专题02 函数的概念与性质（1年汇编）（全国通用）2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，汇编2026年天津、北京等多地高考真题及模拟题，以音高频率、火箭声强级等跨学科情境落实“多想少算”命题导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|函数图像辨识、奇偶性判断|天津卷第1题用排除法结合特殊值快速解题| |多选题|7题|单调性与最值、函数性质综合|北京卷第4题将对数函数应用于音高频率转换| |填空题|4题|零点个数、参数求解|全国Ⅰ卷第5题由奇偶性和单调性反求参数| |解答题|3题|新定义证明、函数建模|全国Ⅰ卷新定义题采用递进设问考查逻辑推理|

专题02 函数的概念与性质 考点分类 2026年高考命题解读 创新考法 考点01 函数的图像 强调直观想象与特殊值验证。试题不再单纯考查函数图像的绘制，而是侧重于通过已知图像辨识函数解析式（如天津卷）。重点考查学生对函数奇偶性（对称性）和特殊点（如x=0处的函数值）的敏感度。 “排除法”与“特征点”结合： 如天津卷第1题，解题关键不在于完全确定解析式，而是通过代入特殊值（x=0）或判断函数值的正负，快速排除不符合图像特征的选项，体现了“多想少算”的命题导向。 考点02 函数的性质 突出“性质”的综合应用与实际情境融合。试题涵盖了奇偶性、单调性、周期性的常规考查（如北京卷、天津卷），同时出现了将函数性质与物理、生活常识结合的新趋势（如北京卷音高与频率、全国Ⅰ卷三角函数性质）。 跨学科情境与逻辑推理： 1. 生活情境入题：如北京卷第4题，将对数函数单调性应用于“音高与频率”的转换，考查数学建模素养。 2. 参数与性质互推：如全国Ⅰ卷第5题，已知函数为偶函数且单调递增，反求参数 φ和 ω 的值，考查逻辑推理的严密性。 考点03 函数与方程 聚焦“数形结合”与“转化思想”。试题重点考查函数零点个数与参数范围的求解（如全国Ⅱ卷、北京卷）。难点在于如何将复杂的代数问题转化为几何问题，或利用函数性质（如偶函数、单调性）简化讨论过程。 多维度的转化与构造： 1. 构造新函数（同构）：如全国Ⅱ卷，将方程f(x)=0 两个基本函数的交点个数来判断零点个数。 2. 分类讨论的精细化：如北京卷第2题，结合函数的奇偶性，分“在(0,1)内有零点”和“无零点”等多种情况讨论函数的最值和交点个数，对逻辑思维要求极高。 考点04 函数新定义 2026年高考函数新定义题命题采用"新定义+递进设问"模式，考查信息提取与逻辑推理能力。试题突破传统函数题型框架，要求考生现场理解抽象概念并迁移应用，突出"多想少算"理念，强调数学本质理解和探究创新能力. 抽象逻辑证明、复杂情境建模 考点01 函数的图像 1．（2026·天津卷·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 考点02 函数的性质 1．（2026·北京卷·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 2．（2026·天津卷·高考真题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 3．（2026·上海卷·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 4．（2026·北京卷·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 5．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在内单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则， 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在内单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在内单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在内单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 考点03 函数与方程 1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 2．（2026·北京卷·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值 ②，有3个解； ③，时，有最大值； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；③，求出在上的单调性，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故②正确； ③当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ③正确； ④由②可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 考点04 函数新定义 1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【答案】(1) (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）略 （3）（i）略 （ii）略 2．（2026·上海卷·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 【答案】(1)是排列； (2)； (3)首先证明第1个结论， 观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立， 那么排列都将是排列，此时至少为4． 当时，即， 因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数， 则恒成立， 又因为函数在上单调递增， 则在区间上，，. 若恒成立，则， 则只需，即，因为对任意的，， 则，则，则解得， 当时，即， 因为严格递减，所以且， ， 只要，就有， 则可取即可满足题意． 即存在，使得. 再证明第2个结论. 假设对于任意的，都有， 因为（2）中①排列始终满足条件， 则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列． 首先，我们证明不可能恒成立： 假设对于某个，在上恒有． 即， 即， 取．由于严格递增， 令， 则， 于是对任意正整数： ， 当时，，这与矛盾！ 因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列． 接下来只剩②排列，其需满足， ⑤排列，其需满足， ⑥排列，其需满足， 下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真． （i）若对任意，都有，即都有， 对于任意和， 则， 当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到， 所以恒成立， 则对所有的恒成立. 则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立， 则，与假设矛盾！ （ii）并非对于所有都有，即， 则必定存在，使得， 设， 因为是严格单调递增的连续函数， 则对于已知的，总可以找到，使得， 即，即， 同时，因为严格递增且，必有． 即， 即，即， 则可取充分小的使得，即存在，使得， 所以＂恒成立＂这个命题是假的． 既然为假，那么＂恒成立＂必须为真． 即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足， 则对于，在时都有： ， 即， 取，则对于任意： ， 因为严格递增，则． 则 又因为， 则 即，对任意都成立． 取，因为，则， 则对于内的任意，都满足， 因为，故有， 但是，之前我们得到， 即，则， 则有：， 这与我们的假设相矛盾． 综上，原命题成立，必然存在，使得． 【分析】（1）根据排列的定义判断即可； （2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可； （3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明. 【详解】（1）由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. （2）若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. （3）略. 一、单选题 1．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 2．（2026·广东广州·三模）若，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由，得，所以． 3．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 4．（2026·河南·三模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质得出，结合对数的运算法则即可求解． 【详解】由是定义在上的奇函数，得，故， 当时，， 所以． 5．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设图象对应函数为，由图可得奇偶性，结合可判断选项正误. 【详解】设图象对应函数为，由图可得为奇函数， 注意到为偶函数，为奇函数. 则为偶函数，不满足题设，故BC错误； 又由图可得，，则D不满足题意，故选A 6．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 7．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若曲线与曲线关于直线对称，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】由对称性定义可知， 即，即，∴， 故. 8．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 9．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值. 【详解】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 10．（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用换元法求得的值域，再根据高斯函数定义求出结论． 【详解】, 设，因为，则， 所以， 因为，则，即， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的值域是 二、多选题 11．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质求出的值域，可判断A选项；代入验算可判断BC选项；利用函数的单调性与奇偶性的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 因为，则，可得，所以，所以A错误； 对于B选项，函数的定义域为，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，因为 ，故该函数在单调递减， 又由B知该函数为偶函数，且，即， 所以，所以D正确. 12．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【答案】AB 【详解】A：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确. B：函数定义域为，关于原点对称， 若，则，， 若，则，， ∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确. C：令，在上，， 当时，，不满足单调递增的定义，故C错误. D：取，满足， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时，故D错误. 13．（2026·广东清远·二模）已知函数满足对且，若数列满足，则（   ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，可得，正确； 对于B，令，则， 由和可得，正确； 对于C，因为，令， 则，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故错误； 对于D，所以. 14．（2026·浙江·三模）已知a，x，，，，则（    ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．对任意，都有 D．当时， 【答案】ABD 【分析】对于A，利用指数不等式的解法求解即可；对于B，当时，．即可判断；对于C，设，结合导数研究单调性即可判断；对于D，根据，即可判断,利用，即可判断。 【详解】对于选项A，当时，，所以，选项A正确． 对于选项B，当时，．选项B正确． 对于选项C，由题意，设，则． ，则． 故，当时，单调递减，． 故使，故选项C错误. 对于选项D由题意：，因为，所以， 另一方面：，因为， 即，所以，选项D正确， 15．（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】先用赋值法求特殊值，可以排除C，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性判断A，利用中心对称性验证选项B，利用周期性拆分求和项，即可判断D. 【详解】因为定义域为的函数，对任意实数、都有， 所以令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故， 所以，所以，可知C错误； 令，得，即， 在原函数方程中，令，得，即， 所以，由，令替换为，得， ，所以，， 所以，故函数的一个周期为4，得A正确； 因为，所以是偶函数，所以， 又因为周期为4，所以，所以， 所以关于对称，选项 B正确； 因为周期为4，所以，所以D正确. 16．（2026·重庆·三模）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 【答案】ABD 【详解】对A，若为偶函数，则，即，则时，为偶函数，A正确； 对B，当时，， 当时，单调递增，单调递减，因此在上单调递增， 又，由零点存在定理，在时必然存在零点，B正确； 对C时，，故不是单调递增函数，C错误； 对D，设，则，在坐标系中作出和的图象，则的图象是向上和向右分别移动个单位形成． 如图2所示，当与的图象在第二象限相切时，的最小值为零．D正确.    17．（2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式，其中k为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的.根据上述模型，下列说法正确的是（   ） 参考数据：，，. A．当淋溶深度dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25% B．要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dm C．在淋溶深度的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D．若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的20% 【答案】ACD 【分析】根据给定的指数函数模型，结合各项的描述依次分析正误. 【详解】由题设， 当，则，故， 所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25%，A对， 当，则，即，可得，B错， 原淋溶深度，则，故增加1后有， 所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半，C对， 当，，则，故，D对. 三、填空题 18．（2026·山东聊城·模拟预测）若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】满足底数且， 由，可得或，结合且，可得， 故由，可得，即，解得或， 故实数的取值范围是. 19．（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 【答案】 【详解】当时，，所以. 展开式中，的系数为. 20．（2026·陕西渭南·三模）设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】先对函数求导，分析出它在上单调递减，在上单调递增，且关于直线对称，再利用对称性，将 转化为自变量到对称轴的距离关系 ，最后解绝对值不等式得到的取值范围即可. 【详解】因为 所以 由于 ，则 恒成立，因此： 当 时，，故 ， 在 上单调递减， 当 时，，故 ， 在 上单调递增， 函数在 处取得最小值，图象关于直线 对称，且开口向上， 由函数性质可知：若，则， 令 ，，代入得：， 即：，所以， 化简得，所以. 所以 的取值范围为. 21．（2026·四川资阳·三模）给出如下定义：函数的定义域为，若，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的最小值为________． 【答案】/ 【分析】由新定义结合对数的运算性质，通过分离参数得到，再通过换元结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意函数具有性质， 即存在，满足： ， 代入得： ， 即， 整理得： 因为存在满足等式， 分离参数得： ， 令， 换元化简： ， 由基本不等式，对，，当且仅当（即）时取等号， 代入得： 因此实数的最小值为. 四、解答题 22．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数的定义域为，点是曲线上不同的两点，记两点连线的斜率为，若存在最大值，且最大值为，则称曲线为“上界斜率曲线”． (1)已知函数，，判断曲线是否为“上界斜率曲线”，并说明理由； (2)已知函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”，证明：曲线（，且）是“上界斜率曲线”； (3)已知函数的定义域与值域均为，若曲线为“上界斜率曲线”，且，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用给定函数的单调性，结合给定的定义列式，再利用不等式性质判断即可. （2）利用给定定义，借助换元法及不等式性质推理得证. （3）由已知及给定定义，结合不等式性质及取等号的条件可得或，再利用定义，结合不等式性质求出. 【详解】（1）函数在上单调递增，，则， ， 因此没有最大值，曲线不是“上界斜率曲线”. （2）令，， 由函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”， 得，恒成立， 且存在，使得，函数定义域内任意两个不同值， 使得，而，则， 函数在两点连线的斜率， 则 恒成立，且存在，使得， 所以曲线是“上界斜率曲线”. （3）由函数的定义域与值域均为，得存在，使得， 而曲线为“上界斜率曲线”，且，则， 因此，又，则，，必有或， 当时，且，即且， 因此且，则； 当时，且，即且， 因此且，则， 所以. 23．（2026·上海·模拟预测）设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． (1)若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； (2)若函数具有性质，且在上严格增，证明：； (3)若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 【答案】(1)， (2)假设存在实数，使得，分两种情况讨论: 若，结合函数严格增，可得， 再由，代入得，整理可得，与矛盾； 若，因为严格增，可得， 结合，代入得，整理可得，与矛盾， 综上可知，假设不成立，即对任意的，都有，得证. (3)已知对所有成立，令，即，, 则， 代入,可得， 化简得：， 对任意，构造数列满足. 由可知，， 则数列为等比数列，则， 所以，若， 则当时，，与矛盾，因此必须有， 即对任意的，，故，其函数唯一. 【分析】（1）由函数新定义列出方程，利用对应系数相等即可求出； （2）由反证法结合严格增函数的性质推导，分与两种情况讨论； （3）利用函数的递推，求证与矛盾，即可求解. 【详解】（1）因一次函数具有性质， 则， 则可得：，解得或， 因为，所以，. （2）略 （3）略 24．（2026·浙江·二模）对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”. (1)试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明） ①；    ②；    ③； (2)已知实数是在区间上的“下域函数”，求实数的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)①是“上域函数”，②③是“下域函数”； (2) (3)构造函数， 代入， 累加可得， 故仅需证即可， 构造函数， 其中，在上单调递减，， 即， 当时，， 可得 ，原命题得证. 【分析】（1）结合定义并利用导数证明不等式，最后得到结论即可. （2）对的取值进行分类讨论，再利用分离参数法求解参数范围即可. （3）结合题意利用放缩法和导数证明不等式即可. 【详解】（1）对于①，令，定义域为， 而，当时，恒成立， 则在上单调递减，且， 则，可得， 得到是在上的上域函数， 对于②，令，定义域为， 而，当时，恒成立， 则在上单调递增，且， 则，可得， 得到是在上的下域函数， 对于③，令， 则，当时，恒成立， 则在上单调递增，且， 则，可得， 得到是在上的下域函数， 综上可得，①是“上域函数”，②③是“下域函数”. （2）由题意知，当时，； 当时，，符合题意；当时，应有； 构造函数，可得， 令， 当时， ，所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 故在上单调递增，而时，， 综上可得，的取值范围为. （3）略 试卷第1页，共3页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数的概念与性质 考点分类 2026年高考命题解读 创新考法 考点01 函数的图像 强调直观想象与特殊值验证。试题不再单纯考查函数图像的绘制，而是侧重于通过已知图像辨识函数解析式（如天津卷）。重点考查学生对函数奇偶性（对称性）和特殊点（如x=0处的函数值）的敏感度。 “排除法”与“特征点”结合： 如天津卷第1题，解题关键不在于完全确定解析式，而是通过代入特殊值（x=0）或判断函数值的正负，快速排除不符合图像特征的选项，体现了“多想少算”的命题导向。 考点02 函数的性质 突出“性质”的综合应用与实际情境融合。试题涵盖了奇偶性、单调性、周期性的常规考查（如北京卷、天津卷），同时出现了将函数性质与物理、生活常识结合的新趋势（如北京卷音高与频率、全国Ⅰ卷三角函数性质）。 跨学科情境与逻辑推理： 1. 生活情境入题：如北京卷第4题，将对数函数单调性应用于“音高与频率”的转换，考查数学建模素养。 2. 参数与性质互推：如全国Ⅰ卷第5题，已知函数为偶函数且单调递增，反求参数 φ和 ω 的值，考查逻辑推理的严密性。 考点03 函数与方程 聚焦“数形结合”与“转化思想”。试题重点考查函数零点个数与参数范围的求解（如全国Ⅱ卷、北京卷）。难点在于如何将复杂的代数问题转化为几何问题，或利用函数性质（如偶函数、单调性）简化讨论过程。 多维度的转化与构造： 1. 构造新函数（同构）：如全国Ⅱ卷，将方程f(x)=0 两个基本函数的交点个数来判断零点个数。 2. 分类讨论的精细化：如北京卷第2题，结合函数的奇偶性，分“在(0,1)内有零点”和“无零点”等多种情况讨论函数的最值和交点个数，对逻辑思维要求极高。 考点04 函数新定义 2026年高考函数新定义题命题采用"新定义+递进设问"模式，考查信息提取与逻辑推理能力。试题突破传统函数题型框架，要求考生现场理解抽象概念并迁移应用，突出"多想少算"理念，强调数学本质理解和探究创新能力. 抽象逻辑证明、复杂情境建模 考点01 函数的图像 1．（2026·天津卷·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 考点02 函数的性质 1．（2026·北京卷·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津卷·高考真题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·上海卷·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 4．（2026·北京卷·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 5．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 考点03 函数与方程 1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 2．（2026·北京卷·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值 ②，有3个解； ③，时，有最大值； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 考点04 函数新定义 1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 2．（2026·上海卷·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 一、单选题 1．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·三模）若，则（     ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 4．（2026·河南·三模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若曲线与曲线关于直线对称，则（    ） A． B． C．0 D．1 8．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 9．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 12．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 13．（2026·广东清远·二模）已知函数满足对且，若数列满足，则（   ） A． B． C．数列是等比数列 D． 14．（2026·浙江·三模）已知a，x，，，，则（    ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．对任意，都有 D．当时， 15．（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． 16．（2026·重庆·三模）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 17．（2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式，其中k为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的.根据上述模型，下列说法正确的是（   ） 参考数据：，，. A．当淋溶深度dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25% B．要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dm C．在淋溶深度的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D．若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的20% 三、填空题 18．（2026·山东聊城·模拟预测）若，则实数的取值范围是__________. 19．（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 20．（2026·陕西渭南·三模）设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 21．（2026·四川资阳·三模）给出如下定义：函数的定义域为，若，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的最小值为________． 四、解答题 22．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数的定义域为，点是曲线上不同的两点，记两点连线的斜率为，若存在最大值，且最大值为，则称曲线为“上界斜率曲线”． (1)已知函数，，判断曲线是否为“上界斜率曲线”，并说明理由； (2)已知函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”，证明：曲线（，且）是“上界斜率曲线”； (3)已知函数的定义域与值域均为，若曲线为“上界斜率曲线”，且，求的值． 23．（2026·上海·模拟预测）设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． (1)若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； (2)若函数具有性质，且在上严格增，证明：； (3)若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 24．（2026·浙江·二模）对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”. (1)试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明） ①；    ②；    ③； (2)已知实数是在区间上的“下域函数”，求实数的取值范围； (3)求证：. 试卷第1页，共3页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数的概念与性质 答案版 考点01 函数的图像 1．C 考点02 函数的性质 1．D 2．D 3． 4． 5． 考点03 函数与方程 1． 2．①②③④ 考点04 函数新定义 1．【答案】(1) (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）略 （3）（i）略 （ii）略 2．【答案】(1)是排列； (2)； (3)首先证明第1个结论， 观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立， 那么排列都将是排列，此时至少为4． 当时，即， 因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数， 则恒成立， 又因为函数在上单调递增， 则在区间上，，. 若恒成立，则， 则只需，即，因为对任意的，， 则，则，则解得， 当时，即， 因为严格递减，所以且， ， 只要，就有， 则可取即可满足题意． 即存在，使得. 再证明第2个结论. 假设对于任意的，都有， 因为（2）中①排列始终满足条件， 则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列． 首先，我们证明不可能恒成立： 假设对于某个，在上恒有． 即， 即， 取．由于严格递增， 令， 则， 于是对任意正整数： ， 当时，，这与矛盾！ 因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列． 接下来只剩②排列，其需满足， ⑤排列，其需满足， ⑥排列，其需满足， 下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真． （i）若对任意，都有，即都有， 对于任意和， 则， 当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到， 所以恒成立， 则对所有的恒成立. 则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立， 则，与假设矛盾！ （ii）并非对于所有都有，即， 则必定存在，使得， 设， 因为是严格单调递增的连续函数， 则对于已知的，总可以找到，使得， 即，即， 同时，因为严格递增且，必有． 即， 即，即， 则可取充分小的使得，即存在，使得， 所以＂恒成立＂这个命题是假的． 既然为假，那么＂恒成立＂必须为真． 即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足， 则对于，在时都有： ， 即， 取，则对于任意： ， 因为严格递增，则． 则 又因为， 则 即，对任意都成立． 取，因为，则， 则对于内的任意，都满足， 因为，故有， 但是，之前我们得到， 即，则， 则有：， 这与我们的假设相矛盾． 综上，原命题成立，必然存在，使得． 【分析】（1）根据排列的定义判断即可； （2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可； （3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明. 【详解】（1）由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. （2）若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. （3）略. 一、单选题 1．D 2．A 3．D 4．A 5．A 6．A 7．B 8．B 9．A 10．A 二、多选题 11．BCD 12．AB 13．ABD 14．ABD 15．ABD 16．ABD 17．ACD 三、填空题 18． 19． 20． 21．/ 四、解答题 22．【答案】(1)不是，理由见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用给定函数的单调性，结合给定的定义列式，再利用不等式性质判断即可. （2）利用给定定义，借助换元法及不等式性质推理得证. （3）由已知及给定定义，结合不等式性质及取等号的条件可得或，再利用定义，结合不等式性质求出. 【详解】（1）函数在上单调递增，，则， ， 因此没有最大值，曲线不是“上界斜率曲线”. （2）令，， 由函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”， 得，恒成立， 且存在，使得，函数定义域内任意两个不同值， 使得，而，则， 函数在两点连线的斜率， 则 恒成立，且存在，使得， 所以曲线是“上界斜率曲线”. （3）由函数的定义域与值域均为，得存在，使得， 而曲线为“上界斜率曲线”，且，则， 因此，又，则，，必有或， 当时，且，即且， 因此且，则； 当时，且，即且， 因此且，则， 所以. 23．【答案】(1)， (2)假设存在实数，使得，分两种情况讨论: 若，结合函数严格增，可得， 再由，代入得，整理可得，与矛盾； 若，因为严格增，可得， 结合，代入得，整理可得，与矛盾， 综上可知，假设不成立，即对任意的，都有，得证. (3)已知对所有成立，令，即，, 则， 代入,可得， 化简得：， 对任意，构造数列满足. 由可知，， 则数列为等比数列，则， 所以，若， 则当时，，与矛盾，因此必须有， 即对任意的，，故，其函数唯一. 【分析】（1）由函数新定义列出方程，利用对应系数相等即可求出； （2）由反证法结合严格增函数的性质推导，分与两种情况讨论； （3）利用函数的递推，求证与矛盾，即可求解. 【详解】（1）因一次函数具有性质， 则， 则可得：，解得或， 因为，所以，. （2）略 （3）略 24．【答案】(1)①是“上域函数”，②③是“下域函数”； (2) (3)构造函数， 代入， 累加可得， 故仅需证即可， 构造函数， 其中，在上单调递减，， 即， 当时，， 可得 ，原命题得证. 【分析】（1）结合定义并利用导数证明不等式，最后得到结论即可. （2）对的取值进行分类讨论，再利用分离参数法求解参数范围即可. （3）结合题意利用放缩法和导数证明不等式即可. 【详解】（1）对于①，令，定义域为， 而，当时，恒成立， 则在上单调递减，且， 则，可得， 得到是在上的上域函数， 对于②，令，定义域为， 而，当时，恒成立， 则在上单调递增，且， 则，可得， 得到是在上的下域函数， 对于③，令， 则，当时，恒成立， 则在上单调递增，且， 则，可得， 得到是在上的下域函数， 综上可得，①是“上域函数”，②③是“下域函数”. （2）由题意知，当时，； 当时，，符合题意；当时，应有； 构造函数，可得， 令， 当时， ，所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 故在上单调递增，而时，， 综上可得，的取值范围为. （3）略 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $