湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末数学专题训练11（空间图形中的垂直证明）

**基本信息** 聚焦空间垂直证明，以定理转化为核心，构建"线线-线面-面面"垂直推理体系，渗透空间观念与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|5题（含折叠/多面体）|线面垂直判定（线线垂直→线面垂直）、面面垂直性质（交线垂直→线面垂直）|从基本定理辨析到复杂几何体应用，形成"定义-定理-应用"逻辑链| |解答题|2题（五面体/组合体）|辅助线构造（中点连线/垂线）、定理综合应用（平行转化垂直）|通过多条件综合，深化垂直关系转化与空间想象能力|

湖北曾都一中2025至2026学年高一数学期末复习专题复习11 （空间图形中的垂直证明） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．如图，在正方体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面 交棱于点G，则下列结论中正确的是（     ） A．直线与直线异面 B．平面平面 C．截面是梯形 D．直线平面 3．（多选）如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 二、填空题 4．如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是____________. ① 平面平面；② ； ③ 平面平面；④ 锐二面角的余弦值为 5．过所在平面外一点，作平面ABC，垂足为，连接PA，PB，PC．若，，垂足都为，则点是的____________心． 三、解答题 6．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 7．如图，在五面体中，平面，，四边形为矩形，，，，，G是的中点． (1)证明：平面． (2)求直线AE与直线所成角的余弦值． 湖北曾都一中2025至2026学年高一数学期末复习专题复习11 （空间图形中的垂直证明）参考答案 题号 1 2 3 答案 D C ABC 2．C 【详解】对于选项A：因为点E，F分别为棱AB，BC的中点，则， 又因为，且，可知四边形为平行四边形，则，可得，可知四点共面， 所以直线与直线不是异面直线，故A错误； 对于选项B：因为，且，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 同理可得：，， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，可得平面平面， 又因为平面平面，所以平面与平面不平行，故B错误； 对于选项C：因为平面平面，平面平面，平面平面， 则，且，则， 又因为为的中点，则为的中点，可得， 且，可得，所以截面是梯形，故C正确； 对于选项D：由选项C可知平面即为平面， 显然直线与不垂直，所以直线与平面不垂直，故D错误. 3． ABC 【详解】选项A：因为垂直于圆所在的平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故选项A正确； 选项B：因为平面，平面，所以， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点， 所以，即， 因为，平面，所以平面，故选项B正确； 选项C：因为平面，平面，所以， 因为于点，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为于点，，平面， 所以平面，故选项C正确； 选项D：平面平面，平面，于点， 假设平面平面，则必有平面， 因为平面，则必有，因为平面，平面，则有， 因为平面，则必有， 因为垂直于圆所在的平面，，所以，因为于点， 所以为的中点，由，则为的中点，又于点，则， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点，，推出矛盾. 故假设错误， 选项D错误. 4．③④ 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，，所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 5．垂【详解】因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，，则点是的垂心． 6．【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【详解】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因平面，平面，平面平面，则 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 7．【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）在矩形中，，． 因为，，平面， 所以平面．因为平面，所以，即． 因为平面，平面，所以． 过点作，垂足为． 又，，，，， 所以，即． 又，平面， 所以平面． （2）设，分别为，的中点，连接，，． 在中，．因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 可得为直线与直线所成的角或补角． 过点作，垂足为，连接． 又，，，，， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $