第04讲 空间几何体的外接球和内切球模型（培优讲义）新高二数学人教A版

第04讲 空间几何体的外接球和内切球模型（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 长方体/正方体与墙角模型 2 知识点02 对棱相等模型&共斜边直角三角形模型 3 知识点03 柱体与线面垂直模型 4 知识点04 正棱锥模型（正锥体） 5 知识点05 台体模型 6 知识点06 面面垂直与二面角模型 7 知识点07 多面体内切球模型 8 剖题型·讲技巧 8 题型1 长方体及墙角模型 8 题型2 对棱相等及共斜边模型 11 题型3 柱体模型 13 题型4 线面垂直模型 15 题型5 高过球心模型 19 题型6 面面垂直模型 22 题型7 二面角模型 27 题型8 台体模型 31 题型9 内切球模型 35 知高考·真题探源 39 练好题·提分培优 49 课标要点 1．认识空间几何体的外接球与内切球，理解球与多面体的位置关系，掌握常见几何体球心、半径的确定方法，建立空间几何直观。 2．能结合长方体、棱锥、棱柱等模型，运用补形法、勾股定理、正弦定理等求解外接球相关问题，提升空间想象与运算能力。 3．掌握等体积法求解多面体内切球半径，学会结合面面垂直、二面角等空间位置关系分析球的位置。 4．综合运用立体几何知识解决球与多面体的综合题型，体会数形结合、转化化归的数学思想。 知识点01 长方体/正方体与墙角模型 1、长（正）方体外接球 长方体、正方体的外接球球心为体对角线中点，外接球直径等于几何体体对角线长。设长方体长、宽、高为，则外接球半径：； 正方体棱长为时，。 2、墙角补形模型（补成长方体） 遇到以下两类三棱锥，可将其补形为长方体求解外接球，外接球与补成长方体的外接球完全相同： 图形特征 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 三棱锥的四个面均是直角三角形 图示 练习1．在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 知识点02 对棱相等模型&共斜边直角三角形模型 1、对棱相等三棱锥 若三棱锥三组对棱分别相等，可将其补形为长方体，三组对棱对应长方体三组面对角线。设三组对棱棱长依次为，则外接球直径满足：。 2、共斜边模型 若三棱锥内两个直角三角形共用同一条斜边，则该斜边中点为三棱锥外接球的球心，公共斜边长度即为外接球直径，直接由此求出半径。 练习2．已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将四面体放入长方体中，如图， 则四面体的外接球，即为长方体的外接球， 设长方体中，则， 三式相加得，故， 所以四面体的外接球半径为， 故四面体的外接球表面积为. 故选：B 知识点03 柱体与线面垂直模型 1、直棱柱外接球 直棱柱上下底面互相平行且侧棱垂直底面，设棱柱的高为，底面多边形外接圆半径为，则外接球半径公式：。 2、线面垂直模型 若几何体存在一条棱垂直于底面，可将其整体补形成直棱柱，套用直棱柱外接球公式计算半径。 练习3．在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 知识点04 正棱锥模型（正锥体） 正棱锥顶点在底面的投影为底面正多边形的外心，球心在顶点与底面外心的连线上，解题通用步骤： 1.找出底面正多边形的外心，顶点、球心、底面外心三点共线； 2.利用正弦定理求出底面外接圆半径，再计算正棱锥的高； 3.设外接球半径为，结合勾股定理，解方程求出。 练习4．已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球被平面所截得的截面面积为，可得截面圆的半径为，正方形的边长为， 设球的半径为，则到平面的距离为， ，解得， 所以四棱锥的体积为. 知识点05 台体模型 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 练习5．一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出圆台的轴截面，可知当球与相切时体积最大， 由切线性质可得，作，垂足分别为， 可知，所以，又， 所以，则， 设球的半径也即圆的半径为，由 可得，解得，因为， 所以该球是存在的，此时球的体积为， 圆台的体积为，所求比值为. 知识点06 面面垂直与二面角模型 1、两平面垂直模型： 分别作出两个互相垂直平面内多边形的外接圆圆心，过两个圆心分别作对应平面的垂线，两条垂线的交点即为几何体的外接球球心。 2、一般二面角模型： 等边三角形、等腰三角形的外心为中心，直角三角形的外心为斜边中点；过各面外心作所在平面的垂线，垂线交点为球心。两个外心垂线的夹角与原二面角相等或互补，结合几何关系计算外接球半径。 练习6．三棱锥中，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取中点，连接，则，， 由平面平面，平面平面，平面，平面， 得平面，平面，取的外心，的外心， 分别过作平面、平面的垂线交于点，即为球心，连接， 于是，四边形为平行四边形，，， 因此三棱锥的外接球半径，有， 所以三棱锥的外接球表面积. 故选：C 知识点07 多面体内切球模型 内切球的核心特征：球心到几何体各个面的距离均等于内切球半径。 高中通用解法为等体积法：设多面体体积为，表面积为，内切球半径为，则公式：，变形得。该方法适用于棱柱、棱锥、棱台等各类简单多面体。 练习7．若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设球半径为，圆锥的底面圆半径为，高为， 轴截面如图所示， ， 因为球是轴截面为正三角形的圆锥的内切球， 所以，， 所以， 所以圆锥的表面积与球的表面积之比为. 题型1 长方体及墙角模型 1．棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】正方体外接球的球心为正方体的中心，外接球的直径与正方体的体对角线长度相等， 设正方体棱长为，正方体的体对角线长度为： 设外接球半径为，则，解得，即棱长为1的正方体的外接球半径为. 2．已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且， 所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径， 所以球的表面积为. 3．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将鳖臑补全成长方体，如图， 则此四面体的外接球的半径为， 其外接球的表面积为. 故选：B. 5．如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，多面体是棱长为的正方体切去两个角得到的切割体， 多面体的外接球的直径为，即半径为， 多面体的外接球的表面积为． 故选:A. 题型2 对棱相等及共斜边模型 6．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 7．如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为_________．    【答案】 【详解】设，由矩形的性质可知：， 则三棱锥的外接球的球心即为，半径， 所以三棱锥的外接球的体积. 故答案为：.    8．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝2，AB＝1，，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为___． 【答案】 【详解】由题意，在三棱锥中，平面，平面， 所以，,又，，平面， 所以平面，平面，所以， 设的中点为，因为，所以， 因为，所以， 所以为三棱锥外接球的球心， 因为，，所以， 因为，，，所以， 设三棱锥外接球的为，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：. 9．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为__________. 【答案】 【详解】 取中点为,过作交于，则,即为中点. 因为平面,所以平面. 因为,所以, 所以，, 所以，是三棱锥外接球球心,为球的半径. 由, 又,当且仅当,等号成立,此时, 所以球半径,故, 该“鞠”的体积最小值为 故答案为：. 题型3 柱体模型 10．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设三棱柱上底面和下底面的中心分别为,连接，则其外接球的球心在的中点处， 记球心为,连接，则由正三棱柱的性质可知为直角三角形； 因为正三棱柱的高为2，， 所以，，所以. 故选：B 11．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 【答案】 【详解】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径，高， 球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得： ， 根据球的表面积公式，代入得： ，即该圆柱的外接球的表面积为 12．图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为， 设正六棱锥的上顶点为,正六棱柱底面的中心为, 连接，则,正六棱柱底面 该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上， 且, 设该几何体外接球的半径为,则,解得：, 所以球的体积为 题型4 线面垂直模型 13．已知在三棱锥中，平面SBC，，，，则该三棱锥外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，将三棱锥补成以AC为侧棱的直棱柱，设△BCS外接圆圆心为，半径为r，设△ADE外接圆圆心为，连接，，，取的中点O，则点O为三棱锥外接球球心，连接CO，设该三棱锥外接球半径为R，在△BCS中，，所以.在中，，所以该三棱锥外接球体积为， 故选：B. 14．已知四棱锥平面，，若三棱锥与三棱锥的外接球半径分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设，因为， 所以 因为在四边形， 所以， 所以，即， 因为平面，平面， 所以，， 又，，平面， 所以， 又因为，所以 所以，如图，在三棱锥中，取中点， 在中，， 在中，， 所以点为三棱锥外接球球心，半径为； 因为，，，所以 同理，在三棱锥中，取中点， 在中，， 在中，， 所以点为三棱锥外接球球心，半径为； 所以 15．在三棱锥中，已知平面，且是边长为的正三角形，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为___________. 【答案】 【详解】取,,的中点,,，连结,,，交于点， 则， 设三棱锥的外接球的半径 由外接球表面积为可得 设三棱锥的外接球的球心为， 连结，则平面， 过作，交于，， ，故 所以,故三棱锥的体积为 故答案为： 16．已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 ，因为 ， 所以 ， ， 而 ，所以 于是是 外接圆的半径， ， 如图所示 记点为的外接圆的圆心．且， 过点作平面，作的中垂线交于点， 故点为三棱锥的外接球的球心， 所以 所以， 故选：C． 题型5 高过球心模型 17．如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分别为棱的中点，则，所以. ，， 而正三棱锥中，对棱互相垂直，即， 又，平面，平面， ，. 设，则，所以， 在三角形中，，解得， 所以，即有， 过的三条侧棱两两互相垂直， 因此可将正三棱锥补成正方体，正三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 由，正三棱锥的外接球， 故选：C. 18．在正三棱锥中，，且P、A、B、C四个顶点均在球O的球面上，则球O被平面PAB所截圆的面积为______. 【答案】 【详解】球O被平面所截圆的面积为即为外接圆的面积， 因为，所以由余弦定理可得， 所以， 所以外接圆的半径为， 所以外接圆的面积为. 故答案为：. 19．已知圆锥SO的底面半径为2，体积为，ABCDE是底面圆O的内接五边形，则五棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】 【详解】设圆锥的高为，则由得， 棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，设球半径为, 则有，得， 因此，棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 20．如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. （2）设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. 21．一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在正六棱锥中，设点为正六边形的中心，连接、， 易知为等边三角形，所以，， 由正棱锥的几何性质可知，外接球球心在直线上， 设外接球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 故该正六棱锥的外接球的表面积为. 题型6 面面垂直模型 22．已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，    由已知可得，与均为等边三角形， 取中点，连接，，则， ∵平面平面，则平面， 分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于， 则为三棱锥的外接球的球心， 由与均为边长为的等边三角形， 可得， ， ， ∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为. 故选：D. 23．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点P是以为直径的半圆弧上的动点（不含A，D点），面面，经研究发现，四棱锥的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______________． 【答案】 【详解】由题意，为直角三角形，如图． 取中点，则， 取中点，则O是正方形的中心，连接，则 ． 已知面底面，且面面，面． 故面，则，又， 故到四棱锥各顶点的距离相等． 即为四棱锥的外接球的球心，半径． 故外接球的表面积． 故答案为：. 24．如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为______. 【答案】 【详解】如图所示：设为的中心，为四面体的外接球的球心， 则平面． 因为二面角的大小为，即平面平面， 设为线段的中点，外接球的半径为， 连接， 过作于点， 易知为的中心，则， 因为， 故，， 在中，， 故，则． 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 25．在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则_______. 【答案】2 【详解】依题意，作出三棱锥的直观图，如图，不妨记，      因为该三棱锥的外接球表面积为，设该外接球的半径为， 则，解得， 因为，所以是外接圆的直径，即， 因为是等边三角形，记外接圆的直径为， 则， 因为平面平面，两者交线为，即， 所以由，得，解得， 记的中点为，连接， 因为是等边三角形，所以， 又平面平面，两者交线为，平面， 所以平面，又平面，所以， 在等边中，，则， 在中，， 所以在，. 故答案为：. 26．四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】取的中点，连接， 又因为，所以， 又因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面. 设的中心为，球心为，则平面, 于是，. 设四棱锥的外接球半径为，其表面积为,故. 过作，则四边形为矩形， 故,， 在和中， ， ，, 所以，，. 当在平面的上方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 当在平面的下方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 故选:C. 【点睛】本题关键要注意外心即可能在平面上方，也可能在下方，思考问题要周密. 题型7 二面角模型 27．将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方形的对角线交点为， 则，， 翻折后所得图形如下图所示，    则的中点为球心， 故该四面体的外接球体积， 由于二面角的大小为120°，，则，且， 所以四面体的体积， 故此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为． 故选：D． 28．已知正方形ABCD的边长为4，将沿对角线AC翻折，使二面角为，则平面BCD截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点为，连接，由题意有，所以， 所以为二面角的平面角，所以，， 由余弦定理有，所以， 又由余弦定理得， 所以， 由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以该圆的面积为， 故选：B. 29．在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______． 【答案】/ 【详解】在Rt中，，则，， 由是的中点，得，为正三角形，， 令的外接圆圆心分别为，连接并延长交于，连接， 则，是二面角的平面角，， ，在中，由正弦定理得， 是正三角形，，在中，由余弦定理得， 令三棱锥外接球球心为，连接，则平面，而平面， 则，同理，而平面， 于是平面，而平面，则平面与平面重合， 即点四点共面，且这四点共圆，其直径为，由正弦定理得， ，三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球表面积. 故答案为： 30．如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】/ 【详解】取和的中点分别为，，过点作面于点， 连结，，,平面,故， 又，则又平面, 故平面，平面，故 则为二面角的补角， ， 因为，，则，且， 易知， 因为为等腰直角三角形，所以是的外心. 设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知， 作，易知为矩形，， 设，，则在中，， 且中，，解得， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查外接球问题，关键是利用球的性质确定球心位置. 题型8 台体模型 31．如图，在正三棱台中，，，，则下面结论正确的是（   ） A．该正三棱台的侧面与底面所成角的余弦值为 B．该棱台的体积为 C．该棱台的外接球的表面积为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】C 【详解】设分别为正的中心， 分别为的中点，连接，，，，，，， ∵正三棱台， ∴平面， ∴，都为正三角形，四边形为等腰梯形， ∴，，，，， ，，，， ∴∠DEO为二面角的平面角， 在等腰梯形中，， 在直角梯形中，，故A错误； 在直角梯形中，， ，， ∴该棱台的体积为，故B错误； 设该棱台的外接球的半径为， 根据正弦定理可得的外接圆的半径分别为，， 由球的截面性质知，，解得， ∴该棱台的外接球的表面积为，故C正确； ， 为异面直线与BC所成角（或补角）， 在等腰梯形MNBA中，， ， ， ， ∴异面直线AN与BC所成角的余弦值为，故选项D错误． 故选：C． 32．已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以结合体积公式，可得正四棱台的高， 记上下底面的中心分别为，， 所以该正四棱台的外接球球心在直线上， 设，外接球半径为，则 则，解得，， 所以外接球表面积. 33．已知圆台的上､下底面半径之比为，若圆台的上､下底面圆周都在半径为5的球（球心在圆台内部）的表面上，且圆台的高为7，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆台的上､下底面半径分别为， 由题意可得，解得， 所以圆台的体积为. 故选：A. 34．已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形， 易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为． 在直角三角形中，，在直角三角形中，， 故或， 所以或， 两边平方整理得或，得， 所以（负值舍去）． 故球的体积．    35．在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 【答案】 【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点， 即上、下底面中心，是正四棱台的高，． ，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接， 则，， 若在线段上（如图），由得， 因为，，所以方程无实数解； 因此在的延长线上（如图），即在平面下方， 因此有，解得， 所以球表面积为． 题型9 内切球模型 43．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    44．已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱柱底面的边长为a，所以内切圆的半径， 因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高． 取中点D，连接，，易证平面，所以为所求角． 在中，，，于是， 所以． 45．设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】球的体积公式为， 由题意内切球体积， 代入得： ，整理得： 设正四面体棱长为，高为 如图为正四面体，为的中心， 根据正弦定理知的外接圆半径， 所以， 设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为， 则根据等体积法得： ． 故 对两边立方得： 将​代入上式，得： 因此该正四面体的棱长为. 46．上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的母线长为，则，则, 所以圆锥的高, 由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长, 所以轴截面等腰三角形内切圆的半径, 故该圆锥形模型的内切球的半径为 47．（多选）已知某科学实验室为保障脑机接口实验的精密仪器安全存储，设计了一款圆台形密封智能存储舱（舱壁厚度忽略不计），内部装有两个实心金属球，其中一个金属球恰好与圆台的上､下底面及所有母线都相切（即内切球），存储舱上底面直径，下底面直径，且，则下列说法正确的是（    ） A．存储舱的高为 B．存储舱的表面积为 C．存储舱的体积为 D．舱中另一个球半径最大时，它的表面积为 【答案】BCD 【详解】对于选项A，如图所示， 由题，存储舱的轴截面是上底为6,下底为2的等腰梯形且有内切圆，如上图， 设内切圆半径为，则梯形两腰长为， 梯形面积公式可以用两种方式表示为 ， 故存储舱的高为，A错误； 对于选项B，侧面积公式为， 存储舱的表面积为，故B正确； 对于选项C，存储舱的体积为，故C正确； 对于选项D，当球与球、舱盖、舱壁均相切时，球的半径最大，设为， 如下图，在轴截面ABCD中，由， 则， 可求得它的表面积为，D选项正确； 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C．[方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，为等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为， 则， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解. 5．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 【答案】 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 【答案】2 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 【答案】 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为： 8．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. (2)（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）. 【分析】 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 1．一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 2．已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设外接球的半径为，则球的体积为， 由于圆锥内接于球，其轴截面为一个内接于球的大圆的等腰三角形，则轴截面三角形的外接圆就是外接球的大圆， 即轴截面三角形的外接圆半径就是外接球的半径， 已知轴截面顶角为，由正弦定理可得，底面直径满足， 解得，因此圆锥底面半径，圆锥的高， 所以圆锥体积， 则该圆锥与球的体积之比为：. 3．已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】如图，设内切球的半径为，圆台上、下底面的圆心分别为，，则圆台内切球的球心一定在的中点处. 设球与母线切于点，则，所以，，同理，圆台的母线长为. 又，所以，解得. 由，得，所以，，.    4．半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，已知球O的半径， 作轴截面，如图， 由勾股定理得：， 圆柱侧面积， 当且仅当时等号成立， 因此圆柱侧面积的最大值为， 球的表面积为， 故两者差值为. 5．已知在正四棱台中，，若存在一个球与此正四棱台的各个面都相切，则此正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图1，取的中点 ，设上底面与球相切的点为， 则平面为一个含内切圆的等腰梯形截面图如图2, 因为等腰梯形有内切圆的充要条件为上底+下底两腰之和， ，所以 ， 所以梯形的高， 此时梯形的高即为正四棱台的高. 又因为正四棱台的体积 为上底面的面积，为下底面的面积，， 所以. 6．四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】如图，设的外心为，过点作于点，连接、、， 取的中点，连接，则. 因为面面，面面，平面， 所以，面， 因为平面，所以. 在直角三角形中，，，,得. 在中，由正弦定理得，，解得，. 在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，由面积公式得，，解得，， 则，. 在直角三角形中，则， 在直角三角形中，则， 即， 所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为. 【点睛】方法归纳： 1.对于含面面垂直的四面体外接球问题，通常是先找出其中一个面的外接球直径，再利用面面垂直的性质确定球心的位置. 2.外接球的球心到四面体各个顶点的距离相等，是确定球心位置的关键. 易错归纳： 1.容易忽视面面垂直这个条件，错误地以的外接圆作为球的大圆. 2.球体的体积公式记错，混淆了半径与体积的关系式. 7．在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图所示，作，因为，所以是中点，因为平面平面，所以平面，所以， 设，则， 在直角三角形中，，即：，解得：，即：，， 因为，，所以和是直角三角形，且，则， 设三棱锥内切球的半径为，则， ， 代入得：，解得：，即：三棱锥内切球的半径为. 8．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 9．已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 【答案】 【详解】由，点均在球的表面上， 得四边形内接于圆，则，即， 由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，则，又， 因此二面角的平面角为，即， 在中，由，得， 四边形外接圆的直径，即外接圆的直径， 由平面，得四棱锥外接球的半径 所以四棱锥外接球的表面积为. 10．有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 【答案】 【详解】 将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图） 正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64， 则上底边长为2，下底边长为8.即. 侧面梯形的高为6,则，所以棱台的高. 若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径. 当内切球与棱台的上、下底面相切时，内切球半径； 当内切球与棱台的侧面相切时（如图），假设 由，则， 即，得,则，. 又，，即，解得 ，正四棱台内切球的半径,即正方体外接球半径. 此时正方体的边长为，则正方体棱长的最大值为. 11．如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为___________. 【答案】 【详解】方法一：因为， 所以，又，所以， ，即， 因为到的距离为，所以到的距离为， 如图，设正方形的外接圆圆心为，半径， 设正方形的外接圆圆心为，半径， 已知几何体的所有顶点均在同一个球面上， 设此球的半径为，若球心在平面下方，则（舍）， 若球心在平面的上方，则解得， 故该球的表面积为. 方法二：因为， 所以，又，所以， 即，如图，设四边形的外接圆的半径为， 由余弦定理可得， 故，故，已知几何体的所有顶点均在同一个球面上， 则该球的半径为，所以该球的表面积为. 12．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积． 【答案】(1) ； (2) 【分析】 【详解】（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，， 所以，的内切圆半径， 圆柱的高 ，所以圆柱的表面积 ． （2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点， 设外接圆的圆心为，底面直角三角形外心是斜边的中点， 则，，所以，外接球半径， 体积 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间几何体的外接球和内切球模型（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 长方体/正方体与墙角模型 2 知识点02 对棱相等模型&共斜边直角三角形模型 3 知识点03 柱体与线面垂直模型 3 知识点04 正棱锥模型（正锥体） 4 知识点05 台体模型 4 知识点06 面面垂直与二面角模型 4 知识点07 多面体内切球模型 5 剖题型·讲技巧 5 题型1 长方体及墙角模型 5 题型2 对棱相等及共斜边模型 6 题型3 柱体模型 7 题型4 线面垂直模型 7 题型5 高过球心模型 8 题型6 面面垂直模型 9 题型7 二面角模型 10 题型8 台体模型 11 题型9 内切球模型 11 知高考·真题探源 12 练好题·提分培优 14 课标要点 1．认识空间几何体的外接球与内切球，理解球与多面体的位置关系，掌握常见几何体球心、半径的确定方法，建立空间几何直观。 2．能结合长方体、棱锥、棱柱等模型，运用补形法、勾股定理、正弦定理等求解外接球相关问题，提升空间想象与运算能力。 3．掌握等体积法求解多面体内切球半径，学会结合面面垂直、二面角等空间位置关系分析球的位置。 4．综合运用立体几何知识解决球与多面体的综合题型，体会数形结合、转化化归的数学思想。 知识点01 长方体/正方体与墙角模型 1、长（正）方体外接球 长方体、正方体的外接球球心为体对角线中点，外接球直径等于几何体体对角线长。设长方体长、宽、高为，则外接球半径：； 正方体棱长为时，。 2、墙角补形模型（补成长方体） 遇到以下两类三棱锥，可将其补形为长方体求解外接球，外接球与补成长方体的外接球完全相同： 图形特征 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 三棱锥的四个面均是直角三角形 图示 练习1．在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 知识点02 对棱相等模型&共斜边直角三角形模型 1、对棱相等三棱锥 若三棱锥三组对棱分别相等，可将其补形为长方体，三组对棱对应长方体三组面对角线。设三组对棱棱长依次为，则外接球直径满足：。 2、共斜边模型 若三棱锥内两个直角三角形共用同一条斜边，则该斜边中点为三棱锥外接球的球心，公共斜边长度即为外接球直径，直接由此求出半径。 练习2．已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 知识点03 柱体与线面垂直模型 1、直棱柱外接球 直棱柱上下底面互相平行且侧棱垂直底面，设棱柱的高为，底面多边形外接圆半径为，则外接球半径公式：。 2、线面垂直模型 若几何体存在一条棱垂直于底面，可将其整体补形成直棱柱，套用直棱柱外接球公式计算半径。 练习3．在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 知识点04 正棱锥模型（正锥体） 正棱锥顶点在底面的投影为底面正多边形的外心，球心在顶点与底面外心的连线上，解题通用步骤： 1.找出底面正多边形的外心，顶点、球心、底面外心三点共线； 2.利用正弦定理求出底面外接圆半径，再计算正棱锥的高； 3.设外接球半径为，结合勾股定理，解方程求出。 练习4．已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 知识点05 台体模型 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 练习5．一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 知识点06 面面垂直与二面角模型 1、两平面垂直模型： 分别作出两个互相垂直平面内多边形的外接圆圆心，过两个圆心分别作对应平面的垂线，两条垂线的交点即为几何体的外接球球心。 2、一般二面角模型： 等边三角形、等腰三角形的外心为中心，直角三角形的外心为斜边中点；过各面外心作所在平面的垂线，垂线交点为球心。两个外心垂线的夹角与原二面角相等或互补，结合几何关系计算外接球半径。 练习6．三棱锥中，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 知识点07 多面体内切球模型 内切球的核心特征：球心到几何体各个面的距离均等于内切球半径。 高中通用解法为等体积法：设多面体体积为，表面积为，内切球半径为，则公式：，变形得。该方法适用于棱柱、棱锥、棱台等各类简单多面体。 练习7．若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 题型1 长方体及墙角模型 1．棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 2．已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 3．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型2 对棱相等及共斜边模型 6．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为_________．    8．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝2，AB＝1，，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为___． 9．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为__________. 题型3 柱体模型 10．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 11．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 12．图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 题型4 线面垂直模型 13．已知在三棱锥中，平面SBC，，，，则该三棱锥外接球体积为（    ） A． B． C． D． 14．已知四棱锥平面，，若三棱锥与三棱锥的外接球半径分别为，则（   ） A． B． C． D． 15．在三棱锥中，已知平面，且是边长为的正三角形，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为___________. 16．已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 题型5 高过球心模型 17．如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 18．在正三棱锥中，，且P、A、B、C四个顶点均在球O的球面上，则球O被平面PAB所截圆的面积为______. 19．已知圆锥SO的底面半径为2，体积为，ABCDE是底面圆O的内接五边形，则五棱锥的外接球的表面积为______. 20．如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 21．一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型6 面面垂直模型 22．已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点P是以为直径的半圆弧上的动点（不含A，D点），面面，经研究发现，四棱锥的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______________． 24．如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为______. 25．在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则_______. 26．四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C．或 D．或 题型7 二面角模型 27．将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（    ） A． B． C． D． 28．已知正方形ABCD的边长为4，将沿对角线AC翻折，使二面角为，则平面BCD截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 29．在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______． 30．如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为________. 题型8 台体模型 31．如图，在正三棱台中，，，，则下面结论正确的是（   ） A．该正三棱台的侧面与底面所成角的余弦值为 B．该棱台的体积为 C．该棱台的外接球的表面积为 D．异面直线与所成角的余弦值为 32．已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 33．已知圆台的上､下底面半径之比为，若圆台的上､下底面圆周都在半径为5的球（球心在圆台内部）的表面上，且圆台的高为7，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 34．已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 35．在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 题型9 内切球模型 43．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 44．已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 45．设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 46．上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 47．（多选）已知某科学实验室为保障脑机接口实验的精密仪器安全存储，设计了一款圆台形密封智能存储舱（舱壁厚度忽略不计），内部装有两个实心金属球，其中一个金属球恰好与圆台的上､下底面及所有母线都相切（即内切球），存储舱上底面直径，下底面直径，且，则下列说法正确的是（    ） A．存储舱的高为 B．存储舱的表面积为 C．存储舱的体积为 D．舱中另一个球半径最大时，它的表面积为 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 8．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 1．一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 3．已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．半径为6的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（   ） A． B． C． D． 5．已知在正四棱台中，，若存在一个球与此正四棱台的各个面都相切，则此正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 10．有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 11．如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为___________. 12．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $