预习08 一元二次不等式的解法（3知识点+6题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习08 一元二次不等式的解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点 2 ：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 知识点 3 ：分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原不等式即为，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3．“”是“”成立的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】， 所以，若成立，不一定成立，即充分性不成立； 若成立，一定成立，即必要性成立， 所以“”是“”成立的必要非充分条件， 故选：B． 4．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为，又，所以不等式等价于，解得或． 5．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1). (2) (3)或 (4). 【详解】（1）原不等式可化为. 对于方程，因为， 可知函数的图象开口向上，且与x轴无交点， 其大致如图1所示，由图1可知原不等式的解集为. （2）原不等式可化为，即， 函数的图象如图2所示， 由图2可知原不等式的解集为. （3）易知方程的两根分别是，， 则函数的图象与x轴有两个交点，分别为点和点， 又函数的图象是开口向上的抛物线，图象如图3所示， 由图3可得原不等式的解集为或. （4）原不等式可化为， 易知方程有两个相等实根， 画出函数的图象如图4所示， 由图4可知原不等式的解集为. 【题型2 已知一元二次不等式的解集求参数】 6．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. 7．若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，显然解集为空，满足题设； 当时，在上无解， 所以，可得； 综上，. 故选：C 8．已知不等式的解集为，则实数 ． 【答案】3 【详解】因为的解集为， 故的两个解为，故， 故，故， 故答案为：. 9．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得， 故答案为：. 10．若关于的一元二次不等式的解集是.那么若的解集为.则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由一元二次不等式的解集是， 得，年是方程的二根，即，因此， 不等式，即的解集为，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【详解】因的解集为， 则，且方程的两根为1和5， 则有，即， 则等价于， 化简得， 解得或 故不等式的解集为. 【题型3 解简单的分式不等式】 12．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 13．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 由，可得，所以. 所以. 故选：C. 14．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，，解得，， 结合得，即． 故选：C． 15．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由不等式，即，解得，所以， 因为且，则满足. 故选：C. 16．解不等式组： 【答案】 【详解】由题设，可得， 所以不等式组的解集为. 【题型4 二次不等式的恒成立问题】 17．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 18．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 19．若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】/ 【详解】当时，，不对任意的恒成立，不符合； 当时，由题可知，且，解得，故实数的最大值是. 故答案为： 20．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 21．若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 【题型5 解含参数的一元二次不等式】 22．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，且， 又 ， ， 则解得， 故选：D． 23．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 24．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 25．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 26．解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 27．若，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】移项得，对应的方程的两根为和1， 当时，，解得； 当时，，原不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【题型6 二次不等式的实际应用】 28．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 29．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升， 则加满水后药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中， 药液有升，则加满水后药液含量占容积比例为， 由题有，，解得， 又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以， 故答案为：. 30．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    【答案】 【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则 ， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为： 31．景德镇市，别称“瓷都”，设镇于东晋时期，始称“昌南”，后易名“新平”，作为世界著名的陶瓷圣地，拥有丰富的文化遗产和自然资源，为旅游业的发展提供了得天独厚的条件.近年来，随着人们对传统文化和手工艺的兴趣日益增加，景德镇的陶瓷文化和制作过程吸引了越来越多的游客.小李看到了旅游带来的商机，想在景德镇开民宿，他发现一处拥有40间房间的酒店正在转让，他有了想盘下来开民宿的想法.通过调研，该位置附近的其他相似的酒店每间定价150元时，每天都可租出全部所有的房间，若每间房价上涨10元，则会少租出一间.已知盘下这个酒店开民宿，小李投入成本需要252万元，小李准备依照调研的数据来预算盘下该酒店后的收支情况，按照每间房基础定价150元，若每间房上涨了元，每天收入为元. (1)求出和之间的函数关系式. (2)若小李想要一年（按照360天计算）收回成本，请问每间房价应该定为多少元？ (3)每间客房定价为多少时，利润最大？ 【答案】(1); (2); (3)房价为270或280时，利润最大. 【详解】（1）当且时，； 当时，. ∴ （2）由题意分析可知： 即：或 故：或 即：每间房价应该定为之间. （3）设利润为，则 故对称轴为，而，即：或12时，利润最大. 即：房价为270或280时，利润最大，最大值为201600. 32．某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少万件，同时将商品A的销售金额的作为新产品开发费（即每销售100元提出元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发） 【答案】 【详解】由题，商品的年销量为件，又每件售价80元， 则，即， 所以，所以，解得. 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】令，所以或. 解得，. 所以不等式的解集是. 故选：A. 2．关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的解集为，所以， 对应方程，， 则，所以. 故选：D. 3．若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以． 故选：B． 4．已知非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，即，解得． 故选：B 5．已知，则“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由可得：， 而当时，有. 所以“”成立是“”成立的充分条件. 由， 因为，， 可知若，必有. 所以“”成立是“”成立的必要条件. 综上所述，“”成立是“”成立的充要条件. 故选：C. 6．“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】当时，得到，不合题意， 当时，由题知，解得， 故选：A. 7．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式整理成： . 当 时， ，不等式恒成立； 设 ， 当 时函数 为二次函数， 要恒小于 0，抛物线开口向下且与 轴没有交点， 得到： ， 解得 . 综上得到 故选： B. 二、多选题 8．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 9．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】不等式对任意实数恒成立， 所以，即在R上恒成立， ， 解得，所以ACD选项符合，B选项不符合， 故选：ACD. 三、填空题 10．某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元， 则每天出售衬衫的净收入为：（元）， 由题可知，， 整理得，，解得， ， 每件衬衫的售价的取值范围是. 故答案为：. 11．不等式的解集为 答案写成区间形式 【答案】 【详解】由，得，得， 即，解得或 故答案为： 四、解答题 12．解下列不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将不等式化简为， 解得或， 则解集为； （2）将不等式化简为， 因为， 该不等式无实数解，即解集为； （3），即，通分可得， 则，解得， 所以解集为. 13．设常数，已知集合，集合． (1)求集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由等价于，解得， 所以； （2）由，即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，解得，即的取值范围. 14．求下列关于的不等式的解集：． 【答案】答案见解析 【详解】由，得， 因为，所以， 当时，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 15．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习08 一元二次不等式的解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点 2 ：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 知识点 3 ：分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 【题型1 解不含参数的一元二次不等式】 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”成立的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 4．不等式的解集为 ． 5．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型2 已知一元二次不等式的解集求参数】 6．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知不等式的解集为，则实数 ． 9．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 10．若关于的一元二次不等式的解集是.那么若的解集为.则实数的取值范围是 . 11．已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【题型3 解简单的分式不等式】 12．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 13．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．设集合，则（   ） A． B． C． D． 15．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 16．解不等式组： 【题型4 二次不等式的恒成立问题】 17．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 20．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 21．若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【题型5 解含参数的一元二次不等式】 22．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．解关与x的不等式： 27．若，解关于的不等式. 【题型6 二次不等式的实际应用】 28．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 29．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 30．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    31．景德镇市，别称“瓷都”，设镇于东晋时期，始称“昌南”，后易名“新平”，作为世界著名的陶瓷圣地，拥有丰富的文化遗产和自然资源，为旅游业的发展提供了得天独厚的条件.近年来，随着人们对传统文化和手工艺的兴趣日益增加，景德镇的陶瓷文化和制作过程吸引了越来越多的游客.小李看到了旅游带来的商机，想在景德镇开民宿，他发现一处拥有40间房间的酒店正在转让，他有了想盘下来开民宿的想法.通过调研，该位置附近的其他相似的酒店每间定价150元时，每天都可租出全部所有的房间，若每间房价上涨10元，则会少租出一间.已知盘下这个酒店开民宿，小李投入成本需要252万元，小李准备依照调研的数据来预算盘下该酒店后的收支情况，按照每间房基础定价150元，若每间房上涨了元，每天收入为元. (1)求出和之间的函数关系式. (2)若小李想要一年（按照360天计算）收回成本，请问每间房价应该定为多少元？ (3)每间客房定价为多少时，利润最大？ 32．某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少万件，同时将商品A的销售金额的作为新产品开发费（即每销售100元提出元）.若新产品开发费不少于96万元，求实数的取值范围.（注：工厂永不停产，新产品永在开发） 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 3．若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 9．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 11．不等式的解集为 答案写成区间形式 四、解答题 12．解下列不等式 (1)； (2)； (3). 13．设常数，已知集合，集合． (1)求集合； (2)若，求的取值范围． 14．求下列关于的不等式的解集：． 15．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$