内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试卷

**基本信息** 立足人教版七年级下册全册，以《孙子算经》古文应用题、机器人分拣等现实情境为载体，融合几何推理与代数运算，考查抽象能力、模型意识及创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|平行线判定、平方根、不等式性质等|以基础概念辨析为主，如第8题考查真命题判断，强化推理意识| |填空题|4/12|坐标距离、折射角计算等|第10题结合物理情境，体现跨学科应用| |解答题|6/64|方程组与不等式、图形平移、推理补全、机器人方案设计等|18题以太阳能聚光为背景设计递进探究，16题通过机器人采购考查模型意识，15题要求补全推理过程培养逻辑表达|

2025-2026学年七年级数学下学期期末试卷 （考试时间：90分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版七年级下册全册。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，下列条件能推出的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各式中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.孙子算经是中国古代的数学著作．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何””意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车，若每辆车乘坐人，则有人步行．问人与车各多少设有人，辆车，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 4.如图，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中名学生进行了随机调查，则下列说法错误的是(    ) A. 总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体 B. 其中名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是 D. 个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间 6.已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是(    ) A. B. C. D. 7.若，则下列不等式不正确的是(    ) A. B. C. D. 8.下列命题是真命题的是(    ) A. 互补的角是邻补角 B. 若实数，满足，则 C. 若实数，满足，，则， D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.点到轴上的距离是          ． 10.如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，折射光线为，点在射线上．已知，，则           ． 11.的算术平方根是        ． 12.已知，关于，的方程组的解满足，则的值为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分解方程与不等式． 14.本小题分已知三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． 将三角形先向下平移个单位，再向左平移个单位，得到三角形，在图中画出三角形位置； 请写出三角形各点的坐标； 求三角形的面积． 15.本小题10分 阅读下列文字，完成下列推理过程． 如图，在四边形中，平分交线段于点，，，求的度数？ 解：平分已知           角平分线的定义 又已知           等量代换                                 又已知           ． 16.本小题分 马年央视春晚中，宇树科技的机器人武展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买台型机器人、台型机器人，共需万元；若买台型机器人、台型机器人，共需万元． 求、两种型号智能机器人的单价． 该企业现计划采购型和型机器人共台，且总费用不超过万元．最多能买型机器人多少台？ 17.本小题分 已知直线，按如图放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． 若，求的度数；用的代数式表示 将图中的进行适当旋转，如图，顶点始终在两条平行线之间，连接当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 18.本小题分 【问题背景】如图是太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．图是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点． 【探索与发现】 如图，太阳光线、平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则、和之间存在的数量关系是          ． 如图，点、分别在，上，是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程． 【拓展延伸】 如图，在的条件下，在和之间，左侧再取一点，连接，若使，那么与之间的数量关系是 ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末试卷 （考试时间：90分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版七年级下册全册。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，下列条件能推出的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各式中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.孙子算经是中国古代的数学著作．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何””意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车，若每辆车乘坐人，则有人步行．问人与车各多少设有人，辆车，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 4.如图，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中名学生进行了随机调查，则下列说法错误的是(    ) A. 总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体 B. 其中名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是 D. 个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间 6.已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是(    ) A. B. C. D. 7.若，则下列不等式不正确的是(    ) A. B. C. D. 8.下列命题是真命题的是(    ) A. 互补的角是邻补角 B. 若实数，满足，则 C. 若实数，满足，，则， D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.点到轴上的距离是          ． 10.如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，折射光线为，点在射线上．已知，，则           ． 11.的算术平方根是        ． 12.已知，关于，的方程组的解满足，则的值为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分解方程与不等式． 14.本小题分已知三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． 将三角形先向下平移个单位，再向左平移个单位，得到三角形，在图中画出三角形位置； 请写出三角形各点的坐标； 求三角形的面积． 15.本小题10分 阅读下列文字，完成下列推理过程． 如图，在四边形中，平分交线段于点，，，求的度数？ 解：平分已知           角平分线的定义 又已知           等量代换                                 又已知           ． 16.本小题分 马年央视春晚中，宇树科技的机器人武展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买台型机器人、台型机器人，共需万元；若买台型机器人、台型机器人，共需万元． 求、两种型号智能机器人的单价． 该企业现计划采购型和型机器人共台，且总费用不超过万元．最多能买型机器人多少台？ 17.本小题分 已知直线，按如图放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． 若，求的度数；用的代数式表示 将图中的进行适当旋转，如图，顶点始终在两条平行线之间，连接当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 18.本小题分 【问题背景】如图是太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．图是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点． 【探索与发现】 如图，太阳光线、平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则、和之间存在的数量关系是          ． 如图，点、分别在，上，是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程． 【拓展延伸】 如图，在的条件下，在和之间，左侧再取一点，连接，若使，那么与之间的数量关系是 ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，下列条件能推出的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图， A、由不能推出，不符合题意； B、由不能推出，不符合题意； C、由不能推出，不符合题意； D、如图，当时，， ， 同位角相等，两直线平行，符合题意 2.下列各式中，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟记定义是解题关键．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一进行判定即可得答案． 【详解】解：．，故该选项计算错误，不符合题意， B.，故该选项计算错误，不符合题意， C.，故该选项计算正确，符合题意， D.，故该选项计算错误，不符合题意， 故选：． 3.孙子算经是中国古代的数学著作．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何””意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车，若每辆车乘坐人，则有人步行．问人与车各多少设有人，辆车，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据若每辆车乘坐人，则空余两辆车：若每辆车乘坐人，则有人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有人，辆车， 依题意得： 故选C． 4.如图，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了平行线的性质．直接根据平行线的性质作答即可． 【详解】解：，， 故选：． 5.为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中名学生进行了随机调查，则下列说法错误的是(    ) A. 总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体 B. 其中名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是 D. 个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间 【答案】B  【解析】解：总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体，说法正确，故本选项不符合题意； B.其中名学生每天用于学习的时间是总体的一个样本，原说法错误，故本选项符合题意； C.样本容量是，说法正确，故本选项不符合题意； D.个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：． 6.已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】正数的两个平方根互为相反数． 解得 则的算术平方根是． 7.若，则下列不等式不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】A.根据不等式的性质，不等式两边都加，不等号的方向不变，故A选项正确 B.根据不等式的性质，不等式两边都减，不等号的方向不变，故B选项正确 C.根据不等式的性质，不等式两边都除以，不等号的方向不变，故C选项正确 D.根据不等式的性质，不等式两边都乘，不等号的方向改变，故D选项错误故选D． 8.下列命题是真命题的是(    ) A. 互补的角是邻补角 B. 若实数，满足，则 C. 若实数，满足，，则， D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D  【解析】解：互补且相邻的角是邻补角，故选项A中的命题是假命题，不符合题意；  实数，满足，则，故选项B中的命题是假命题，不符合题意；  若实数，满足，，则，故选项C中的命题是假命题，不符合题意；  过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项D中的命题是真命题，符合题意；  故选：． 根据邻补角的定义，实数的性质及平行公理逐项判断即可． 本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本概念，可以判断一个命题是否为真命题． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.点到轴上的距离是          ． 【答案】  【解析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：已知点坐标为， 点的纵坐标为， 点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即． 10.如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，折射光线为，点在射线上．已知，，则           ． 【答案】度  【解析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．根据得，再根据即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 11.的算术平方根是        ． 【答案】  【解析】解：， 的算术平方根是． 故答案为：． 根据算术平方根的定义进行计算即可． 本题考查的是算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键． 12.已知，关于，的方程组的解满足，则的值为          ． 【答案】   【解析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；得，，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解： 得， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.解方程与不等式． 【答案】(1)解：， ①，得③， ②③，得，解得， 把代入①，得，解得， 这个方程组的解是； (2)解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． 不等式组的解集为． 【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 14.本小题分 已知三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． 将三角形先向下平移个单位，再向左平移个单位，得到三角形，在图中画出三角形位置； 请写出三角形各点的坐标； 求三角形的面积． 【答案】(1)解：如图所示，   (2)解：根据坐标系可得：，，；  (3)解：．  【解析】  本题考查了平移作图，写出点的坐标，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，将三角形先向下平移个单位，再向左平移与单位，得到三角形；  根据坐标系写出点的坐标即可；  根据长方形减去三个三角形的面积即可求解． 15.本小题分 阅读下列文字，完成下列推理过程． 如图，在四边形中，平分交线段于点，，，求的度数？ 解：平分已知           角平分线的定义 又已知           等量代换                                 又已知           ． 【答案】  内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补   【解析】本题考查了平行线的判定与性质，根据角平分线的定义得，又根据等量代换得，根据内错角相等，两直线平行得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据即可得出答案． 【详解】解：平分已知， 角平分线的定义， 又已知， 等量代换， 内错角相等，两直线平行， 两直线平行，同旁内角互补， 又已知 ． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 16.本小题分 马年央视春晚中，宇树科技的机器人武展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买台型机器人、台型机器人，共需万元；若买台型机器人、台型机器人，共需万元． 求、两种型号智能机器人的单价． 该企业现计划采购型和型机器人共台，且总费用不超过万元．最多能买型机器人多少台？ 【答案】(1)解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得， 解得， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； (2)解：设买A型机器人台，则买B型机器人台， 由题意得， 解得， 答：最多能买A型机器人台． 【解析】  设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据买台型机器人、台型机器人，共需万元；买台型机器人、台型机器人，共需万元列出方程组即可得到答案；  设买型机器人台，则买型机器人台，根据总费用不超过万元列出不等式，即可得到答案． 17.本小题分 已知直线，按如图放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． 若，求的度数；用的代数式表示 将图中的进行适当旋转，如图，顶点始终在两条平行线之间，连接当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．   (2)，理由： 设，由（1）得． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 即与之间的数量关系为． 【解析】  过点作，得出，确定，，结合图形求解即可；  设，由得，利用角平分线得出，确定，即可求解． 18.本小题分 【问题背景】如图是太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．图是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点． 【探索与发现】 如图，太阳光线、平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则、和之间存在的数量关系是          ． 如图，点、分别在，上，是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程． 【拓展延伸】 如图，在的条件下，在和之间，左侧再取一点，连接，若使，那么与之间的数量关系是 ． 【答案】(1)  (2) 理由：由（1）得， ， ； (3)由（1）（2）知，， ∴， ∵，， ∴， ． 【解析】  本题考查了平行线性质的应用拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． 过点作，由平行线的传递性得，由平行线的性质得，，进而可得； 解：如图，过点作， ， ， ，， ， ．  由得，然后结合邻补角的定义可得；  由知，，结合，可证结论成立； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $