专题02 正方形（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 以“性质-模型-判定-动态”为逻辑主线，通过六大题型系统整合正方形核心考点，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正方形的性质|6题|结合折叠、中点等考查边角关系|从基础性质到性质应用，构建概念理解| |弦图模型|6题|赵爽弦图及变形，涉及全等与面积|传统模型现代考法，强化模型迁移| |旋转模型|6题|含90°旋转构造全等，综合中点问题|图形变换思想，培养空间观念| |对角线全等模型|5题|利用对角线特性证全等，含动点最值|对角线性质延伸，深化逻辑推理| |证明四边形是正方形|5题|从菱形/矩形判定进阶，结合中点条件|判定定理综合应用，构建知识网络| |正方形的动点问题|5题|动线/点引发函数关系，含存在性探究|静态到动态，发展应用意识与创新思维|

专题02 正方形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正方形的性质（常考点） 1 题型二、弦图模型（常考点） 2 题型三、旋转模型（重点） 4 题型四、对角线全等模型（重点） 6 题型五、证明四边形是正方形（重点） 8 题型六、正方形的动点问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正方形的性质 1．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 2．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，已知正方形边长为2，点E为中点，连接，取中点F，过点F 作垂线，交于点G，则的长为（     ） A． B． C． D．1.8 3．（2026·陕西安康·二模）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点D折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则正方形纸片的边长为（   ） A． B． C．4 D． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 5．（2026·海南三亚·模拟预测）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则___________，___________． 6．（2026·浙江温州·二模）如图，四边形为正方形，点E在对角线的延长线上，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型二、弦图模型及类同模型 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，正方形的边长为1，正方形的四个顶点均在正方形的边上．已知，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2026年贵州省安顺市中考二模考试数学试题）如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图）连接，交分别于点，连接，已知，且． （1）___________． （2）阴影部分面积为___________． 6．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图1，四边形是正方形，，分别是边，上的点，连接，作于点，延长交边于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，若，，则的长为 ． 题型三、旋转模型 1．（2026·安徽芜湖·三模）如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则为（     ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，正方形中，，点，分别在边、上，，连接，连接分别交、于N、M，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④；⑤，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 3．（陕西省西安市经开区2026年初中学业水平模拟监测数学试卷（5月））如图，四边形和四边形都是正方形，且点在线段上，连接，过点作，垂足为．若，，则的长度为________． 4．（2026·广东汕头·一模）如图，在正方形中，连接，E，F为上两点，连接，，延长至点G，使得E为的中点，连接、，若，，则的值为_____． 5．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）综合与实践 【问题初探】 (1)如图1，在中，为边上的中线，我们将绕点旋转，得到，请作出； 【问题解决】 (2)如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小（提示：将绕点B顺时针方向旋转）； 【问题拓展】 (3)在正方形中，E，F分别为边上的点，且满足，，求的面积． 6．（2026·河北石家庄·模拟预测）综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” (1)求证：； (2)求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” (3)在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 题型四、对角线相关的全等模型 1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形边长为20，点为正方形对角线上任一点，过点作于点，作于点，连接，．给出以下4个结论： ①；②；③的最小值是；④若时，则的长度为．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·江苏南京·二模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 3．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为，是对角线上一点，是边的中点，那么的最小值为________． 4．（2026·浙江宁波·二模）如图，是正方形的边上一点（不与，重合），分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连结，，． (1)根据题中的尺规作图法可知：直线是线段的 ． (2)求证：． (3)当时，求的度数． 5．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，已知：正方形边长为3，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，求的度数； (2)当点在边上时，线段与线段之间存在怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是_______． 题型五、证明四边形是正方形 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（     ）   ；；；； A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 3．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 4．（2026·山东菏泽·二模）如图，四边形中， ，点O是、的交点，且点O为的中点． (1)求证； (2)若E为的中点，F为的中点，当，时，四边形是否为正方形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． (1)当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． (2)在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； (3)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 题型六、正方形的动点问题 1．（2023九年级·甘肃·专题练习）如图1，在正方形中，点是边的中点，连接，，动点在折线上运动，过点作于点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，到点时停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为平行四边形 B．当时，四边形为菱形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为正方形 3．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点P是线段上的动点，点Q是线段上的动点，则的周长最小值为_____________． 4．（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 1．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在正方形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 3．（2026·河南焦作·二模）如图1，点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E．点P的运动路程为x，设，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 4．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，已知正方形中，点E为对角线上的一个动点（不与点B、点D重合），点F在上，，下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④若，连接，则． A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论正确的有（    ） ①；②点B到直线的距离为；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 6．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 7．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，是一个边长为正方形花园，E，F为它的两个门，，是它的两条小路，且，若，则小路的长为______m． 8．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 9．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 10．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）如图，正方形中，点是边上一点，连接，若，，则_________．若点是边上一点，连接，，则_________． 11．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，对角线、相交于点，过点作射线、分别交边、于点、，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为，则的长度与的长度相等．上述结论中，所有正确的序号是_____． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 13．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 14．（2026·河南周口·二模）如图1，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，连接，且． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若的中点恰好在线段上，试探究与的数量关系，并说明理由． 15．（25-26八年级下·河南漯河·期中）综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 正方形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正方形的性质（常考点） 1 题型二、弦图模型（常考点） 5 题型三、旋转模型（重点） 14 题型四、对角线全等模型（重点） 24 题型五、证明四边形是正方形（重点） 31 题型六、正方形的动点问题 35 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正方形的性质 1．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去． 2．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，已知正方形边长为2，点E为中点，连接，取中点F，过点F 作垂线，交于点G，则的长为（     ） A． B． C． D．1.8 【答案】C 【分析】连接，结合题意可知垂直平分，易得；设，则，在和中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为边长为2的正方形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵点F为中点，且，即垂直平分， ∴， 设，则， 在和中， ，， ∴，解得， ∴． 3．（2026·陕西安康·二模）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点D折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若，则正方形纸片的边长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，则有，由题意得：，由折叠的性质可知：，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则有，由题意得：， 由折叠的性质可知：， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴正方形的边长为． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，结合题意可得为等腰直角三角形，则，延长交于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 5．（2026·海南三亚·模拟预测）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则___________，___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长；通过角度计算证明是等腰三角形，得出，再求出正方形对角线的一半作为的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， 四边形是正方形 ，， 是等腰直角三角形 在中， 解得 四边形是正方形 又 设与交于点，则 ， 在 中， 6．（2026·浙江温州·二模）如图，四边形为正方形，点E在对角线的延长线上，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，进而可证得； （2）根据正方形的性质和三角形外角和定理可解得，又有，即可求解． 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形， 是它的对角线， 所以，， 在和中， ， 所以； （2）解：因为四边形为正方形， 是它的对角线， 所以， 又因为， 而，所以， 由（1）可知， 所以． 题型二、弦图模型及类同模型 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：A． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，正方形的边长为1，正方形的四个顶点均在正方形的边上．已知，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、完全平方公式的变形求值、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据正方形的性质和全等三角形的判定，证明，从而得出，结合正方形边长为1得到，利用勾股定理和小正方形面积得到，最后利用完全平方公式变形求出的值． 【详解】解：四边形和均为正方形 ， 、、、， 、， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】通过证明可得；通过证明可得，进而证得垂直平分，推出；利用直角三角形斜边中线性质及外角性质可证及；最后统计错误结论的个数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个，错误的结论有0个． 4．（2026年贵州省安顺市中考二模考试数学试题）如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点P，连接，根据正方形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点P，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴. 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图）连接，交分别于点，连接，已知，且． （1）___________． （2）阴影部分面积为___________． 【答案】 5 【分析】（1）设，则，由，可得，在中，利用勾股定理列方程即可求解； （2）由条件可得，再证明，可得，，再根据阴影部分面积为梯形的面积即可求解． 【详解】解：（1）设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）∵四个直角三角形是全等的， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为． 6．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图1，四边形是正方形，，分别是边，上的点，连接，作于点，延长交边于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，若，，则的长为 ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，从而得到，，由，得到，从而得到进而得出； （2）作交延长线于，则，从而得到，由正方形的性质可得，从而得到，由四边形的内角和定理可得，由，可得，通过证明，可得，，再由勾股定理可得，从而即可得到答案； （3）作于点，连接，由得，，再，进而证明，得，由，得，可求得，则，，由，求得，则，，所以，于是得，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，  四边形是正方形， ，， ，， ， ， ． ， ； （2）解：， 作交延长线于，    ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ； （3）解：如图，作于点，连接，   ， 则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 题型三、旋转模型 1．（2026·安徽芜湖·三模）如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造辅助线，从而得到，利用全等三角形的性质及正方形的性质得与的位置关系，进而利用中位线定理建立与的数量关系，从而求解的长度． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 由题意可知，，， ， ， ，， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ． 2．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，正方形中，，点，分别在边、上，，连接，连接分别交、于N、M，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④；⑤，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】延长到T，使得，连接，证明，，可判定①②，利用等量代换，可判断③，根据全等三角形面积相等可判断④；将绕点A逆时针旋转使与重合，得，连接，同理可证，得到，根据正方形的性质得到，由旋转的性质可知，，得到，根据勾股定理即可判断⑤． 【详解】解：延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴． ∴．故①正确； 的周长为，故③正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故④正确； 将绕点A逆时针旋转使与重合，得，连接， 同理可证， ∴， ∵正方形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，其中正确的是①②③④⑤． 3．（陕西省西安市经开区2026年初中学业水平模拟监测数学试卷（5月））如图，四边形和四边形都是正方形，且点在线段上，连接，过点作，垂足为．若，，则的长度为________． 【答案】 【分析】先通过全等三角形转化线段，再结合垂直条件以及勾股定理求出线段长度，根据三角形面积公式推导出的长度． 【详解】解：已知四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ， , 三点共线， 设，则，， 在中，， ， 解得或（舍去）， ， ， ． 4．（2026·广东汕头·一模）如图，在正方形中，连接，E，F为上两点，连接，，延长至点G，使得E为的中点，连接、，若，，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】过点B作，过点A作交于点P，连接，过点A作，交于点H，设，则，先证明，，进而依据判定和全等得，，继而依据判定和全等得，在中，由勾股定理得，则，由此可得，再证明和全等得，，则，，然后证明和全等得，据此可得的值． 【详解】解：过点B作，过点A作交于点P，连接，过点A作，交于点H，如图所示： ∴，， ∴是直角三角形， ∵， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）综合与实践 【问题初探】 (1)如图1，在中，为边上的中线，我们将绕点旋转，得到，请作出； 【问题解决】 (2)如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小（提示：将绕点B顺时针方向旋转）； 【问题拓展】 (3)在正方形中，E，F分别为边上的点，且满足，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长，截取，连接即可； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的大小为； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形，，，， ∴，， ∴点在的延长线上， ∴， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 6．（2026·河北石家庄·模拟预测）综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” (1)求证：； (2)求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” (3)在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)作图见解析，分割线长为 【分析】（1）根据证明即可； （2）先证明四边形是正方形，则，而，再进行等量代换求解即可； （3）将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可，连接，过点作交的延长线于点，证明，得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，分割线即为所求； 将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可， 连接，过点作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵在四边形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 题型四、对角线相关的全等模型 1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形边长为20，点为正方形对角线上任一点，过点作于点，作于点，连接，．给出以下4个结论： ①；②；③的最小值是；④若时，则的长度为．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接，根据正方形的性质，易证△，得，再证明四边形是矩形，可得，即可判断①选项；根据全等三角形的性质以及矩形的性质即可判断②选项；根据垂线段最短，可求出的最小值，再根据，即可判断③选项；作于点，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，，再证明△是等腰直角三角形，可得，再根据列方程，求出，进一步即可求出和的值． 【详解】解：连接，如图所示： 在正方形中，，，， 又， △△， ， ，，且， 四边形为矩形， ， ， 故①选项符合题意； △△， △的面积△的面积， 在矩形中，△的面积△的面积， ， 故②选项符合题意； 正方形的边长为20， ， 根据勾股定理，得， 当时，的值最小，此时为的中点， ， 的最小值为， 故③选项不符合题意； 过点作于点， 则， ， ， 设，则， 根据勾股定理，得， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 故④选项符合题意， 综上，正确的有①②④， 故选：C． 2．（2026·江苏南京·二模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由，可知，利用三角形外角和定理，得到，则，又由，即可求解． 【详解】解：如图， 连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为，是对角线上一点，是边的中点，那么的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质，可知点和关于对角线对称，再根据“两点之间线段最短”，可得的最小值为的长，根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 正方形，是对角线， 点和关于对角线对称， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当D、E、F三点共线时，最小，即的长， 正方形的边长为， ，， 是边的中点， ， 在中，， 则的最小值为． 4．（2026·浙江宁波·二模）如图，是正方形的边上一点（不与，重合），分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连结，，． (1)根据题中的尺规作图法可知：直线是线段的 ． (2)求证：． (3)当时，求的度数． 【答案】(1)垂直平分线或中垂线 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据尺规作图可直接进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：直线是线段的垂直平分线； （2）证明：如图2，在正方形中， 平分， ， ，． ， ∴， 又∵直线是线段的垂直平分线， ． ． （3）解：， ． ， ． ， ， ， ∴， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，已知：正方形边长为3，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，求的度数； (2)当点在边上时，线段与线段之间存在怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是_______． 【答案】(1)； (2)； 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)． 【分析】（1）由正方形性质求解即可； （2）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， 由（2）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得． 当点P运动到中点时，，故此情况不存在， 的长是． 题型五、证明四边形是正方形 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（     ）   ；；；； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可． 【详解】解：四边形中，，不能判定四边形是平行四边形，故①错误； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，故②正确； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，不是菱形，故③错误； 矩形中， ∵， 四边形是正方形，故④正确； 菱形中， ∵， 四边形是正方形，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤共3个． 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 【答案】③④⑤⑥（答案不唯一） 【分析】先判定四边形是平行四边形，再根据③对角线相等判定平行四边形为矩形，最后根据④对角线互相垂直的矩形是正方形得到结论． 【详解】解：选择③④⑤⑥，理由如下： ，， ∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， ∴ 平行四边形是矩形，（对角线相等的平行四边形是矩形） ， ∴ 矩形是正方形，（对角线互相垂直的矩形是正方形）． 3．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】本题考查了“菱形的性质”“正方形的判定”，找到运动路程与正方形的判定条件之间的关系是解题关键． 由菱形的性质，可知，，因此，当时，即可判定四边形为正方形，此时的时间即为所求． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，． 设运动时间为t，则． ∴四边形是菱形． ∴当时，四边形是正方形． ∵是边长为4 cm的等边三角形， ∴． ∴． 故答案为：4． 4．（2026·山东菏泽·二模）如图，四边形中， ，点O是、的交点，且点O为的中点． (1)求证； (2)若E为的中点，F为的中点，当，时，四边形是否为正方形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）先证，得到，即可求证四边形是平行四边形；得到； （2）先证得四边形是平行四边形，再证得，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质求得，根据等腰三角形的性质进一步求得即可． 【详解】（1）证明：， ； 点O为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ； （2）解：四边形是正方形； 由（1）可知：，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形是菱形； ，， ， ， 是等腰直角三角形； ， ， 四边形是正方形． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． (1)当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． (2)在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； (3)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 【答案】(1)当D移至的中点时，四边形是菱形．证明见解析 (2)30 (3)不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理见解析 【分析】（1）当D移至的中点时，四边形是菱形；由平移的性质可得且，，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知，再证明四边形是平行四边形，结合即可证明； （2）由勾股定理可得，由平移的性质可得，再根据菱形的性质求面积即可； （3）不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件即可解答． 【详解】（1）解：如图：当D移至的中点时，四边形是菱形．证明如下： ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴且，， 在中，，D是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为． （3）解：如图：四边形不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理如下： ∵，D是中点， ，即， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 题型六、正方形的动点问题 1．（2023九年级·甘肃·专题练习）如图1，在正方形中，点是边的中点，连接，，动点在折线上运动，过点作于点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，到点时停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据勾股定理求得，根据图2可得当重合时，重合，此时，解方程，即可求解． 【详解】解：设， ∵在正方形中，点是边的中点， ∴，， ∴， 根据图2可得当重合时，重合，此时 ∴，解得：， ∴． 2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为平行四边形 B．当时，四边形为菱形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为正方形 【答案】B 【分析】当时，四边形为平行四边形，列方程求出t的值，可判断A；当时，四边形为平行四边形，再根据求t的值，可判断B；根据当时，四边形为矩形，列方程求出t的值，可判断C；当时，四边形为矩形，再根据列方程求出t的值，可判断D． 【详解】解：A． ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，故A不符合题意； B． 由A知，当时，四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． 作于点H，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B符合题意； C．∵，， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴，故C不符合题意； D． ∵当时，四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形， ∴，故不符合题意． 故选B． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点P是线段上的动点，点Q是线段上的动点，则的周长最小值为_____________． 【答案】 【分析】延长，截取，连接，延长，过点，作于点M，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出当、P、Q、F在同一直线上时，的周长最小，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长，截取，连接，延长，过点，作于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、P、Q、F在同一直线上时，的周长最小，且此时的周长等于的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长最小值为． 4．（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2)7；4 (3) 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． （2）解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； （3）解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 1．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得（负值已舍去）， 故正方形的周长为． 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在正方形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得，然后根据正方形的性质得出． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ， 点D的坐标是， ， ． 3．（2026·河南焦作·二模）如图1，点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E．点P的运动路程为x，设，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接交于点，连接，求解，，结合图2可得：时，，，，可得在线段上，当重合时，满足，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， ∵正方形边长为， ∴，， ∵为的中点， ∴，， 结合图2可得：时，，，， ∴， ∴在的垂直平分线上，即在线段上， ∵点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E． ∴当重合时，满足， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，已知正方形中，点E为对角线上的一个动点（不与点B、点D重合），点F在上，，下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④若，连接，则． A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，故①正确；根据三角形外角的性质得到，根据等量代换得到，故②正确；根据，不能证明，故③错误；根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得到的等腰直角三角形，于是得到，故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 在与中， ∵∠， ∴不能证明，故③错误； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的等腰直角三角形， ∴，故④正确； 综上可知，正确的是①②④． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论正确的有（    ） ①；②点B到直线的距离为；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；根据，得到，得到，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；故①正确； 过B作，交的延长线于点F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即点B到直线的距离为，故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴ ，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④ 6．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果． 【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M， ∵，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴中，． 7．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，是一个边长为正方形花园，E，F为它的两个门，，是它的两条小路，且，若，则小路的长为______m． 【答案】50 【分析】，交于点G，根据，得到，在中，进而得到，再结合,，证得，得到，利用勾股定理，即可求出． 【详解】解：，交于点G，如下图 ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在中，利用勾股定理得 ． 8．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 9．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 【答案】 【分析】先由正方形的性质结合勾股定理求解，再由求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵ ∴． 10．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）如图，正方形中，点是边上一点，连接，若，，则_________．若点是边上一点，连接，，则_________． 【答案】 【分析】①根据勾股定理即可求解； ②延长到点，使，连接，通过论证， ，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】①解：∵正方形中，， ∴， ∴， ②解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴解得：， ∴. 11．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，对角线、相交于点，过点作射线、分别交边、于点、，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为，则的长度与的长度相等．上述结论中，所有正确的序号是_____． 【答案】①③④ 【分析】对于①，由正方形的性质可得，，，结合可得，从而证明；对于②，由可得，由勾股定理可得， 从而得到，由直角三角形的性质可得，因此；对于③，由可得，因此；对于④，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，因此． 【详解】解：对于①，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 对于②，在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，故②错误； 对于③，∵， ∴， ∴，故③正确； 对于④，在中，点为斜边的中点， ∴， 同理，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为：①③④． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）过点作，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图所示： ∵四边形是边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，易证得与是等腰三角形，则可证得，则可得出答案； （2）正方形的判定问题，若是正方形，则必有对角线，所以为的中点，同样在中，当时，可满足其为正方形； （3）菱形的判定问题，若是菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直，进而可判断出不可能为菱形，再通过正方形是有一个角是的菱形，进而可判断出也不可能为正方形． 【详解】（1）解：． 理由如下： 是的角平分线， ， 又∵， ， ， ， 同理可得：， ； ． （2）解：当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由如下： 当点运动到的中点时，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 四边形是矩形． 已知，当，则 ， ， 四边形是正方形； （3）解：不可能．理由如下： 如图，平分，平分， ， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为，所以不存在其为菱形． ∵四边形不可能是菱形， 又∵正方形是有一个角为的菱形， ∴四边形也不可能是正方形． 14．（2026·河南周口·二模）如图1，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，连接，且． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若的中点恰好在线段上，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，继而根据三角形内角和定理得到． （2）根据正方形的性质证明，根据对应边相等得到，继而得证结论． （3）作于点，于点，于点，连接，根据四边形是矩形，得到，根据三角形中位线定理得到，设，通过证明、、、为等腰直角三角形，继而得到，，，从而得到或． 【详解】（1）解：四边形是正方形， 对角线平分， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， 对角线平分， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图2，作于点，于点，于点，连接， ，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点，， ， ， 点是的中点， ∴是的中位线， ， 设，则，由（2）可得， 于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，同理、、均为等腰直角三角形， 在等腰直角三角形中，， 在等腰直角三角形中，， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在等腰直角三角形中，， 即． 15．（25-26八年级下·河南漯河·期中）综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)是等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解． （2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证； （3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：点H是边的三等分点， 或2； 由（2）知，， ， 由折叠可知， 当时，则， 设，则， ， 在中，， ， 解得 ， ， 当时，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $