第二章　第6课时　函数的单调性与最值课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数单调性与最值专题，依据高考评价体系梳理了确定单调性、单调性应用（比较大小、解不等式、求参数范围）、值域与最值三大核心考点，通过真题分析明确单调性应用占比60%的高频考向，归纳选择、填空、解答等常考题型。 课件亮点在于“真题引领+母题变式+素养落地”，如以2024新高考Ⅰ卷分段函数单调性题为例，用数学思维构建“定义域+单调性+衔接条件”分析框架，通过换元法、分离常数法等通性通法培养数学语言表达能力，设易错提醒专栏，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准开展专题复习。

第6课时　函数的单调性与最值 第二章　函 数 常用结论必备 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)>0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0)⇔f (x)在区间I上单调递增； (2)<0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0)⇔f (x)在区间I上单调递减． 2 2．若函数f (x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf (x)与f (x)的单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)的单调性相反； (3)函数y＝f (x)在公共定义域内与y＝( f (x)≠0)的单调性相反； (4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减 ”． 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 3．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到． 4．开区间上的“单峰(谷)”函数一定存在最大(小)值． 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 考点一　确定函数的单调性(单调区间) [典例1]　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增 B．若f (x)，g(x)都是定义在R上的增函数，则h(x)＝f (x)＋g(x)也是定义在R上的增函数 C．函数y＝2|x＋1|在区间(－∞，－1]上单调递增 D．函数y＝lg (x＋1)在(0，＋∞)上单调递增 (2)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是___________________． 核心考点突破 √ √ √ [－1，2]，[5，＋∞) (1)ABD　(2)[－1，2]，[5，＋∞)　[(1)对于A，∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 对于B，两个增函数的和为增函数，故B正确； 对于C，作出函数y＝2|x＋1|的图象，如图所示， 由图象可知，函数y＝2|x＋1|在区间(－∞，－1]上单调递减，故C错误； 由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得函数y＝lg (x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ABD． (2)函数y＝|－x2＋4x＋5|＝ 由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5， 函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示， 由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．] [母题探究] (综合变式)函数y＝的单调递减区间为________． [2，5]　[函数y＝的定义域需要满足－x2＋4x＋5≥0，解得x∈[－1，5]，因为t＝－x2＋4x＋5在[2，＋∞)上单调递减，所以y＝在[2，5]上单调递减．] [2，5]　 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 易错提醒：(1)求函数的单调区间时，必须先求函数的定义域． (2)单调区间只能用区间表示． (3)若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接． 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 [多维变迁] 判断函数f (x)＝，x∈(－2，＋∞)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 [解]　函数f (x)在(－2，＋∞)上单调递增． 证明如下：f (x)＝＝＝1－， ∀x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝1－－＝－＝．又x1<x2，且x1，x2∈(－2，＋∞)，所以x1＋2>0，x2＋2>0，x1－x2<0，所以f (x1)－f (x2)<0，即 f (x1)<f (x2)， 故函数f (x)在(－2，＋∞)上单调递增． 考点二　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 [典例2]　设f (x)的定义域为R，f (x)的图象关于y轴对称，且f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小关系是(　　) A．f (－π)<f (－2)<f (3) B．f (－2)<f (3)<f (－π) C．f (－π)<f (3)<f (－2) D．f (3)<f (－2)<f (－π) √ 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 B　[因为f (x)的定义域为R，f (x)的图象关于y 轴对称，所以f (x) 是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)．又f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，所以f (2)<f (3)<f (π)，所以f (－2)<f (3)<f (－π)．故选B．] 易错提醒：比较函数值大小的关键是将各自变量的值转化到同一单调区间上． 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 考向2　解不等式 [典例3]　(2026·长沙模拟)已知f (x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f (x－1)＜f (1－3x)，则x的取值范围是(　　) A． B． C． D． √ 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 A　[因为f (x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f (x－1)＜f (1－3x)， 所以则＜x≤．故选A．] 易错提醒：求解函数不等式时，由单调性脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，还要注意函数的定义域． 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 考向3　求参数的取值范围 [典例4]　(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) √ 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 B　[因为函数f (x)在R 上单调递增，且当x<0时，f (x)＝－x2－2ax－a，所以f (x)＝－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－＝－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f (x)在R上单调递增，则－a≤f (0)＝e0＋ln 1＝1，即a≥－1． 综上，实数a的取值范围是[－1，0]． 故选B． ] [多维变迁] 已知f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) B． C．(1，＋∞) D． √ 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 D　[根据题意，f (x)＝在R上单调递增， 需满足解得＜a≤2，则实数a的取值范围 为．故选D．] 易错提醒：易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 考点三　函数的值域与最值 [典例5]　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝的值域为[，＋∞) √ √ √ 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 ACD　[对于A，配方法：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6)； 对于B，分离常数法：y＝＝＝ 2＋，显然≠0，y≠2， 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)； 对于C，换元法：设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图2所示)，可得函数的值域为； 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝在[1，＋∞)上单调递增， ∴当x＝1时，ymin＝， 即函数的值域为[，＋∞)．故选ACD．] 通性通法：求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于与一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 课时作业(六)　函数的单调性与最值 一、单项选择题 1．(2025·杭州期中)下列函数中，在(0，1)内单调递减的是(　　) A．y＝x-1 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝x3 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 29 A　[对于A，y＝x-1＝是反比例函数，在(0，1)内单调递减，符合题意； 对于B，y＝＝是幂函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意； 对于C，y＝x2是二次函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意； 对于D，y＝x3是幂函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 30 2．函数y＝x＋的单调递减区间为(　　) A．(0，1] B．[－1，1] C．[－1，0)∪(0，1] D．[－1，0)，(0，1] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[函数y＝x＋为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数y＝x＋的单调递减区间为[－1，0)，(0，1]．] 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 3．已知f (x)是偶函数，f (x)在[1，3]上单调递增，则f (1)，f (－2)， f (－3)的大小关系为(　　) A．f (1)>f (－2)>f (－3) B．f (－2)>f (－3)>f (1) C．f (－3)>f (1)>f (－2) D．f (－3)>f (－2)>f (1) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 D　[因为f (x)是偶函数， 所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)． 因为f (x)在[1，3]上单调递增， 所以f (3)>f (2)>f (1)， 所以f (－3)>f (－2)>f (1)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 4．(苏教版必修第一册P122习题5.3 T4改编)定义在[－2，2]上的函数 f (x)满足(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]>0(x1≠x2)，且f (x)>f (2x－1)，则实数x的取值范围为(　　) A．(－∞，1) B． C． D．[－1，1) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 C　[由题意知，f (x)在[－2，2]上单调递增，则f (x)>f (2x－1) ⇔解得－≤x<1．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5．(2025·清远期末)已知函数f (x)＝若对R上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＜0成立，那么实数a的取值范围是(　　) A．(0，2) B．(0，2] C． D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 D　[根据题意，函数f (x)是定义域为R的减函数， 必有即 即≤a＜2， 故实数a的取值范围是． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 6．(2025·鞍山市立山区期末)min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f (x)＝min{2＋x，14－x，2x}(x≥0)的最大值为 (　　) A．2 B．4 C．6 D．8 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 D　[画出函数y＝2x，y＝2＋x，y＝14－x的图象如图所示， 由图象可知，当0≤x≤2时，f (x)＝2x， 当2＜x≤6时，f (x)＝2＋x， 当x＞6时，f (x)＝14－x， 当x＝6时，f (x)取到最大值，f (6)＝8． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、多项选择题 7．定义min{a，b}＝设f (x)＝min{|x|，x＋1}，则(　　) A．f (x)有最大值，无最小值　 B．当x≤0时，f (x)的最大值为 C．不等式f (x)≤的解集为 D．f (x)的单调递增区间为(0，1) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 BC　[作出函数f (x)＝min{|x|，x＋1}的图象，如图实线部分， 对于A，根据图象，可得f (x)无最大值，无最小值，故A错误； 对于B，根据图象得，当x≤0时，f (x)的最大值为，故B正确； 对于C，由|x|≤，解得－≤x≤，结合图象， 得不等式f (x)≤的解集为，故C正确； 对于D，由图象得，f (x)的单调递增区间为 ，[0，＋∞)，故D错误．故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．(人教A版必修第一册P86习题3.2T9改编)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0的是(　　) A．f (x)＝x＋ B．f (x)＝ C．f (x)＝1＋ D．f (x)＝－x－ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 CD　[对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0，则函数f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 对于A，f (x)＝x＋，由对勾函数的图象与性质可知A不满足题意； 对于B，f (x)＝，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故B不满足题意； 对于C，f (x)＝1＋，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故C满足题意； 对于D，f (x)＝－x－，由对勾函数的图象和性质可知D满足题意．故选CD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 9．已知函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f (x)在(－∞，－1]上单调递增 B．函数y＝f (x)在[－1，0]上单调递减 C．当x＝0时，函数y＝f (x)有最小值 D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f (x)有最大值 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 ABD　[因为f (x)＝－x2＋2|x|＋1， 所以f (x)＝ 作出函数f (x)的图象如图所示， 由图象可知，f (x)在(－∞，－1]上单调递增， 在[－1，0]上单调递减，故A，B正确； 由图象可知，当x＝－1或x＝1时，函数y＝f (x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、填空题 10．设函数 f (x)＝若函数y＝f (x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (－∞，1]∪[4，＋∞) 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 (－∞，1]∪[4，＋∞)　[作出函数f (x)的图象如图所示，由图象可知f (x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 11．设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是__________________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (－∞，0)，(1，＋∞) 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 (－∞，0)，(1，＋∞)　[由题意知g(x)＝ 该函数图象如图所示， 由图象知，函数g(x)的单调递增区间是 (－∞，0)，(1，＋∞)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(2025·上海松江区三模)已知函数f (x)＝则f (x)的值域为____________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (0，＋∞) 常用结论必备 课时作业 核心考点突破 第6课时　函数的单调性与最值 (0，＋∞)　[因为f (x)＝ 当x≥1时，f (x)＝x2≥1， 当0＜x＜1时，f (x)＝x＋－5单调递减，故f (x)＞0， 则f (x)的值域为(0，＋∞)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 $