精品解析：2026年广东广州市第十三中学中考适应性模拟考试数学科(问卷)

广州市第十三中学适应性考试 数学科 （问卷） 满分120分，考试时间为120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式有意义的条件：分母不等于零，据此列出不等式，通过解该不等式求得 的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 2. 下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 3. 在我县“我的中国梦”演讲比赛中，有7名同学参加了比赛，他们最终决赛的成绩各不相同．其中一名学生想要知道自己是否进入前3名，不仅要知道自己的分数，还得知道这7名学生成绩的（ ） A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【详解】由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第3的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少． 故选：D． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的性质，合并同类项和积的乘方运算，根据对应运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 算术平方根是求非负数的非负平方根， ∴ ，A错误． ∵ ， ∴ B错误． ∵ 合并同类项时，系数相加减，字母与字母的指数不变， ∴ ，C错误． ∵ 根据积的乘方运算法则，，运算正确， ∴ D正确． 5. 如图，在 中，点D是边 的中点，点F在 边上，且 平分，已知，则 的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查等腰直角三角形的性质，三角形中位线的性质，根据题意得出，再由等角对等边确定，得出点E为 中点，利用中位线的性质确定，即可求解，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键 【详解】解：根据题意得， ∵ 平分，， ∴， ∴， ∴点E为 中点， ∵点D是边 的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键． 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里外的城市，用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天．已知快马速度是慢马速度的2倍，求慢马的速度．设慢马的速度为 里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设慢马的速度为 里/天，则快马的速度为里/天，根据“用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天” 【详解】解：设慢马的速度为 里/天，则快马的速度为里/天， 根据题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8. 给出下列函数： ① ， ②， ③， ④，其中符合条件“当 时，函数值 随自变量 增大而增大”的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在 时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于 ，是一次函数，，随 增大而增大，当 时符合条件； ②对于，是一次函数，，随 增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时 随 增大而减小，当 时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为 ，时 随 增大而增大，故当 时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 9. 如图，在 中， ， ， ，将 绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A 是对应点，点与点 B 是对应点．若点恰好落在 边上，则点A到直线的距离等于（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作于点D，由旋转得，，可得为等边三角形，则．在 中，求得，进而在 中，求得 ，可得答案． 【详解】解：过点A作于点D． 由旋转得，，， 又 ， ∴为等边三角形， ∴． ∴ 在 中，， 在 中，， ∴点A到直线的距离等于3． 10. 如图，菱形 中，A，C两点在y轴上，轴，边 交x轴于点F， 边交双曲线于点B、E，，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作垂直于y轴，垂直于x轴，垂足分别为T、G、H，设点E横坐标为m，点B横坐标为n，根据和k的几何意义求出m与n的关系，再通过m表示菱形面积求解． 【详解】解：作垂直于y轴，垂直于x轴，垂足分别为T、G、H，设点E横坐标为m，点B横坐标为n， ∴点E坐标为 点B坐标为． ∵轴，， ∴， ∴， ∴，即． ∴点B坐标为， ∵ ∴， ∵， ∴． ∴， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，解题关键是设出点B，E坐标及作辅助线． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 函数中自变量 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底． 13. 如图， 已知，的垂直平分线 交 于点D，则_______ 度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质， 先根据“等边对等角”求出 ，再根据线段垂直平分线的性质得 ，然后结合“等边对等角”求出 ，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴． ∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：30． 14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π） 【答案】8﹣2π 【解析】 【分析】根据S阴=S△ABD-S扇形BAE计算即可． 【详解】解：四边形ABCD为正方形， 所以， S阴=S△ABD-S扇形BAE=×4×4-=8-2π， 故答案为8-2π． 【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积． 15. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．由题意画出图形，设出未知数，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意知， ，，是半径，且， ， 设铅球的半径为，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 则铅球的直径为：， 故答案为：． 16. 如图，在 中，是线段 上一点（不与端点重合），连接 ，以 为边，在 的右侧作等边三角形 ，线段 与线段 交于点F，则线段 长度的最大值为________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点 作 于 ，解 得到，证明，可得，根据可知当 有最小值时， 有最大值，当 时， 有最小值，即 有最小值，此时点D与点H重合，可求出 的最小值为，则 的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点 作 于 ， 在 中，， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当 有最小值时， 有最大值， ∴当 有最小值时， 有最小值， ∴当 时， 有最小值，即 有最小值，此时点D与点H重合， ∴ 的最小值为， ∴ 的最小值为， ∴ 的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先用加减消元法求出 ，将 代入①求出 ，即可求解． 【详解】解：， 得， 解得： ， 把 代入①得：， 解得： ， 所以方程组的解为． 18. 如图，，，，求 的长. 【答案】． 【解析】 【分析】先由 证明，即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握 判定定理和全等三角形的性质是解题的关键． 19. 已知（，且 ）． （1）化简H； （2）若数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且，求H的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数与数轴： （1）先把括号内的分式通分，再根据分式的除法计算法则求解即可； （2）根据题意得到，据此代值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且， ∴， ∴． 20. 广州市某中学响应国家政策，减轻家长负担，为学生提供优质午托．食堂为参加午托的960名同学提供了A、B、C、D四种套餐，为了解同学对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取了240名进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 ．扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 ； （2）如果你是学生会主席，你决定从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中随机选两人担任食堂“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用240人乘以A套餐的百分比，即可得到喜欢A套餐的人数，再利用 乘以C套餐所占人数比，即可解题； （2）根据题意画出树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由图知，总共有种情况，其中甲被选到的情况数有 种， 甲被选到的概率为． 21. 史载伟大诗人屈原之弟子宋玉与楚襄王对话，赞美东家之子“增之一分则太长，减之一分则太短，著粉则太白，施朱而太赤……” （1）据考据，当时一分约为现在的 厘米，若东家之子增十分后的身高是减十分后身高的倍，求其身高是多少厘米？ （2）楚时好华服，东家之子欲买绢与锦共12匹制成裳，绢价每匹15钱，锦价每匹20钱，若锦的数量不少于绢数量的2倍，请你为她设计一种购买方案，使所需总费用最低． 【答案】（1）厘米 （2）购买绢 匹，锦 匹时总费用最低 【解析】 【分析】（1）本题是一元一次方程的实际应用，设身高为未知数，根据增十分后身高与减十分后身高的倍数关系列方程求解即可． （2）本题结合一元一次不等式与一次函数性质解决实际问题，先根据数量关系列不等式求自变量的取值范围，再根据一次函数的增减性，求出总费用最低时的购买方案． 【小问1详解】 解：设东家之子的身高为 厘米．由题意得，一分约为厘米， 增十分后身高为厘米，减十分后身高为厘米． 根据题意列方程得： 解得 答：东家之子的身高是厘米． 【小问2详解】 解：设购买绢 匹，则购买锦匹，所需总费用为 钱． 根据题意得 解得 为非负整数，因此，且 为整数． 总费用 随 的增大而减小 当 取最大值 时， 取得最小值，此时 答：购买绢 匹，锦 匹时，所需总费用最低． 22. 如图，已知 ， ， （1）尺规作图：在 边求作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接 ，若，求与 的面积比． 【答案】（1） 如图，点 即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，尺规作一个角等于已知角，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）按照尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先根据正切求得，设，由勾股定理得，证明，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴ ∴． 23. ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从 点击球，击球点是拋物线的最高点，点 到地面的距离，球网上端点 到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点 正上方处的点 ，网前吊球和扣杀球的落点分别为点 、 ． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在 处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以 为坐标原点， 所在的中线为 轴， 所在的中线为 轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点 坐标，则 可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线 的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令 ，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令 ，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从 点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 24. 在平面直角坐标系中，平移抛物线的图象，若其顶点 始终都在直线 （ ， 均为常数）上，则称直线 为抛物线的“型亲密线”． （1）当抛物线满足时， ①若此时抛物线的图象恰好经过原点，求顶点 的坐标； ②求该抛物线的“型亲密线”的表达式； （2）将抛物线进行平移，得到抛物线，设抛物线与 轴交点的纵坐标为 ，顶点 的横坐标为 ，当时， 有最小值1，若此时抛物线有“型亲密线”，求 的值． 【答案】（1）①；② （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）①先结合抛物线，，得出，再结合抛物线的图象恰好经过原点，求出，即可作答． ②把整理成顶点式，又因为直线 为抛物线的“型亲密线”，故设，则，即可作答． （2）先结合抛物线有“型亲密线”，得出二次函数可表示为，令 ，则，此时 是关于 的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，运用二次函数的性质以及分类讨论思想进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解： ①∵抛物线的图象恰好经过原点 ∴将代入得：， 解得：， ， ∴其顶点坐标为； ②， 其顶点坐标为， ∵直线 为抛物线的“型亲密线” ∴设，则， 该二次函数“型亲密线”为； 【小问2详解】 解： 二次函数有“型亲密线” 二次函数平移后的顶点在直线上， ∵设抛物线与 轴交点的纵坐标为 ，顶点 的横坐标为 ， ∴当 时，则 则二次函数可表示为 令 ，则， 此时 是关于 的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， 当时， 有最小值1 ①若，即， 当时，为最小值1， 即 解得，不满足，故舍去； ②若，即， 当时，为最小值1， 即 解得； ③若，即， 当时，为最小值1， 即 解得，（不满足，故舍去） 综上， 的值为或． 25. 问题提出： （1）如图①，半圆O的直径 ，点P是半圆O上的一个动点，则的面积最大值是_______． 问题探究： （2）如图②，在边长为10的正方形 中，点G是 边的中点，E、F分别是 和 边上的点，请探究并求出四边形的周长的最小值． 问题解决： （3）如图③，四边形 中，，， ，四边形 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）25；（2）四边形的周长的最小值为30；（3）存在，四边形 的周长最大值为． 【解析】 【分析】（1）点 运动至半圆 的中点时，底边 上的高最大，即，求出此时的面积即可； （2）作点 关于 的对称点，作点 关于 的对称点，连接，，，根据，，推出四边形的周长的最小值，然后根据勾股定理求得，即可解决问题； （3）连接 、 ，在 上取一点，使得，首先证明 、 、 、 四点共圆，再证明，得到，最后证明当 为 的外接圆的直径时，四边形 的周长最大，然后利用勾股定理求得 即可． 【详解】解：（1）如图1，点 运动至半圆 的中点时，，底边 上的高最大， ∵半圆O的直径 ， ∴，此时的面积最大值， ∴， 故答案为：25； （2）如图2，作点 关于 的对称点，作点 关于 的对称点，连接，，， ∵正方形 的边长为10，点G是 边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的周长的最小值， ∵，，， ∴， ∴四边形的周长的最小值为； （3）如图3，连接 、 ，在 上取一点，使得， ∵， ， ∴， ∴ 、 、 、 四点共圆， ∵，， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 的周长， ∵， ∴当 最大时，四边形 的周长最大， ∴当 为 的外接圆的直径时，四边形 的周长最大， ∴此时，， ∴， ∴， ∵， ∴此时， ∴四边形 的周长最大值为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的面积、轴对称、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第十三中学适应性考试 数学科 （问卷） 满分120分，考试时间为120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在我县“我的中国梦”演讲比赛中，有7名同学参加了比赛，他们最终决赛的成绩各不相同．其中一名学生想要知道自己是否进入前3名，不仅要知道自己的分数，还得知道这7名学生成绩的（ ） A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 4. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，点D是边 的中点，点F在 边上，且 平分，已知，则 的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里外的城市，用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天．已知快马速度是慢马速度的2倍，求慢马的速度．设慢马的速度为 里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 给出下列函数： ① ， ②， ③， ④，其中符合条件“当 时，函数值 随自变量 增大而增大”的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 9. 如图，在 中， ， ， ，将 绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A 是对应点，点与点 B 是对应点．若点恰好落在 边上，则点A到直线的距离等于（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3 10. 如图，菱形 中，A，C两点在y轴上，轴，边 交x轴于点F， 边交双曲线于点B、E，，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 函数中自变量 的取值范围是______． 12. 因式分解：__________． 13. 如图， 已知，的垂直平分线 交 于点D，则_______ 度． 14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π） 15. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为______ ． 16. 如图，在 中，是线段 上一点（不与端点重合），连接 ，以 为边，在 的右侧作等边三角形 ，线段 与线段 交于点F，则线段长度的最大值为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程组 18. 如图，，，，求 的长. 19. 已知（，且 ）． （1）化简H； （2）若数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且，求H的值． 20. 广州市某中学响应国家政策，减轻家长负担，为学生提供优质午托．食堂为参加午托的960名同学提供了A、B、C、D四种套餐，为了解同学对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取了240名进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 ．扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 ； （2）如果你是学生会主席，你决定从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中随机选两人担任食堂“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 21. 史载伟大诗人屈原之弟子宋玉与楚襄王对话，赞美东家之子“增之一分则太长，减之一分则太短，著粉则太白，施朱而太赤……” （1）据考据，当时一分约为现在的 厘米，若东家之子增十分后的身高是减十分后身高的倍，求其身高是多少厘米？ （2）楚时好华服，东家之子欲买绢与锦共12匹制成裳，绢价每匹15钱，锦价每匹20钱，若锦的数量不少于绢数量的2倍，请你为她设计一种购买方案，使所需总费用最低． 22. 如图，已知 ， ， （1）尺规作图：在 边求作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接 ，若，求与 的面积比． 23. ［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从 点击球，击球点是拋物线的最高点，点 到地面的距离，球网上端点 到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点 正上方处的点 ，网前吊球和扣杀球的落点分别为点 、 ． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在 处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 24. 在平面直角坐标系中，平移抛物线的图象，若其顶点 始终都在直线 （，均为常数）上，则称直线 为抛物线的“型亲密线”． （1）当抛物线满足时， ①若此时抛物线的图象恰好经过原点，求顶点 的坐标； ②求该抛物线的“型亲密线”的表达式； （2）将抛物线进行平移，得到抛物线，设抛物线与 轴交点的纵坐标为 ，顶点 的横坐标为，当时， 有最小值1，若此时抛物线有“型亲密线”，求的值． 25. 问题提出： （1）如图①，半圆O的直径 ，点P是半圆O上的一个动点，则的面积最大值是_______． 问题探究： （2）如图②，在边长为10的正方形 中，点G是 边的中点，E、F分别是 和 边上的点，请探究并求出四边形的周长的最小值． 问题解决： （3）如图③，四边形 中，，， ，四边形 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $