2026年中考数学真题完全解读（四川省成都卷）

该初中数学中考复习资料聚焦数与式、函数、图形的性质等核心模块，依据中考命题规律构建知识网络，通过考点细目表系统梳理高频考点，结合真题解读与方法指导，助力学生突破A卷基础与B卷压轴难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于本土情境融入与分层突破策略，如第24题以公园城市为背景培养模型观念，几何探究题分三层递进发展推理能力。设“避坑提醒”规避常见错误，配合限时训练与核心复习策略，助力学生高效提升应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

2026年四川省成都市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年成都市中考数学试卷延续A卷（100分）+B卷（50分）的双卷结构，总分150分，整体难度梯度明显，基础题与压轴题区分度良好。A卷侧重基础运算与核心概念，第1–8题单选题覆盖正负数、科学记数法、棱柱展开图、整式运算、全等三角形、古算诗方程、用样本估计总体、二次函数性质，每题4分，共32分；第9–13题填空题考查因式分解、轴对称、函数求值、正多边形内角及矩形与尺规作图综合，每题4分，共20分；第14–18题解答题分别涉及实数运算与不等式组、统计加权平均数、解直角三角形、圆的综合证明与计算、反比例函数与几何变换，共48分。B卷第19–23题填空题难度陡升，涵盖整式化简求值、概率树状图、分式拆分待定系数、相似三角形与勾股定理综合、新定义坐标几何，每题4分，共20分；第24–26题解答题分别为一次函数实际应用（公园游览路线）、几何综合探究（等腰三角形拼接与旋转）、二次函数综合（根与系数关系与三点共线），共30分。全卷突出成都本土情境，第24题以"雪山下的公园城市"为背景，第15题取材学校创意课间操比赛，第16题融入社区"智慧助老"行动，体现数学服务城市生活的理念。 试题亮点 1. 雪山下的公园城市情境入题：第24题以成都某公园游览路线为背景，将一次函数图像与公园城市"超1500个公园"的本土元素深度融合，让学生在熟悉的成都生活场景中建立函数模型，体现数学服务城市生活的理念，同时考查学生从实际情境中提取信息、建立数学模型的能力。 2. 社区智慧助老与校园健康双情境并行：第15题以学校创意课间操比赛为载体，综合统计图表、加权平均数与决策分析；第16题以社区"智慧助老"行动为背景，将解直角三角形应用于智能门锁摄像头仰俯角测量，两道题目分别对应校园与社区场景，体现数学教育的社会价值与育人功能。 3. 综合与实践贯穿B卷压轴：第25题以等腰三角形拼接和变换为探究主题，设置"初步感知—深入探究—拓展延伸"三层递进结构，融合全等、相似、旋转与方程思想；第26题二次函数综合题将根与系数关系、区间最值、三点共线条件融为一体，两题均强调逻辑推理与数学建模，充分考查学生的创新意识与综合实践能力。 命题趋势 1. 成都本土情境常态化嵌入：从第15题的校园课间操、第16题的社区智慧助老到第24题的公园城市游览路线，成都生活场景已成为命题素材的重要来源，未来将继续挖掘雪山下的公园城市、天府绿道、社区治理等本土元素，推动数学问题与城市发展的深度融合。 2. 统计与数据分析权重上升：第7题用样本估计总体、第15题频数分布直方图与加权平均数决策，统计内容不仅出现在基础题，更与实际决策场景结合，体现数据观念在初中数学中的核心地位，未来将进一步强化数据读取、图表分析与统计推断的综合考查。 3. 几何综合探究难度分层递进：第13题矩形尺规作图、第17题圆的综合证明、第22题相似三角形与勾股定理、第25题等腰三角形旋转探究，几何题目从A卷到B卷形成清晰的难度梯度，未来将继续以图形变换为纽带，串联全等、相似、圆、三角函数等多模块知识，提升几何直观与推理能力的考查深度。 4. 函数综合题向代数推理深度拓展：第18题反比例函数与平移变换、第24题一次函数实际应用、第26题二次函数与根与系数关系及三点共线，函数题目从图像性质判断延伸到参数求解与定值证明，未来将进一步强化函数与方程、不等式、几何的综合，突出模型观念与代数推理能力。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 4 数与式→有理数→正负数与相反意义的量 抽象能力 2 单选 4 数与式→科学记数法→大数科学记数法表示 运算能力 3 单选 4 图形的性质→立体图形→棱柱的展开与折叠 空间观念 4 单选 4 数与式→整式与分式→幂的运算与合并同类项 运算能力 5 单选 4 图形的性质→三角形→全等三角形的性质与内角和 几何直观 6 单选 4 方程与不等式→一元一次方程→古算诗中的方程应用 模型观念 7 单选 4 统计与概率→统计→用样本估计总体 数据观念 8 单选 4 函数→二次函数→二次函数图像与性质 推理能力 9 填空 4 数与式→因式分解→提公因式与公式法 运算能力 10 填空 4 图形的变化→轴对称→关于y轴对称的坐标特征 几何直观 11 填空 4 函数→一次函数→函数值计算 运算能力 12 填空 4 图形的性质→多边形→正多边形内角和 运算能力 13 填空 4 图形的性质→矩形→矩形性质与尺规作图综合 几何直观 14 解答 12 数与式→实数运算→负指数幂、三角函数、绝对值综合运算 运算能力 15 解答 8 统计与概率→统计→频数分布、中位数、众数、加权平均数 数据观念 16 解答 8 图形的变化→解直角三角形→仰角俯角与三角函数应用 模型观念 17 解答 10 图形的性质→圆→圆周角定理、相似三角形与三角函数 推理能力 18 解答 10 函数→反比例函数→反比例函数与几何变换、定值探究 创新意识 19 填空 4 数与式→整式→整式化简与整体代入 运算能力 20 填空 4 统计与概率→概率→树状图与古典概型 数据观念 21 填空 4 数与式→分式→分式拆分与待定系数法 运算能力 22 填空 4 图形的性质→三角形→相似三角形与勾股定理综合 推理能力 23 填空 4 综合与实践→新定义→坐标系新定义与图形面积 创新意识 24 解答 8 函数→一次函数→一次函数实际应用与决策分析 应用意识 25 解答 10 图形的变化→旋转→等腰三角形、相似、旋转与方程综合 创新意识 26 解答 12 函数→二次函数→二次函数与根与系数关系、三点共线 推理能力 考点模块占比分析 数与式模块（约27%，40分）：覆盖第1、2、4、6、9、14、19、21题，考查正负数、科学记数法、幂运算、一元一次方程应用、因式分解、实数综合运算、整式化简求值及分式拆分，强调运算准确性与代数变形能力，是A卷基础得分的重要保障。 函数模块（约25%，38分）：覆盖第8、11、18、24、26题，考查二次函数图像性质、一次函数求值、反比例函数与几何变换、一次函数实际应用、二次函数与根与系数关系综合，贯穿A卷到B卷压轴，体现函数作为代数核心工具的地位。 图形的性质模块（约20%，30分）：覆盖第3、5、12、13、17、22题，涉及棱柱展开、全等三角形、正多边形内角、矩形尺规作图、圆的综合证明、相似三角形与勾股定理，几何直观与推理论证并重，是区分中等生与优等生的关键模块。 图形的变化与综合实践模块（约17%，26分）：覆盖第10、16、23、25题，考查轴对称坐标特征、解直角三角形应用、新定义坐标几何、等腰三角形旋转探究，强调图形变换、实际建模与综合实践能力，B卷占比显著提升。 统计与概率模块（约11%，16分）：覆盖第7、15、20题，考查用样本估计总体、频数分布直方图与加权平均数决策、树状图求概率，统计与概率内容与实际情境紧密结合，数据观念与应用意识并重。 核心复习策略 1. 夯实基础运算，确保A卷零失误 （1）A卷单选与填空共52分，是得分基本盘。建议每天限时训练15分钟，重点覆盖正负数、科学记数法、幂运算、因式分解、函数求值、正多边形内角等高频考点，确保基础题100%正确率。 （2）第14题实数综合运算与不等式组是解答题第一题，步骤分明确，需规范书写去括号、移项、合并同类项等过程，避免因跳步或符号错误失分。 2. 强化统计图表与函数建模能力 （1）第15题统计综合题是A卷解答题中区分度较高的题目，需熟练掌握频数分布直方图的读取、中位数定位、加权平均数计算与决策分析，建议结合校园、社区等真实情境进行变式训练。 （2）第24题一次函数实际应用与第18题反比例函数综合题，核心在于从文字与图像中提取关键信息、建立函数关系式。建议多练习行程、工程、利润等实际问题的函数建模，强化待定系数法与图像分析能力。 3. 突破几何综合与B卷压轴 （1）第17题圆的综合证明、第22题相似三角形与勾股定理、第25题等腰三角形旋转探究，均需要扎实的基本功与辅助线构造技巧。建议系统梳理圆中常用辅助线（连半径、作弦心距、构造直径所对圆周角）、相似三角形基本模型（A型、X型、母子型），并通过一题多解提升思维灵活性。 （2）第26题二次函数综合是B卷最难题目，涉及根与系数关系、区间最值、三点共线等多个难点。建议分专题突破：先掌握根与系数关系在交点问题中的应用，再训练含参二次函数在动区间上的最值讨论，最后整合三点共线与斜率相等条件，逐步构建完整解题链条。 避坑提醒（考试最易踩的雷） 1. 第13题矩形尺规作图易忽视隐含条件：两弧交点P到BC的距离并非直接给出，需通过连接BP、CP构造等腰三角形，再利用勾股定理求高，部分学生因未作辅助线而卡壳。 2. 第18题第（3）问定值探究易因平移坐标表示错误导致整题失分：平移后各点坐标需用原坐标加平移距离表示，直线解析式需重新代入新坐标求解，切勿直接沿用原直线方程。 3. 第23题新定义坐标几何的第二空易漏解：点A在直线y=kx（k>0）上且位于第一象限，需分k>1和0<k<1两种情况讨论图形覆盖面积，仅算一种情况会导致答案不完整。 4. 表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 命题透视 ►核心考点：正负数与相反意义的量 ►命题分析： （1）情境创设：转盘转动方向的情境 （2）问题设计：以逆时针转3圈记为正，判断顺时针转5圈的记法 （3）考查目标：考查学生对正负数表示相反意义量的理解 答案与解析 【答案】A 【详解】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反， ∴如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作圈． 知识总结 核心概念：用正负数表示具有相反意义的量，规定一个方向为正，则相反方向为负。解题方法：明确题中规定的正方向，逆时针为正，则顺时针为负，直接写出−5圈。拓展关联：与数轴、绝对值等概念的联系，以及在实际生活中的广泛应用（如温度、海拔、收支等）。 2．2026年5月18日，中国卫星导航定位协会在北京发布《2026中国北斗时空产业发展白皮书》．白皮书数据显示，2025年国内北斗终端产品总销量超过4.1亿台/套，其中具有北斗定位功能的智能手机出货近2.8亿部，车载导航仪终端销量超过2400万台．将数据4.1亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法 ►命题分析： （1）情境创设：北斗终端产品销量数据 （2）问题设计：将4.1亿用科学记数法表示 （3）考查目标：考查大数科学记数法的表示方法 答案与解析 【答案】B 【详解】解：亿． 知识总结 核心概念：科学记数法表示为a×10^n，其中1≤|a|<10，n为整数。解题方法：4.1亿=410000000=4.1×10^8，注意确定a和n的值。拓展关联：科学记数法在科技新闻、经济统计中的普遍使用，以及与小数科学记数法的对比。 3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：棱柱的展开与折叠 ►命题分析： （1）情境创设：立体图形表面展开图 （2）问题设计：判断哪个图形可折叠围成棱柱 （3）考查目标：考查空间观念与棱柱展开图特征 答案与解析 【答案】A 【详解】解：A、图形经过折叠可以围成一个棱柱，符合题意； B、底面图形的边数与侧面的个数不一致，不能围成棱柱，不符合题意； C、两个底面图形不一致，不能围成棱柱，不符合题意； D、两个底面都在同一侧，不能围成棱柱，不符合题意． 知识总结 核心概念：棱柱展开图需满足底面图形边数与侧面个数一致、两个底面全等且位于两侧。解题方法：逐项排除，B底面边数与侧面个数不一致，C两底面不一致，D两底面同侧。拓展关联：正方体、圆柱、圆锥等其他立体图形的展开图，以及折叠与展开的空间想象训练。 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：幂的运算与合并同类项 ►命题分析： （1）情境创设：代数运算判断 （2）问题设计：判断四个运算式中哪一个是正确的 （3）考查目标：考查整式运算的基本法则 答案与解析 【答案】C 【详解】解：A、，此项错误； B、与不是同类项，不可合并，此项错误； C、，此项正确； D、，此项错误． 知识总结 核心概念：同底数幂相乘底数不变指数相加；合并同类项需字母及指数相同；幂的乘方底数不变指数相乘。解题方法：逐项验证，A指数运算错误，B非同类项不可合并，C正确，D幂的乘方错误。拓展关联：整式乘除、因式分解、分式运算的法则体系，以及运算顺序与符号处理。 5．如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：全等三角形的性质 ►命题分析： （1）情境创设：三角形全等图形 （2）问题设计：已知全等关系及两个角，求第三个角 （3）考查目标：考查全等三角形对应角相等及三角形内角和 答案与解析 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 知识总结 核心概念：全等三角形对应角相等；三角形内角和为180°。解题方法：由全等得对应角相等，再利用内角和定理求出未知角。拓展关联：全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），以及全等在证明线段相等、角相等中的应用。 6．有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完．则牧童的人数和竹竿的根数分别为（     ） A．8，64 B．7，56 C．6，48 D．5，40 命题透视 ►核心考点：一元一次方程的应用 ►命题分析： （1）情境创设：古算诗牧童分竹竿 （2）问题设计：根据每人6竿多14竿、每人8竿恰齐足列方程求解 （3）考查目标：考查从古诗情境中抽象方程并求解的能力 答案与解析 【答案】B 【分析】设牧童的人数为人，根据竹竿总数不变建立方程，解方程即可． 【详解】解：设牧童的人数为人， 由题意得：， 解得， 则， 所以牧童的人数为7人，竹竿的根数为56根． 知识总结 核心概念：寻找不变量建立等量关系。解题方法：设人数为x，竹竿总数不变，列方程6x+14=8x，解得x=7，竹竿56根。拓展关联：中国古代数学问题（如《九章算术》《孙子算经》），以及二元一次方程组、不定方程的初步接触。 7．为了估计瓶中豆子的数量，先从瓶中取出100颗豆子，并给这些豆子做上记号，然后把这些豆子放回瓶中，充分摇匀，再从瓶中随机取出60颗豆子，发现其中有5颗豆子带有记号，则瓶中豆子的颗数约为（     ） A．300 B．600 C．1000 D．1200 命题透视 ►核心考点：用样本估计总体 ►命题分析： （1）情境创设：标记重捕法估计瓶中豆子数量 （2）问题设计：根据样本中带记号豆子的比例估计总体 （3）考查目标：考查样本与总体的关系及分式方程建模 答案与解析 【答案】D 【分析】设瓶中豆子的颗数约为颗，根据总体中带记号豆子的频率与样本中带记号豆子的频率相等建立方程求解即可． 【详解】解：设瓶中豆子的颗数约为颗， 由题意得：， 解得，经检验，是所列分式方程的解， 则瓶中豆子的颗数约为1200颗． 知识总结 核心概念：样本频率估计总体频率。解题方法：设总数为x，列方程100/x=5/60，解得x=1200。拓展关联：生态学中的标记重捕法、统计学中的抽样调查方法，以及样本容量对估计精度的影响。 8．已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 命题透视 ►核心考点：二次函数的图像与性质 ►命题分析： （1）情境创设：二次函数表格数据 （2）问题设计：根据三组对应值求解析式并判断四个结论的正误 （3）考查目标：考查待定系数法、二次函数开口方向、对称轴、函数值比较 答案与解析 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 知识总结 核心概念：待定系数法求二次函数解析式；开口方向由二次项系数决定；对称轴公式x=−b/2a。解题方法：代入三点求解析式，逐项判断A、B、C、D，发现C选项错误。拓展关联：二次函数与一元二次方程、不等式的关系，顶点式与一般式的转化，以及二次函数在实际最值问题中的应用。 二、填空题 9．因式分解：______． 命题透视 ►核心考点：因式分解 ►命题分析： （1）情境创设：代数式变形 （2）问题设计：对给定多项式进行因式分解 （3）考查目标：考查提公因式法与公式法的综合运用 答案与解析 【答案】 【详解】解：． 知识总结 核心概念：因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式。解题方法：先提公因式，再观察是否可用平方差公式或完全平方公式继续分解，确保分解彻底。拓展关联：因式分解在分式化简、解方程、代数式求值中的工具性作用，以及十字相乘法的补充。 10．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 命题透视 ►核心考点：关于坐标轴对称的点的坐标 ►命题分析： （1）情境创设：平面直角坐标系 （2）问题设计：求已知点关于y轴对称的点的坐标 （3）考查目标：考查轴对称与坐标变换规律 答案与解析 【答案】 【分析】关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为． 知识总结 核心概念：关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴对称则纵坐标相反，横坐标不变；关于原点对称则横纵坐标均相反。解题方法：直接应用坐标变换规律写出对称点坐标。拓展关联：对称在几何证明、函数图像（如二次函数对称轴）中的应用，以及平移、旋转等坐标变换的对比。 11．人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 命题透视 ►核心考点：函数值计算 ►命题分析： （1）情境创设：驾驶视野与车速的关系 （2）问题设计：给定函数关系式，代入车速求视野 （3）考查目标：考查一次函数求值与代入运算 答案与解析 【答案】50 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 知识总结 核心概念：函数值是自变量取特定值时因变量的对应值。解题方法：将v=80代入f=100−0.625v，计算得f=50。拓展关联：一次函数图像与性质、分段函数、以及函数模型在物理、工程、经济中的广泛应用。 12．正八边形的每个内角的度数都为_____． 命题透视 ►核心考点：正多边形内角 ►命题分析： （1）情境创设：正八边形 （2）问题设计：求正八边形每个内角的度数 （3）考查目标：考查多边形内角和公式及正多边形性质 答案与解析 【答案】/135度 【分析】先利用多边形内角和公式求出正八边形的内角和，再根据正八边形共有8个内角，且每个内角都相等求解即可． 【详解】解：正八边形的内角和为， ∵正八边形共有8个内角，且每个内角都相等， ∴正八边形的每个内角的度数都为． 知识总结 核心概念：n边形内角和为(n−2)×180°；正多边形各内角相等。解题方法：正八边形内角和=(8−2)×180°=1080°，每个内角=1080°÷8=135°。拓展关联：正多边形外角和（恒为360°）、正多边形与圆的关系（中心角、边心距），以及正多边形镶嵌问题。 13．如图，在矩形中，，分别以B，C两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点P，则点P到所在直线的距离为_____． 命题透视 ►核心考点：矩形性质与尺规作图综合 ►命题分析： （1）情境创设：矩形中以B、C为圆心作弧交于P （2）问题设计：求点P到BC所在直线的距离 （3）考查目标：考查矩形性质、等腰三角形、勾股定理与点到直线距离 答案与解析 【答案】 【分析】连接，过作，延长交于点，如图，根据题意可得，，可得为线段的中点，根据勾股定理求得的长度，即可求解． 【详解】解：连接，过作，延长交于点，如图， 由题意可得，四边形为矩形，， 则，为线段的中点，即， 线段的长为点P到所在直线的距离， 由勾股定理可得，， ∴， 则点P到所在直线的距离为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，作出辅助线，构造出直角三角形． 知识总结 核心概念：矩形对边相等、四个角为直角；尺规作图中两弧交点到两圆心距离相等；点到直线距离是垂线段长度。解题方法：连接BP、CP，由作图知BP=CP=BC=4，故P在BC垂直平分线上，利用勾股定理求高。拓展关联：尺规作图基本操作（作垂线、作角平分线、作中垂线），以及矩形与菱形、正方形性质的对比。 三、解答题 14．计算、解不等式组： (1) (2) 命题透视 ►核心考点：实数综合运算与解不等式组 ►命题分析： （1）情境创设：计算题 （2）问题设计：（1）负整数指数幂、算术平方根、特殊角三角函数、绝对值综合运算；（2）解一元一次不等式组 （3）考查目标：考查实数运算规则与不等式组的解法 答案与解析 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据负整数指数幂的法则、算术平方根的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的定义把算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解不等式②：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 不等式组的解集为． 知识总结 核心概念：负整数指数幂a^(−n)=1/a^n；算术平方根性质；特殊角三角函数值（sin30°=1/2，cos60°=1/2，tan45°=1）；绝对值非负性；不等式组解集取公共部分。解题方法：分步计算各部分，注意符号与运算顺序；解不等式组分别求解再取交集。拓展关联：实数运算在代数式化简、方程求解中的基础作用，以及不等式组在方案设计、取值范围问题中的应用。 15．为践行“健康第一”的教育理念，某校开展了创意课间操比赛，甲、乙两个参赛队进入决赛，决赛由5位教师评委和20位学生评委给两队打分（单位：分），该校将按最终成绩择优推广其中一队的创意课间操．赛后对评委打分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①教师评委给甲队的打分分别为：80，84，84，86，91 ②学生评委给甲队的打分的频数分布直方图如图（分数用x表示，数据分为4组，第1组：，第2组：，第3组：，第4组：）： ③评委对甲队打分数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 a 84 b 学生评委 82 m 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)a的值为____，b的值为____； (2)m的值位于学生评委对甲队打分数据分组的第____组，若教师评委、学生评委对甲队打分数据的方差分别记为，，则______（填“”或“”）； (3)学校将教师评委、学生评委打分的平均分按的比例确定两队的最终成绩．已知乙队的最终成绩为83分，试判断该校将推广哪个队的创意课间操，并说明理由． 命题透视 ►核心考点：统计综合：频数分布、中位数、众数、加权平均数 ►命题分析： （1）情境创设：学校创意课间操比赛评分 （2）问题设计：（1）求平均数与众数；（2）确定中位数所在组并比较方差；（3）按2:3加权计算最终成绩并决策 （3）考查目标：考查数据整理、统计量计算与加权决策 答案与解析 【答案】(1)85，84 (2)3，< (3)甲队， 理由：教师评委给甲队打分的平均数为85，学生评委给甲队打分的平均数为82，甲队的最终成绩为：， 乙队的最终成绩为83分， ∵， ∴该校将推广甲队的创意课间操． 【分析】（1）根据平均数和众数定义求解； （2）根据中位数定义求解，根据方差的意义判断大小； （3）通过计算加权平均数确定大小，进而确定结果． 【详解】（1）解：教师评委的平均数为， 教师评委给甲队的打分分别为：80，84，84，86，91，∴众数； （2）解：共有20位学生评委，中位数应该是第10、11位学生评委打分的平均数，由频数分布直方图可知，第1组：有2人，第2组：有7人，此时共9人，第3组：有6人，此时共15人，∴第10、11位学生评委的打分落在第3组，即中位数m在第3组； 教师评委对甲队打分数据分别为80，84，84，86，91，数据比较集中，且方差为：     ， 学生评委对甲队打分数据分为四组，分布范围从60到100，数据比较分散，根据方差反映数据的波动程度，数据越分散，波动越大，方差越大，数据越集中，波动越小，方差越小，因此； （3）略 知识总结 核心概念：平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的三个核心量；方差反映数据波动程度；加权平均数按权重分配计算。解题方法：（1）直接计算平均数与众数；（2）根据频数分布直方图累计频数定位中位数所在组，由数据分散程度判断方差大小；（3）按教师:学生=2:3计算加权平均数，与乙队比较。拓展关联：统计量在数据分析、质量评估、绩效考核中的实际应用，以及标准差、极差等其他描述统计量。 16．尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为，最大俯角为，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头顶M．已知，求此人的头顶M到站立点N的距离．（结果精确到0.01米；参考数据：） 命题透视 ►核心考点：解直角三角形的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：社区智慧助老智能门锁摄像头安装 （2）问题设计：利用仰角、俯角和三角函数求头顶到站立点的距离 （3）考查目标：考查解直角三角形在实际测量问题中的应用 答案与解析 【答案】此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米 【分析】过点A作于点C，根据题意可知：四边形是矩形，米，根据三角函数求出，即可求解． 【详解】解：过点A作于点C， 根据题意可知：四边形是矩形， 米， 在中，， ∴， 在中，， 米， ∴米， 答：此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米． 知识总结 核心概念：仰角是视线在水平线上方与水平线的夹角，俯角是视线在水平线下方与水平线的夹角；直角三角形中三角函数关系（sin、cos、tan）。解题方法：作辅助线构造矩形与直角三角形，分别在两个直角三角形中用正切求竖直距离，相加得MN。拓展关联：解直角三角形在工程测量、航海、航空、建筑中的广泛应用，以及坡度、坡角等相关概念。 17．如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径和的长． 命题透视 ►核心考点：圆的综合证明与计算 ►命题分析： （1）情境创设：圆中直径、垂线、等弧 （2）问题设计：（1）证明角相等；（2）已知三角函数值求半径和线段长 （3）考查目标：考查圆周角定理、相似三角形、三角函数与勾股定理的综合 答案与解析 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴； (2)的半径为， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而根据同角的余角相等得出，结合已知得出，进而可得； （2）设的半径为，由（1）可得，根据正弦的定义，可得，求得，，勾股定理求得，进而求得，证明，过点作于点，则，进而解，求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， 由（1）可得 ∴ ∴ 解得：， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，过点作于点，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 知识总结 核心概念：直径所对圆周角为直角；同角的余角相等；等弧所对圆周角相等；相似三角形对应边成比例。解题方法：（1）利用直径所对圆周角为直角，结合垂直条件证明角相等；（2）设半径为r，利用三角函数建立方程求半径，再用相似或勾股定理求线段长。拓展关联：圆中常用辅助线（连半径、作弦心距、构造直径所对圆周角），以及圆与三角形、四边形、函数的综合问题。 18．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D． (1)求线段的长； (2)已知P为y轴正半轴上一点，若为直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，将线段，组成的折线段“”沿x轴正方向平移得到折线段“”，点D，A，C的对应点分别为．与反比例函数的图象交于点E，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点F，与交于点G．试探究：在平移过程中，的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 命题透视 ►核心考点：反比例函数与几何变换综合 ►命题分析： （1）情境创设：平面直角坐标系中直线与反比例函数相交 （2）问题设计：（1）求线段长；（2）直角三角形存在性问题；（3）平移变换中的定值探究 （3）考查目标：考查反比例函数性质、两点距离公式、直角三角形分类讨论、平移变换与定值证明 答案与解析 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)是定值， 【分析】（1）将代入反比例函数解析式求出点A坐标，再代入正比例函数解析式求出直线解析式，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求出，最后根据两点距离公式求解即可； （2）设，，分三种情况讨论直角位置： ①，②，③，根据勾股定理列方程求解即可； （3）设平移距离为，则，，，求出直线的解析式，与联立，求出点，求出的解析式，直线的解析式，联立后求出交点的横坐标，过点分别作轴，轴，根据平行线分线段成比例得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵在反比例函数上，代入得，即， 将代入得，直线为， ∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称， ∴， 由两点距离公式：； （2）解：设，， 分三种情况讨论直角位置： ①：由勾股定理得， 则， 化简得， 故（负值已舍去）， 即； ②：由勾股定理得， 则， 解得， 即； ③：由勾股定理得， 则， 解得：，不符合，舍去； 综上，若为直角三角形，则或； （3）解：根据（1）可知， ∴， 设平移距离为，则平移后各点坐标：，，， 设直线的解析式为， 代入点和点得， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与联立得，整理得， 解得：或， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式得， 解得：， 即交点的横坐标， 过点分别作轴，轴， 则， ∴， ∵， ∴． 知识总结 核心概念：反比例函数图像关于原点对称；两点距离公式；直角三角形分类讨论（三种直角顶点位置）；平移变换坐标规律；平行线分线段成比例。解题方法：（1）利用对称性求B点坐标，再用距离公式；（2）设P点坐标，分三种情况用勾股定理列方程；（3）设平移距离，用待定系数法求直线解析式，联立求交点，利用比例关系证明定值。拓展关联：反比例函数与一次函数、二次函数的综合，以及几何变换（平移、旋转、对称）在函数图像中的应用。 四、填空题 19．已知，则_____． 命题透视 ►核心考点：整式化简与整体代入 ►命题分析： （1）情境创设：代数式求值 （2）问题设计：已知x^2−2x=−1，求2x^2−4x+14的值 （3）考查目标：考查整式变形与整体代入思想 答案与解析 【答案】16 【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 知识总结 核心概念：整体代入是将已知条件作为一个整体代入求值式，避免单独求解未知数。解题方法：将2x^2−4x+14变形为2(x^2−2x)+14，代入已知条件得2×(−1)+14=16。拓展关联：整体代入在分式化简、方程求解、代数式求值中的广泛应用，以及降次思想在解高次方程中的作用。 20．现有两张除颜色外完全相同的卡片，分别从中间剪开，共分成全等的四片，洗匀后放在口袋里．从这四片中随机同时取出两片，则取出的两片颜色相同的概率为_____． 命题透视 ►核心考点：概率计算（树状图法） ►命题分析： （1）情境创设：剪开卡片后随机取两片 （2）问题设计：用树状图或列表法求取出两片颜色相同的概率 （3）考查目标：考查古典概型与树状图法 答案与解析 【答案】 【分析】先画出树状图，则可得从这四片中随机同时取出两片的所有等可能的结果，再找出取出的两片颜色相同的结果的数量，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：设原来的两张卡片为和，剪开后得到的四张卡片分别记为，其中的颜色相同，的颜色相同，画出树状图如下： 由图可知，从这四片中随机同时取出两片共有12种等可能的结果，其中，取出的两片颜色相同的结果有4种， 则取出的两片颜色相同的概率为． 知识总结 核心概念：古典概型概率=所求事件包含的基本事件数÷总基本事件数；树状图是列举所有等可能结果的有效工具。解题方法：设两张卡片为红、蓝，剪开后得红1、红2、蓝1、蓝2，画树状图得12种等可能结果，颜色相同的有4种，概率为4/12=1/3。拓展关联：列表法与树状图法的适用场景，以及放回与不放回抽样对概率计算的影响。 21．把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 命题透视 ►核心考点：分式拆分与待定系数法 ►命题分析： （1）情境创设：分式运算策略 （2）问题设计：将分式拆分为两个分式的代数和，求待定系数之和 （3）考查目标：考查分式通分、恒等变形与待定系数法 答案与解析 【答案】2 【分析】先将等式右侧通分，再与等式左边进行比较，对应项系数相等，列出一个关于二元一次方程组，解方程组可得的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 知识总结 核心概念：分式拆分（部分分式）是将复杂分式化为简单分式之和的常用策略；待定系数法是通过比较系数建立方程组求解未知数。解题方法：将右边通分，与左边比较分子，对应项系数相等，列方程组求解a、b，再计算a+b。拓展关联：部分分式在积分运算（高中）、数列求和（裂项相消）中的重要作用，以及待定系数法在求函数解析式、因式分解中的应用。 22．如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，则_____． 命题透视 ►核心考点：相似三角形与勾股定理综合 ►命题分析： （1）情境创设：直角三角形中中线与比例线段 （2）问题设计：已知线段比例与角度关系，求某线段长 （3）考查目标：考查相似三角形判定与性质、勾股定理、方程思想 答案与解析 【答案】 【分析】设，则，勾股定理求得，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，根据，得出，求得，进而求得的长． 【详解】解：∵为的一条中线， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴ 过点作于点， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ 知识总结 核心概念：相似三角形对应边成比例、对应角相等；勾股定理是直角三角形三边关系的核心；方程思想是通过设未知数建立方程求解几何量。解题方法：设未知数，利用相似比与勾股定理建立方程，解方程得线段长。拓展关联：相似三角形基本模型（A型、X型、母子型、旋转型），以及相似在测量、证明、计算中的综合应用。 23．在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 命题透视 ►核心考点：新定义坐标几何 ►命题分析： （1）情境创设：定义d(M,N)=|x1−x2|+|y1−y2| （2）问题设计：（1）求满足d(O,N)=1的所有点组成图形的面积；（2）结合直线y=kx与弧运动求参数 （3）考查目标：考查新定义理解、坐标几何、分类讨论与图形面积 答案与解析 【答案】 2 或 【分析】根据定义得出所有N点组成的图形为对角线在坐标轴上且对角线的长为2的正方形，进而求得其面积；进而根据，得出Q点运动所覆盖的区域面积，设，分情况讨论，分别画出图形，求得点的坐标，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：①∵ 设 ∴ 当在第一象限时， 即 ∴点在直线上， 同理当在第二象限时， ∴，即点在上， 当在第三象限时，，即点在上， 当在第四象限时，，即点在上， ∴所有N点与坐标轴的交点，，， ∴所有N点组成的图形为正方形，其面积为； ②∵已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上， ∴点在为半径的弧上运动， ∵点Q满足，同①可得点组成的图形是对角线为，且平行于坐标轴的正方形， ∴当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为 设，A是直线（）上一点且位于第一象限， ∴， ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或 知识总结 核心概念：曼哈顿距离（d=|Δx|+|Δy|）在坐标系中形成菱形（正方形）；分类讨论是解决含参问题的基本策略。解题方法：（1）d(O,N)=1表示|x|+|y|=1，形成对角线为2的正方形，面积为2；（2）根据点A在直线y=kx上的位置分k>1和0<k<1两种情况，分别求图形覆盖面积建立方程求解。拓展关联：曼哈顿距离与欧氏距离的区别，以及新定义问题在自主招生、竞赛中的常见形式。 五、解答题 24．成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． (1)直接写出的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 命题透视 ►核心考点：一次函数实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：成都某公园游览路线（雪山下的公园城市） （2）问题设计：（1）用待定系数法求甲、乙路程与时间的函数表达式；（2）比较两人沿不同道路到达景点4的时间 （3）考查目标：考查一次函数建模、图像信息提取与实际决策 答案与解析 【答案】(1)的函数表达式为：，的函数表达式为： (2)乙能比甲先到达景点4 【分析】（1）利用待定系数法求得的函数表达式即可； （2）分别求出甲，乙两人到达景点4所用的时间，比较大小即可． 【详解】（1）解：设的函数表达式分别为，， 将点，代入可得，， 解得， 即的函数表达式为：， 将代入可得，，解得， 即的函数表达式为：； （2）解：由题意可得，甲走远路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，甲到达景点4， 乙走近路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，乙到达景点4， ∵， ∴乙能比甲先到达景点4． 知识总结 核心概念：一次函数y=kx+b中k为速度（斜率），b为初始路程；待定系数法是通过已知点坐标求解析式。解题方法：（1）从图像中读取两点坐标，代入y=kx+b列方程组求解；（2）分别计算甲走远路、乙走近路到达景点4的时间，比较大小。拓展关联：一次函数在行程问题、工程问题、利润问题中的广泛应用，以及分段函数、一次函数与不等式的结合。 25．在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究． 如图，，（），点D在边上，延长交于点F． (1)【初步感知】求证：； (2)【深入探究】如图1，当，时，求的长； (3)【拓展延伸】如图2，将绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于）得到，若F，，三点共线，且点A的对应点满足，求n的值． 命题透视 ►核心考点：等腰三角形拼接与旋转综合探究 ►命题分析： （1）情境创设：综合实践活动中的等腰三角形变换 （2）问题设计：（1）证明线段比例关系；（2）已知角度与边长求线段长；（3）旋转后共线条件下求参数 （3）考查目标：考查全等三角形、相似三角形、旋转性质、方程思想与逻辑推理 答案与解析 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，结合证明，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，，由得到，则，，再利用线段的和差列出关于长的方程，求出，即可求解的长； （3）连接，设，由（2）中的结论可得，根据旋转的性质得，，则，设，导角可得，则，推出，再结合推出，则，再由得到，，再利用线段的和差列出关于n的方程，即可求解n的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，，， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 即的长为； （3）解：如图，连接， 设， 由（2）中的结论可得， 由旋转的性质得，，， ∴， 设， ∵F，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴n的值为． 知识总结 核心概念：全等三角形对应边相等、对应角相等；相似三角形对应边成比例；旋转不改变图形的形状与大小，对应点到旋转中心距离相等，对应角相等。解题方法：（1）利用全等得角相等，再证相似得比例；（2）设未知数，利用比例关系与线段和差列方程；（3）根据旋转性质与三点共线条件，导角建立方程求解。拓展关联：图形变换（平移、旋转、对称）在几何证明中的综合应用，以及综合与实践活动的探究式学习模式。 26．如图，在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线相交于，两点．，两点在抛物线上，且． (1)若点的坐标为，求的值和点的坐标； (2)在（1）的条件下，记，两点的横坐标分别为，（），当时，函数总在处取得最大值，求的取值范围； (3)若，直线，的交点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标和的值． 命题透视 ►核心考点：二次函数与根与系数关系综合 ►命题分析： （1）情境创设：直线与抛物线相交，动点与最值 （2）问题设计：（1）求参数与点坐标；（2）区间最值问题求参数范围；（3）三点共线条件下求点坐标与参数 （3）考查目标：考查二次函数性质、根与系数关系、区间最值、三点共线与斜率相等 答案与解析 【答案】(1)，点的坐标为 (2)的取值范围是 (3)点E的坐标为， 【分析】（1）将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值，再联立直线与抛物线的解析式，解方程组得到点的坐标； （2）根据设出直线的解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系得到的值，再结合二次函数的图像性质，根据函数在区间上的最大值位置，列出关于函数对称轴的不等式求解； （3）先联立直线、与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到交点横坐标的和与积，再根据建立水平距离的关系，求出与的关系式，然后利用、、和、、三点共线的条件，得到关于的关系式，联立求解得到的值，进而求出的值和点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入， 则， 解得：， ， 联立，可得， 解得：，， 点的坐标为， 点的横坐标为， 将代入得， 点的坐标为； （2）解：， 设的函数解析式为：， 联立， 则， 由根与系数的关系得， 函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 要使函数在处取得最大值，需满足右端点到对称轴的距离不小于左端点到对称轴的距离，即：， 则，即， 解得：； （3）解：设的函数解析式为：， 联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， 同理，联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， ，， ， ，整理得， 即， 设， 如图， 、、三点共线， ∴直线的k值与直线的k值相等， ， 化简得，，则， 同理由、、三点共线得， ， 整理得，， ，，， ， 解得：， ， 解得：， ，， ， ， 点的坐标为，的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交点问题、根与系数的关系的应用、二次函数的最值问题以及利用三点共线求解参数等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图像与性质、灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 知识总结 核心概念：根与系数关系（韦达定理）：x1+x2=−b/a，x1x2=c/a；二次函数在闭区间上的最值与对称轴位置有关；三点共线等价于任意两点连线斜率相等。解题方法：（1）代入已知点求参数，联立方程求交点；（2）利用韦达定理设而不求，根据对称轴与区间端点距离关系列不等式；（3）利用水平距离关系与斜率相等条件建立方程组求解。拓展关联：二次函数与几何综合（面积、相似、特殊四边形），以及参数讨论、动点问题在压轴题中的常见套路。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $