第06讲 等式（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

第06讲 等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：等式性质的理解与应用 题型 2：因式分解的方法与应用 题型 3：一元二次方程解集的求解 题型 4：一元二次方程根与系数关系的应用 题型 5：方程组解集的求解 题型 6：由解集求解参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式的概念 等式的性质 等式的解集 一元一次等式（方程） 等式的恒等变形 1. 理解等式的定义，区分恒等式、条件等式、矛盾等式，能用符号规范书写等式。 2. 掌握等式的五条基本性质，熟练运用性质对等式进行等价变形。 3. 能利用等式性质化简、求解一元一次等式，会检验等式解的正确性。 4. 掌握等式恒等变形常用方法：移项、去括号、去分母、合并同类项，能完成代数式等价转化。 5. 会结合实际问题列等式，建立简单等量关系模型，解决基础应用题。 学习重点：等式的基本性质、利用等式性质进行恒等变形、一元一次等式的求解。 学习难点：等式变形中等价性判断、含参数等式的分类讨论、结合实际情境构建等量等式模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 注：用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果，则对任意c，都有； (2)如果，则对任意不为零的c，都有. 即时即练下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 知识点02 恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 （1）， （2） （3）， （4）， 即时即练下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 十字相乘法 对于，将二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到v，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上图中上一行，位于下一行． 注：运用进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． 即时即练将下列各式因式分（1）            （2）            （3） 知识点04 一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式. (1)当时，方程的解集为； (2)当时，方程的解集为； (3)当时，方程的解集为. 即时即练求方程的解集. 知识点05 一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有 即时即练关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D．2或0 知识点06 方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：消元法． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 即时即练方程组解集是（    ） A． B． C． D． 题型 1：等式性质的理解与应用 【典例1-1】若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·北京·期中）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1-2】下列运用等式的性质，变形不正确的是（    ） A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C．若，则a=b D．若x=y，则 题型 2：因式分解的方法与应用 【典例2-1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】将下列各式因式分(1)； (2)； (3). 【变式2-1】把下列各式因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式2-2】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式： （1）x2+6x+8； （2）x2﹣x﹣6； （3）x2﹣5xy+6y2； （4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式． 【变式2-3】(1)分解因式：． (2)多项式因式分解后有一个因式为，求k的值. 题型 3：一元二次方程解集的求解 【典例3-1】求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 【典例3-2】已知、、均为实数，且，求关于的方程的解集． 【变式3-1】（2026·高一·北京·阶段检测）方程的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列关于方程的说法中，正确的是（    ） A．两根之和为2 B．解集为 C．两根之和为1 D．有两不等实根 【变式3-3】方程的解集是（    ） A． B． C． D． 题型 4：一元二次方程根与系数关系的应用 【典例4-1】（2026·高一·上海虹口·期末）已知为实数，集合，集合． (1)若，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【典例4-2】（2026·高一·湖北襄阳·期中）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 【变式4-1】（2026·高一·北京西城·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则（   ） A． B． C．5 D．3 【变式4-2】（2026·高一·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 【变式4-3】（2026·高一·贵州遵义·期中）若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 【变式4-4】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（    ） A．7 B． C． D． 【变式4-5】（2026·高一·重庆·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型 5：方程组解集的求解 【典例5-1】方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 【变式5-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 题型 6：由解集求解参数 【典例6-1】（2026·高一·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 【典例6-2】（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程组.唯一解，则实数的取值范围是__________. 【变式6-1】（2026·高一·全国·单元测试）若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为______． 【变式6-2】已知实数，满足，，则______． 1．（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设是方程的两个实数根，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 2．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·高一·吉林·阶段检测）“”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 6．（2026·高三·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（2026·高一·山东青岛·期末）已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·高一·山东菏泽·期中）若关于的方程有三个不同的解，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2026·高一·北京延庆·期中）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 11．（多选题）（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（    ） A．方程是“和谐方程” B．若关于的方程是“和谐方程”，则 C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 12．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2026·高一·吉林白城·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 14．（多选题）（2026·高一·福建厦门·开学考试）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 15．已知关于的方程组和有相同的解，则的值为________. 16．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知是方程组的解，则方程组的解是______． 17．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 18．关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是________． 19．（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 20．（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）若一个整数能表示成（、为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以是一个完美数.已知（、是整数，是常数），若对于任意整数，均为“完美数”，则的值为__________. 21．若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值. 22．（2026·高一·安徽·阶段检测）解下列方程或方程组. (1)； (2)； (3) 23．（2026·高一·河北石家庄·期中）已知，. (1)若，求M； (2)若，且满足，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 24．（2026·高一·青海西宁·期中）已知集合 (1)若命题是真命题，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：等式性质的理解与应用 题型 2：因式分解的方法与应用 题型 3：一元二次方程解集的求解 题型 4：一元二次方程根与系数关系的应用 题型 5：方程组解集的求解 题型 6：由解集求解参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式的概念 等式的性质 等式的解集 一元一次等式（方程） 等式的恒等变形 1. 理解等式的定义，区分恒等式、条件等式、矛盾等式，能用符号规范书写等式。 2. 掌握等式的五条基本性质，熟练运用性质对等式进行等价变形。 3. 能利用等式性质化简、求解一元一次等式，会检验等式解的正确性。 4. 掌握等式恒等变形常用方法：移项、去括号、去分母、合并同类项，能完成代数式等价转化。 5. 会结合实际问题列等式，建立简单等量关系模型，解决基础应用题。 学习重点：等式的基本性质、利用等式性质进行恒等变形、一元一次等式的求解。 学习难点：等式变形中等价性判断、含参数等式的分类讨论、结合实际情境构建等量等式模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 注：用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果，则对任意c，都有； (2)如果，则对任意不为零的c，都有. 即时即练下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【解析】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确. 故选：D. 知识点02 恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 （1）， （2） （3）， （4）， 即时即练下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，时，，故A错误； 对于B，取，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，取,可得,与无意义，故D错误. 故选:C. 知识点03 十字相乘法 对于，将二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到v，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上图中上一行，位于下一行． 注：运用进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． 即时即练将下列各式因式分（1）            （2）            （3） 【解析】； ； (3) . 知识点04 一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式. (1)当时，方程的解集为； (2)当时，方程的解集为； (3)当时，方程的解集为. 即时即练求方程的解集. 【解析】设有，则原方程可变为， 因此可知或（舍） 从而，即， 所以原方程的解集为. 知识点05 一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有 即时即练关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D．2或0 【答案】B 【解析】设一元二次方程的两个实数根为， 由题意， 解得或， 当时，方程为无解，舍去， 当时，方程为，两根为符合题意. 故则的值为0. 知识点06 方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：消元法． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 即时即练方程组解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程组，解得或， 所以方程组解集是. 故选：C 题型 1：等式性质的理解与应用 【典例1-1】若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，当时，满足等式，故AB错误； 再由两边同时除以6，可得，故C正确，D错误. 故选：C. 【典例1-2】（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B 【变式1-1】（2026·高一·北京·期中）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【解析】选项A，当时，显然不成立； 选项B，如果，那么或，显然不成立； 选项C，当时，无意义，不成立； 选项D，如果，则，故，即，成立 故选：D 【变式1-2】下列运用等式的性质，变形不正确的是（    ） A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C．若，则a=b D．若x=y，则 【答案】D 【解析】对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确； 对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确； 对于选项C，由等式的性质知，若，则a=b，C正确； 对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则的前提条件为a≠0，D错误． 故选：D 题型 2：因式分解的方法与应用 【典例2-1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，应该是，故A错误     对于B，应该是，故B错误； 对于C，，故C 错误；     对于D，，故D正确. 故选：D. 【典例2-2】将下列各式因式分(1)； (2)； (3). 【解析】（1） （2） （3） 【变式2-1】把下列各式因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）； （2）因为， 所以； （3）； （4） 【变式2-2】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式： （1）x2+6x+8； （2）x2﹣x﹣6； （3）x2﹣5xy+6y2； （4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式． 【解析】； ； ； ． 【变式2-3】(1)分解因式：． (2)多项式因式分解后有一个因式为，求k的值. 【解析】（1）． （2）设 可得 , 解得 题型 3：一元二次方程解集的求解 【典例3-1】求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 【解析】（1）由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）由方程，即，解得或（舍去），即， 所以方程的解集为 【典例3-2】已知、、均为实数，且，求关于的方程的解集． 【解析】∵，又，，， ∴，∴，∴一元二次方程为， ∴，∴或， 解得或，∴原方程的解集为． 【变式3-1】（2026·高一·北京·阶段检测）方程的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，可得， 当时，，可得， 所以方程的解集为. 故选：C 【变式3-2】下列关于方程的说法中，正确的是（    ） A．两根之和为2 B．解集为 C．两根之和为1 D．有两不等实根 【答案】B 【解析】中，，故解集为. 故选：B 【变式3-3】方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程的解为, 所以方程的解集是， 故选:C. 题型 4：一元二次方程根与系数关系的应用 【典例4-1】（2026·高一·上海虹口·期末）已知为实数，集合，集合． (1)若，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由已知可得，是关于的方程的两个不等实数根， 则，即 由韦达定理可得 所以． 解得或，均满足． 因此或． （2）由得． 当时，，此时； 当时，中有一个元素或两个元素， 若中有一个元素时，，解得，此时，满足条件； 若中有两个元素时，，即1、3是关于的方程的两个根， 此时需满足，解得，且，没有满足条件的． 综上所述，实数的取值范围是. 【典例4-2】（2026·高一·湖北襄阳·期中）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 【解析】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 展开得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为， 所以有，解得. 【变式4-1】（2026·高一·北京西城·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【解析】由题意可得，，，由韦达定理可得，，， 所以，所以. 故选：A. 【变式4-2】（2026·高一·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【解析】已知方程两根分别为，，由韦达定理 得：， 故 故选：B 【变式4-3】（2026·高一·贵州遵义·期中）若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 【答案】D 【解析】由题设，而， 所以，可得或， 由，故. 故选：D 【变式4-4】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【解析】和3是一元二次方程的两个实根， ，解得， ． 故选：C． 【变式4-5】（2026·高一·重庆·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，且，解得 由韦达定理，则， 因为，所以，，， 故选：D. 题型 5：方程组解集的求解 【典例5-1】方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：，代入得： ，化简得：，解得或， 对应的或，所以解集为. 【典例5-2】（2026·高一·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 【答案】B 【解析】甲看错，把代入，得，解得. 乙看错，把代入，得，解得. 综上，. 【变式5-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题， 得，解得，代入得，则， ∴方程组的解集是. 故选：D. 【变式5-2】下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【解析】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 题型 6：由解集求解参数 【典例6-1】（2026·高一·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 【答案】或 【解析】将代入得， 当即时，方程为，解得，符合题意； 当即时，关于的一元二次方程只有一解， 所以，解得. 综上，或1. 故答案为：或. 【典例6-2】（2026·高一·北京·阶段检测）若关于的方程组.唯一解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由题意可得，化简得：， 因为方程组有唯一解，所以关于的方程有唯一解， 即，解得. 故答案为：. 【变式6-1】（2026·高一·全国·单元测试）若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为______． 【答案】0或1 【解析】由消去整理可得． 当时，解得，此时方程组的解为符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为符合题意． 综上可得或． 故答案为：0或1. 【变式6-2】已知实数，满足，，则______． 【答案】或2或 【解析】当时，由题得所以或，所以或2； 当时，实数，是方程的两个实数根， 所以， 综合得或2或. 故答案为：或2或 1．（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设是方程的两个实数根，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】A 【解析】由是方程的两个实数根，得，， 所以. 故选：A 2．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】设是一元二次方程的两个实数根， 则，解得， 所以， 所以， 解得或， 又，所以． 故选：A 3．（2026·高一·吉林·阶段检测）“”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】关于的二次方程的两个实数根异号，可得， 由恒成立，解得， 可知， 则“”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的充分不必要条件. 故选：A. 4．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，代入得， 化简得：，解得：或，又， 因为，所以，又因为，所以， 解集为. 5．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 6．（2026·高三·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据题意可知存在，使得， 所以，为方程的根， 所以，解得， 且当时，，符合题意. 故选：D. 7．（2026·高一·山东青岛·期末）已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若关于的一元二次方程有一个正根一个负根， 得，则； 反之，若，则，，， 此时方程有一个正根一个负根， 所以是的充要条件. 故选：C 8．（2026·高一·山东菏泽·期中）若关于的方程有三个不同的解，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，令， 所以变形得：， 即，也即， 要使方程有三个不同的解， 则方程有两个不相等的正实数根， 由可能应对0个、1个、2个的值， 所以方程要有三个不同的解， 则方程的有一个实根必为，另一个， 当， 当时，， 将代入方程得： ， 此时方程为， 解得：或， 当， 当时，，满足题意， 故选：C. 9．（2026·高一·北京延庆·期中）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 代入， 得， 整理得， 解得或， 当时，解得； 当时，解得； 所以原方程组的解集为. 故选：D. 10．（多选题）（2026·高一·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【解析】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 11．（多选题）（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（    ） A．方程是“和谐方程” B．若关于的方程是“和谐方程”，则 C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 【答案】AD 【解析】对于A．，解得，所以是“和谐方程”，A正确； 对于B，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则， 解得，B错误； 对于C，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则，解得， 由，得， 则， 令，解得或，C错误； 对于D，点在反比例函数的图象上，则， 代入方程， 可得，解得，， 则，所以方程是“和谐方程”，D正确． 故选：AD． 12．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于方程组，③-①得，， ①-②得，把代入得， 把代入①得， 所以方程组的解集为或. 故选：CD 13．（多选题）（2026·高一·吉林白城·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC 【解析】A选项，方程有一个正根一个负根，等价于，即， 是方程有一个正根一个负根的充要条件，A正确； B选项，方程有两个正根，等价于，即， 是方程有两个正根的充要条件，B正确； C选项，方程无实数根，等价于，即， 而是的必要不充分条件， 则方程无实数根的一个必要条件是，C正确； D选项，当时，方程无实数根，D错误． 故选：ABC． 14．（多选题）（2026·高一·福建厦门·开学考试）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 【答案】BCD 【解析】由的顶点坐标为，则，则， 由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误； ，所以B正确； 令，则的两根为，且开口向下， 因为方程有两个根，且， 所以与的两交点为，所以，所以C正确； ，其对称轴为， 因为方程有四个根，分别为， 根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确. 故选：BCD 15．已知关于的方程组和有相同的解，则的值为________. 【答案】 【解析】由两方程组有相同的解，所以原方程组可化为①② 解方程组①，得，代入方程组②，得，解得 所以. 故答案为： 16．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知是方程组的解，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】由题意，代入方程组可得， 所以当时，代入方程组， 可得，成立， 所以方程组的解是， 故答案为： 17．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 18．关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是________． 【答案】4 【解析】关于的一元二次方程有实数根， 则满足，且，解得，且， 所以实数的最大整数值是4． 19．（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）设关于x的方程有两个不同实根，，且，则实数n的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为关于x的方程有两个不同实根，， 所以，，， 由，得：， 所以，解得：或 则实数n的取值范围是 20．（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）若一个整数能表示成（、为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以是一个完美数.已知（、是整数，是常数），若对于任意整数，均为“完美数”，则的值为__________. 【答案】 【解析】， 因为是完美数，则令，解得. 此时，由于为整数，和均为整数，符合题意. 故答案为：. 21．若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值. 【解析】由于关于的方程的解集为单元素集合， 即方程有唯一解 （1）当时，，方程有唯一解； （2）当时，， 即，解得. 综上0或. 22．（2026·高一·安徽·阶段检测）解下列方程或方程组. (1)； (2)； (3) 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以，. （2）， 这里，，，所以， 所以， 所以，. （3） ①②，得，解得， 把代入①，得，解得， 所以方程组的解为. 23．（2026·高一·河北石家庄·期中）已知，. (1)若，求M； (2)若，且满足，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，解得或，所以， ∵，∴为集合的子集， ∴； （2）∵， ∴是关于的方程的两个不等实数根， 则，即， 且，， ∴. 解得或，均满足. ∴或； （3）∵，∴. 当时，，此时. 当时，B中有一个元素或两个元素， 当B中有一个元素时，，解得，此时，满足条件； 当B中有两个元素时，，即1，3是关于x的方程的两个根， 由（2）得，且，，无解. 综上，实数的取值范围是. 24．（2026·高一·青海西宁·期中）已知集合 (1)若命题是真命题，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【解析】（1）解方程得，或， 所以， 因为是真命题， 所以， 对于方程，因为， 所以该方程一定有解； 当时，方程的解为，此时，满足条件； 当时，方程的解为或， 所以，故， 所以的值为或； （2）因为”是“”的必要条件，所以， 若，则，解得， 若，当，解得，此时或，均不符合题意； 当时，设方程的两根为， 又，所以， 所以， 所以的取值范围为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $