点D，并标明相应字母即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将A、B、C、D四个点所表示的数从小到大排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是； 故答案为：，； （2）由于点表示的数是的相反数，故点表示的数是， 如图所示： （3）根据题意得． 13．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是，则点的一次跳跃点表示的数是_______，点关于点的二次跳跃点表示的数是_______，线段的长度为_______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)不变， 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴上两点间的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据相反数的定义、数轴上两点间的距离公式即可得答案； （2）①根据跳跃点的定义可知和关于原点对称，所以可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度；②由题意可知是和中点，再分类讨论，利用数轴上两点距离公式求解即可； 【详解】（1）解：由数轴可知，点，点所表示的数分别为、， ∴点与点之间的距离， ∵点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数是，点与点的中点表示的数是， 故答案为：，， （2）解：①∵点与点表示的数互为相反数，点表示的数是， ∴表示的数是， ∵点与点位于点的两侧，且，点表示的数是， ∴， ∴表示的数为， ∴线段的长度为， 故答案为：，， ②的值不变，，理由如下： 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴； 若，如图所示： ∵点与点位于点的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴， 综上所述：． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 1.2.3相反数 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年6月17日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解相反数的概念；（数学抽象·重点） 2. 理解与掌握相反数的性质，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、直观想象、数学运算·难点） 【学习过程】 1、 问题探究 （一）问题 在数轴上，与原点的距离是3的点有几个？这些点分别表示什么数？这些数之间有什么关系？与原点的距离是的点呢？ （2） 探究 由题意可作下图 有图可知， 数轴上与原点的距离是3的点有 个(点 与点 )，它们表示的数是 和这两个数只有 不同； 与原点的距离是的点也有 个（点 与点 ），它们表示的数是 和这两个数也只有 不同. （3） 归纳 一般地，设是一个正数，数轴上与原点的距离是的点有 个，它们分别在正、负半轴上，表示 和 ，这两个数只有 不同. 2、 相反数的概念、表示与性质 （一）定义 像和，和这样，只有 不同的两个数，互为相反数（opposite number)． 这就是说，的相反数是 ，的相反数是 ，与互为 ；同样地，和互为 . 特别地，0的相反数是 . （2） 表示 一般地，和互为 .这里，表示任意一个数，可以是 、 ，也可以是 . 例如，当时，，即1的相反数是 ；同时，的相反数是 . 容易看出，在正数前面添上“”号，就得到这个正数的 ，在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的 .记作 例如， 【思维扩展】这里的既可以表示一个数，也可以表示一个 ，且当表示一个 时，也说是一个 .当整体（式子）取相反数时，组成这个整体的 都要取相反数. 例如，整体的相反数为 （3） 性质 1.性质1：几何性质 互为相反的两个数和，在数轴上对应的点与点分别位于原点的 ，且它们到原点的距离 （若，则它们到原点的距离都等于 个单位长度）.如下图所示 2.性质2：代数性质 ∵和互为 ， 而在收入与支出问题中，表示“ ”，表示“ ”，最后结余 元.这个问题可以用加法表示为 ∴一般地，互为相反的两个数和和为 ，记作 3、 实例运用 例1（1）分别写出和的相反数； （2） 的相反数是，写出的值. 解: （1） 的相反数是 ，记作： ; （2） 的相反数是 ，记作： ; （3） ∵与互为 ， ∴的值是 . 例2．如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 4、 变式训练 变式1．化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 变式2．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 5、 达标检测 1．2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．的相反数（     ） A． B．5 C．3 D．0 3．计算：（     ） A． B． C． D． 4．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 5．若数轴上，点表示，点与的距离是3，点与点表示的数互为相反数，则点表示(    ) A． B．2 C．或2 D．4或 6．化简______． 7．数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 8．如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则__________． 9．请化简下列各数： ，，，． 10．请分别写出下列各数的相反数： ，13，0，，． 11．若两个有理数，，满足，则称，互为“友好数”，例如：6和4就是一对“友好数”． (1)求的“友好数”． (2)若的相反数与8互为“友好数”，求的值． 12．（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 13．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是，则点的一次跳跃点表示的数是_______，点关于点的二次跳跃点表示的数是_______，线段的长度为_______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $