26.1 二次函数的概念 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

课题

26.1 二次函数的概念

授课人

教学目标

1.理解二次函数的概念：y=ax2+bx+c（a, b, c为常数，a≠0 ）.

2.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.

3.掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围.

4.通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，拓展学生的数学思维，增强学好数学的信心.

教学重点

对二次函数概念的理解.

教学难点

由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.

授课类型

新授课

课时

1

教学步骤

师生活动

设计意图

情境导入

形如ax＋b＝0（a≠0）的方程叫做一元一次方程，令y＝ax＋b，则y＝ax＋b（a≠0）为一次函数.

经过上一章的学习，我们知道形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的方程叫做一元二次方程.如果我们令y＝ax2＋bx＋c，你会给y＝ax2＋bx＋c（a≠0）命名吗？

通过创设情境，引导学生复习一元一次方程、一次函数、一元二次方程等概念，为后面学习二次函数的有关内容做好铺垫

探究新知

1.二次函数

1.问题：如图，正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数解析式是什么？它是

通过具体事例，让学生列出

一次函数吗？有什么特点？

y=6x2   不是一次函数   变量是2次方

学生思考后回答，教师点拨：这是我们今天需要学习和研究的“二次函数”数学模型.

2.我们再来看下面的问题

（1）n个球队参加比赛，每两个队之间都要进行一场比赛，场数m与球队数n之间有什么关系？每个队要与几个队各比赛一场？

对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数。  m＝n2－n

（2）某产品今年的年产量是20 t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将由计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

y＝20x2＋40x＋20

教师提问：（1）以上问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？列出问题中的函数解析式；

（3）观察上面的函数解析式，分析解析式有什么特点.

让学生独立思考完成解答，教师适当地引导与点拨，共同得到问题的结论．

教师归纳总结：在上面的问题中，y＝6x2，m＝n2－n，y＝20x2＋40x＋20都是用自变量的二次式表示的．

一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．

3.教师指导学生观察二次函数的定义，交流、讨论二次函数的

关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数的概念，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决实际问题的能力。

此环节让学生在实际问题出发的基础上理解二次函数的

特征，并进行总结：

①等式左边是函数y，右边是关于自变量的整式；

②a，b，c都是常数，a≠0；

③等式右边自变量的最高次数为2，一次项和常数项可以为0，但是必须保留二次项；

④自变量x的取值范围是全体实数．

归纳：二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c是常数项.

概念，达到真正理解并掌握的目的。

典例精析

【例1】下列函数中，哪些是二次函数？

（1） y＝x−1

（2） y＝3x2

（3） y＝(x−1)2−x2

（4） y＝＋3x

（5） y＝ax2＋4x＋1

答案：（2）是，（1）（3）（4）（5）不是.

【方法总结】

二次函数必须同时满足三个条件：

（1）函数解析式是整式．

（2）化简后自变量的最高次数是2．

（3）二次项系数不为0．

【例2】若y＝(m－2) xm²－2＋4是二次函数，求m的值和函数解析式．

【解】由题意得

∴

∴m＝－2， y＝－4x2＋4．

本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。