第3章 3.1 导数的概念及运算（PPT课件）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦导数及其应用专题，依据高考评价体系梳理了曲线的切线、函数单调性、极值、不等式、零点五大核心考点，通过5年考频分析明确切线7考、单调性7考、不等式8考等高频考点分布，归纳已知切线求参数、含参单调性讨论等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“考情-知识-考点”三位一体设计，融入近五年全国卷真题示例，如2025全国卷切线问题、2024新课标Ⅰ极值参数题，提炼切线问题“设切点-求导得斜率-联立方程”三步法，培养数学运算、逻辑推理素养。典型题型如公切线问题解析，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

考情清单 知识清单 考点清单 目 录 CONTENTS 返回目录 考情清单 考点 真题示例 考向 5年考频 核心素养 曲线的切线 2025全国一卷,12 已知切线求参数 7考 数学运算 直观想象 2024新课标Ⅱ,16(1) 在某点处的切线方程 2021新高考Ⅱ,16 2022新高考Ⅱ,14 过某点的切线方程 2022新高考Ⅰ,15 2021新高考Ⅰ,7 2024新课标Ⅰ,13 公切线问题 返回目录 导数与函数的 单调性 2025全国二卷,18(2) (i) 不含参函数的单调性 7考 数学抽象 数学运算 逻辑推理 2021新高考Ⅰ,22(1) 2025全国二卷,18(2) (ii) 利用单调性比较大小 2022新高考Ⅰ,7 2023新课标Ⅰ,19(1) 讨论含参函数的单调 性 2021新高考Ⅱ,22(1) 2023新课标Ⅱ,6 已知单调性求参 返回目录 利用导数研究 函数的性质 2024新课标Ⅰ,10 三次函数的性质 3考 数学运算 2024新课标Ⅱ,11 2022新高考Ⅰ,10 导数与函数的 极(最)值 2025全国二卷,13 已知极值求参 7考 数学运算 逻辑推理 2024新课标Ⅱ,16(2) 2023新课标Ⅱ,11 2023新课标Ⅱ,22(2) 2022新高考Ⅰ,22(1) 已知最值求参 2025全国一卷,19(1) 求函数最值 2021新高考Ⅰ,15 返回目录 导数与函数不等式 2025全国一卷,19(3) 恒成立问题求参 8考 数学运算 逻辑推理 2022新高考Ⅰ,22(2) 2024新课标Ⅰ,18(1) (3) 2025全国一卷,19(2) 不等式存在性问题 2023新课标Ⅰ,19(2) 利用最值证明不等式 2023新课标Ⅱ,22(1) 2022新高考Ⅱ,22(3) 利用放缩法证明不等 式 2021新高考Ⅰ,22(2) 构造函数证明不等式 返回目录 导数与函数零点 2025全国二卷,18(1) 函数的零点问题 3考 数学运算 逻辑推理 2022新高考Ⅰ,22(2) 2021新高考Ⅱ,22(2) 综合分析 　　本章知识内容丰富,题目难度跨度较大,出题形式常常是一大一小.重点考查内容 有:①利用导数的几何意义求曲线的切线方程;②利用导数研究函数的单调性、极值、 最值问题;③利用导数解决不等式恒成立问题、存在性问题、不等式证明问题;④利用 导数研究函数零点问题,在复习备考中要注重练习含参问题的讨论、恒成立问题的转 化以及有等式证明问题的处理方法,重视数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与 方程思想的应用. 返回目录 3.1 导数的概念及运算 返回目录 知识清单 知识点　导数的概念及运算 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f '(x0)或y' ,即f '(x0)=  =  . (2)函数y=f(x)的导函数为f '(x)=y'=  . 返回目录 注意    f '(x)与f '(x0)的区别与联系: f '(x)是一个函数, f '(x0)是函数f '(x)在x0处的函数值(常 数),所以[f '(x0)]'=0. 2.导数的几何意义 函数f(x)在x=x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率.相应地,切线 方程为y-y0= f '(x0)(x-x0). 函数y=f(x)的导数f '(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,|f '(x)|的大小反映了f(x)图象变化 的快慢,|f '(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 返回目录 3.导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f '(x)=0 f(x)=xα(α∈R且α≠0) f '(x)=αxα-1 f(x)=sin x f '(x)=cos x f(x)=cos x f '(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f '(x)=axln a f(x)=ex f '(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f '(x)=  f(x)=ln x f '(x)=  返回目录 (2)导数的运算法则 [f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x); [f(x)·g(x)]'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x);  '= (g(x)≠0); [cf(x)]'=cf '(x). (3)复合函数的导数 一般地,由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的 导数间的关系为y'x=y'u·u'x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 知识拓展     '=-  ,( )'= . 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)设f(x)为R上的可导函数,且f '(1)=1,则  =2. ( ) (2)函数y=2sin(1-3x)的导函数为y'=6cos(1-3x). ( )     ✕         ✕     返回目录 2.曲线y=x2-ln x在x=1处的切线的斜率为 ( ) A.2　　    B.-2　　    C.1　　    D.-1     C     返回目录 3.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+x+2(a≠0)相切,则a= ( ) A.- 　　    B. 　　    C.- 　　    D.      D     返回目录 4.已知f(x)=tan x,则f ' =_________.     4     返回目录 5.已知f(x)=f ' sin x-cos 2x,则f(x)在x= 处的导数为__________.     2      返回目录 考点清单 考点1　导数的概念及运算 典例1　求下列函数的导数: (1)y=e3x;(2)y=(3x2+2x+1)cos x; (3)y= ;(4)y=2xcos x-3xlog3x. 返回目录 解析    (1)y'=(e3x)'=3e3x. (2)y'=(3x2+2x+1)'cos x+(3x2+2x+1)·(cos x)' =(6x+2)cos x-(3x2+2x+1)sin x. (3)因为y= =3 +x-5+ ,所以y'=  -  +1. (4)y'=(2x)'cos x+2x(cos x)'-(3x)'log3x-3x(log3x)' =2xln 2cos x-2xsin x-3log3x-3x·  =2xln 2cos x-2xsin x-3log3x-3log3e. 返回目录 解题技巧    1.求函数导数的原则:先化简解析式,再求导. 2.(1)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求导; (2)复合函数求导,应由外向内逐层求导,必要时可换元. 返回目录 变式训练 1.(情境模型变式)(2025届福建泉州阶段练)已知函数f(x)=ex+2f '(0)x+1,则f '(2)的值为 ____________.     e2-2     解析　由题意知f '(x)=ex+2f '(0),所以f '(0)=1+2f '(0),所以f '(0)=-1, 所以f '(x)=ex-2,所以f '(2)=e2-2. 返回目录 2.(情境模型变式)若定义域都为R的函数f(x)及其导函数f'(x),满足对任意实数x都有 f(x)-f(2 025-x)=2x-2 025,则 f '(k)=_____________.     2 024     解析　对f(x)-f(2 025-x)=2x-2 025两边同时求导得f '(x)-f '(2 025-x)·(2 025-x)'=2,即f '(x)+ f '(2 025-x)=2【不要忘记对内层函数求导】,则f '(1)+f '(2 024)=2,f '(2)+f '(2 023)=2,······, f '(1 012)+f '(1 013)=2,从而 f '(k)=2×1 012=2 024. 返回目录 考点2　曲线的切线 角度1　在某点处的切线问题 典例2　(切点已知)(2020课标Ⅰ理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切 线方程为 ( ) A.y=-2x-1　　    B.y=-2x+1 C.y=2x-3　　    D.y=2x+1     B     解析    f'(x)=4x3-6x2,则f'(1)=4-6=-2,易知f(1)=1-2=-1,由点斜式可得函数f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为y-(-1)=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B. 返回目录 解题技巧　解决切线问题的注意事项 1.切点在切线上,即切点坐标可代入切线方程建立等式关系. 2.切点在曲线上,即切点坐标可代入曲线方程建立等式关系. 3.在切点横坐标处的导数等于切线的斜率. 返回目录 变式训练 3.(切点未知)(2025届福建莆田二模,5)曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1,则P的坐 标为( ) A.(-1,-1)　　    B. 　　     C.(1,e-1)　　    D.(1,2e-1)     B     返回目录 解析　由y=xex-x得y'=(x+1)ex-1, 因为曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1,所以令y'=-1,即(x+1)ex=0,故x=-1,此时y=-e-1- (-1)=1- , 即P的坐标为 .故选B. 返回目录 角度2　过某点的切线问题 典例3    (2025届河南名校学术联盟冲刺(六),4)过原点且与曲线y=xsin x相切的直线有  ( ) A.1条　　    B.2条　　    C.3条　　    D.4条     C     返回目录 解析    设切点坐标为(x0,x0sin x0),切线方程为y=kx. 对y=xsin x求导得y'=sin x+xcos x, 则 当x0=0时,k=0,此时切线方程为y=0;当x0≠0时, =sin x0+x0cos x 0,所以x0cos x0=0,所以cos x0=0,所以x0= +nπ,n∈Z, 所以k=±1,所以切线方程为y=±x, 所以切线有3条.故选C. 返回目录 解题技巧　若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程. (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f '(x0)·(x-x0); (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P'(x1, f(x1)); 第二步:写出过点P'(x1, f(x1))的切线方程:y-f(x1)=f '(x1)(x-x1); 第三步:将点P(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f '(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程. 返回目录 变式训练 4.(结论拓展变式)(2025届湖北省实验中学月考,13)已知直线y=kx+b与函数f(x)= x2+ ln x的图象相切,则k-b的最小值为_________. 返回目录 解析　设切点为P , 由f'(x)=x+ ,得斜率k=x0+ , 则切线方程为y- = (x-x0), 即y= x-  +ln x0-1, 故  返回目录 【与y=kx+b作比较,对应项系数相等】 故k-b=  +x0+ -ln x0+1, 令g(x)= x2+x+ -ln x+1(x>0), 则g'(x)=x+1- - = , 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)= ,即k-b的最小值为 . 返回目录 角度3　公切线问题 典例4    (2025届湖南名校联合体三模,8)若直线y=kx+1(k为常数)是曲线y=ln x+1和曲线 y=aex+1的公切线,则实数a的值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.e     B     返回目录 解析　解法一　对于y=ln x+1,定义域为(0,+∞),则y'= , 设直线y=kx+1与曲线y=ln x+1的切点为(x1,ln x1+1), 则切线方程为y-ln x1-1= (x-x1),即y= x+ln x1, 又因为y=kx+1,所以 【利用两条切线重合,建立等式关系】 解得x1=e,k= ,所以切线方程为y= x+1. 令g(x)=y=aex+1,则g'(x)=aex, 返回目录 设直线y= x+1与曲线y=aex+1的切点为(x0,a +1),所以g'(x0)=a = ①, 又因为切点(x0,a +1)在直线y= x+1上,所以a +1= x0+1, 即a = x0②,由①和②可得x0=1, 所以ae= ,解得a= . 解法二　设直线y=kx+1(k为常数)与曲线y=ln x+1和曲线y=aex+1的切点分别为P(x1,y1), Q(x2,y2),则 返回目录  ⇒ln x1=kx1=1. ∴x1=e,k= . 同理 ⇒a =kx2=k.∴x2=1,∴k=ae= ,∴a= .故选B. 返回目录 解题技巧　利用导数的几何意义求两曲线的公切线   ①切点为两曲线的公共点,即f(x0)=g(x0); ②切线斜率相同,即f'(x0)=g'(x0)   分别写出两曲线的切线方程,由于重合,则对应系数相等, 解方程得结果 返回目录 变式训练 5.(关键元素变式)(2026届安徽皖豫名校联盟调研,4)已知函数f(x)=x2+ax+2与g(x)=ex+ b的图象在x=1处的切线重合,则a+b= ( ) A.e-1　　    B.e　　     C.e+1　　    D.e+2     A     解析　由题意得f '(x)=2x+a,g'(x)=ex.则有  即 解得 故a+b=e-2+1=e-1.故选A. 返回目录 6.(设问条件变式)(2024届广东茂名一模,7)曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线,则实 数a的取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　     D.      B     返回目录 解析　对两个函数分别求导得y'= ,y'=2x+2a, 设公切线与曲线y=ln x,y=x2+2ax的切点分别为(x1,ln x1),(x2, +2ax2),则在这两点处的切 线方程分别为y= +ln x1-1,y=(2x2+2a)x- , 则 【利用切线重合,建立等式关系】 所以2a= -2x2,【ln x1=1- ,则 = ,即x1= 】 设f(x)= -2x, f '(x)=2(x -1), 则f '(1)=0, 令g(x)=f '(x)=2(x -1), 返回目录 所以g'(x)=2(2x2+1) >0, 所以g(x)在R上单调递增, 又f '(1)=g(1)=0, 则f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以2a≥f(1)=-1,a≥- .故选B. 返回目录 $