26.4 实际问题与二次函数（讲义，1大知识10大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与二次函数”核心知识点，系统梳理从审题、设元、列函数关系式到求解、检验的完整解题步骤，衔接二次函数图像与性质，为学生提供解决实际问题的结构化学习支架。 资料以销售、拱桥、投球等10类真实情境题型为载体，通过典例精析与变式巩固，引导学生用数学眼光发现数量关系，用数学思维推理最优解，用数学语言建立函数模型。课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识与创新能力。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 知识点一 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 即学即练 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（   ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且，已知，．种花的面积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，根据矩形的性质结合图形列出关于x的函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为450， 故种花的面积小于等于， 故只有选项C符合题意； 故选C． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，如图，隔离区一面靠长为5的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．则：（    ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是关键．设平行于墙的长度为，隔离区域的面积为S，则该区域另一边长为，即可列出函数关系式，再根据二次函数的性质，结合，即可求出最大值；令，可求得x的值，即可判断答案． 【详解】解：设平行于墙的长度为，隔离区域的面积为S， 则（）， 抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线开口向下，在对称轴的左侧S随着x的增大而增大， 当时，S有最大值，最大值为， 小明的说法错误； 令，则， ， 解得，（舍去）， 当时，， 隔离区的面积可能为， 小亮的说法正确． 故选：B． 4．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，等边三角形的边长为20，分别以顶点A、B、C为圆心，画3个全等的圆．若圆的半径为x，且，阴影部分的面积之和为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，探究变量之间的函数关系，准确地计算阴影部分面积之和并熟知二次函数图象特征是解题关键．先求出阴影部分的面积之和，再整理得到y与x之间函数关系式，最后根据二次函数图象性质以及x的取值范围得到答案． 【详解】解：∵3个全等的圆与等边三角形形成的阴影部分为三个全等的扇形， ∵圆的半径为x，阴影部分的面积之和为y， ∴， 即，， 故选：A． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化，所得利润．下列结论中正确的是（    ） A．涨价时不存在利润最大 B．自变量的取值范围是 C．当时，最大利润为6000元 D．当定价65元时，利润最大为6250元 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，y取得最大值，为6250， 即涨价5元时存在利润最大，为6250元，故A、C选项错误，不符合题意； 此时当定价65元时，利润最大为6250元，故D选项正确，符合题意； 根据题意得：且， 即自变量的取值范围是，故B选项错误，不符合题意； 故选：D 题型01 根据实际问题列二次函数解析式 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，设解析式为，根据，，构建方程组求解即得． 本题主要考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法确定二次函数解析式，结合抛物线在坐标系的位置，将二次函数解析式设为适当的形式，是解题的关键． 【详解】∵抛物线关于y轴对称， ∴设解析式为， 由题知，， 得， 解得， ∴． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值．铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，该二次函数的解析式为．若以过出手点且与地面垂直的直线为轴，轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则该二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，解题的关键是掌握a的确定方法和抛物线顶点式的求法．理解题意，先得出二次项系数为，结合以过出手点且与地面垂直的直线为轴，轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，且当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值，即顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：依题意，图2二次函数的解析式为，铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值， 即二次函数的顶点坐标为， 图3二次函数的解析式为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，，，，四边形是的内接矩形，若的长为，矩形的面积为，则与的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、函数关系式及等腰三角形的性质的综合运用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和矩形的性质，要充分利用数形结合思想．根据等腰三角形的性质和矩形的性质推出，从而可推出矩形一边长，从而根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 四边形是的内接矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 题型02 销售问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则的值为______． 【答案】 20 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，设销售单价为元时，利润为，列出二次函数，确定最大利润时销售单价为35元，对应销售量为150件；设，根据降价后销售额5670元列出方程，解二次方程得到t的值，进而得到a的值；选择使销售量最大的a值． 【详解】解：设销售单价为元时，利润为， 根据题意，得， ∵， ∴当时，有最大值， 此时，销量为（件）， 则降价促销后，售价为元，销售量为件． 根据题意，得， 设， 则方程为，即， 解得或， 则或， 为使销量尽可能大，则． 故答案为：20． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示 (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)，x为整数 (2)当销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润3150元 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）设利润为w元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列w关于x的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入，得：， 解得， 销售单价不低于成本，销售利润率不高于， ， ，x为整数 y与x的函数关系式为，x为整数； （2）解：设利润为w元， 则 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值为， 即当销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润3150元． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）春节临近，由于我县执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨（，且x是整数）元． (1)这款电子鞭炮每个的售价上涨x元时，每天销售量为________个； (2)为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ (3)这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 【答案】(1) (2)售价应定为50元 (3)当售价定为60元时，商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元 【分析】（1）利用该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，即可求解； （2）单个利润为，根据“总利润单个利润销售量”列出方程求解，并结合，即可求解； （3）设每天利润为y元，则可列出利润的函数解析式为，结合，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个， ∴这款电子鞭炮每个的售价上涨x元时，每天销售量为个； （2）解：单个利润：， 由题意，得， 解得：，， ， ， 即售价定为：元． 答：这款电子鞭炮每个的售价应定为50元． （3）解：设每天利润为y元， 由题意得， ∵，， ∴当时，函数值有最大值：（元）， 此时售价为（元）． 答：当售价定为60元时，商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元． 3．（25-26九年级上·山东威海·期末）花草培育公司计划用8万元的资金投资绿植和花卉．经市场调研得知：投资绿植的利润与投资金额x的关系为；投资花卉的利润与投资金额x的关系为．设投资花卉的金额为m．（说明：利润与投资金额的单位均为“万元”） (1)求公司能获得利润的范围； (2)要使利润不低于18.5万元，求m的范围． 【答案】(1)公司能获得利润的范围为 (2)m的范围为 【分析】对于本题，需要通过建立函数模型求解，正确利用二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设能获得利润w万元，由题意得，再根据二次函数的性质求解即可； （2）先根据题意得到方程，求出的值，再根据二次函数与不等式的关系求解即可． 【详解】（1）解：设能获得利润w万元，由题意得 ． ∵， ∴当时，w的最小值是14． ∵， ∴当时，． ∴当时，． ∴公司能获得利润的范围为． （2）解：由，得（舍），． ∵， ∴要使利润不低于18.5万元， ∴m的范围为． 题型03 拱桥问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系，求二次函数的解析式是解题的关键．以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则，，，设经过A、B、C三点的抛物线解析式为，把代入，求出，再求出抛物线的顶点纵坐标即可． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，， 设经过A、B、C三点的抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·三模）学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题： (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 【答案】(1) (2)此桥面可通行． 【分析】（1）读懂题意，先得，再设中间大孔抛物线的函数表达式为，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）读懂题意，把代入，求出，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，得， 设中间大孔抛物线的函数表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴中间大孔抛物线的函数表达式为； （2）解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没， ∴把代入， 得， 解得， ∴， ∴， 答：此桥面可通行． 2．（25-26九年级上·江苏南通·月考）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 3．（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为． 【建立模型】 （1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式； 【初步应用】 （2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度； 【拓展应用】 （3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）从左到右第3根吊杆的长度是；（3） 【分析】（1）根据坐标系特点，图2中设解析式为，图3中设函数表达式为，确定顶点坐标，待定系数法解答即可， （2）根据函数的解析式，计算时的函数值即可； （3）设抛物线的解析式为，则其顶点为，则，．把，代入，得；把，代入，得，解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的性质，正方形的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：选图2，则，，顶点坐标为， 可设抛物线的函数表达式为， 把代入，得：， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． 选图3，则，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把，得：， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：选择图2，抛物线为． 因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为． 把代入，得 所以从左到右第3根吊杆的长度是． 选择图3，抛物线为． 因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为． 把代入，得 所以从左到右第3根吊杆的长度是． （3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为， 的顶点在正方形内，，，，， 则，． ， ∴当和时，， 把代入，得：，， 把代入，得：，， 当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大， 当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大． 把，代入，得； 把，代入，得， ∴抛物线二次项系数的取值范围为． 解法2 如果以点B为原点建立坐标系，则， 设抛物线的解析式为，则其顶点为， 的顶点在正方形内，，，， 则，． ， ∴当和时，， 把代入，得，， 把代入，得，， 当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大， 当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大． 把，代入，得； 把，代入，得； ∴抛物线二次项系数的取值范围为． 题型04 喷水问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，这是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点为原点，水平方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点，为水花的落水点且均在轴上，其中右侧抛物线的表达式为，喷水管的高度为． （1）的值为________； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管的高度，使落水点与喷水管的水平距离为，则喷水管要降低的高度为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可． 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． 故答案为：； （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏连云港·周测）如图1，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头安装在离地高度为米，距离墙面水平距离为米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． (1)求该水柱最外层所在抛物线的函数解析式； (2)按照此安装方式，喷淋头的地面有效保护直径为 米； (3)已知充电车棚宽度为米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头的同一水平线上加装一个喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头距离喷淋头至少 米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）用待定系数法求解即可； （2）取，求得x的值，进而可求出的长度； （3）设，设，把代入可得m的值，选取符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设 将代入得：     解得     ∴ （2）解：当时， 解得，（舍去）    ∴ 故答案为：． （3）解：设 ∵喷淋头N喷洒时水柱的最外层形状与喷淋头M一致 ∴可设 ∵电动车电池的离地高度为米， ∴当时，即 解得（舍去）， ∴ ∴ 答：喷淋头N距离喷淋头M至少米． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·北京·期末）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）． ①请通过计算，回答至少需要 个消防喷淋头； ②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围． 【答案】(1) (2)①4；②． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点． （1）由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为，然后运用待定系数法求解即可； （2）①设抛物线上横坐标为4的点为P，则，得到一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米，据此求解即可； ②由题意可设消防喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为，当抛物线经过点或时，求得或，据此计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为， 则可设最外层水柱所在抛物线的表达式为， 将点代入，得，解得， 最外层水柱所在抛物线的表达式为； （2）解：①∵， ∴当时，，解得或， 设抛物线上横坐标为4的点为P，则， ∴一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米， ， ∴至少需要4个消防喷淋头； ②由题意可设消防最后一个喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为， 当抛物线经过点时，有， 解得（舍去）或， 此时米， 米． 当抛物线经过点时，有， 解得（舍去）或， 此时米， 米． 综上所述，在满足所需条件时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离的取值范围为． 3．（25-26九年级上·广西南宁·月考）综合与实践 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水能否洗灌到整个绿化带？请你说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，可得点的坐标． （3）根据米，米，米，可求得点的坐标为，当时，求出的值，再与比较，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：喷水口离地竖直高度为米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米， 则， ∴是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， （2）解：由（1）得上边缘抛物线的函数解析式为 ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得(舍去)， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：不能，理由如下： 依题意，米，水平宽度米，竖直高度米， ∴（米）， ∴点的坐标为， 由（1）得上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， ∵， ∴函数在时，随着的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 题型05 投球问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）图是一张长为米、球网高度为米的智能发球乒乓球桌，图是发球机从中线的端点的正上方米处的点发球，球呈抛物线飞行，当飞行的水平距离为米时，球达到最大高度米．记第一次落球点为，则的长为___________．球从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，当球运行到点正上方处，运动员进行直线扣杀，球擦网而过，落点为．如图，则的长为___________米． 【答案】 【分析】根据题意建立直角坐标系求得过的抛物线解析式，进而得到点的坐标，然后再求得过的抛物线解析式，从而得到点的坐标，最后利用相似解得的长． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， ∴，顶点， 设， 把代入得： ， ∴， 即：， 当时， ， 解得：（舍）， ∴， ∵从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米， ∴设段抛物线解析式为：， 把代入得：（舍）， ∴， 当时，， 即：， 令与球网的交点为，作于，连接， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与实际问题、相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式，关键是建立恰当的直角坐标系用函数模型解决实际问题． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·一模）2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【答案】(1) (2)机器人此次投篮有效 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴机器人此次投篮有效． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 … 2 3 5 6 … 高度 … … 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 (1)当时，______． (2)求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）． (3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)飞行的高度不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了实际问题与二次函数——投球问题，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）根据表格可以得出答案； （2）把，代入，用待定系数法求出函数解析式； （3）结合（2）根据函数的性质求出最大值与3比较即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴这个值表示的实际意义是匹克球从发球点飞出时的初始高度是米； 故答案为：； （2）解：把，代入， 得， ∴； ∴y与x的函数表达式为； （3）解：飞行的高度不能达到，理由如下： 由（）得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）郑钦文是我国网球运动员，她在一次击球过程中，在点O处发球，将网球从点O正上方n m的点A发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度h m，以点O为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立如图平面直角坐标系．已知球网与原点O的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点O的水平距离约为．设网球运行的高度与运行的水平距离． (1)若，时， ①求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； ②如果球能过网，求它的落点离边界的距离（，结果保留小数点后一位）； (2)第二局比赛时交换场地，若对手在距地面处将球击打出去，网球运行的水平距离仍然为时，达到最大高度h m．当h满足什么条件时，对应的球虽能越过球网（不接触球网），但出界（不可压边界）．直接写出h的取值范围． 【答案】(1)①；②能过网，它的落点离边界的距离为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元一次不等式，掌握待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决实际问题是解题关键． （1）①利用待定系数即可解答；②先计算时，的值，再判断球能否过网，进而令二次函数解析式函数值，求出x的值，即可得出结论； （2）根据球一定能越过球网（不接触球网），但出界（不可压边界），列出不等式组即可求出结论． 【详解】（1）解：①当，时， 由题意可知：点A的坐标为， 设与的关系式为：，且顶点坐标为， 将点和代入解析式中，得， 解得：， ∴与的关系式为； ②当时，， 能过网， 令， 整理得：， 解得：（舍去）， 则， 答：能过网，它的落点离边界的距离为； （2）解：根据题意：在抛物线的图象上， ∴， 解得：，即， 若球一定能越过球网，则当时， ； ∴， 解得：； 若出界（不可压边界），即抛物线与x轴的右交点在的右侧， 即当时，； ∴， 解得； 综上，若球能过网（不接触球网），但出界（不可压边界），h的取值范围为． 题型06 隧道问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图①，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边AB，AC，BD和抛物线的一段（点为抛物线的顶点）构成，以AB的中点为原点，分别以直线AB和抛物线的对称轴为轴和轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米．为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度MN为8米，且为MN的中点，则通过隧道的车辆的限制高度为__________米．（车道分界线的宽度忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式；设车的高度为h，把代入解析式，求出h的值即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵E为抛物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， 把点D坐标代入解析式得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 由题意知，， 设车的高度为h，则当时，， ∴， 解得：， ∴通过隧道的车辆的限制高度为米． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山西临汾·一模）学科实践 驱动任务： “天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究． 研究步骤： （1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面． （2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道． 问题解决： （1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式． （2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到） 【答案】（1）所求抛物线的表达式为；（2）通过隧道的车辆应限制高度为． 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意，建立平面直角坐标系．设所求抛物线的表达式为．根据题意可得．得出点的坐标为，点的坐标为．再根据待定系数法即可求出抛物线的表达式． （2）分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G．由题可知，，求出点G，H的坐标分别为．再根据该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系． 设所求抛物线的表达式为． 根据题意可得． 点的坐标为，点的坐标为． 将点的坐标分别代入．得， 解得， 所求抛物线的表达式为． （2）解：如图，分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G． 由题可知，， 点G，H的横坐标分别为． 当时，． 点G，H的坐标分别为． 该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有， ． 答：通过隧道的车辆应限制高度为． 2．（2025·山东潍坊·一模）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）；（4）或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是汽车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 3．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．以的中点为原点、所在直线为轴．建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为　　　　； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 【答案】(1) (2)12 (3)该隧道车辆的限制高度为5米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，顶点，从而可设抛物线为，又，，则，，进而可得，求出即可得解； （2）依据题意，由贴黄黑立面标记的区域抛物线面积抛物线面积矩形面积，从而贴黄黑立面标记的区域的面积为，进而可以得解； （3）依据题意，由车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，从而可令，则，又（米），故可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，顶点， 可设抛物线为． 又，， ，． ． ． 所求抛物线的解析式为； （2）解：由题意，如图， 将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域抛物线面积抛物线面积矩形面积． 贴黄黑立面标记的区域的面积为． 故答案为：12； （3）解：由题意，车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶， 可令，则． 又（米）， 该隧道车辆的限制高度为5米． 题型07 图形问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，矩形的四个顶点在等腰直角三角形的边上．，已知长为，设边长为x，矩形的面积为S最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用等腰直角三角形和矩形的性质，求出矩形另一边的表达式，进而得到面积函数根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ， 由勾股定理可得， 四边形是矩形， ， ， 则和都是等腰直角三角形， ，， 设，则， ，且， ， 解得， 矩形面积， ，， 解得， 当时，有最大值． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东韶关·月考）某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【方案一】甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好，请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】；要使做成的窗架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗架的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了一元一次方程和二次函数的应用： （1）设为，为，，根据铝合金型材长度比例关系列方程求宽； （2）设未知数表示出窗户面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求面积最大值． 【详解】解：（1）设为，为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总长度为， ， ∵长宽之比为，黄金分割比中长>宽， 故， 即：， 将代入得， ， 解得：． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗架的长为，则宽为， ， 即， ∴要使窗架的面积最大， 则， 宽为， ∴当时，最大值为：， ∴要使做成的窗架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗架的面积最大，最大值为． 2．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． (1)填空：________； (2)区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 【答案】(1)； (2)区的面积能达到，的长为，理由见解析； (3)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 【分析】本题考查矩形的性质和一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，具有良好的应用意识是解题的关键． （1）根据矩形的性质，推出，结合区面积是区面积的一半，运用矩形面积公式即可求解； （2）先根据设，则，得出，根据面积公式结合题意建立一元二次方程组，即可求解； （3）先根据（2）得：，，，设矩形实验田面积为，根据矩形面积公式关于的二次函数关系式，再根据配方求出最值即可解题． 【详解】（1）解：∵矩形和， ∴，， ∵区面积是区面积的一半， ∴， 即：， ， ∴． （2）解：可以，理由如下： ∵由（1）得：， ∴设，则， ∴， ∵墙长为， ∴，解得： ∵栅栏总长为， ∴， ∴据题意得：， 解得：，（舍）， ∴当，区的面积为； （3）解：∵由（2）得：，，， ∵设矩形实验田面积为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴， ∴当时，矩形实验田ABCD的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 3．（25-26九年级上·内蒙古乌海·期末）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出B，C，D三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 【答案】(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，；抛物线的表达式为；抛物线的表达式为 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式． （1）由矩形的性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，则矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的边长，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入，得， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入，得， 解得； 则抛物线的表达式为． 题型08 图形运动问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为， ，， ， 由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为， ①当时，， 则； ②当时，， 则； 综上，与之间的函数关系式为， 根据二次函数的图像与性质，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为_____． 【答案】/ 【分析】根据所给函数图象上的关键点判断出此时点的位置，进而求得此时的高，然后根据三角形相似可得的长；易得当点在上时，有最大值，分别表示出此时的长和边上的高，进而得到用表示的，根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】解：∵，函数图象过点， ∴此时点在上， 如图，作⊥于点，则，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即，解得， 由函数图象可得：当点在上时，有最大值． 由题意得：，则， ∴，∴， ∴==， ∴当时，面积有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据函数图象获取信息、直角三角形相似、求二次函数的最值等知识，分析函数图象上的点所对应的图形情况，用含的代数式表示是解决本题的关键． 2．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为． (1)用含x的式子表示，及 (2)当x为何值时，的面积最大？最大是多少？ (3)当时，求x的值． 【答案】(1)，，； (2)当时，有最大值，最大值为； (3)或． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，则，利用勾股定理得出； （2）根据三角形面积公式得到，即可得出答案； （3）把代入，求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意可得： ， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：当时，即， ∴， ∴， 解得：，经检验均符合题意， ∴当，或． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)点P运动开始后第或秒时，的面积等于 (2)点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由题意可得，，从而得出，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由（1）可得，，，由三角形面积公式列出关于的二次函数，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由题意可得：，， ∴， 则， 解得：，， ∴点P运动开始后第或秒时，的面积等于； （2）解：设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为， ∴点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为． 题型09 实物模型问题 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为，到地面的距离与均为，绳子甩到最高处时，最高点距地面的垂直距离为．身高为的小吉站在之间，当他的位置距点的水平距离为______时，绳子刚好通过他的头顶上方． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标．根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据高度等于米列方程，解方程即可得到m的值． 【详解】解：以O为坐标原点，所在直线为y轴所在直线为x轴，由题意可得， ，，， 设抛物线解析式为，将点代入可得， ， 解得：， ∴， ∵绳子刚好通过他的头顶上方 ∴， 整理得， 解得，， 他的位置距点的水平距离为1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上方， 故答案为：或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）红酒具有软化血管，促进血液循环的功能，中国人的生活提高以后，喝红酒成为一种时尚，如图1所示是一种喝红酒的高脚杯，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点，且点距杯口的距离，则此时液面宽________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)起跳点P与落地点Q的水平距离的长为 【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； 【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意得第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得，（舍去）， ∴起跳点P与落地点Q的水平距离的长为． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动． 【研究背景】炒菜锅和锅盖的纵截面都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖和锅的纵截面的抛物线分别记为． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 （1）直接写出抛物线和的解析式． 【应用模型】 （2）若锅里的水位高度（水面到锅底的距离）是，求此时水面的直径长； （3）将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线的解析式是；（2）此时水面的直径长是；（3）锅盖可以正常盖上，见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征； （1）利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，由于锅深为．令，列方程求得x的值即可得答案； （3）判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意， 锅口和锅盖贴合面直径为， ． 锅盖：开口向下，顶点为， 设解析式为：， 代入得：， 锅盖为：； 锅：开口向上，顶点为， 设顶点式：， 代入得：， 锅为：； 抛物线的解析式是． 抛物线的解析式是． （2）解：依题意，水位的高度是，由于锅深为． 令，则， 解得：． 此时水面的直径长是． （3）解：依题意，当底面直径为时， 令． 能放进去的圆柱体的最大高度是， 锅盖可以正常盖上． 题型10 新情境问题 典｜例｜精｜析 1．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量开始快充时，累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系可用二次函数近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程与电量的关系如下表所示． 汽车仪表盘显示的电量 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为，此时到目的地的路程还有．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则充电时间为________． 【答案】/ 【分析】由表可知，每行驶千米，需要的电量，根据题意可得，电量需充到，根据累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系，即可求解． 【详解】解：由表可知，每行驶千米，需要的电量， 根据题意可得，电量需充到， 在中， 当时，， 当时，， ∴充电时间为． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离________． 【答案】10 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 2．（2026·广东深圳·二模）央视春晚的舞台上，武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演．数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究： 信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变． 信息2：如图1，以机器人起跳点为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米． 请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)在点正前方的水平地面上有一个正方形台阶，其中米，米． ①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶，则机器人至少需向右平移多少米？ ②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯，其中米，米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为米，跳跃后落在台阶上（含点、），求的取值范围． 【答案】(1) (2)①机器人至少需向右平移米；② 【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点为，且过原点，利用待定系数法求解即可； （2）①先根据题意得出，设机器人向右平移米，则，将代入求解即可； ②利用待定系数法求出，设起跳点的坐标为，则原抛物线的顶点变为，进而得到新抛物线的解析式，再求出新抛物线经过点和时的值，结合图象确定取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点为，且过原点， 设， 将代入得：， 解得：， （2）解：①米，米，正方形台阶， 米，米， ， 设机器人向右平移米，则， 将代入得：， 整理得：， 解得：，（舍去）； 答：机器人至少需向右平移米． ②设直线的解析式为， 代入，得 ，解得：， ， 设起跳点的坐标为， 起跳点从变为， 原抛物线的顶点变为， 新抛物线的解析式为， 当新抛物线经过点时，， 解得：，（舍去） 当新抛物线经过点时，， 解得：，（舍去） 结合图象可得． 3．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【答案】(1) (2) (3)这两盏路灯的坐标分别为 【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果； （2）令，求解对应自变量的值即可； （3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果． 【详解】（1）解：据题意，可得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点，点到的距离均为， ∴令， 解得， ∴． （3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且， 可得垂直于轴，垂足为，且， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 可得， 解（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 即这两盏路灯的坐标分别为或． 4．（2026·贵州·一模）某课外活动小组在实验室进行AI防空模拟演练，如图，在对战中，红方导弹从地面点O发射，其飞行轨迹OAB可视为抛物线的一部分（模拟演练过程在同一平面内进行，其他因素忽略不计） (1)按如图①所建立平面直角坐标系，当飞行水平距离时，最大垂直高度，则点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，在（1）的条件下，红方侦察发现蓝方导弹的飞行轨迹为抛物线，并立即进行拦截，且恰好可击中．求击中时红方导弹飞行的水平距离； (3)如图③，红方监测到蓝方两架相距的飞机M，N，在距地面高度为的航线上沿同一水平线飞来，飞行速度均为，于是红方调整发射角度并先后发射两枚飞行轨迹为抛物线的导弹进行了精准拦截，导弹每分钟飞行的水平距离均为，当第一枚导弹在下落过程中击中飞机M时，还需多长时间发射第二枚导弹．（假设飞机N的航线保持不变） 【答案】(1)， (2)击中时红方导弹飞行的水平距离为 (3) 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标的定义，直接写出点A的坐标；再利用抛物线的对称性求出点B的坐标． （2）先求出红方导弹的抛物线解析式，再联立红方与蓝方导弹的抛物线方程，解方程组求出击中时的水平距离． （3）先求出导弹击中飞机时的水平距离，再根据飞机和导弹的速度，计算出两枚导弹发射的时间差． 【详解】（1）解：，，为抛物线顶点， ． 抛物线过原点，对称轴为， ． （2）解：设红方导弹轨迹解析式为， 过点， ， 解得， ． 联立，得 ， 解得，（舍去）． 击中时红方导弹飞行的水平距离为． （3）解：∵， ∴的对称轴为， 中，令，得 ， 解得，． 第一枚导弹在下落过程中击中飞机，飞机在对称轴为的右侧， ． 飞机在飞机右侧处， 飞机被击中时导弹水平距离为． 第一枚导弹飞行时间，飞机飞到被击中位置的时间:， ∵, ∴第二枚导弹不能在被击中位置击中， ∴第二枚导弹只能在对称轴为左侧位置击中，此时， ∴第二枚导弹飞行时间∶，此时飞机飞到该被击中位置的时间:， 间隔时间． ∴还需发射第二枚导弹． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 知识点一 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 即学即练 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（   ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 2．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且，已知，．种花的面积可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，如图，隔离区一面靠长为5的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．则：（    ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 4．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，等边三角形的边长为20，分别以顶点A、B、C为圆心，画3个全等的圆．若圆的半径为x，且，阴影部分的面积之和为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（   ） A．B． C． D． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化，所得利润．下列结论中正确的是（    ） A．涨价时不存在利润最大 B．自变量的取值范围是 C．当时，最大利润为6000元 D．当定价65元时，利润最大为6250元 题型01 根据实际问题列二次函数解析式 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值．铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，该二次函数的解析式为．若以过出手点且与地面垂直的直线为轴，轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则该二次函数的解析式为______． 4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，，，，四边形是的内接矩形，若的长为，矩形的面积为，则与的函数解析式为______． 题型02 销售问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则的值为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示 (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）春节临近，由于我县执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨（，且x是整数）元． (1)这款电子鞭炮每个的售价上涨x元时，每天销售量为________个； (2)为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ (3)这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 3．（25-26九年级上·山东威海·期末）花草培育公司计划用8万元的资金投资绿植和花卉．经市场调研得知：投资绿植的利润与投资金额x的关系为；投资花卉的利润与投资金额x的关系为．设投资花卉的金额为m．（说明：利润与投资金额的单位均为“万元”） (1)求公司能获得利润的范围； (2)要使利润不低于18.5万元，求m的范围． 题型03 拱桥问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·三模）学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题： (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 2．（25-26九年级上·江苏南通·月考）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 3．（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为． 【建立模型】 （1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式； 【初步应用】 （2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度； 【拓展应用】 （3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围． 题型04 喷水问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，这是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点为原点，水平方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点，为水花的落水点且均在轴上，其中右侧抛物线的表达式为，喷水管的高度为． （1）的值为________； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管的高度，使落水点与喷水管的水平距离为，则喷水管要降低的高度为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏连云港·周测）如图1，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头安装在离地高度为米，距离墙面水平距离为米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． (1)求该水柱最外层所在抛物线的函数解析式； (2)按照此安装方式，喷淋头的地面有效保护直径为 米； (3)已知充电车棚宽度为米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头的同一水平线上加装一个喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头距离喷淋头至少 米． 2．（25-26九年级上·北京·期末）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）． ①请通过计算，回答至少需要 个消防喷淋头； ②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围． 3．（25-26九年级上·广西南宁·月考）综合与实践 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水能否洗灌到整个绿化带？请你说明理由． 题型05 投球问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）图是一张长为米、球网高度为米的智能发球乒乓球桌，图是发球机从中线的端点的正上方米处的点发球，球呈抛物线飞行，当飞行的水平距离为米时，球达到最大高度米．记第一次落球点为，则的长为___________．球从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，当球运行到点正上方处，运动员进行直线扣杀，球擦网而过，落点为．如图，则的长为___________米． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·一模）2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系． 【收集数据】某次匹克球飞行的高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 … 2 3 5 6 … 高度 … … 【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型及应用】 (1)当时，______． (2)求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）． (3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）郑钦文是我国网球运动员，她在一次击球过程中，在点O处发球，将网球从点O正上方n m的点A发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度h m，以点O为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立如图平面直角坐标系．已知球网与原点O的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点O的水平距离约为．设网球运行的高度与运行的水平距离． (1)若，时， ①求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； ②如果球能过网，求它的落点离边界的距离（，结果保留小数点后一位）； (2)第二局比赛时交换场地，若对手在距地面处将球击打出去，网球运行的水平距离仍然为时，达到最大高度h m．当h满足什么条件时，对应的球虽能越过球网（不接触球网），但出界（不可压边界）．直接写出h的取值范围． 题型06 隧道问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图①，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边AB，AC，BD和抛物线的一段（点为抛物线的顶点）构成，以AB的中点为原点，分别以直线AB和抛物线的对称轴为轴和轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米．为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度MN为8米，且为MN的中点，则通过隧道的车辆的限制高度为__________米．（车道分界线的宽度忽略不计） 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山西临汾·一模）学科实践 驱动任务： “天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究． 研究步骤： （1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面． （2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道． 问题解决： （1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式． （2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到） 2．（2025·山东潍坊·一模）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 3．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．以的中点为原点、所在直线为轴．建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为　　　　； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 题型07 图形问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，矩形的四个顶点在等腰直角三角形的边上．，已知长为，设边长为x，矩形的面积为S最大值为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东韶关·月考）某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【方案一】甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好，请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 2．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． (1)填空：________； (2)区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 3．（25-26九年级上·内蒙古乌海·期末）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出B，C，D三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 题型08 图形运动问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（    ） A．B．C．D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为_____． 2．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点 P 到点B后，运动停止，设运动时间为． (1)用含x的式子表示，及 (2)当x为何值时，的面积最大？最大是多少？ (3)当时，求x的值． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 题型09 实物模型问题 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为，到地面的距离与均为，绳子甩到最高处时，最高点距地面的垂直距离为．身高为的小吉站在之间，当他的位置距点的水平距离为______时，绳子刚好通过他的头顶上方． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）红酒具有软化血管，促进血液循环的功能，中国人的生活提高以后，喝红酒成为一种时尚，如图1所示是一种喝红酒的高脚杯，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点，且点距杯口的距离，则此时液面宽________． 2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动． 【研究背景】炒菜锅和锅盖的纵截面都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖和锅的纵截面的抛物线分别记为． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 （1）直接写出抛物线和的解析式． 【应用模型】 （2）若锅里的水位高度（水面到锅底的距离）是，求此时水面的直径长； （3）将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 题型10 新情境问题 典｜例｜精｜析 1．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量开始快充时，累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系可用二次函数近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程与电量的关系如下表所示． 汽车仪表盘显示的电量 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为，此时到目的地的路程还有．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则充电时间为________． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离________． 2．（2026·广东深圳·二模）央视春晚的舞台上，武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演．数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究： 信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变． 信息2：如图1，以机器人起跳点为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米． 请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)在点正前方的水平地面上有一个正方形台阶，其中米，米． ①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶，则机器人至少需向右平移多少米？ ②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯，其中米，米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为米，跳跃后落在台阶上（含点、），求的取值范围． 3．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 4．（2026·贵州·一模）某课外活动小组在实验室进行AI防空模拟演练，如图，在对战中，红方导弹从地面点O发射，其飞行轨迹OAB可视为抛物线的一部分（模拟演练过程在同一平面内进行，其他因素忽略不计） (1)按如图①所建立平面直角坐标系，当飞行水平距离时，最大垂直高度，则点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，在（1）的条件下，红方侦察发现蓝方导弹的飞行轨迹为抛物线，并立即进行拦截，且恰好可击中．求击中时红方导弹飞行的水平距离； (3)如图③，红方监测到蓝方两架相距的飞机M，N，在距地面高度为的航线上沿同一水平线飞来，飞行速度均为，于是红方调整发射角度并先后发射两枚飞行轨迹为抛物线的导弹进行了精准拦截，导弹每分钟飞行的水平距离均为，当第一枚导弹在下落过程中击中飞机M时，还需多长时间发射第二枚导弹．（假设飞机N的航线保持不变） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $