精品解析：河南开封市尉氏县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

八年级数学 时间：100分钟 知识分值满分120分，卷面分值满分5分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键．根据不等式的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：A．∵， ∴根据不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，得， 再根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，得，故A选项一定成立，符合题意； B．当时，，此时，不满足，故B选项不一定成立，不符合题意； C．∵ ∴，故C选项不成立，不符合题意； D．根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，得，故D选项不成立，不符合题意． 故选：A． 3. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处． 4. 下列各数中，能使不等式2x+1＜3成立的是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，找出在不等式解集中的解即可． 【详解】解：解不等式2x+1＜3可得， 选项中只有0满足， 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的解，解决本题的关键是利用不等式的基本性质求不等式的解集． 5. 一次函数与的图象如图所示，则的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系，理解时x的范围是一次函数的图象在的图象上边时对应的未知数的范围是关键． 根据交点横坐标，结合图象写出解集即可． 【详解】解：∵与的图象交点为，且， ∴． 故选：A． 6. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 若不等式组无解、则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； ∵不等式组无解，两个解集没有公共部分， ∴， 解得 ． 8. 如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂线段最短等知识，首先解得，根据题意易得当时，线段的长度取最小值，然后由角平分线的性质定理即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴当时，线段的长度取最小值，如下图， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴线段长度的最小值是4． 故选：A． 9. 如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（ ） A. 71 B. 72 C. 73 D. 74 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D． ． 10. “俄罗斯方块”是一种早期的电子游戏，核心玩法是在方格场地中，操控7种积木（每个占四个格子）通过平移、旋转并堆叠（积木与积木之间不能重合，没有缝隙），填满整行即可消除该行从而得分，积木堆到顶端则游戏结束．例如：下图①中，将上方“长方形”积木，向下平移4个格子，就可以消除“第1行”从而得分．那么当如图②中最上方积木通过怎样的运动可以同时消除“第1行和第2行”（ ） A. 向下平移3格 B. 以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移2格 C. 以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格 D. 以格子为旋转中心，按顺时针方向旋转90°，再向下平移2格 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转和平移，读懂题意，根据旋转和平移的知识即可解答． 【详解】解：根据题意需以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格，可以同时消除“第1行和第2行”， 故选C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 13. 某种笔记本原售价是每本元，凡一次购买本或以上可享受优惠价格，第种：本按原价，其余按七折优惠：第种：全部按原价的九折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第种比第种更优惠，则至少买______本笔记本． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确的理解题意，列出一元一次不等式是解题的关键．设购买本笔记本，根据题目意思得出第种所需费用：，第种所需费用：，利用第种比第种更优惠，列出不等式求解即可． 【详解】解：设购买本笔记本， 解得：， ∵取正整数， ∴最少购买本． 故答案为：． 14. 如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 15. 若关于x的不等式组 的整数解共有3个，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，根据整数解的个数得到对应整数解，即可求出的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式， 移项得， 系数化为得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有个， ∴不等式组的整数解为， 可得． 三、解答题：本题共8小题，知识分共75分，卷面分5分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式（组），并将不等式（组）的解集在数轴上表示出来： （1）； （2） 【答案】（1）； ； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”求出不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可； （2）分别求出每个不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【小问1详解】 解： 解得， 数轴见答案； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 数轴见答案． 17. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是、． （1）将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为 ； （2）画出关于y轴对称的； （3）画出将绕点逆时针旋转后的. 【答案】（1） （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标上移加下移减的规律即可得出结果； （2）根据轴对称的性质先确定点的位置，再顺次连接即可； （3）根据旋转的性质先确定点的位置，再顺次连接即可. 【小问1详解】 解：∵向下平移3个单位后得到，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求， 18. 在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． （1）试求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）14 （2）35° 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，再根据三角形的周长，解答即可． （2）根据，不妨设，根据折叠的性质，得，根据，利用三角形内角和定理列方程解答即可． 【小问1详解】 解：根据折叠的性质，得， ∵的周长是， ∴的周长是， ∵，， ∴． 故的周长为14． 【小问2详解】 解：∵，不妨设， 根据折叠的性质，得， ∴， ∵， ∴， 解得， 故． 19. 某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 【答案】运输方案共1种：甲型货车5辆、乙型货车5辆；最低运费3800元 【解析】 【分析】本题考查不等式组解应用题，读懂题意，准确列出不等式组求解是解决问题的关键． 设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意列不等式组： ， 解不等式①得； 解不等式②得； ， 则只有1种运输方案：甲型货车辆，乙型货车辆； 总运费为：（元）， 答：有种运输方案，该方案为最低运费方案，最低运费3800元． 20. 如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，点P即为所求作的点． 【解析】 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．由题意分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】略 21. 如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且． （1）求证：； （2）过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明； （3）若为中点，求的值． 【答案】（1）证明：∵等腰中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）； 如图，∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（）证明，可得，进而由得到，即得，即可求证； （）证明是等腰直角三角形可得，由全等三角形的性质得，即得，即可求证； （）连接，由等腰直角三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，即得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 22. 对于两个关于的不等式，若有且仅有一个整数，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数“互联”．例如：不等式和不等式关于整数“互联”． （1）不等式和关于整数______“互联”； （2）若关于的不等式和关于整数“互联”， ①直接写出的值为______； ②求的最大值； （3）已知不等式和关于整数“互联”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）3 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法； （1）解不等式得，再根据“互联”的定义即可； （2）①根据定义可得； ②根据题意得，再根据“互联”的定义得； （3）根据题意得，解不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：是，理由如下： 解不等式得， 满足条件的整数有且只有一个：，所以这两个不等式是“互联”的； 故答案为：3． 【小问2详解】 解：①解不等式，得 ∵关于的不等式和关于整数“互联”， ∴， 故答案为：． ②依题意，的整数解为， ∴ 解得： 故的最大值为； 【小问3详解】 解：若不等式和是关于整数 “互联”的， 则满足的整数有且只有一个，为 ∴ 解得： 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： （3）如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） ，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2） 证明：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 时间：100分钟 知识分值满分120分，卷面分值满分5分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 4. 下列各数中，能使不等式2x+1＜3成立的是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 一次函数与的图象如图所示，则的解集为（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式组无解、则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，为角平分线，，为直线上一动点，连接，则线段长的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（ ） A. 71 B. 72 C. 73 D. 74 10. “俄罗斯方块”是一种早期的电子游戏，核心玩法是在方格场地中，操控7种积木（每个占四个格子）通过平移、旋转并堆叠（积木与积木之间不能重合，没有缝隙），填满整行即可消除该行从而得分，积木堆到顶端则游戏结束．例如：下图①中，将上方“长方形”积木，向下平移4个格子，就可以消除“第1行”从而得分．那么当如图②中最上方积木通过怎样的运动可以同时消除“第1行和第2行”（ ） A. 向下平移3格 B. 以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移2格 C. 以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格 D. 以格子为旋转中心，按顺时针方向旋转90°，再向下平移2格 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 13. 某种笔记本原售价是每本元，凡一次购买本或以上可享受优惠价格，第种：本按原价，其余按七折优惠：第种：全部按原价的九折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第种比第种更优惠，则至少买______本笔记本． 14. 如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 15. 若关于x的不等式组 的整数解共有3个，则m的取值范围是___________． 三、解答题：本题共8小题，知识分共75分，卷面分5分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式（组），并将不等式（组）的解集在数轴上表示出来： （1）； （2） 17. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是、． （1）将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为 ； （2）画出关于y轴对称的； （3）画出将绕点逆时针旋转后的. 18. 在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． （1）试求的周长； （2）若，求的度数． 19. 某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 20. 如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且． （1）求证：； （2）过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明； （3）若为中点，求的值． 22. 对于两个关于的不等式，若有且仅有一个整数，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数“互联”．例如：不等式和不等式关于整数“互联”． （1）不等式和关于整数______“互联”； （2）若关于的不等式和关于整数“互联”， ①直接写出的值为______； ②求的最大值； （3）已知不等式和关于整数“互联”，直接写出的取值范围． 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： （3）如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $