第5章 特殊平行四边形（复习课件）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定及与平行四边形的从属关系，通过单元知识图谱构建特殊平行四边形的逻辑框架，结合表格对比边、角、对角线等性质，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲+题型剖析+针对训练”模式，如菱形性质判定中设计“平行四边形→菱形”等三大解题模型，培养几何直观与推理能力，针对训练涵盖最值、动点等综合题，分层设计让学生逐步提升，助力教师精准把握复习重点，高效巩固知识。

单元复习课件 第5章 特殊平行四边形 新教材浙教版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 3. 区分并灵活运用特殊平行四边形的性质与判定定理，规避定理混淆问题;熟练掌握正方形多重判定条件，能在复杂图形中准确判定特殊四边形;灵活运用斜边中线、菱形面积等几何模型，解决折叠、动点等综合题型;理解“特殊与一般”数学思想，精准辨析各类四边形的异同，灵活解题. 1.理解矩形、菱形、正方形的定义，厘清三者与平行四边形之间的从属关系；熟练掌握矩形、菱形、正方形的边、角、对角线、对称性的性质定理；掌握矩形、菱形、正方形的各类判定定理；掌握直角三角形斜边中线定理、菱形面积特殊计算公式，熟悉特殊平行四边形的轴对称、中心对称特征，能解决相关图形变换问题。 2. 熟练运用矩形、菱形、正方形的性质和判定定理，能进行计算与证明;理清平行四边形及特殊平行四边形的从属关系，灵活运用定理解决计算与证明问题。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、矩形 1．概念：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 2．作为特殊的平行四边形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线。 ①矩形有两条对称轴，（注意：对角线不是对称轴！） ②对称中心是两条对角线交点 O。 考点串讲 考点一、矩形 3．矩形的性质：除具有平行四边形的所有性质外，还具有一些特殊性质。 边 角 对角线 几 何 语 言 文字叙述 对边平行且相等（平行四边形性质） 四个角都是直角（性质定理1） ∴ ∵ 四边形是矩形， 对角线互相平分且相等（性质定理2） ∵ 四边形是矩形， ∴ . ∵ 四边形是矩形， ∴ . 考点串讲 考点一、矩形 4．矩形的判定 角 对角线 几 何 语 言 文字叙述 一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 三个角是直角的四边形是矩形（判定定理1） ∴平行四边形是矩形 ∵在平行四边形中，. ∴ 四边形是矩形， ∵在四边形中，. 对角线相等的平行四边形是矩形（判定定理2） ∴ 平行四边形是矩形， ∵在平行四边形中，. 图示 考点串讲 1．内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 考点二、直角三角形斜边上的中线性质 2．逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半， 那么这个三角形是一个直角三角形. A B C O 几何语言：在 Rt△ABC 中，∠ABC ＝ 90°， BO 为斜边 AC 上的中线， ∴. 考点串讲 考点二、直角三角形斜边上的中线性质 利用直角三角形斜边上的中线的解题技巧 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 考点串讲 考点三、菱形 1．概念：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 2．作为特殊的平行四边形，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为对角线所在的直线． A B C D O ①菱形有两条对称轴； ②对称中心是两条对角线交点 O。 考点串讲 考点三、菱形 3．菱形的性质：除具有平行四边形的所有性质外，还具有一些特殊性质。 边 对角线 几 何 语 言 文字叙述 四条边都相等（性质定理1） 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角（性质定理2） ∵ 四边形是菱形， ∴， 平分，平分， 平分，平分. ∵ 四边形是菱形， ∴ 考点串讲 考点三、菱形 边 对角线 几 何 语 言 文字叙述 四边相等的四边形是菱形.（判定定理1） 一组邻边相等的平行四边形是菱形.（定义） ∴四边形是菱形 ∵在四边形中，. ∴ 平行四边形是菱形， ∵在平行四边形中，. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（判定定理2） ∴ 平行四边形是菱形， ∵在平行四边形中， 图示 4．菱形的判定 考点串讲 考点三、菱形 5．菱形的面积计算 【菱形的面积公式】 底×高 对角线乘积的一半 C B A D O E 依据 数学语言 菱形是平行四边形 菱形对角线互相垂直 考点串讲 考点三、菱形 菱形的性质 + 判定综合解题技巧 一、菱形的判定方法（做题首选顺序） 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 边判定：四条边都相等的四边形是菱形。 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 做题口诀：先证平行四边形，再找邻边等 / 对角线垂直；无平行条件就证四边相等或对角线垂直平分。 二、综合解题三大模型 + 技巧 模型 1：平行四边形→证菱形（最常考） 解题思路：先用条件证出是平行四边形（对边平行 / 对边相等 / 对角线互相平分）； 再补一个条件即可：（1）找一组邻边相等；（2）找对角线互相垂直。 考点串讲 考点三、菱形 模型 2：任意四边形→证菱形 解题思路：（1）直接证四条边全部相等； （2）证对角线互相垂直且平分。 模型 3：菱形与直角三角形、勾股定理综合 四、常见题型秒杀技巧 求边长：给对角线→用勾股；给周长→周长 ÷4。 求角度：用对角线平分对角 + 直角三角形两锐角互余。 证明线段相等 / 平行：利用菱形四边相等、对边平行、对角线平分性质。 动点、折叠题：抓住边长始终相等、对角线垂直不变量。 考点串讲 考点四、正方形 1．概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 2．作为特殊的平行四边形，正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线．有四条对称轴。对称中心是两条对角线交点。 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。所以矩形、菱形有的性质,正方形都有。 A B C D 考点串讲 考点四、正方形 3．正方形的判定 正方形 + 先判定为矩形 菱形条件(二选一) 一组邻边相等 或对角线垂直 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 考点串讲 考点四、正方形 3．正方形的判定 正方形 + 先判定为菱形 矩形条件(二选一) 一个直角 或对角线相等 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 考点串讲 考点四、正方形 3．正方形的判定 先判定为平行四边形 平行四边形 正方形 对角线互相垂直且相等 或一组邻边相等且一内角是直角 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 考点串讲 考点四、正方形 3．正方形的判定 正方形 先判定为平行四边形、矩形或菱形 再利用对应的条件进行判定 任意四边形 有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 考点串讲 考点四、正方形 正方形的判定解题技巧 一、先记核心：正方形=既是矩形，又是菱形. 判定思路只有三大类： 1. 先证矩形 + 再证一组邻边相等 → 正方形； 2. 先证菱形 + 再证一个角是直角 → 正方形； 3. 直接证：对角线互相垂直平分且相等 → 正方形。 二、解题通用步骤 1. 先看题干给的是：平行四边形/矩形/菱形/普通四边形 2. 选最短路径：①已知矩形：只缺一步→证邻边相等或对角线垂直； ②已知菱形：只缺一步→证一个直角或对角线相等； ③已知平行四边形：证邻边相等+一个直角或对角线相等且垂直。 3. 用全等、平行线、角平分线、勾股定理推边长/角度/对角线关系。 考点串讲 考点四、正方形 4．正方形的性质：除具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形、菱形的所有性质。 边 对角线 几 何 语 言 文字叙述 四个角都是直角，四条边都相等（性质定理1） 对角线相等，且互相垂直平分（性质定理2） ∵ 四边形是正方形， ∴， . ∵ 四边形是正方形， ∴ A B C D O 考点串讲 考点四、正方形 5．几种特殊四边形的性质对比 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 考点串讲 考点四、正方形 6．几种特殊四边形的判定方法 项目 四边形 条件 1.定义：两组对边分别平行；2.两组对边分别相等 ；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.一组对边平行且相等 1.定义：有一个角是直角的平行四边形 ；2.对角线相等的平行四边形；3.有三个角是直角的四边形。 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形。 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；2.有一组邻边相等的矩形；3.有一个角是直角的菱形。 考点串讲 考点四、正方形 7．几种特殊四边形之间的联系 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 考点串讲 考点五、中点四边形 1．概念：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。如图中的四边形. 2．形状规律（由原四边形对角线决定） ①任意四边形→中点四边形是平行四边形；②对角线相等→中点四边形是菱形； ③对角线垂直→中点四边形是矩形；④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形。 3．关键结论 ①所有中点四边形至少是平行四边形；②周长=原四边形两条对角线长度之和； ③面积=原四边形面积的。 考点串讲 题型一、特殊平行四边形性质的理解 例1 （2026·四川成都·二模）下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 解：∵菱形的对角相等、邻角互补，四个内角不都相等，∴A错误； ∵矩形的对角线相等但不互相垂直，∴B错误； ∵正方形的每一条对角线平分一组对角，符合正方形的性质，∴C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴D错误． 解析：考查特殊平行四边形的性质，根据各图形的性质逐一判断选项正误即可得到答案． C 题型剖析 解：①矩形的对角线相等，故原说法错误； ②四条边相等的四边形是菱形，故原说法正确； ③对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形，故原说法错误； ④正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的三角形，故原说法错误． 综上，正确的只有②，共1个， 故选：A． 练一练 下列说法：①矩形的对角线互相垂直平分；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线相等，且互相垂直的四边形是正方形；④平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个全等的三角形．其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型一、特殊平行四边形性质的理解 A 题型剖析 题型二、特殊平行四边形判定的理解 例2 （25-26八年级下·云南昆明·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．四个角都相等的四边形为矩形 B．一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 C．对角线相等的平行四边形为菱形 D．一组邻边相等的矩形为正方形 解： A、四边形内角和为，四个角都相等，所以每个内角都为，因此四个角都相等的四边形是矩形，A是真命题，不符合题意； B、根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，B是真命题，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，C是假命题，符合题意； D、根据正方形的判定，一组邻边相等的矩形是正方形，D是真命题，不符合题意； 解析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，对各选项逐一判断，即可得到假命题． C 题型剖析 练一练 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 解：四边形是平行四边形， A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，因此当时，四边形是矩形，故此选项正确，不符合题意； D、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，因此当时，四边形是矩形，不一定是正方形，故此选项错误，符合题意. 题型二、特殊平行四边形判定的理解 D 题型剖析 题型三、添加条件构成特殊平行四边形 例3 （25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． C 题型剖析 题型三、添加条件构成特殊平行四边形 解：在平行四边形中，是对角线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故平行四边形为矩形，故选项A能判定，不符合题意；     ， 故平行四边形为矩形，故选项B能判定，不符合题意； ， 故平行四边形为菱形，故C不能判定，符合题意； ， ， 故平行四边形为矩形，故选项D能判定，不符合题意． 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 题型三、添加条件构成特殊平行四边形 （答案不唯一） 题型剖析 题型四、矩形性质与判定综合 例4 的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 解：如图所示．不妨设中，，点分别是的中点． 解析：考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出． 题型剖析 题型四、矩形性质与判定综合 ∵， ∴是直角三角形． ∴． ∵点分别是的中点． ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形．则， ∵DE、DF分别是△ABC的中位线， ∴， 于是在中， ． 故选：B． 题型剖析 练一练 （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点E作于点H，若， 求的长． 题型四、矩形性质与判定综合 解：（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D为中点， ∴， ∴四边形是矩形； 题型剖析 题型四、矩形性质与判定综合 （2）解：∵四边形是矩形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∵过点E作于点H， ∴ ∴ 题型剖析 题型五、菱形性质与判定综合 例5 如图，四边形是菱形，对角线和相交于点，，，于点，则的长为（ ） A．3 B．5 C． D． 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ， ∴在中，， ∵，即，∴． 解析：根据菱形的性质得到，，，，再由勾股定理在中求得，因此根据即可求解． C 题型剖析 练一练 如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求菱形的边长． 题型五、菱形性质与判定综合 （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 题型剖析 练一练 如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求菱形的边长． 题型五、菱形性质与判定综合 （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， 设， ∵, ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即菱形的边长为2． 题型剖析 题型六、正方形性质与判定综合 例6 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则（    ） A． B． C． D．4 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． A 题型剖析 练一练 （2026·辽宁抚顺·一模）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A． B． C． D． B 题型六、正方形性质与判定综合 解：过点A作，交的延长线于点E， ∵，是直角， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 如图可得，，， 在中，根据勾股定理可得，． 题型剖析 题型七、直角三角形斜边上的中线 例7 如图，BN 、CM 分别是△ABC 的两条高，D 、E 分别是 BC、MN 的中点． （1）求证: DE ⊥ MN； （2）若 BC ＝ 26，MN ＝ 10，则 DE 的长为______.　 A B C D M E N （1）证明: 如图，连结 DM 、DN． ∵BN 、CM 分别是△ABC 的两条高， ∴CM ⊥ AB，BN ⊥ AC， ∴∠BMC ＝ ∠CNB ＝ 90° ∵D是BC 的中点，∴DM ＝ BC，DN ＝ BC． ∴DM ＝ DN ． ∵E 是 MN 的中点，∴DE ⊥ MN ．（等腰三角形三线合一） 题型剖析 例7 如图，BN 、CM 分别是△ABC 的两条高，D 、E 分别是 BC、MN 的中点． （1）求证: DE ⊥ MN； （2）若 BC ＝ 26，MN ＝ 10，则 DE 的长为______.　 A B C D M E N （2）解:在 Rt△BMC 中，MD是斜边 BC 的中线， ∴MD = BC = 13. 在Rt△MED中，ME = MN = 5 DE = = = 12. 题型七、直角三角形斜边上的中线 题型剖析 题型七、直角三角形斜边上的中线 练一练 如图，在△ 中，是高，分别是的中点． (1) 若，求四边形的周长； (2) 求证：垂直平分 . （1）解：∵ 是 △的高，分别是 的中点， ∴， ， ∴四边形的周长： 题型剖析 题型七、直角三角形斜边上的中线 练一练 如图，在△ 中，是高，分别是的中点． (1) 若，求四边形的周长； (2) 求证：垂直平分 . （2）证明：∵， ∴线段 的垂直平分线上， ∴ 垂直平分 . 题型剖析 题型八、中点四边形 例8 如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 解析：由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 题型剖析 题型八、中点四边形 例8 如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 解：已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 题型剖析 练一练 如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理得分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 题型八、中点四边形 B 题型剖析 1.如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 考查特殊平行四边形的最值问题 解：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， C ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 针对训练 考查特殊平行四边形与函数问题 2. （2026·河北沧州·二模）如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． (1)求直线的解析式； (2)直线经过点，并与直线交于点， 求点的坐标． 解：（1）解：∵正方形的顶点坐标分别为，， ∴，轴， 点的坐标为， 设直线的解析式为，把及，代入， 得，解得， 直线的解析式为； 针对训练 考查特殊平行四边形与函数问题 2. （2026·河北沧州·二模）如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． (1)求直线的解析式； (2)直线经过点，并与直线交于点， 求点的坐标． （2）由题意知：， ∴点的坐标为， 把，代入，得， 直线的解析式为， 联立得，解得， 点的坐标为． 针对训练 3.将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 考查特殊平行四边形的动点问题 针对训练 考查特殊平行四边形的动点问题 （1）解：在中 ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动， ∴，当时，， ∴． 针对训练 考查特殊平行四边形的动点问题 （2）解：存在；理由： 依题意，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则满足，且 即， 解得， 当时，， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是菱形； 针对训练 考查特殊平行四边形的动点问题 （3）解：不存在；理由： 若与互相平分，则在的左侧，且四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， 由（1）知， ∴不存在的值，使得与互相平分． 针对训练 4. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 考查特殊平行四边形的折叠问题 解：由折叠可得． ， ， ， ． 设，则，． 在中，根据勾股定理，得， A 即， 解得， ， ． 故选：A． 针对训练 课堂总结 矩形 菱形 正方形 课堂总结 感谢聆听! $